吉林省吉林地区普通中学2025-2026学年高三上学期第一次调研测试数学试题

( ★ 保密 · 启用前 ★ )吉林地区普通中学2025-2026学年度高中毕业年级第一次调研测试 数 学 试 题 说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。 3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 3. 已知，则 A． B． C． D． 4. 函数的图象大致为 A． B． C． D． 5. 若对于，恒成立，则实数的最大值为 A． B． C． D． 6. 一个袋子中有大小和质地完全相同的个球，其中个红色球、个黄色球，从袋中随机摸 出个球，摸到不同颜色球的概率为 A． B． C． D． 7. 已知函数若函数只有两个零点，则实数的取值 范围是 A. B. C. 或 D. 或 8. 已知向量，满足，，，且对于，不等式恒成 立，则 A. B． C． D． 二、多项选择题：本大题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9. 下列命题中,正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10.设复数且，在复平面内，是原点，，，在复平面内对应的点 分别为，，,则下列说法不正确的是 A. B. C. D. 是的外心 11.在锐角中，三个内角，，的对边分别为，，，且，则 A． B． C． D．的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数，则 ． 13.已知事件与事件互斥，若，，则 ． 14.已知函数，则函数的最大值为 ． 四、解答题：本大题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知是公差不为零的等差数列，是等比数列，且，， ． （Ⅰ）求数列和数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 16.（本小题满分15分） 已知函数． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把所得 图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间 上的单调递增区间． 17.（本小题满分15分） 已知的三个内角,,的对边分别为，，，面积为，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，求的最大值. 18. （本小题满分17分） 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，吉林市某高中举办了一系列主 题活动，其中在高三年级开展了分为初赛和决赛的国防知识竞赛. 将高三年级全体学生的初 赛成绩进行统计（满分分，学生成绩均不低于分），得到频率分布直方图如下： （Ⅰ） 现需根据学生初赛成绩制定进入决赛的分数线，规定成绩前的学生进入决赛， 请根据频率分布直方图估计进入决赛的分数线； （Ⅱ） 已知落在的学生成绩的平均数，方差，落在的学生成 绩的平均数，方差，求落在的学生成绩的方差； （Ⅲ） 在决赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关“国防职能”的问题．已知甲回答正 确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确 的概率是，且每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少一人回答正 确的概率． 19.（本小题满分17分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最小值； （Ⅱ）试判断过原点且与曲线相切的直线条数，并说明理由； （Ⅲ）证明：． 命题、校对：高三数学核心组 高三数学试题 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $吉林地区普通高中2025一2026学年度高中毕业年级第一次调研测试 11思教学提示： 数学试题参考答案 A.由余弦定理得c2=a2+b2-2abco3C,又a2+2b2=2c2,故a=4 bcosC: 试题题源：人教A版教材 B.(法一）：a=4 bcosC,由正弦定理得s血A=4 sin BcosC, 教材 真题 故sin(B+C)=4 sin BcosC,即cosBsinC=3 sin BcosC,故tanC=3tanB: T1 必修一P14-习题1.3-1 (法二)：a2+2b2=2c2,由正弦定理得sn2A+2sin2B=2sn2C, T2 必修一P31-例5(2) 由正弦平方差公式得sin2A=2sin2C-2sin2B=2sin(C+B)sin(C-B), T3 必修一P186-习题5.2-15 T6 必修二P238-例9 故sin2A=2 sinAsin(C-B),又sinA≠0，∴sinA=2sin(C-B), T9 必修一P43-习题2.1-8 .sin(B+C)=2sin(C-B),cos Bsin C=3sin B cosC,tanC=3tan B: T10 必修二P74-习题7.1-7 C.由B选项的法二可知s血A=2sn(C-B),故C选项错误： T12 必修二P71-例2 D.a2+2b2=2c2, T13 必修二P245-练习1 T14 2025年新课标I卷19题(1) g202c-252-1 ac 2ac T15 选必二P25-习题4.2-6 2 T16 必修一P255-复习参考题5-20 2021年乙卷7题 ◆1=则g-2 -2r-12- T18 必修二P225-复习参考题9-11，P213-例6 t 一、单项选择题： 锐角AMBC中， b2+c2>a2, b2+a2>c, 6 [2c2-a2 A B D c2>5, +a之，“器e023) 2 2c2-a2 二、多项选择题： 三、填空题： 9 10 11 AC BC ABD 12.5 13.15 14.2W2 高三数学试题答案第1页（共4页） 14题教学提示： (I)设数列{a}的公差为d(d≠0)，数列b.}的公比为q. (法一)直接法 易知∫(x)的最小正周期为2π，且是定义在R上的奇函数。 a2=1,b2=1,a3-1=1+d-1=d=q,a,-1=1+2d-1=2d=q2, 本题只求最大值，故只考虑(0，元)范围。 另了依-x)=了)，“了)关于直线x=对称，因此只考忠(0,5范围。 :.2d=d'. 2 d≠0，d=2,q=2,…2分 f(x)=3c0sx+3c0s3x=3(cost+cos3.x). 1 令国=0，则x=晋 :4,=1-2=-1,b=2 4分 当0<x<无时，了(x)>0:当<x<时，了)<0： 六an=-1+(-1)×2=2-3(n∈N),…6分 4 ÷在0孕上单清道增，在（原孕上单调递波 1 =7×2=22（n∈N)。………8 ∴fm=r原=25. (Ⅱ)an+bn=2n-3+2m2, 此处也可以通过构造角进行化简： f(x)=3(cos(2x-x)+cos(2x+x))=3x 2cos2.xcosx=6cosx(2cosx-1). :--1+2-,202”_2m,n+5e-少=x+i-2n-号 2 1人2 22 …13分 也可以直接用和差化积公式进行化简： 16.【解析】 ()3(cox+c0s3x)=6c0scos6c0s2.xco=6c0x2cos1). 2 (I)f(x)=sin2x+3(2sin2x-1)=sin 2x-3cos2x 也可以利用余弦的三倍角公式进行化简： f(x)=3(cosx+cos3x)=3(cosx+4cosx-3cosx)=-6cosx+12cos'x=6cosx(2cosx-1). …4分 (法二)正弦的三倍角公式 :∫(x)的最小正周期为T= 2π =。 ……6分 :.f(x)=3sinx+sin3x=3sinx+3sinx-4sin'x =6sinx -4sin'x 2 令1=sinr,设g)=6t-4r.易求得g0.s=2√2. (I)由)知，-2nx-} (法三)琴生不等式 “f()是在(0，上是上凸函数， 书器表了-了网图象上所有点的横坐标绝冠到限来的（纵坐标不变，餐到系数了=2如4：-引的 f(x)=3sinx+sin3x=sinx+sinx+sinx+sin(-3x)s 4sin-3x)=4sin2. 4 4 图象：再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数)=2n4红+写的图象。 当且仅当x=元-3x即x=子时取等号。 四、解答题 .g(x)=2sin 4x …10分 15.【解析】 高三数学试题答案第2页（共4页） (法-）由正弦西数的性质得-至+2≤4+号≤经+2证，ke2, 3 1.64V3163 :.$=zbcsn As2 13分 9 解得-级+≤x≤+，keZ.…12分 242 242 16V5 故S的最大值为 15分 9 18.【解析1 即g在区可子0]上的单调区同为[行可]】 …15分 (I)由题可知(0.005+0.015+0.030+2m+0.010)×10=1,解得m=0.020, 成绩不超过80分的学生所占比例为(0.005+0.015+0.030+0.020)×10=0.7， =)[副小4+ 成绩不超过90分的学生所占比例为(0.005+0.015+0.030+0.020+0.020)×10=0.9， …12分 80%分位数位于80,90)内. 由正弦孟数的性质得-≤4+≤行解-≤x≤0， 设80%分位数为x,则0.7+(x-80)×0.020=0.8,解得x=85, 估计进入决赛的分数线为85分.… 5分 即g(x)在区间 [利]上的单区为[] …15分 (Ⅱ)成绩在[50,60)和[60,70)人数之比为1：2，设成绩在[50,70)成绩平均数为：， 则2=1X54+2×66=62. 3 7分 17.【解析】 (I)在AMBc中，=5b2-a-c21=5w+c2-, -+(G-子+-别 -+(64-6@+号16+6-6a1 由余弦定理，得S=bcs加A=5 1 ×2 becosA, 2 4 10分 :sinA=3cosA,:.tanA=3 (Ⅲ)设A=“甲回答正确”，B=“乙回答正确”，C=“丙回答正确”， 3 y0<4,A=行 …5分 则P0=子=员P8UO-是 24 A,B相互独立， （I)CD=3D5,六A0-AC=34B-AD,六AD=3AB+Ac, …7分 :P(AB)=P(A)P(B),:P(B)= 3 …12分 而-西+-西+。c+.c B,C相互独立，∴P(BC)=P(B)P(C), :.P(BC)=(B)+P(C)-P(BC)=P(B)+P(C)-P()P(C)=+P(C)-P(C) 3 4-9c2+b2+3bc,…9分 16 16 16 g号 …14分 4222c2+3c V1616 =bc,当且仅当D=3c=85 1616 时取等号。 3 1-PABC)=1-1x5x191 48396 64 ..bcs …11分 91 9 ∴甲、乙、丙三人中至少一人回答正确的概率为 …17分 96 高三数学试题答案第3页（共4页） 19.【解析】 (m)由(1)知，了a=了0=1，当x>0时，cosr>1- 2 (I)f(x)的定义域为R. 由(I)知，当x>0时，f'(x)=x-s血x>0,即x>sinr. f(x)=x-sinx. 设g(x)=x-snx,则g'(x)=1-cosr20恒成立， 当0<1时，咖>0，-og0- s12 2 …14分 g(x)在R上单调递增，即∫'(x)在R上单调递增。 ……2分 .对于ieN”, 又(0)=0， 1 有1，>1 2r21 1 202>1、 2 2 202-11- =1-(3,1.…16分 ·当x>0时，f(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增： (2i+10(2i-1)2i-12i+1 tan- 当x<0时，∫'(x)<0,∴∫(x)在(-o,0)上单调递减 1 11 ∫()=∫(0)=1，…5分 (I)设切点坐标为（化，c0s,+三），斜率为了K,)=,-5nx. 10, 2 neN,“2n+1 切线方程为y-侧5，+二)=（化，-5，Xx-x).…7分 1 2 >l-l……17分 :切线过原点， tan i (os,+)=G,-snx,0-),即，sin,+0s,-号 2 x2 设(x)=sinr+cosr- ’()=(C0--1). ,c0sr-1≤0恒成立， 当x>0时，(x)≤0，∴f(x)在(0，+o)上单调递减： 当x<0时，(x)≥0，f(x)在(-0,0)上单诵递增。…9分 .h(x)=h(0)=1>0. 又：M-)==-1-之<0，注：此处未说明负授需扣1分.】 3x,∈(-元，0)，3r2∈(0，)，使得(x)=(x2)=0. 故过原点且与曲线y=了()相切的切线有两条。…11分 高三数学试题答案第4页（共4页）