思维拓展奥数第十九讲行程问题进阶（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

第十九讲 行程问题进阶 原卷版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 两组志愿者从不同地点出发，一组提前出发，另一组后来出发。出发时刻不同，能直接把全程时间看成两组相同的行驶时间吗？先画时间线，标出出发、停留和相遇，再分别计算每一段。 知识梳理 路程、速度和时间要相互对应：匀速行驶时，路程等于速度乘行驶时间；例如每小时行 5 千米，行 2 小时，路程是 千米。变速时先分段求路程，再合计。 相向运动且相遇前，间距每单位时间缩短速度和；同向追及且后者更快时，间距每单位时间缩短速度差。相遇之后应重新判断运动方向。 平均速度等于总路程除以总时间。比较两种路线时，既要核对路程是否相同，也要核对各段时间是否相同；要求从出发到结束的平均速度时，停留时间也计入总时间。 画线段图或时间线时，标明方向、起点、出发时刻和转折点；时间和速度单位要统一，最终还要核查是否在指定路段和时段内。 方法与易错提醒 一 分段：将变速、停留和折返视为分段点，分别记录每段速度和持续时间。停留期间路程为零，不能当作仍在行驶。 二 错时与追及：先算后出发者起步时的间距；之后若两人都匀速前行，再用速度和或速度差计算。有人中途停留时必须再次分段。 三 平均速度：先将实际走过的路程相加，再除以题目所指的总时间。两段行驶时间相等时，两个速度的算术平均数等于两段的平均速度；时间不等时，应计算总路程除以总时间。 四 相遇前后：相遇时双方位于同一处；继续按原方向走时要判断是否已经到达目的地，以及两人之间的距离如何变化。 五 顺水与逆水：水流速度不变时，顺水速度为静水速度加水速，逆水速度为静水速度减水速；先确认速度单位一致。 检查清单：区分已行与剩余、经过的时间与钟表时刻；比较时段边界，最后检验答案与实际方向、距离及单位是否一致。 例题与跟踪练习 例1 【分段与计划】 护林员计划巡查 25 千米。实际先以每小时 8 千米走了 1.5 小时，再以每小时 6 千米走了 2 小时。离完成计划还有多少千米？ 跟踪1 【分段与停留】 一条路线分为两段，每段长 12 千米。骑行者第一段每小时骑 12 千米，第二段每小时骑 8 千米，两段之间休息半小时。从起点出发到结束一共用多少小时？ 例2 【途中停留】 巡园车上午 8 时 10 分出发，以每分钟 60 米行驶；9 时停下休息 20 分钟后按原速继续，到 10 时 20 分结束。共行驶多少米？ 跟踪2 【途中停留】 小队上午 9 时出发，以每小时 4 千米步行；走了 1 小时后休息半小时，再按原速走半小时。结束时是几点？共走多少千米？ 例3 【错时相向】 甲、乙两地相距 120 千米。甲每小时行 12 千米，从甲地出发 1 小时后，乙从乙地出发相向而行，每小时行 15 千米。乙出发后几小时相遇？ 跟踪3 【错时相向】 两地相距 90 千米。甲从一地以每小时 8 千米出发 1 小时后，乙从另一地以每小时 12.5 千米出发，两人相向而行。乙出发后几小时相遇？ 例4 【追及与停留】 慢车每小时行 18 千米，先出发 1 小时；快车从同地同向出发，每小时行 24 千米。快车出发 1 小时后，慢车停留半小时，快车继续前行。快车出发多久追上慢车？ 跟踪4 【追及与停留】 甲每小时骑 10 千米先出发 2 小时，乙从同地同向出发，每小时骑 15 千米。乙出发 2 小时后，甲停留 1 小时，乙继续骑行。乙出发多久追上甲？ 例5 【平均速度与休息】 小队沿同一路线往返，单程 12 千米。去时每小时行 4 千米，到达后休息 1 小时，返回时每小时行 6 千米。从出发到返回的平均速度是多少？ 跟踪5 【等时间平均速度】 一辆观光车前 2 小时每小时行 36 千米，后 2 小时每小时行 48 千米，全程平均速度是多少？ 例6 【水流与分段】 一条船顺水每小时行 14 千米，逆水每小时行 10 千米，水流速度不变。它顺水行 2 小时，再逆水行 3 小时。它一共航行了多少千米？水流每小时流多少千米？ 跟踪6 【水流影响】 一只小船顺水每小时行 17 千米，逆水每小时行 11 千米。水流速度不变，求静水速度和水流速度。 分层训练 A组 基础巩固 1 科考队第一段每小时走 8 千米，走了 2 小时；第二段每小时走 10 千米，走了 1 小时。一共走了多少千米？ 2 小乐从家向东走 10 千米，再沿原路向西走 3 千米。此时在家哪个方向、距家多远？ 3 两人相距 84 米，同时相向走，速度分别为每秒 2 米和 4 米。经过多少秒相遇？ 4 一辆车以每小时 48 千米行驶 1.5 小时，停留半小时，再行驶半小时，行驶时速度不变。汽车走了多远？ B组 综合运用 5 相距 150 千米的两地同时开出两辆车相向而行，甲每小时行 30 千米，乙每小时行 20 千米。相遇地点距甲地多少千米？ 6 同地同向出发，甲每分钟行 80 米，乙每分钟行 110 米。甲先出发 6 分钟，乙出发后多久追上？ 7 巡逻艇先以每小时 12 千米航行 2 小时，停留半小时，再以每小时 18 千米航行 1 小时。从开始到结束的平均速度是多少？ 8 一条船的静水速度为每小时 13 千米，水流速度每小时 2 千米。它顺水行 30 千米需要多久？逆水行 33 千米需要多久？ C组 挑战思考 9 甲、乙从同一点沿直道同时同向前进，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 60 米。走 5 分钟后，甲停留 2 分钟，乙不停步；之后甲恢复原速，又经过 2 分钟。此时谁在前面？相距多少米？ 10 一段公路上甲、乙相距 120 千米，同时相向出发。甲每小时行 20 千米，乙每小时行 40 千米。相遇后两车继续前行半小时，且都未到达对方出发地。此时两车相距多少千米？ 11 甲、乙两组都要完成 24 千米的路线。甲每小时走 12 千米，途中休息半小时；乙每小时走 8 千米，中途不休息。两组同时出发，哪组先到？早到多少小时？ 12 某人从家到站台，若每分钟走 60 米会比约定时间晚 4 分钟；若每分钟走 90 米会早 2 分钟。两次均按同一路线匀速行走，求家到站台的距离。 综合探究 探究1 甲、乙从相距 126 千米的两地同时相向出发。甲每小时走 18 千米，乙每小时走 24 千米。相遇后两人立即按原速原方向继续走 1 小时，此时是否都未到对方出发地？两人相距多少千米？ 探究2 小队从营地出发，以每小时 6 千米走 2 小时，在途中休息 1 小时，再以每小时 4 千米走 2 小时。小明说：全程平均速度是每小时 5 千米。这个说法对吗？分别求行走时的平均速度和从出发到结束的平均速度。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九讲 行程问题进阶 解析版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 两组志愿者从不同地点出发，一组提前出发，另一组后来出发。出发时刻不同，能直接把全程时间看成两组相同的行驶时间吗？先画时间线，标出出发、停留和相遇，再分别计算每一段。 知识梳理 路程、速度和时间要相互对应：匀速行驶时，路程等于速度乘行驶时间；例如每小时行 5 千米，行 2 小时，路程是 千米。变速时先分段求路程，再合计。 相向运动且相遇前，间距每单位时间缩短速度和；同向追及且后者更快时，间距每单位时间缩短速度差。相遇之后应重新判断运动方向。 平均速度等于总路程除以总时间。比较两种路线时，既要核对路程是否相同，也要核对各段时间是否相同；要求从出发到结束的平均速度时，停留时间也计入总时间。 画线段图或时间线时，标明方向、起点、出发时刻和转折点；时间和速度单位要统一，最终还要核查是否在指定路段和时段内。 方法与易错提醒 一 分段：将变速、停留和折返视为分段点，分别记录每段速度和持续时间。停留期间路程为零，不能当作仍在行驶。 二 错时与追及：先算后出发者起步时的间距；之后若两人都匀速前行，再用速度和或速度差计算。有人中途停留时必须再次分段。 三 平均速度：先将实际走过的路程相加，再除以题目所指的总时间。两段行驶时间相等时，两个速度的算术平均数等于两段的平均速度；时间不等时，应计算总路程除以总时间。 四 相遇前后：相遇时双方位于同一处；继续按原方向走时要判断是否已经到达目的地，以及两人之间的距离如何变化。 五 顺水与逆水：水流速度不变时，顺水速度为静水速度加水速，逆水速度为静水速度减水速；先确认速度单位一致。 检查清单：区分已行与剩余、经过的时间与钟表时刻；比较时段边界，最后检验答案与实际方向、距离及单位是否一致。 例题与跟踪练习 例1 【分段与计划】 护林员计划巡查 25 千米。实际先以每小时 8 千米走了 1.5 小时，再以每小时 6 千米走了 2 小时。离完成计划还有多少千米？ 【答案】1 千米。 【解析】前一段走了 千米，后一段走了 千米，合计 千米。离计划还差 千米。 跟踪1 【分段与停留】 一条路线分为两段，每段长 12 千米。骑行者第一段每小时骑 12 千米，第二段每小时骑 8 千米，两段之间休息半小时。从起点出发到结束一共用多少小时？ 【答案】3 小时。 【解析】第一段用 小时，第二段用 小时。加上半小时休息，共 小时。 例2 【途中停留】 巡园车上午 8 时 10 分出发，以每分钟 60 米行驶；9 时停下休息 20 分钟后按原速继续，到 10 时 20 分结束。共行驶多少米？ 【答案】6600 米。 【解析】休息前行驶 50 分钟，休息后从 9 时 20 分到 10 时 20 分行驶 60 分钟。行驶时间共 分钟，路程为 米。 跟踪2 【途中停留】 小队上午 9 时出发，以每小时 4 千米步行；走了 1 小时后休息半小时，再按原速走半小时。结束时是几点？共走多少千米？ 【答案】上午 11 时；6 千米。 【解析】从出发到结束共 小时，结束时为 11 时。实际步行 小时，共行 千米。 例3 【错时相向】 甲、乙两地相距 120 千米。甲每小时行 12 千米，从甲地出发 1 小时后，乙从乙地出发相向而行，每小时行 15 千米。乙出发后几小时相遇？ 【答案】4 小时。 【解析】乙出发时甲已走 千米，两人相距 千米。两人每小时接近 千米，乙出发后 小时相遇。 跟踪3 【错时相向】 两地相距 90 千米。甲从一地以每小时 8 千米出发 1 小时后，乙从另一地以每小时 12.5 千米出发，两人相向而行。乙出发后几小时相遇？ 【答案】4 小时。 【解析】乙出发时剩余间距为 千米，相向速度和为 千米每小时，所需时间 小时。 例4 【追及与停留】 慢车每小时行 18 千米，先出发 1 小时；快车从同地同向出发，每小时行 24 千米。快车出发 1 小时后，慢车停留半小时，快车继续前行。快车出发多久追上慢车？ 【答案】1.5 小时。 【解析】快车出发时慢车领先 千米。两车同向行驶 1 小时后还差 千米。慢车停留时快车还需 小时追上，恰好在停留结束时追上。共用 小时。 跟踪4 【追及与停留】 甲每小时骑 10 千米先出发 2 小时，乙从同地同向出发，每小时骑 15 千米。乙出发 2 小时后，甲停留 1 小时，乙继续骑行。乙出发多久追上甲？ 【答案】2 小时 40 分钟。 【解析】甲起初领先 千米。乙出发后 2 小时缩短 千米，还差 10 千米。甲停留后乙需 小时，即 40 分钟，少于 1 小时，所以在停留期间追上。总用时 2 小时 40 分钟。 例5 【平均速度与休息】 小队沿同一路线往返，单程 12 千米。去时每小时行 4 千米，到达后休息 1 小时，返回时每小时行 6 千米。从出发到返回的平均速度是多少？ 【答案】每小时 4 千米。 【解析】去时用 小时，回来用 小时。包含休息共 小时，总路程 24 千米，平均速度 千米每小时。 跟踪5 【等时间平均速度】 一辆观光车前 2 小时每小时行 36 千米，后 2 小时每小时行 48 千米，全程平均速度是多少？ 【答案】每小时 42 千米。 【解析】总路程是 千米，总时间 小时，平均速度 千米每小时。两段时间相等，所以此题也可取两个速度的平均数。 例6 【水流与分段】 一条船顺水每小时行 14 千米，逆水每小时行 10 千米，水流速度不变。它顺水行 2 小时，再逆水行 3 小时。它一共航行了多少千米？水流每小时流多少千米？ 【答案】航行 58 千米；水流每小时 2 千米。 【解析】顺水和逆水路程分别为 千米、 千米，共 千米。顺水与逆水速度相差两个水流速度，所以水流速度 千米每小时。 跟踪6 【水流影响】 一只小船顺水每小时行 17 千米，逆水每小时行 11 千米。水流速度不变，求静水速度和水流速度。 【答案】静水速度每小时 14 千米，水流速度每小时 3 千米。 【解析】静水速度 ，水流速度 ，单位都是千米每小时。 分层训练 A组 基础巩固 1 科考队第一段每小时走 8 千米，走了 2 小时；第二段每小时走 10 千米，走了 1 小时。一共走了多少千米？ 【答案】26 千米。 【解析】分段求和： 千米。 2 小乐从家向东走 10 千米，再沿原路向西走 3 千米。此时在家哪个方向、距家多远？ 【答案】家东面 7 千米。 【解析】向东走了 10 千米，向西返回 3 千米，还在家东面，距离 千米。 3 两人相距 84 米，同时相向走，速度分别为每秒 2 米和 4 米。经过多少秒相遇？ 【答案】14 秒。 【解析】每秒缩短 米，所需时间 秒。 4 一辆车以每小时 48 千米行驶 1.5 小时，停留半小时，再行驶半小时，行驶时速度不变。汽车走了多远？ 【答案】96 千米。 【解析】停留不计路程，实际行驶 小时，路程 千米。 B组 综合运用 5 相距 150 千米的两地同时开出两辆车相向而行，甲每小时行 30 千米，乙每小时行 20 千米。相遇地点距甲地多少千米？ 【答案】90 千米。 【解析】相遇时间 小时，甲走了 千米。 6 同地同向出发，甲每分钟行 80 米，乙每分钟行 110 米。甲先出发 6 分钟，乙出发后多久追上？ 【答案】16 分钟。 【解析】甲领先 米，乙每分钟缩短 米，追及需 分钟。 7 巡逻艇先以每小时 12 千米航行 2 小时，停留半小时，再以每小时 18 千米航行 1 小时。从开始到结束的平均速度是多少？ 【答案】每小时 12 千米。 【解析】实际航程 千米，全部经过时间 小时。平均速度 千米每小时。 8 一条船的静水速度为每小时 13 千米，水流速度每小时 2 千米。它顺水行 30 千米需要多久？逆水行 33 千米需要多久？ 【答案】顺水 2 小时，逆水 3 小时。 【解析】顺水速度 ，逆水速度 ，单位为千米每小时。分别需要 小时、 小时。 C组 挑战思考 9 甲、乙从同一点沿直道同时同向前进，甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 60 米。走 5 分钟后，甲停留 2 分钟，乙不停步；之后甲恢复原速，又经过 2 分钟。此时谁在前面？相距多少米？ 【答案】甲在前面，相距 90 米。 【解析】甲实际走了 分钟，路程 米。乙一直走了 分钟，路程 米。甲领先 米。 10 一段公路上甲、乙相距 120 千米，同时相向出发。甲每小时行 20 千米，乙每小时行 40 千米。相遇后两车继续前行半小时，且都未到达对方出发地。此时两车相距多少千米？ 【答案】30 千米。 【解析】相遇后两车沿相反方向继续行驶，每小时距离增大 千米，半小时相距 千米。相遇时甲距乙地 80 千米、乙距甲地 40 千米，之后各走 10 千米和 20 千米，均未到达。 11 甲、乙两组都要完成 24 千米的路线。甲每小时走 12 千米，途中休息半小时；乙每小时走 8 千米，中途不休息。两组同时出发，哪组先到？早到多少小时？ 【答案】甲先到，早到半小时。 【解析】甲行走需 小时，加上休息共 小时。乙需要 小时，所以甲早到 小时。 12 某人从家到站台，若每分钟走 60 米会比约定时间晚 4 分钟；若每分钟走 90 米会早 2 分钟。两次均按同一路线匀速行走，求家到站台的距离。 【答案】1080 米。 【解析】两次所用时间相差 分钟。同路程时，慢速与快速所需时间之比是 ；一份为 6 分钟，所以慢速需 18 分钟。路程 米。 综合探究 探究1 甲、乙从相距 126 千米的两地同时相向出发。甲每小时走 18 千米，乙每小时走 24 千米。相遇后两人立即按原速原方向继续走 1 小时，此时是否都未到对方出发地？两人相距多少千米？ 【答案】都未到达；相距 42 千米。 【解析】相遇用 小时。相遇前甲走 54 千米、乙走 72 千米；相遇后甲离终点还有 72 千米，乙离终点还有 54 千米。继续 1 小时分别走 18、24 千米，均未到达，两人相距 千米。 探究2 小队从营地出发，以每小时 6 千米走 2 小时，在途中休息 1 小时，再以每小时 4 千米走 2 小时。小明说：全程平均速度是每小时 5 千米。这个说法对吗？分别求行走时的平均速度和从出发到结束的平均速度。 【答案】不对。行走时平均每小时 5 千米；从出发到结束平均每小时 4 千米。 【解析】总路程 千米。实际行走 小时，行走时平均速度为 千米每小时；包含休息共 小时，整个过程平均速度为 千米每小时。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $