期中讲义03 期中综合压轴突破（三角形+实数的初步认识+勾股定理）（13大考点专练）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

期中讲义03 期中综合压轴突破（三角形+实数的初步认识+勾股定理） （13大考点专练） 【考点一】与三角形边、角、中线、角平分线、高有关的综合问题 【考点八】实数与数轴 【考点二】全等三角形的判定与性质综合（旋转、对称、平移构造） 【考点九】实数运算与规律探究（压轴） 【考点三】线段垂直平分线、角平分线的性质与判定综合 【考点十】勾股定理的证明与面积法 【考点四】等腰、等边三角形的判定与性质综合（多结论判断） 【考点十一】勾股定理与折叠、最短路径问题 【考点五】三角形中的动态与探究问题（含分类讨论） 【考点十二】勾股定理的逆定理与判定 【考点六】平方根与立方根的综合计算 【考点十三】勾股定理综合应用 （网格、动态、实际） 【考点七】无理数的估计与实数大小比较 【考点一】 三角形 1.1 章节知识框架 模块 主要内容 地位与作用 1.1 三角形中的线段和角 三角形的边、角、三边关系、内角和定理；三角形的中线、角平分线、高 基础，为全等与等腰奠基 1.2 全等三角形 全等图形、全等三角形的对应边/对应角相等 性质是证明线段与角相等的关键 1.3 全等三角形的判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 判定与性质并重，压轴核心 1.4 线段垂直平分线与角平分线 垂直平分线性质与判定；角平分线性质与判定 用于转化线段、求周长与面积 1.5 等腰三角形 等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定；等边三角形性质与判定 与全等、勾股结合构成综合压轴 1.2 核心知识点清单 知识点 核心内容 易错点 三角形三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 漏考虑两边之差，只记一半 三角形内角和 三角形三个内角和等于180°；外角等于与它不相邻的两个内角之和 外角性质用错对象 中线 连接顶点与对边中点的线段；将三角形分成面积相等的两部分 误以为中线平分顶角 角平分线 平分内角；角平分线上的点到角两边距离相等 把“角平分线”当“中线”混用 高 从顶点向对边（或延长线）作垂线；钝角三角形的高在形外 分类讨论不全，漏形外高 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 用“S S A”误判；HL仅限直角三角形 全等性质 对应边相等、对应角相等 对应关系写错，未找准对应顶点 垂直平分线性质 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 与“角平分线”性质混淆 等腰三角形 等边对等角、三线合一；等角对等边 已知一角求另两角时未分类讨论（顶角/底角） 等边三角形 三边相等、三角均为60°；含30°角直角三角形，30°所对直角边等于斜边一半 等边判定条件不全 1.3 期中考情规律 考向 常见呈现 能力要求 全等判定与性质 证明线段/角相等、求长度角度 推理规范、辅助线构造 等腰与分类讨论 已知一角求角、多解问题 分类完整、不重不漏 角平分线/垂直平分线 与周长、面积、最值结合 性质转化、设元列式 动态与探究 特例→猜想→验证 归纳、转化、综合应用 【考点二】 实数的初步认识 2.1 章节知识框架 模块 主要内容 地位与作用 2.1 平方根 平方根、算术平方根的定义与性质、开平方 实数计算的基础 2.2 立方根 立方根的定义与性质、开立方 与平方根对照学习，拓展数域 2.3 实数 无理数、实数分类、实数与数轴、大小比较 建立完整的实数体系 2.4 近似值 近似数、有效数字、精确度、科学记数法 培养数据处理与估算能力 2.2 核心知识点清单 知识点 核心内容 易错点 算术平方根 正数a的算术平方根为（）， 把直接写成－3 平方根 正数a的平方根为；0的平方根为0；负数没有平方根 漏写正负号，或给负数开平方 立方根 ；；负数有立方根 误以为负数没有立方根 非负性 有意义； 多个非负项和为0时漏取方程 化简 ； 开方后忘取绝对值，符号出错 无理数 无限不循环小数，如、 把“循环小数”误当无理数 实数分类 实数＝有理数＋无理数；实数与数轴一一对应 分类遗漏0或负数 近似值 有效数字从左边第一个非零数字起；精确到某一位 科学记数法中有效数字的判定 2.3 期中考情规律 考向 常见呈现 能力要求 平方根/立方根计算 混合运算、化简求值 准确、规范 无理数估计 判断介于哪两个整数之间、整数与小数部分 放缩、逼近 实数大小比较 平方法、作差法、数轴比较 多策略选择 规律探究 含根号规律、程序框图、新定义 归纳、猜想、验证 【考点三】 勾股定理 3.1 章节知识框架 模块 主要内容 地位与作用 3.1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；常见证明（面积法） 求线段长的核心工具 3.2 勾股定理的逆定理 若则三角形为直角三角形；勾股数 判定直角三角形 3.3 勾股定理的简单应用 实际测量、最短路径、折叠、网格中的长度计算 综合应用与压轴载体 3.2 核心知识点清单 知识点 核心内容 易错点 勾股定理 Rt中（c为斜边） 未先判断哪边是斜边 勾股定理逆定理 直角（c最大） 未找最大边，顺序乱 勾股数 满足的正整数，如3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 把非整数或含根号误当勾股数 面积法证明 同一面积两种表示建立等式 面积拆分出错 折叠/最短路径 化折为直，展开图＋勾股 展开方式选错 3.3 期中考情规律 考向 常见呈现 能力要求 勾股定理求长 已知两边求第三边、斜边上的高 准确开方、设元 逆定理判定 判断三角形是否直角三角形 先找最大边 折叠与最值 折叠求线段、圆柱/长方体最短路径 展开图与方程 实际应用 测量、旗杆、感应门等 抽象出直角三角形 【考点一】与三角形边、角、中线、角平分线、高有关的综合问题 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则______． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为______平方厘米． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点F．若点F是的中点，，的面积为10，则点之间的距离为 _______． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，作的高； (2)在图2中，在边上求作一点，使得与的面积相等． 5．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【考点二】全等三角形的判定与性质综合（旋转、对称、平移构造） 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为_____．    7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在直角中，，，将点A绕点C顺时针旋转至D点，连接，则的面积为________． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，点B在线段上，，，射线，点C在射线上运动，将绕着点B顺时针旋转得到，连接． （1）在中，若，则________； （2）的最小值是________． 9．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图所示，海岛上有、两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，从观测点看海岛、的视角与从观测点看海岛，的视角相等，那么海岛、到观测点、所在海岸的距离相等吗？为什么？ 10．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，与相交于点E， (1)求证：； (2)若求的度数． 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证： (1)； (2)． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)_________可以通过怎样的图形变换得到？ 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：． (2)可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．其中所有正确结论的序号是_______． 【考点三】线段垂直平分线、角平分线的性质与判定综合 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，，P是平分线上一点，交于，于D，若，则___________． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，是边上的角平分线，过点作，垂足为，则的长为______． 16．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，，则_______． 17．（26-27八年级上·江苏常州·期中）解决下列问题： (1)如图①，已知是的中线，E是上的一点，，，，求的度数； (2)如图②，已知，，，，点D是边的中点，，求的值． 18．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）中，． (1)请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到的距离相等，且； (2)在（1）的条件下，若，则 ． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在中，，的垂直平分线分别交于D，E，垂足分别是M，N． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【考点四】等腰、等边三角形的判定与性质综合（多结论判断） 21．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 23．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则的周长为 ． 24．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)若，，求的长； (2)延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 25．如图，在等边三角形右侧作射线，，点关于射线的对称点为点，交于点，连接，，． (1)由对称性可知：________，________，用含的代数式表示________； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)若已知，，求的长． 26．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． (1)依题意补全图形；当， ； (2)当时，求的度数； (3)当时，探究之间的数量关系，并说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE (1)①求证：；②求的度数； (2)拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接． ①则的度数为___________°； ②判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【考点五】三角形中的动态与探究问题（含分类讨论） 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 29．（26-27八年级上·江苏常州·期中）已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作， �� �� = �� �� ．当，时，求的面积． 30．（24-25八年级上·江苏南京·期中）[问题提出] 学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究． [初步思考] 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究． [深入探究] 第一种情况：当、分别为边、上的中线时， (1)如图①，在和中，，， ①若，，求证：． ②若，，求证：． 请在①和②中任选一个证明． 第二种情况：当、分别为边、上的中线时， (2)如图②，在中，，，，用直尺和圆规画出． (3)如图③，在和中，，，，， 求证：． 31．（2024八年级上·江苏镇江·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究．如图1，和中，，，，连接BE、CD．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用．如图2，中，，，D为平面内一点，且．求的度数． 聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题．小亮先在线段BD上找到一点E，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)拓展提高．如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线BC上的一点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 【考点六】平方根与立方根的综合计算 32．（25-26八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 33．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）求下列各式中x的值： (1) (2) 34．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 35．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）解方程、计算： (1)解方程：； (2)计算：． 36．（25-26八年级上·江苏南京·期中）求下面各式中的x的值： (1)； (2)． 37．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）求式子中的值：． 38．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 39．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【考点七】无理数的估计与实数大小比较 40．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若，，则___________（填“”、“”或“”）． 41．（25-26八年级上·江苏南京·期中）写出比大且比小的整数______ （只需要写一个）． 42．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． (1)求梯子底端外移的距离（的长）； (2)试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 43．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 44．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 45．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 对于任意正整数n，因为，所以．两边同时开平方，可得． 根据以上材料，解答下列问题： (1)①______3，______4，_____5；（填“”，“”，“”） ②的整数部分是______；的整数部分是______． (2)比较与2025的大小，并说明理由； (3)若（为正整数），求x的值． 46．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【考点八】实数与数轴 47．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为_______． 48．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是____． 49．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是________． 50．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 51．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 52．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)点表示的数为______． (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 53．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【考点九】实数运算与规律探究（压轴） 54．根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 55．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）任意找一个正数，比如1234，利用计算器对它进行开平方，再对得到的算术平方根进行开平方……如此进行下去，你有什么发现？ 56．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 57．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝ ；y＝ ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈3.16，则≈ ； ②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ； （3）拓展：已知，若，则b＝ ． 【考点十】勾股定理的证明与面积法 58．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 59．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 60．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：； (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度． 61．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 62．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．    (1)请利用图①完成勾股定理的证明． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式． (3)已知，，利用上面的等式求． 63．（24-25八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【考点十一】勾股定理与折叠、最短路径问题 64．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m的路程． 65．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 66．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 67．（25-26八年级上·江苏南京·期中）长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为________． 68．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 69．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 70．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知直线为长方形的对称轴，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在对称轴上．    (1)如图，当点在边上时， ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②求的长． (2)当点在边的延长线上时，友情提醒：可在备用图上画图分析 ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②填空：此时的长为_______．(直接写出结果) 【考点十二】勾股定理的逆定理与判定 71．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 72．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 73．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，，垂足为D． (1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论． (2)若，设，，．求证：． 74．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）定义：如图，点M，N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)如图，已知M，N把线段分割成、、，若，， ，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)如图，已知点M，N是线段的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求的长． 75．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【考点十三】勾股定理综合应用（网格、动态、实际） 76．（2024八年级上·江苏宿迁·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度． 77．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 78．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离． (1)求梯子顶端距地面的高度； (2)若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________；若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________． 79．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 80．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架长2.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上（垂足为O），此时为2米． (1)求梯子底端到墙的距离的长； (2)如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离是多少米？ 81．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）将两个全等的直角三角形按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接． 请用，，分别表示出梯形、、、的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题： （2）如图③，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________． （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 82．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）【综合探究】 “在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是_______； (2)若的边长分别为，，（，且）运用构图法在图2中画出相应的，的面积是_______； (3)已知a，b均为正实数，且，求的最小值．小明同学发现可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则长分别表示为，．由于，当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题． 请在图3中，求出的长，并说明理由． 所以的最小值是_______． (4)拓展应用：代数式的最小值为_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中讲义03 期中综合压轴突破（三角形+实数的初步认识+勾股定理） （13大考点专练） 【考点一】与三角形边、角、中线、角平分线、高有关的综合问题 【考点八】实数与数轴 【考点二】全等三角形的判定与性质综合（旋转、对称、平移构造） 【考点九】实数运算与规律探究（压轴） 【考点三】线段垂直平分线、角平分线的性质与判定综合 【考点十】勾股定理的证明与面积法 【考点四】等腰、等边三角形的判定与性质综合（多结论判断） 【考点十一】勾股定理与折叠、最短路径问题 【考点五】三角形中的动态与探究问题（含分类讨论） 【考点十二】勾股定理的逆定理与判定 【考点六】平方根与立方根的综合计算 【考点十三】勾股定理综合应用 （网格、动态、实际） 【考点七】无理数的估计与实数大小比较 【考点一】 三角形 1.1 章节知识框架 模块 主要内容 地位与作用 1.1 三角形中的线段和角 三角形的边、角、三边关系、内角和定理；三角形的中线、角平分线、高 基础，为全等与等腰奠基 1.2 全等三角形 全等图形、全等三角形的对应边/对应角相等 性质是证明线段与角相等的关键 1.3 全等三角形的判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 判定与性质并重，压轴核心 1.4 线段垂直平分线与角平分线 垂直平分线性质与判定；角平分线性质与判定 用于转化线段、求周长与面积 1.5 等腰三角形 等腰三角形性质（等边对等角、三线合一）与判定；等边三角形性质与判定 与全等、勾股结合构成综合压轴 1.2 核心知识点清单 知识点 核心内容 易错点 三角形三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 漏考虑两边之差，只记一半 三角形内角和 三角形三个内角和等于180°；外角等于与它不相邻的两个内角之和 外角性质用错对象 中线 连接顶点与对边中点的线段；将三角形分成面积相等的两部分 误以为中线平分顶角 角平分线 平分内角；角平分线上的点到角两边距离相等 把“角平分线”当“中线”混用 高 从顶点向对边（或延长线）作垂线；钝角三角形的高在形外 分类讨论不全，漏形外高 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 用“S S A”误判；HL仅限直角三角形 全等性质 对应边相等、对应角相等 对应关系写错，未找准对应顶点 垂直平分线性质 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 与“角平分线”性质混淆 等腰三角形 等边对等角、三线合一；等角对等边 已知一角求另两角时未分类讨论（顶角/底角） 等边三角形 三边相等、三角均为60°；含30°角直角三角形，30°所对直角边等于斜边一半 等边判定条件不全 1.3 期中考情规律 考向 常见呈现 能力要求 全等判定与性质 证明线段/角相等、求长度角度 推理规范、辅助线构造 等腰与分类讨论 已知一角求角、多解问题 分类完整、不重不漏 角平分线/垂直平分线 与周长、面积、最值结合 性质转化、设元列式 动态与探究 特例→猜想→验证 归纳、转化、综合应用 【考点二】 实数的初步认识 2.1 章节知识框架 模块 主要内容 地位与作用 2.1 平方根 平方根、算术平方根的定义与性质、开平方 实数计算的基础 2.2 立方根 立方根的定义与性质、开立方 与平方根对照学习，拓展数域 2.3 实数 无理数、实数分类、实数与数轴、大小比较 建立完整的实数体系 2.4 近似值 近似数、有效数字、精确度、科学记数法 培养数据处理与估算能力 2.2 核心知识点清单 知识点 核心内容 易错点 算术平方根 正数a的算术平方根为（）， 把直接写成－3 平方根 正数a的平方根为；0的平方根为0；负数没有平方根 漏写正负号，或给负数开平方 立方根 ；；负数有立方根 误以为负数没有立方根 非负性 有意义； 多个非负项和为0时漏取方程 化简 ； 开方后忘取绝对值，符号出错 无理数 无限不循环小数，如、 把“循环小数”误当无理数 实数分类 实数＝有理数＋无理数；实数与数轴一一对应 分类遗漏0或负数 近似值 有效数字从左边第一个非零数字起；精确到某一位 科学记数法中有效数字的判定 2.3 期中考情规律 考向 常见呈现 能力要求 平方根/立方根计算 混合运算、化简求值 准确、规范 无理数估计 判断介于哪两个整数之间、整数与小数部分 放缩、逼近 实数大小比较 平方法、作差法、数轴比较 多策略选择 规律探究 含根号规律、程序框图、新定义 归纳、猜想、验证 【考点三】 勾股定理 3.1 章节知识框架 模块 主要内容 地位与作用 3.1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；常见证明（面积法） 求线段长的核心工具 3.2 勾股定理的逆定理 若则三角形为直角三角形；勾股数 判定直角三角形 3.3 勾股定理的简单应用 实际测量、最短路径、折叠、网格中的长度计算 综合应用与压轴载体 3.2 核心知识点清单 知识点 核心内容 易错点 勾股定理 Rt中（c为斜边） 未先判断哪边是斜边 勾股定理逆定理 直角（c最大） 未找最大边，顺序乱 勾股数 满足的正整数，如3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 把非整数或含根号误当勾股数 面积法证明 同一面积两种表示建立等式 面积拆分出错 折叠/最短路径 化折为直，展开图＋勾股 展开方式选错 3.3 期中考情规律 考向 常见呈现 能力要求 勾股定理求长 已知两边求第三边、斜边上的高 准确开方、设元 逆定理判定 判断三角形是否直角三角形 先找最大边 折叠与最值 折叠求线段、圆柱/长方体最短路径 展开图与方程 实际应用 测量、旗杆、感应门等 抽象出直角三角形 【考点一】与三角形边、角、中线、角平分线、高有关的综合问题 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，D为边的中点，E为边的三等分点，线段、交于F，若，则______． 【答案】/0.5 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】设，，根据为边的中点得出，，，根据为边的三等分点得出，，再列出关于、的方程组，求解即可． 【详解】解：设，， 为边的中点， ∴，，， 为边的三等分点， ∴，， ， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线和高，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，已知点D，E，F分别是，，的中点，且平方厘米，则的值为______平方厘米． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线的性质，根据中线平分三角形面积，可得，，然后求出的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵点D，E，F分别是，，的中点， ，， ∵平方厘米， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点F．若点F是的中点，，的面积为10，则点之间的距离为 _______． 【答案】10 【知识点】折叠问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查翻折性质、三角形的中线性质，利用面积求高是解决本题的关键．根据题意连接交于，根据翻折性质得，，继而得到，继而利用面积公式求出本题答案． 【详解】解：连接交于， ， ∴，， ∵的面积为10，点F是的中点，沿着翻折，得到， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 故答案为：10． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，作的高； (2)在图2中，在边上求作一点，使得与的面积相等． 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所求； (2) 解：如图所示，点即为所求： 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂线，三角形高的定义，三角形中线的定义与性质； （1）过点作的垂线交于点，线段即为所求； （2）作的垂直平分线交于点，连接，则点即为所求； 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的判定定理、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 【考点二】全等三角形的判定与性质综合（旋转、对称、平移构造） 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，将绕点旋转得到，若点的坐标为，则点A的坐标为_____．    【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、坐标系中的旋转、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的判断与性质等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 分别过点和点作y轴的垂线，构造出全等三角形即可解答． 【详解】解：如图：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为D、E，    ∵，， ∴，，即， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∴ ∴点A的坐标为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在直角中，，，将点A绕点C顺时针旋转至D点，连接，则的面积为________． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质，掌握证明三角形全等，得出边的长度是解题的关键．根据题意，过点作交延长线于，证明，则有，由此即可求解． 【详解】解：将点A绕点C顺时针旋转至D点， ∴，， 过点作交延长线于，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，点B在线段上，，，射线，点C在射线上运动，将绕着点B顺时针旋转得到，连接． （1）在中，若，则________； （2）的最小值是________． 【答案】 4 【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，旋转性质，全等三角形判定及性质等． （1）根据旋转性质可得，再利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意将顺时针旋转到，则为等边三角形，证明，再利用全等三角形性质即可得到本题答案． 【详解】解：（1）∵， ∵绕着点B顺时针旋转得到， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4； （2）将顺时针旋转到，则为等边三角形， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图所示，海岛上有、两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点的正北方，海岛在观测点的正北方，从观测点看海岛、的视角与从观测点看海岛，的视角相等，那么海岛、到观测点、所在海岸的距离相等吗？为什么？ 【答案】 相等． 理由：设与交于点． ，， 由三角形的内角和定理，得． 又， 在和中， ， ， ， 海岛、到观测点、所在海岸的距离相等． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是涉及三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．关键是证明≌，从而求得． 由方位可以得出，而已知视角视角，公共边，容易得出≌，所以． 【详解】略 10．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，与相交于点E， (1)求证：； (2)若求的度数． 【答案】(1) 解：∵， ∴， ∴； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合对顶角相等以及，即可证明，故； （2）先根据三角形内角和为，求出，结合全等三角形的性质，故，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， ∵， ∴． 11．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：， 和是直角三角形， 在和中， ， ； (2) 证明：在和中， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记直角三角形全等的判定定理、三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)_________可以通过怎样的图形变换得到？ 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)沿方向． 【知识点】两直线平行同位角相等、用SAS证明三角形全等（SAS）、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平行线的性质，平移的性质，全等三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”即可求证； （）根据平移性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：沿方向平移可以通过怎样的图形变换得到， 故答案为：沿方向． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点在同一条直线上，． (1)求证：． (2)可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】(1) 证明：， ， 即． 在和中， ， ． ． (2)①② 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、画轴对称图形、平移(作图)、画旋转图形 【分析】（1）先根据线段的和差可得，证出，再根据三角形全等的性质定理即可得证； （2）根据翻折，旋转，平移的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：可以看作是绕与的交点旋转得到，①正确． 可以看作是延垂直于且过中点的直线翻折，再延线段向下翻折得到，②正确． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、翻折，旋转，平移的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 【考点三】线段垂直平分线、角平分线的性质与判定综合 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，，P是平分线上一点，交于，于D，若，则___________． 【答案】16 【知识点】含30度角的直角三角形、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， 是平分线上一点，， ， ， ， 故答案为：16． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，是边上的角平分线，过点作，垂足为，则的长为______． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，过点作于点，由，可得，根据勾股定理求出，由角平分线的性质得到，利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， 平分，，， ， ， ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E，连接，若，，则_______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角和三角形内角和定理可推出，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 17．（26-27八年级上·江苏常州·期中）解决下列问题： (1)如图①，已知是的中线，E是上的一点，，，，求的度数； (2)如图②，已知，，，，点D是边的中点，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）延长到F，使，连接，设，证明和全等得，，则，再根据得，进而根据三角形外角性质得，在中，由三角形内角和定理得，由此解得，进而可得出的度数； （2）延长到H，使，连接，，先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而得，证明和全等得，，进而得，则，设，则，证明是线段的垂直平分线得，在中，由勾股定理得，则，在中，再由勾股定理得，继而得，由此可得出的值． 【详解】（1）解：延长到F，使，连接，如图①所示： 设， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：延长到H，使，连接，，如图2所示： 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即，为斜边， 即， ∵点D是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 设，则， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）中，． (1)请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到的距离相等，且； (2)在（1）的条件下，若，则 ． 【答案】(1) 如图：点P即为所求． (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作图成为解题的关键． （1）分别作的平分线和线段的垂直平分线，它们的交点即为点P； （2）设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点E，于点F，连接、，则可得，由角平分线的性质可得．利用勾股定理求出的长，根据可求出的长，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点E，于点F，连接、， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为的平分线， ∴． ∵，， ∴． 设， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在中，，的垂直平分线分别交于D，E，垂足分别是M，N． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的周长为12 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）线段垂直平分线的性质得出，，从而可得的周长，进而求得的周长为12； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据等边对等角得出，，从而可求得，进而根据求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，（线段垂直平分线的性质）， ∴的周长， ∵， ∴的周长为12； （2）在中，， ∴， ∵，， ∴，（等边对等角）， ∴（等量代换）， ∴． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，交延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1) 证明：是线段AB的垂直平分线， ， ； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段垂直平分线的性质得出相等边，然后利用等边对等角即可； （2）根据等边对等角以及三角形的内角和定理求出，然后借助（1）的结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）可知：， ． 【考点四】等腰、等边三角形的判定与性质综合（多结论判断） 21．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1) 证明：，， ， ， 平分， ， ， 即， ． (2)8 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）依据，，即可得到，再根据平分，可得，进而得出，根据等腰三角形的性质即可得到结论． （2）根据含的直角三角形的性质可求得长，根据已知条件可证明为等边三角形，则可求长，则可求． 【详解】（1）略 （2）解：，， ，， 中，， 中，， ，， ∴为等边三角形， ∴ ． 22．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (2) ∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 23．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，，垂足为点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则的周长为 ． 【答案】(1) 证明：是等边三角形，是中线， ，且平分，， ∴， ， ， ， ， 则， ， 即是等腰三角形； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）先由等腰三角形三线合一可得，且平分，则，根据等边三角形，可知，由等腰三角形性质及外角性质求得即可得证； （2）在中，由含直角三角形性质求出，再由等边三角形性质求周长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，则， ， ， 是中线， ， 则的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形性质、直角三角形两锐角互余、含直角三角形性质等知识，熟记等边三角形的性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 24．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，． (1)若，，求的长； (2)延长，与直线相交于点，连接．若，试说明是等边三角形． 【答案】(1) (2) 解：如图所示． 的垂直平分线分别交，于点，， ． ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，由的垂直平分线分别交，于点，，可得，已知，，，利用勾股求得，设，则，利用勾股定理求得即可． （2）由的垂直平分线分别交，于点，，可得，由，可得，根据等角的余角相等，可得，进一步证得，所以，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示． 在中，，，， ． 的垂直平分线分别交，于点，， ． 设，则， ， ， ， ． （2）略 25．如图，在等边三角形右侧作射线，，点关于射线的对称点为点，交于点，连接，，． (1)由对称性可知：________，________，用含的代数式表示________； (2)在的变化过程中，的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出的范围；如果不发生变化，请直接写出的大小； (3)若已知，，求的长． 【答案】(1)，， (2)的大小不发生变化，且 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）点A关于射线的对称点为点D，连接，由轴对称的性质可得，，由是等边三角形可得，进一步即得，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果； （2）利用三角形内角和定理得到，利用平角的定义得到的度数，再通过证明得到，即可得出结论； （3）在上取点F使得，连接，由（2）得，则是等边三角形，，再通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，点A关于射线的对称点为点D，连接， ，， 是等边三角形， ， ， （2）不发生变化，如图，设与交于点O， ， ， 又， ， ， ， ， ， 的大小不发生变化，且； （3）如图，在上取点F使得，连接， 由（2）得，，， 是等边三角形，， ， ， ，即， 又， ， ， ． 26．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． (1)依题意补全图形；当， ； (2)当时，求的度数； (3)当时，探究之间的数量关系，并说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 【答案】(1) 如图所示； (2) (3) 解：，证明如下： 在上截取，如图： 是等边三角形， ， 由对称可知：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 由对称可知：，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (4)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）依题意补全图形；根据轴对称可知：，得出，则可得出答案； （2）由等腰三角形的性质可求的度数，由外角性质可求解； （3）在上截取，由对称可知：，得出，则，证明，得出，则可得出结论； （4）分三种情况，由等腰三角形的性质及轴对称的性质可得出答案． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 根据轴对称可知：， ，， ； （2）解：由对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 （4）解：分以下三种情况： ①当时，延长交于点，如图所示： ，， 垂直平分，即垂直平分， 为等边三角形， ， ， 根据轴对称可知：； ②当时，如图： 根据轴对称可知：， ， 是等边三角形， ， ； ③当时，如图： ，， 垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， 三点在同一条直线上， （不合题意，舍去）， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE (1)①求证：；②求的度数； (2)拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接． ①则的度数为___________°； ②判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明：和均为等边三角形， ，，， ， ． 在和中， ， ， ； ② (2)①；②，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等边对等角 【分析】（1）①由条件和均为等边三角形，易证，从而得到对应边相等，即； ②根据，可得，由点，，在同一直线上，可求出，从而可以求出的度数即可； （2）①首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出的度数为； ②根据，，，可得，所以，据此判断出． 【详解】（1）①略 ②解：， ， 为等边三角形， ， 点、、在同一直线上， ， ； （2）解：①和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 点，，在同一直线上， ， ， ， 故答案为：； ②． 理由：如图2，，，， ∴，，， ， ， （已证）， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【考点五】三角形中的动态与探究问题（含分类讨论） 28．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【答案】（1）45，40； （2）， ． 是的外角， ， ． 又由折叠可知，， ． 同理：． ． ， 即． （3）①；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）利用三角形外角，等腰三角形的判定与性质进行计算即可； （2）利用三角形和轴对称图形的知识进行证明即可； （3）①由三角形外角得，，故，即，再换算即可． ②由三角形外角得，，故，又，再换算即可． 【详解】解：问题解决（1），若点恰好与点重合， 为等腰直角三角形， ； ， ， ， 故答案为：45，40； （2）略 迁移应用（3）①， 理由： ，， ， ， 即， ， ． ②如图： ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称图形，三角形外角性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，利用对称是解答关键． 29．（26-27八年级上·江苏常州·期中）已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作， �� �� = �� �� ．当，时，求的面积． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立；理由如下： 如图2，连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等边对等角 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：连接， 分两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图3， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图4， 由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 30．（24-25八年级上·江苏南京·期中）[问题提出] 学习了三角形全等的判定方法，我们继续对“两个等腰三角形满足一边和一边上的中线对应相等”的情形进行研究． [初步思考] 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，然后，对中线进行分类，可分为“底边上的中线、腰上的中线”两种情况进行探究． [深入探究] 第一种情况：当、分别为边、上的中线时， (1)如图①，在和中，，， ①若，，求证：． ②若，，求证：． 请在①和②中任选一个证明． 第二种情况：当、分别为边、上的中线时， (2)如图②，在中，，，，用直尺和圆规画出． (3)如图③，在和中，，，，， 求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、尺规作图——作三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后证明，得到，进一步证明即可； （2）先以线段m，a和为边作，再将延长到B，使，连接，即得到所求； （3）作，设，则，根据勾股定理表示出，，进而得到，然后利用证明即可． 【详解】（1）解：选择①，证明如下： ∵，，、分别为边、上的中线 ∴， ∴在和中， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）如图②，作法：1．作线段a的垂直平分线交线段a于点P，得到线段a的中点P， 2．作线段， 3．分别以点C和点M为圆心，以a和为半径画弧，两弧交于点A， 4．作射线，并在射线上截取， 5．连接 就是所求作的三角形； （3）如图所示，作， ∴ 设，则 ∵ ∴∴ ∴ 同理可得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定方法，等腰三角形的性质，尺规作图，勾股定理等知识，正确的掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 31．（2024八年级上·江苏镇江·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究．如图1，和中，，，，连接BE、CD．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用．如图2，中，，，D为平面内一点，且．求的度数． 聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题．小亮先在线段BD上找到一点E，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)拓展提高．如图3，是等腰直角三角形，斜边，点D是射线BC上的一点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰（点A、D、E按逆时针方向排列），若，直接写出的值． 【答案】(1) 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 解：如图所示，在线段上找到一点E，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)125或425 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等边对等角 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，等边对等角等等： （1）先证明，再利用即可证明 （2）如图所示，在线段BD上找到一点E，使得，先证明，进而证明得到，求出，进而得到，则； （3）分当点D在线段上时，连接，当点D在线段的延长线上时，连接，两种情况先求出的长，再证明，得到，证明，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，当点D在线段上时，连接， ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时，连接， ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为125或425． 【考点六】平方根与立方根的综合计算 32．（25-26八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根，立方根求解方程； （1）利用平方根进行求解即可； （2）利用立方根进行求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解：， ， ， 解得：． 33．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、利用平方根解方程 【分析】本题考查的是利用平方根，立方根的含义解方程，掌握解方程的方法与步骤是解本题的关键； （1）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可； （2）利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：． （2）解：， 或， 解得：或． 34．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根解方程，立方根解方程． （1）根据立方根解方程即可； （2）根据平方根解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或 35．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）解方程、计算： (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、负整数指数幂、利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根解方程，立方根，负整数指数幂． （1）先移项，再两边除以4，利用平方根解方程即可； （2）先计算算术平方根、绝对值、立方根、负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ． 36．（25-26八年级上·江苏南京·期中）求下面各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查整式方程，二次方根、三次方根的计算方法，先化简被开方数，再结合方根的定义和性质求解是解题关键． （1）移项，等式两边同除以8，根据平方根的定义求解即可； （2）移项，等式两边同乘2，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：． （2）解：， ， ， ． 故答案为：． 37．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）计算：； （2）求式子中的值：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂、求一个数的算术平方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查实数的运算，利用平方根的定义解方程，掌握相应的定义、公式及运算顺序是解题的关键． （1）先根据算术平方根，立方根及零指数幂将原式化简，再进行加减运算； （2）将原式转化为，再利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂、求一个数的算术平方根、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂、算术平方根、立方根、负整数指数幂、绝对值的相关运算，解题的关键是熟练掌握各运算的基本法则并准确化简． 先分别化简各小题中的零指数幂、根式、负整数指数幂及绝对值，再按照实数的加减运算法则计算结果． 【详解】（1）解： （2）解： 39．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查实数计算及解方程，涉及去绝对值、算术平方根、立方根等知识，熟记相关定义是解决问题的关键． （1）先分别去绝对值、计算算术平方根、立方根，再由有理数加减运算计算即可得到答案； （2）由立方根定义解方程即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 则， 解得． 【考点七】无理数的估计与实数大小比较 40．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若，，则___________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小． 估算的大小，即可解答． 【详解】解：， ， ，即， 故答案为：． 41．（25-26八年级上·江苏南京·期中）写出比大且比小的整数______ （只需要写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查无理数比较大小，掌握夹逼法比较无理数大小是解决问题的关键． 通过比较平方数的大小关系，确定介于和之间的整数． 【详解】解：， ， 则比大且比小的整数为， 故答案为：（答案不唯一）． 42．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． (1)求梯子底端外移的距离（的长）； (2)试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离， 理由：，理由要比较与的大小， 只需比较与的大小，即比较与的大小， ∵，，且， ∴， ∴，即． 答：梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离． 【知识点】无理数的大小估算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是利用勾股定理求水平距离，通过平方比较无理数的大小来判断长度关系． （1）先在中求，再求下滑后的长度，在中求，由得外移距离； （2）通过比较与的平方大小，推导与的大小关系． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：梯子底端外移的距离为． （2）略 43．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 【答案】(1)； (2) (3)证明：∵， ∴， ∴． 【知识点】实数的大小比较、求一个数的算术平方根 【详解】（1）解：；； （2）解：当时，， ∴； （3）略 44．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）先阅读下面的文字，再回答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，所以将减去其整数部分，所得的差就是的小数部分．例如：，即．的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)； (3)的值是． 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算与运算． （1）先根据无理数的估算即可求解； （2）先根据无理数的估算求出a、b的值，再代入求解即可； （3）先根据无理数的估算，再根据整数性和求出x、y的值，再代入计算有理数的减法，然后根据相反数的定义即可得． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4，； （2）解：，， ，， 即，， 的小数部分为，即， 的整数部分为3，即， 则； （3）解：， ，即， ， ， 是整数，且 则的值是． 45．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 对于任意正整数n，因为，所以．两边同时开平方，可得． 根据以上材料，解答下列问题： (1)①______3，______4，_____5；（填“”，“”，“”） ②的整数部分是______；的整数部分是______． (2)比较与2025的大小，并说明理由； (3)若（为正整数），求x的值． 【答案】(1)①，，；②2，3； (2)， 理由：由任意正整数n，有，而， ， 即； 故答案为：； (3)x的值为1，2，． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，完全平方公式的应用． （1）①根据作答即可； ②根据无理数的估算方法作答即可； （2）根据作答即可； （3）两边平方得到，求出，进而作答即可． 【详解】（1）解：①由任意正整数n，有， 所以，，， 故答案为：，，； ②，而，所以的整数部分是2； ，而，所以的整数部分是3； 故答案为：2，3； （2）略 （3）解：， ， ， 解得， 可取的正整数值为：1，2，． 46．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为83的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 又，． 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为______； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2) 解：设，其中， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ， 由图形可得：， ∵， ∴， 当时，假设忽略不计，得， 解得：， ∴． 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）估算出即可得解； （2）设，其中，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，由图形可得，结合，得出，当时，假设忽略不计，得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分的值为； （2）略 【考点八】实数与数轴 47．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在数轴上画一个直角边分别为2和1的直角三角形，以其中一个锐角的顶点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则点P对应的数为_______． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查数轴上点的运算及勾股定理，根据勾股定理求出，再根据点P在数轴上的位置，确定点P表示的数即可． 【详解】解：如图， 根据勾股定理，得， 由作图知：， ∵点A表示的数为1， ∴点P表示的数为， 故答案为：． 48．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是____． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出的长，据此得出点P到原点的距离即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ， 则点P到原点的距离为：， 所以点P表示的数为：， 故答案为：． 49．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是2，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是________． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键． 根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴在，， ∴， ∵点A对应的数是， ∴点D表示的数是， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)； (3)的算术平方根为． 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、实数与数轴 【分析】（1）根据题意可知比小2，即可求解； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，可得，即可得，求算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴实数的值是． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． ∴的值为． （3）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，代数式求值，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求算术平方根． 51．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 52．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）借助勾股定理，我们可以在数轴上找到一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，等腰直角三角形的直角边长为1个单位长度，以原点为圆心，斜边长为半径画弧与数轴交于点，则点对应的数为． 拓展思考：如图2，改变图1中三角形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段，其中仍在原点，点在原点的左侧，可由线段的长得到点所表示的无理数，按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： (1)点表示的数为______． (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图3中画出裁剪线，并在图4的框中画出所拼得的大正方形的示意图 (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)如同： (3) 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片， 理由：正方形纸片的面积为，故其边长为． 设长方形的宽为，则长为， 由面积得：，即，解得， ∴长方形的长为． ∵，，且， ∴，即长方形的长超过了正方形的边长． 答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴、用勾股定理构造图形解决问题、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理的应用、数轴上无理数的表示，解题的关键是结合图形构造的线段长度，确定数轴上点对应的数． （1）根据图2中直角三角形的边长，结合圆弧的圆心与半径，确定点B表示的数； （2）由小正方形总面积确定大正方形边长，进行裁剪拼接； （3）通过计算长方形与正方形的边长，判断能否裁出． 【详解】（1）解：图2中，构造的直角三角形直角边长为1，由勾股定理得斜边长为， 以数轴上表示1的点为圆心，为半径画弧，交原点左侧的数轴于点B， 则点B表示的数为． 故答案为：． （2）解：5个小正方形的总面积为，故大正方形的边长为． 裁剪线：在图3中，将右上角小正方形沿对角线裁剪为两个直角三角形，再分割左侧的正方形（裁剪线如下图左所示）； 拼接示意图：将裁剪后的部分拼接成边长为的正方形（如下图右所示）． （3）略 53．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【阅读理解】求的近似值（结果精确到0.01）． 小丽是这样做的： 解：因为，所以设，则，即．因为，所以，因为比较小可以忽略不计，所以，解得，即的近似值为10.15． (1)小强看了小丽的解法，想到了是否可以用，求的近似值．他的做法如下： 解：设，则，即…… 请你继续完成小强的解答过程，并比较谁求出的近似值精确度更高（）． 【理解应用】 (2)请你思考两位同学的做法后，选择合适的方法，求的近似值（结果精确到0.01）． 【答案】(1)小强的近似值为10.18，小丽的近似值精确度更高 (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求一个数的近似数、无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式是正确解答的关键． （1）利用题目所提供的方法进行计算即可； （2）估算无理数的大小，设，得到，忽略，求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， 即， ， ． 比较小可以忽略不计， ，解得． 即的近似值为． ∴小丽的精确度较高． （2）由于，可设， ， 即， 由于，， 由于较小，忽略不计， ，解得， ∴． 【考点九】实数运算与规律探究（压轴） 54．根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 55．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）任意找一个正数，比如1234，利用计算器对它进行开平方，再对得到的算术平方根进行开平方……如此进行下去，你有什么发现？ 【答案】对于任意一个正数，经过若干次求算术平方根后，最终所得结果一定无限接近1或等于1 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、计算器——平方根和立方根 【分析】利用计算器对大于1的数（如1234），小于1的数（如0.7）以及1本身进行求若干次算术平方根，根据所得结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 大于1的数，如：1234， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 大于0小于1的数，如：0.7， ， ， ， ， ， ， 对于1本身而言，， 由此可得：对于任意一个正数，经过若干次求算术平方根后，最终所得结果一定无限接近1或等于1． 【点睛】本题主要考查了利用计算器求算术平方根以及对规律性的总结，熟练掌握算术平方根的意义是解决本题的关键． 56．（25-26八年级上·江苏南京·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 57．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝ ；y＝ ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈3.16，则≈ ； ②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ； （3）拓展：已知，若，则b＝ ． 【答案】（1）0.1，10；（2）31.6，32400；（3）0.012 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】解：（1）x＝0.1，y＝10， 故答案为0.1，10； （2）①∵≈3.16， ∴＝31.6， ②＝1.8， ∴a＝32400， 故答案为：31.6，32400； （4）∵， ∴b＝0.012， 故答案为：0.012 【点睛】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． 【考点十】勾股定理的证明与面积法 58．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理． (1)写出你的证明过程； (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1) 证明：五边形的面积拆分为正方形、三角形与三角形的面积和， 即 五边形的面积也拆分为正方形、正方形、三角形与三角形的面积和， 即 ∵两种方法表示的面积相等， ∴， 两边消去，得，即勾股定理得证． (2) 【知识点】勾股定理的证明方法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了勾股定理的面积法证明及组合图形的面积拆分计算，解题的关键是将五边形面积拆分为不同基本图形（正方形、矩形、三角形）的面积和，通过面积相等建立等式推导勾股定理，再利用勾股定理计算空白部分面积． （1）将五边形的面积用两种不同的基本图形组合方式表示，建立等式，化简得勾股定理． （2）空白部分面积为正方形的面积减去两个直角三角形的面积，结合勾股定理将其转化为，代入、的值计算． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分（正方形的面积为， 由⑴结论，代入得空白部分面积为 当，时，原式 答：空白部分的面积为． 59．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1) 由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． (2)26 【知识点】勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）略 （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 60．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：； (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度． 【答案】(1) 验证：∵外面大正方形的面积， 外面大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ， 整理，得 ； (2) 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的证明以及应用； （1）用不同方法表示出外面大正方形的面积，再根据面积相等列出等式，整理即可证明出结论； （2）先根据勾股定理先求出，再根据等面积法即可求出的长度． 【详解】（1）略 （2）在中，，，， 由勾股定理，得， 是边上的高， ， ． 61．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1) 解：根据题意得， ， 则； (2)120 (3)9 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 62．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．    (1)请利用图①完成勾股定理的证明． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式． (3)已知，，利用上面的等式求． 【答案】(1) 证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为， 图中大正方形的面积为 或， ， 即； (2) (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式的几何应用，能正确表示出各个部分的面积和体积是解此题的关键． （1）两种方法表示出图中大正方形的面积为或，即可得解； （2）表示出图形的体积为或，即可得解 （3）根据（2）可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：图形的体积为：或， ， ； （3）解：，，， ， 解得：． 63．（24-25八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】(1) 证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 如图所示，    25，25 (3)20 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； （3）如图所示，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 【考点十一】勾股定理与折叠、最短路径问题 64．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______m的路程． 【答案】17 【知识点】用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 将半圆柱的凸起部分展平，则线段的长度为半圆周长，根据勾股定理即可解得． 【详解】解：如图，将半圆柱的凸起部分展平，得到线段、，连接． 半圆柱的底面直径为， 半圆周长为． ， ． ， 在中，． 蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：17． 65．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上，．现在用一根细线按如图所示方式从底面顶点开始经过3个侧面连接到点，那么所用细线最短需要_______． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用；先将长方体的侧面展开，再根据“两点之间线段最短”和勾股定理计算得出结果即可． 【详解】解：将长方体展开，连接，如图， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在棱上， 且， ∴， 根据两点之间线段最短，； 故答案为：． 66．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点A与点B重合，折痕为，，，，则折痕的长为_______． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 连接，由折叠的性质得，，，，进而得到，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再在利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 67．（25-26八年级上·江苏南京·期中）长方形纸片中，，，按如图所示方式折叠，使点与点重合，折痕交和于点，则的长为________． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质知，设，在，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知：， 设，则， 在，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 故答案为：． 68．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 【答案】(1)点即为所求； (2)如图所示： 的面积为 【知识点】作角平分线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求, ，设，根据勾股定理可得，即可解得的长； （2）作的角平分线交于点，过点作于，再证明，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于， 设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）如图所示：作的角平分线交于点，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查作垂线，作角平分线，折叠的性质, 勾股定理及应用；熟练掌握基本作图是解题的关键． 69．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 【答案】(1)45 (2) 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）由知，结合点落在边上知，从而得出答案； （2）由折叠得出，再由得出，从而得知，可得，设，则，在中，由得到关于的方程，解之可得． 【详解】（1）解：由题意知， ， 点落在边上时，， ， 故答案为：45； （2）如图2，由题意知， 四边形是长方形， ， ， ， ， 设，则， 在中，由得： ， 解得，即． 【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键． 70．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知直线为长方形的对称轴，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在对称轴上．    (1)如图，当点在边上时， ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②求的长． (2)当点在边的延长线上时，友情提醒：可在备用图上画图分析 ①填空：点到边的距离是；直接写出结果 ②填空：此时的长为_______．(直接写出结果) 【答案】(1)①；②为 (2)①；② 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质，轴对称的性质； （1）设直线交于点，交于点，①当点在边上，则点在线段上，由矩形的性质得，，由轴对称的性质得，，，，则，由折叠得，，勾股定理求得即可求解； ②先求得，则，再根据勾股定理列方程得，求得； （2）①点在边的延长线上，则点线段的延长线上，，则，于是得到问题的答案； ②由勾股定理得，而，，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：设直线交于点，交于点， ①如图，点在边上，则点在线段上，   四边形是矩形，，， ，， 直线是长方形的对称轴， ，，，， ，， 由折叠得，， ， 点'到边的距离是， 故答案为：． ②，，， ， ， ，且， ， 解得， 的长为． （2）①如图，点在边的延长线上，则点线段的延长线上，   ，，， ， 点到边的距离是， 故答案为：． ②， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 【考点十二】勾股定理的逆定理与判定 71．（25-26八年级上·江苏常州·期中）已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）略 72．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【答案】(1)40，41；48，50 (2) 证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【详解】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）略 73．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，，垂足为D． (1)若，，，那么是直角三角形吗？证明你的结论． (2)若，设，，．求证：． 【答案】(1) 是，证明如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴； ∴是直角三角形； (2) 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴，，； ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握两个定理是解题的关键： （1）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可； （2）根据勾股定理，结合完全平方公式即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 74．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）定义：如图，点M，N把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)如图，已知M，N把线段分割成、、，若，， ，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)如图，已知点M，N是线段的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求的长． 【答案】(1) 点、是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，，，， ∴， ∴ 以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴ 点、是线段的勾股分割点． (2)或 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）分两种情况进行讨论，①当为最大线段时，②当为最大线段时，分别求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则． ① 当为最大线段时， 根据题意得：， 即， 解得：； ② 当为最大线段时， 根据题意得：， 即， 解得：； 综上所述，的长为或． 75．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）略 【考点十三】勾股定理综合应用（网格、动态、实际） 76．（2024八年级上·江苏宿迁·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米．求风筝的垂直高度． 【答案】米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得即可求解．理解题意，掌握用勾股定理测高度是解答的关键． 【详解】解：根据题意，，米，米， ∴（米）， ∴（米）． 77．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 78．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，长的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离． (1)求梯子顶端距地面的高度； (2)若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________；若梯子顶端A沿墙面向下滑动，则梯子底端B向右滑动_________． 【答案】(1) (2)0.5， 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的实际运用，理解并熟练运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接利用勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，； （2）解：如图，梯子顶端A沿墙面向下滑动，即 ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 故答案为：0.5，． 79．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，． (1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求图书室E到居民区A的距离． 【答案】(1) 如图，点E即为所求作． (2) 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用： （1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作； （2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得： 图书室E到居民区A的距离为． 80．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，一架长2.5米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上（垂足为O），此时为2米． (1)求梯子底端到墙的距离的长； (2)如果梯子的顶端点A向下移动0.5米至点C处，那么梯子的底端向右移动的距离是多少米？ 【答案】(1)1.5米 (2)0.5米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得米； （2）由题意得米，米，在中，根据勾股定理可得米，进而可得米． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得中，，米，米， ∴（米）． （2）解：由题意得米，米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）． 81．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）将两个全等的直角三角形按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接． 请用，，分别表示出梯形、、、的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题： （2）如图③，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________． （3）如图④，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1），，，， 证明：∵与是两个全等的直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题、勾股定理的证明方法、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据梯形的面积公式即可得到结论； （2）先计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：设边上的高为， ∵小正方形边长为， ∴，， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵在中，是边上的高，，，，设， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 82．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）【综合探究】 “在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是_______； (2)若的边长分别为，，（，且）运用构图法在图2中画出相应的，的面积是_______； (3)已知a，b均为正实数，且，求的最小值．小明同学发现可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则长分别表示为，．由于，当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题． 请在图3中，求出的长，并说明理由． 所以的最小值是_______． (4)拓展应用：代数式的最小值为_______． 【答案】(1) (2) 构造三角形如图：    (3)5 (4)10 【知识点】勾股定理与网格问题、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积； （3）过C作于点F，利用勾股定理求解即可； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：的面积是； 故答案为：； （2）解：的边长分别为、、（，，且）， 由图可知：的面积是； （3）解：如图，过C作于点F， 则，， 在中，， 所以的最小值是5， 故答案为：5； （4）解：，可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：    设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴． ∴的最小值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $