专题05勾股定理及逆定理期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题05勾股定理及逆定理期中复习讲义 1.经历勾股定理探究过程，厘清勾股定理与逆定理双向逻辑：勾股定理，由直角推边的平方关系；逆定理，由边长平方关系判定直角，破解学生最易混淆的核心难点。 2.熟练运用勾股定理进行直角三角形边长计算；掌握直角三角形三边向外作图形的面积模型，会求解线段平方和、平方差，能完成线段平方关系的几何证明。 3.认识勾股定理经典证法，吃透弦图核心模型；学会构造图形转化问题，可联动实数章节无理数进行综合计算，打通跨章节知识。 4.熟练使用勾股定理逆定理，能够根据三边长度、网格图形判定直角三角形；掌握勾股数、勾股树经典题型，完成计算与简单几何推理。 5.综合运用勾股定理及其逆定理解决几何综合题，学会根据题干条件，精准选择定理，建立几何解题思维。 6.重点警示易错点：勾股定理只针对直角三角形；审题辨别斜边、直角边，避免公式代错；逆定理判定直角，必须验证最长边的平方等于另外两边平方之和。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★ 题型九 勾股树（数）问题 ★★★ 题型十 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十一 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 题型一：用勾股定理解三角形 1．在中，，，， __________． 2．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则、两地的距离为_____千米． 3．如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F，，，，则的长为（     ） A． B．5 C．7 D． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形、记三个正方形的面积分别为，若，则__________． 5．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为__________． 6．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在中，，，则_______． 8．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________． 9．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 11．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    12．如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 题型五：勾股定理的证明方法 13．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 14．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 15．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为，的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法正确的是（     ） A．拼接前后图形的总面积改变 B．拼接后大正方形的边长 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 题型六：以弦图为背景的计算题 16．沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 17．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 18．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 19．我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺尺），将它往前（水平距离）推送10尺（尺）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺（尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合下图计算绳索长______尺． 20．如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 21．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型八：勾股定理与无理数 22．如图，在数轴上点表示的实数是___________． 23．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 24．如图，，点P表示的数是（     ） A． B． C． D． 题型九：勾股树（数）问题 25．下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 26．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 27．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 题型十：判断三边能否构成直角三角形 28．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 29．已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 30．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 题型十一：在网格中判断直角三角形 31．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是______．    32．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __． 33．如图，在正方形网格中，三个顶点A，B，C都在格点上，在网格中画出与全等的格点三角形（除外），则满足条件的格点三角形的个数为（     ） A．4 B．8 C．12 D．15 题型十二：利用勾股定理的逆定理求解 34．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 35．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为___________． 36．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 解答题 37．已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 38．图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． (1)当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． (2)如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 39．如图，点在梯形的边上，，，，，．求的度数． 40．如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 41．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 42．综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 43．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05勾股定理及逆定理期中复习讲义 1.经历勾股定理探究过程，厘清勾股定理与逆定理双向逻辑：勾股定理，由直角推边的平方关系；逆定理，由边长平方关系判定直角，破解学生最易混淆的核心难点。 2.熟练运用勾股定理进行直角三角形边长计算；掌握直角三角形三边向外作图形的面积模型，会求解线段平方和、平方差，能完成线段平方关系的几何证明。 3.认识勾股定理经典证法，吃透弦图核心模型；学会构造图形转化问题，可联动实数章节无理数进行综合计算，打通跨章节知识。 4.熟练使用勾股定理逆定理，能够根据三边长度、网格图形判定直角三角形；掌握勾股数、勾股树经典题型，完成计算与简单几何推理。 5.综合运用勾股定理及其逆定理解决几何综合题，学会根据题干条件，精准选择定理，建立几何解题思维。 6.重点警示易错点：勾股定理只针对直角三角形；审题辨别斜边、直角边，避免公式代错；逆定理判定直角，必须验证最长边的平方等于另外两边平方之和。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★ 题型五 勾股定理的证明方法 ★ 题型六 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型八 勾股定理与无理数 ★★ 题型九 勾股树（数）问题 ★★★ 题型十 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十一 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十二 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 题型一：用勾股定理解三角形 1．在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． 2．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则、两地的距离为_____千米． 【答案】 【分析】构造直角三角形，作高，先利用直角三角形性质求出、，再在中用勾股定理求，线段相加得到长． 【详解】解：过点作于点， 由题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F，，，，则的长为（     ） A． B．5 C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理可得，则可得，利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作过点E作， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即. 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 4．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形、记三个正方形的面积分别为，若，则__________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，结合正方形面积公式可得 ． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为 则 由勾股定理得 ∴ ∵ ∴． 5．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为__________． 【答案】18 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ∵ ∴， ∴. 6．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴阴影部分的面积是． 题型三：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 7．在中，，，则_______． 【答案】 【分析】直接利用勾股定理变形即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 8．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________． 【答案】8 【分析】设BC=x，AC=y，根据勾股定理列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长． 【详解】设BC=x，AC=y， ∵直角三角形两个锐角顶点所引的中线 ∴ 在Rt△ADC和Rt△BCE中，由勾股定理得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：8 【点睛】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可． 9．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 题型四：利用勾股定理证明线段平方关系 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则_________． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 11．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 12．如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积、三角形中线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形中线的性质是解题的关键． 由三角形中线的性质得出，，再证，然后由勾股定理得出，推出，即可得出答案． 【详解】解：的面积为13，的面积为4， ， 为的中线， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故选：C． 题型五：勾股定理的证明方法 13．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 14．下面四幅图中，能证明勾股定理的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 15．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为，的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法正确的是（     ） A．拼接前后图形的总面积改变 B．拼接后大正方形的边长 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】D 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A．由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法错误，不符合题意； B．∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法错误，不符合题意； C．拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，不符合题意； D．∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，符合题意． 题型六：以弦图为背景的计算题 16．沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据四个三角形的面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：5． 17．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点，， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ． 18．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 题型七：用勾股定理构造图形解决问题 19．我国明代数学家程大位在《算法统筹》中记载着一道关于荡秋千的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺尺），将它往前（水平距离）推送10尺（尺）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺（尺），秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？请你结合下图计算绳索长______尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果． 【详解】解：设绳索有x尺长，依题意 解得：， 故答案为：． 20．如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索_____m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，线段的和差，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 设，表示出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， , ∴， 由勾股定理得 即， 解得， ∴， 故答案为：10． 21．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：当箭竖直放置时直接求解；当箭斜着放置时结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当箭竖直放置时，如图所示： 箭在投壶外面部分长度； 当箭斜着放置时，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得， 箭在投壶外面部分长度； 综上所述，的取值范围是． 题型八：勾股定理与无理数 22．如图，在数轴上点表示的实数是___________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，结合数轴可得答案． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理得， ∴， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的实数是． 23．如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 【答案】/ 【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∴， 则点M表示的数为． 24．如图，，点P表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，则，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴， ∵， ∴点P表示的数是． 题型九：勾股树（数）问题 25．下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、， ， 故不是勾股数； B、各数不是整数，不是勾股数； C、，是勾股数； D、，不是勾股数． 26．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了如下有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为（   ） A．360 B．200 C．280 D．242 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入，求出b、c的值，进而可得答案． 【详解】解：根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴． 27．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2026 【分析】本题考查勾股定理的应用、图形类规律探究，解题的关键是探究出规律． 根据直角三角形性质得到“生长”规律，进而求解即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图①可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴所有正方形的面积和为：， 由图②可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ∴“生长”2025次后，所有正方形的面积和为：． 故答案为：2026． 题型十：判断三边能否构成直角三角形 28．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 29．已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．∵，即， ∴该条件能判定为直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵，，， 又∵，， ∴， ∴该条件能判定为直角三角形，故此选项不符合题意； C．设，，， ∵，， ∴， ∴该条件不能判定为直角三角形，故此选项符合题意； D．设，，， 又∵，， ∴， ∴该条件能判定为直角三角形，故此选项不符合题意． 30．如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 【详解】解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 题型十一：在网格中判断直角三角形 31．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是______．    【答案】/度 【分析】利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形即可． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， ∴是直角三角形，； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键． 32．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __． 【答案】4 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ， 是直角三角形，，，，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键． 33．如图，在正方形网格中，三个顶点A，B，C都在格点上，在网格中画出与全等的格点三角形（除外），则满足条件的格点三角形的个数为（     ） A．4 B．8 C．12 D．15 【答案】D 【分析】每个的长方形中能画出4个与全等的三角形，只要判断在的正方形网格中能找出多少个的长方形即可． 【详解】解：在每个的长方形中能画出4个与全等的三角形，且在的正方形网格中能找出4个的长方形， ∴能有16个，减去本身， ∴一共有15个． 题型十二：利用勾股定理的逆定理求解 34．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 35．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为___________． 【答案】150 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 36．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 解答题 37．已知∶满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律∶ (1)设，观察提供勾股数的规律，填空∶ 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9， ， ；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；⑤14， ， ； (2)若，n为正整数，且，求证∶a，b，c是勾股数组． 【答案】(1)40，41；48，50 (2) 证明∶，， 则， ∵n为正整数，且， ∴a、b、c都是正整数， ∴a，b，c是勾股数组． 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： （1）观察可知a为奇数时，后2个数为连续的整数，得到，列出方程进行求解即可；为偶数时，，列出方程进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行求解即可． 【详解】（1）（1）观察可知a为奇数时，， ∴，解得， 故9，40，41是一组勾股数， 为偶数时，， ∴，解得； 故14，48，50是一组勾股数； （2）略 38．图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． (1)当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． (2)如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 【答案】(1)解：，理由如下： 根据题意可知，， ，， ， ∵， ， ， 故伸缩杆与窗框的位置关系为． (2) 【分析】（1）借助勾股定理逆定理证出直角，得到伸缩杆与窗框的位置关系； （2）过点作，先求出线段、，根据勾股定理算出，再在中，利用勾股定理求出伸缩杆的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作， 根据题意可知，， ，， ， ， ， ， 在中，． 39．如图，点在梯形的边上，，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】利用勾股定理，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，求解即可； 【详解】解：，，， ， 是等腰直角三角形， ，         ，，， ， 是直角三角形， ，                         ； 40．如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积． 【答案】 【分析】设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，可得， 根据圆的面积公式以及直角三角形的面积公式，分别求得、、、的面积，即可解答． 【详解】解：如图，设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为， 的三边长分别为，，， ，，，， ； 41．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1) ， 另一方面， 即， ； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 42．综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 【答案】(1)或 (2) (3) 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：； （3） 略 43．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①；；②5 (2)20 (3)①；②；③ 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①设，，，，则，作点D关于的对称点，，而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号），再利用三角形三边关系即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构建解答即可． ③利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解：设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形，如图， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20； （3）解：①设，，，，则， 作点D关于的对称点，于点，则，， 在中，； 在中，， ∴， 而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号）， 在中，， 即的最大值为； ②分别以，为边长作长方形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， ③画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $