吉林省吉林市普通中学2026-2027学年高三上学期第一次调研测试数学试题

吉林市普通中学2026一2027学年度高中毕业年级第一次调研测试 数学试题参考答案 一、单项选择题： 2 3 4 5 6 7 D C A D B B C B 二、多项选择题： 9 10 11 BC AC BCD 三、填空题： 12. -3 13. √2 14. 2-2W5 四、解答题 15.【解析】 (I)设等差数列{a,}的公差为d. 44=41+3d=7,S3=342=9,.42=3,即41+d=3. 解得，41=1，d=2.… …4分 .4n=41+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1, 即数列{an}的通项公式为a.=2n-1.… …6分 （Ⅱ)记bn=(-1)"an=(（-1)"(2n-1).… …7分 T2m=b+b+b3+b4++b2-1+b2m=(-1)+3+(-5)+7++(4n-3]+4n-1…10分 =2+2+…+2 个 =2… …13分 高三数学试题答案 16.【解析】 《)由正弦定理得，n cos+5nBc0sA-5 inCeosC=0,…2分 sinC .sin(A+B)=√3c0sC,… …4分 ∴.sin(π-C)=√3cosC,即sinC=√3cosC, tanC=sC=V5,1…6分 cosC Ce(0,),C= 3· 24…8分 (I)c=b=2,5=n-ax2x =33,=6.…10分 32 2 由余弦定理得，c2=m2+b-2bcos 万…12分 3 1 =36+4-2×6×2× 2 =28…14分 c>0,c=2W7.… …15分 17.【解析】 （I)f()=1-2,y=了)在x=1处切线斜率k=了④=-1.…2分 ,f(1)=ln1-2+1=-1,.切点为(1，-1)，… 3分 .曲线y=f(x)在x=1处切线方程为y+1=-(x-1),即x+y=0.…4分 ():aso)s对任意xe[ 恒成立，则a≤f(x)m且b之f(x)max·…5分 令f0=士2=0，则x= 当[时，了>0：当G时.a<0, :四布[心》上单调造地，在仔]上单调递成 第1页（共4页) =哈=-2，=80=-1，且-名-1 f(x)m=f(1)=-1.…7分 ∴.a≤-1且b≥-ln2,-b≤ln2,.a-b≤-1+ln2, 即当a=-1且b=-ln2时，实数4-b的最大值为-1+ln2.…9分 (Ⅲ)由题可知，lnx-2x≥kx-2ea=lne-2e对任意x∈[1，+o)恒成立. k>0,x≥1，.ea>1. 设g()=lnx-2x,x≥1，g'()=1-2<0,则g()=f(w)-1在，+)上单调递减， g(x)2g(ea),.x≤ea,… 11分 nx≤，即k之n在xe+o）上恒成立… …12分 设()=血(x≥)，则k≥M)nx 到=l,令ma=0,则x=e, 当xe1,e)时，(x)>0;当xe(e,+o)时，()<0， ∴.(x)在1，e)上单调递增，在e,+o)上单调递减， 1 .(x)mx=e)=三， e “k之，即正实数k的取值范围是 …15分 e e:+oo 18.【解析】 (I)（1)样本的青柠试饮者评分的平均分为 元=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74， 估计青柠试饮者评分的平均分为74分.… …3分 设该样本凤梨试饮者评分的第85百分位数为4， (法一)1-0.85=0.15 数据落入[90,100]内的频率为0.10<0.15 数据落入[80,100]内的频率为0.10+0.25=0.35>0.15 高三数学试题答案 4e80,90y,a=90-10x0.15-0.10=88, 0.25 故估计凤梨试饮者评分的第85百分位数为88分.…6分 (法二)设数据落入[60,70]的频率为m,则0.05+0.20+m+0.30+0.25+0.10=1,m=0.1. 数据落入[40,80]内频率为0.05+0.20+0.10+0.30=0.65<0.85， 数据落入[40,90]内频率为0.65+0.25=0.9>0.85， :ae(80,90,a=80+10x0.85-0.65=88, 0.25 故估计凤梨试饮者评分的第85百分位数为88分.…6分 (ⅱ)（法一）设事件M=“所选2人评分均大于t”, 试验的样本空间2=甲，乙)，甲，丙)，甲，丁)，（乙，丙）（乙，丁），丙，丁)}，(2)=6， 则M=甲，乙)}，M=1,PM0="四=1 n(2)6 故所选2人评分均大于t的概率为 …10分 6 (法二)设事件M=“所选2人评分均大于t”,则P0=交后 11 1 故所选2人评分均大于t的概率为 (Ⅱ)由频率估计概率，根据频率分布直方图知： 首次试饮两款饮品满意的概率均为0.30+0.25+0.10=0.65，不满意的概率均为0.35.…12分 设A,B两位顾客对该公司生产的饮品满意的概率分别为P,P, ￡=0.65+0.35x=0.93,B=065+035×=0.86.… 3 …14分 设事件N=“A,B两位顾客中恰有1人对该公司饮品满意” 则P(N)=P(1-P2)+(1-P)P2=0.93×0.14+0.07×0.86=0.1904 故A,B两位顾客中恰有1人对该公司饮品满意的概率为0.1904.…17分 备注：①(I)问作答要体现“估计”字样，即强调由样本估计总体，否则扣1分（不重复扣分）： ②不设事件扣1分（不重复扣分）， 第2页（共4页) 19.【解析】 (I)由题可知，sin =互==1， 6话42,4=2所且4+万=3新=1,5=， 又l2=2r2,2+r2+1=41,∴.212+3+1=2i, 11 6=3万=9 …2分 鸟m22且neN时，0牙叠=分1a=23 则dn+1+r-1=,-1,即2r+.+1-1=2r-1 “后一宁数列：是以时为首项，号为公比的等比最别， f-1 …5分 (Ⅱ)(1)（法一）s0=左=克，则4=。， 412 sine sine +万=2+5=1,5=1， sine sine' 1+,11+sin6 sine 2+3+1=41， 。+52+5= sin' sine (1-1 sine sine-sin2e .3= …7分 1 1+ (1+sine) sine (法二)由题知 5+41=1, sin e G=4sin日，听=1+in6' 又h-5=(G+5)sin8,:互=1-sne, 、74物26-0咖0-咖0 (1+sin0) (1+sin0)2 (法一)设t=sin8,t∈(0,1)， 高三数学试题答案 =不4e0f0-+-0,则1=号 设f=- 当e(时f>0:当eG时，w<0 :了0在0，兮)上单河造地，在仔上单调滋减， f0u=了（兮=名即石的最大值为分 …10分 备注：求最值的其他方法： (法二)5=sin61-n0-n81-$n9) sine(1-sinθ) sin8(1-sinθ)1 (1+sin8)2 2=2sin0+1-sin9r【 2sine(1-sin0) 8sin (1-sine)8 当且仅当2sin9=1-s血0，即s日=}时取等号，5的最大值为g 3 (1+sin0)2 法)5=跏60-sn-2sn61-s3名 4 (1+sin8)2 2(1+sin0)2 21+sin9)=8 当且仅当2血0=1-血0，即s血0=号时取等号，5的最大值为号 (法四)5= =-sin20+sin8_-1+sin82+31+sin0)-2 (1+sin8)2 (1+sine)2 n0em,设=+如g则e台 设0=-2r+31-1,1e2则对称辅为1=子 :了在公引润递增，在（得上单调遍减。 :当1=即n0=号时，即5的最大值为日 第3页（共4页） (in)sin0=d’4s& sin d+5+r1=d1m22),2tr+r-4= 五=1-sin -1, >0, sine sin -1 1+sine sine 由(i)知=1+sim ’心打}是以、sin 。为首项， 1-sine 为公比的等比数列. 1+sin 1+sin0 sinθ 1-sin8-1 1+sin(1+sin0 …12分 (法-)设u=9,m9=士0D,=-1+,2 ∈(0,1)， 1+sine 1+u 1+sine 则5=-r,ae0.设=0-0，ue0, =a-1m,令国=0，则a=分e@, 当ue0”分时，w>0:当uetD时，国<0 n :)在0，”-马上单调递增，在飞-)上单调递减， Ma.=马)=x-1小1 2n" 当u= +sin6n，即当si6=，、1 1-sin0 n-1 时，r取最大值R=-) -.…14分 2n-1 2n" 要证，少>之，只需证=>1， 2n> 2en -1> e 1元>-1，设w=e0,则n-1=1-@， 只需证m-1m-1 即证-”in1-+1>0,即证(1-oln(1-o+o>0, 设p(ao)=(1-aln(1-o)+o,o∈(0,1)，p'(o)=-ln(1-ao)>0在o∈(0,1)上恒成立， ∴p(ao)在(0,1)上单调递增，p(o)>p(0)=0， .R> 1成立 …17分 2en 高三数学试题答案 备注：求r,最大值的其他方法： (法=)5=n61-sin6)=sn81-sin9-1 (1+sin0)" Csnosi-smoy 0e) [【-12sin8+1-sne]=1[【m-1)2sin6+(m-10(1-sin)2V2(n-1)sin1-sin8)- 2 m-)"(1+sin8"≥2n-1)stn81-sin8-1 1 、sin-s血8sm-i) (1+sin8)" 2n" 当且仅当(m-12sin日=1-sin日，即sin0=,1,时取等号 2n-1 的最大值为R,=m-) 2n" 背景来源：苏教版选择性必修一P214-13: 探究·拓展】 13.如图，在半径为常量r、圆心角为变量2(0<20<π)的扇形QAB内作一内 切圆P,再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q,求圆 Q半径的最大值. B D E (第13题) 第4页（共4页） ( ★ 保密 · 启用前 ★ )吉林市普通中学2026—2027学年度高中毕业年级第一次调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则 A． B． C． D． 3．已知函数，则“”是“函数是幂函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．，，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知等边三角形的边长为，，，，那么 A． B． C． D． 6．已知，则 A． B． C． D． 7．已知函数 若函数有个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．某武术比赛中，共有位评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分．已知选手甲原始得分的平均分为分，方差为，去掉一个最高分分，去掉一个最低分分，则选手甲剩余个分数的平均数和方差分别为 A．， B．， C．， D．， 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点 A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 10．甲、乙两个袋中都有质地完全相同的3个红球和2个白球. 先从甲袋中随机取出2个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球. 分别记事件“从甲袋取出同色球”，事件“从甲袋取出异色球”，事件“从乙袋取出的球是红球”，则 A．事件与事件互为对立事件 B．事件与事件相互独立 C． D． 11．已知函数，且函数为奇函数．若过点 可以作出曲线的三条切线，则 A．的对称中心是 B． C． D．实数的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，若，则____________． 13．已知等比数列的前项和为，公比为，且，若，则= . 14．函数的部分图象 如图所示，点是的中点，则点的纵坐 标是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知等差数列的前项和为，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，的面积为，求的值. 17．（本小题满分15分） 已知函数. （Ⅰ）求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的最大值； （Ⅲ）若对任意恒成立，求正实数的取值范围. 18．（本小题满分17分） 某饮品公司研发青柠、凤梨两款果饮新品，委托质检机构进行口感评分测试．现在首次试饮者中各随机抽取人，分别画出样本的频率分布直方图，但凤梨试饮者评分图局部有污损，如图所示． 青柠试饮者评分 凤梨试饮者评分 （Ⅰ）（ⅰ）根据频率分布直方图，估计青柠试饮者评分的平均分，并估计凤梨试饮者评分 的第百分位数； （ⅱ）现有甲、乙、丙、丁位凤梨试饮者，经调查，甲和乙的评分大于，丙和丁 的评分不大于，现从该人中随机选人，求所选人评分均大于的概率； （Ⅱ）该饮品公司根据市场调研，制定如下规则：首次试饮评分不低于分代表顾客对饮 品口感满意，低于分代表不满意．首次试饮满意的不用第二轮试饮，即认为对该公司生产的饮品满意；首次试饮不满意者进行第二轮，换饮另一款饮品．已知首轮试饮青柠饮品不满意者，换饮凤梨饮品后满意的概率为；首轮试饮凤梨饮品不满意者，换饮青柠后满意的概率为．第二轮试饮满意也认为对该公司生产的饮品满意．用样本频率估计概率，每名试饮者最多试饮两轮，不同试饮者对饮品是否满意相互独立．现有，两位顾客分别首次试饮青柠、凤梨饮品，根据上述规则完成试饮后，求恰有人对该公司生产的饮品满意的概率． 19．（本小题满分17分） 如图，在半径为的扇形中，圆心角，依次作圆，，…， ．设圆的半径为，，其中：圆与圆弧及半径，均相切；当且时，圆与半径，均相切，且与圆外切． （Ⅰ）当时，求，，及数列的前项和； （Ⅱ）对于正整数，是关于的函数． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求使取最大值时的的值，并证明：（是自然对数 的底数）． 命题、校对：高三数学命题组 ( 高三数学试题 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $