精品解析：内蒙古通辽市第四中学2025-2026学年八年级下学期期末考卷数学试题

2025—2026学年春学期八年级期末考试数学试题 （考试时间：90分钟试卷满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.选择题的答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3.解答题的答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. ，， D. ，， 3. 有一组数据：，，，，，，，，则这组数据的第三四分位数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5. 用配方法解一元二次方程时，可转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 该组数据的方差是 D. 若该组数据加入数，这组新数据的方差不变 7. 两条直线与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，．分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点．作直线EF分别与，，相交于点M，O，N．则线段的长为（ ）． A. 3 B. 5 C. 6 D. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 10. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，则的度数是________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（，为常数，）的交点为，则关于的不等式的解集为____________ 12. 如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，那么平行四边形的面积为____________________． 三、解答题（本大题共6个小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算： （1）； （2）（公式法）． 14. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 15. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为促使学生学习防护自救的知识，增强学生安全意识，开展了“远离溺水，珍爱生命”安全知识竞赛，为了解学生对防溺水知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，得分不少于分者为优秀），并进行如下收集、整理、描述和分析： 【收集数据】 七年级：，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，． 【整理数据】七八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 成绩分 七年级人 八年级人 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、方差、优秀率如下表： 统计量 平均数 中位数 方差 优秀率 七年级 八年级 【应用数据】： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，分析哪个年级的学生“防溺水”知识学习情况较好，并说明理由（一条理由即可）． （3）该校七、八年级名学生共同参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数解析式； （2）直接写出方程组的解； （3）若点在线段上，且满足，求点的坐标． 17. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的． 【经历体验】 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接、，设，． （1）①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，构图求出代数式的最小值． 18. 点E是正方形的边上一点，连接． （1）发现：如图1，若点E为中点，交正方形的外角的平分线于点F，则有；理由是：取的中点M，连接，根据两个三角形全等，就可以得出，请直接写出题中说的两个全等三角形． （2）推广：如图2，若点E为边上（不与点B、C重合）任意一点时，交正方形的外角的平分线于点F，线段与是否仍然相等，并证明你的结论； （3）探究：如图3，若点E在边上（不与点C、D重合），交正方形外角的平分线于F，过点F作，垂足为H．试探究线段与的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年春学期八年级期末考试数学试题 （考试时间：90分钟试卷满分：100分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.选择题的答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效． 3.解答题的答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.和不是同类项，不能合并，选项计算错误，故不符合题意； B. ，选项计算错误，故不符合题意； C. ，选项计算错误，故不符合题意； D. ，选项计算正确，故符合题意； 故选：D． 2. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】计算两较短边的平方和，再与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形，反之不能，据此逐一判断即可． 【详解】解：A 、∵，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； B 、∵，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； C 、∵ ，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； D 、∵ ，，，∴ 能构成直角三角形，符合题意． 3. 有一组数据：，，，，，，，，则这组数据的第三四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先将数据从小到大排序，再通过计算后半部分数据的中位数得到第三四分位数． 方法二：先将8个数据从小到大排序，根据，可得出第三四分位数是第六，第七个数据的平均数，代入数据求解即可． 【详解】解：方法一：∵这组数据共8个，数据从小到大排列为：，，，，，，，， ∴可将数据分为前4个、后4个两部分，第三四分位数是后4个数据的中位数， 即，的平均数， ∴第三四分位数为． 方法二：∵这组数据共8个，数据从小到大排列为：，，，，，，，， ∵， ∴第三四分位数是第六，第七个数据的平均数， ∴第三四分位数为． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 5. 用配方法解一元二次方程时，可转化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法将化为，可得，，计算，即可得出答案． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即， ∵方程可化为的形式， ∴，， ∴． 6. 已知一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. 的值是 B. 该组数据的平均数是 C. 该组数据的方差是 D. 若该组数据加入数，这组新数据的方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的定义，从给出的算式中提取数据个数与原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中有4个平方项， ∴，A正确； ∵原数据为， ∴平均数，B正确； ∴，C正确； 当加入数后，新数据为， ∴新平均数为， ∴新方差为， ∵， ∴D错误． 7. 两条直线与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可依次作判断．此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第一、二、四象限． 【详解】解：、由知：，，所以过二、四象限，交轴正半轴，符合的图象，故此选项正确； B、由知：，，所以过一、三象限，交轴正半轴，不符合的图象，故此选项错误； C、由知：，，所以过二、四象限，交轴正半轴，不符合的图象，故此选项错误； D、由知：，，所以过一、三象限，交轴正半轴，不符合的图象，故此选项错误； 故选：． 8. 如图，在矩形中，，．分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点．作直线EF分别与，，相交于点M，O，N．则线段的长为（ ）． A. 3 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理．由作图知，是的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作图知，是的垂直平分线， ， 矩形中，，， ，，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为5， 故选B． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】x＞4 【解析】 【分析】根据分母不为0和二次根式被开方数大于等于0列不等式即可． 【详解】根据题意列不等式得，， 解得，x＞4； 故答案为：x＞4． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是明确二次根式被开方数大于等于0和分母不为0，列出不等式． 10. 如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，则的度数是________． 【答案】##140度 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵P是的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线（，为常数，）的交点为，则关于的不等式的解集为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入得， 解得：， 当时，， 即关于的不等式的解集为． 12. 如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，那么平行四边形的面积为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点；当移动距离是4时，直线经过，当移动距离是6时经过，则，当直线经过点，设直线交于，则，作于点，利用勾股定理可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是1时，直线经过点，当移动距离是4时，直线经过，当移动距离是6时经过，则， 设直线经过点时，交于，则，作于点，如图所示： 移动直线为， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， 平行四边形的面积为：． 三、解答题（本大题共6个小题，满分64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算： （1）； （2）（公式法）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式展开括号，化简所有二次根式，最后合并同类二次根式，即可得出答案； （2）确定一元二次方程的各项系数，计算判别式后代入求根公式求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 14. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，由，证得四边形是平行四边形，再根据，即可证得平行四边形是矩形； （2）根据角的关系得到，从而推出，在中，根据勾股定理求解，再根据线段和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平行四边形是矩形，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴． 15. “防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为促使学生学习防护自救的知识，增强学生安全意识，开展了“远离溺水，珍爱生命”安全知识竞赛，为了解学生对防溺水知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x表示，得分不少于分者为优秀），并进行如下收集、整理、描述和分析： 【收集数据】 七年级：，，，，，，，，，； 八年级：，，，，，，，，，． 【整理数据】七八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 成绩分 七年级人 八年级人 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、方差、优秀率如下表： 统计量 平均数 中位数 方差 优秀率 七年级 八年级 【应用数据】： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，分析哪个年级的学生“防溺水”知识学习情况较好，并说明理由（一条理由即可）． （3）该校七、八年级名学生共同参加了此次竞赛，请估计参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1），，； （2）七，平均数相同，七年级方差更小，成绩更稳定（答案不唯一，合理即可）； （3）人． 【解析】 【分析】根据总人数为减去其他成绩段人数即可计算，对八年级成绩排序后根据中位数定义计算，根据优秀人数计算优秀率； 根据统计量的意义比较即可得出结论； 用总人数乘以样本中优秀人数的占比即可估计出优秀总人数． 【小问1详解】 解：∵七年级抽取的总人数为人， ∴（人）， 将八年级成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为第个和第个数据的平均数，即， ∵八年级成绩不少于分的有人， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：七年级学生学习情况较好，理由如下： ∵七、八年级成绩的平均数相同，七年级的方差小于八年级的方差， ∴七年级学生的成绩更稳定，学习情况更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计参加此次竞赛成绩达到优秀的学生人数为人． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数解析式； （2）直接写出方程组的解； （3）若点在线段上，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点，将两个点坐标代入一次函数即可； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）先由题意算出一个三角形的面积，根据等式即可求出答案．一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象过点，点的横坐标为， ∴，即点的坐标为． 把点，点代入一次函数解析式得， 解得， ∴一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：方程可变形为， 方程可变形为， 因此，方程组的解就是一次函数和正比例函数图象的交点坐标， 故方程组的解是． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 设点的坐标为， 则由得 ， 解得， ∴点的坐标为． 17. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的． 【经历体验】 已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接、，设，． （1）①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，构图求出代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②5 （2） 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据两点之间线段最短得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值． 【小问1详解】 解：①在中，， 在中，； ②连接，由①得， 根据两点之间线段最短，有（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作，交的延长线于H，如图， ∵，， 则四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 【小问2详解】 解： 如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 根据两点之间线段最短，有（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 18. 点E是正方形的边上一点，连接． （1）发现：如图1，若点E为中点，交正方形的外角的平分线于点F，则有；理由是：取的中点M，连接，根据两个三角形全等，就可以得出，请直接写出题中说的两个全等三角形． （2）推广：如图2，若点E为边上（不与点B、C重合）任意一点时，交正方形的外角的平分线于点F，线段与是否仍然相等，并证明你的结论； （3）探究：如图3，若点E在边上（不与点C、D重合），交正方形外角的平分线于F，过点F作，垂足为H．试探究线段与的关系． 【答案】（1）和 （2）仍然成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点定义及等腰直角三角形的性质，正方形的性质可知，，由，可证得，进而可证，即可证明结论； （2）在上截取，连接，通过等腰直角三角形的性质及正方形的性质类比（1）证明，即可证明结论； （3）在上截取，连接，由（2）可知，和均为等腰直角三角形，结合勾股定理即可证明． 【小问1详解】 解：和， 理由如下： 四边形是正方形， ，， 点E为的中点，点M为的中点， ， ， ， 又交正方形外角的平分线于F， ， ， ， ， ， 在和中：， ， ； 【小问2详解】 解：仍然成立，证明如下： 在上截取，连接， 正方形中，，， ，即， 为等腰直角三角形， ∴，． 平分，， ， ∴， ， ， ， ， 又， ． ， ； 【小问3详解】 ， 理由如下： 在上截取，连接， 同理可证，， 又因为和均为等腰直角三角形， ， ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $