思维拓展奥数第十三讲一元一次方程（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

第十三讲 一元一次方程 原卷版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 一袋珠子有多少颗尚不知道。三袋同样多的珠子加上 7 颗散珠，共有 40 颗。用 表示每袋的颗数，就可以写成 。怎样保持两边相等，逐步求出每袋的颗数？ 知识梳理 含有未知数的等式叫方程。方程的解是使等式左右两边相等的未知数的值；解方程是求这个值的过程。 等式两边同时加或减同一个数，结果仍相等；两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，结果也相等。 可先把括号内的数量看成一个整体，再按运算顺序逐步求解。等式两边都有未知数时，可以两边同时减去相同的含未知数的数量。 列方程解决问题时，先写清未知量和单位，再找数量之间的相等关系；求出结果后，既代回方程，也检查是否符合题意。 方法与易错提醒 一 找相等关系：先画出分组、增加、取出或剩余的过程，确认相等的是哪些总量。每份数量相同的几组可合并表示，再与题目中的另一数量比较。 二 解方程：每一步让两边进行同样的运算。括号作为整体时，先确定整个括号的值；展开时，括号内每一项都要乘括号外的数。 三 两边都有未知数：可从两边同时减去较少的未知数部分，再消去常数。运算记录清楚，不把“移项”当作无须解释的规则。 四 检验：把结果代回原方程，核对左右两边；应用题还要检查单位、数量的实际含义以及所有已知条件。 常见错误： 不能只把左边的 5 去掉、右边却加 5。正确做法是两边同时减 5。 常见错误：展开括号时不能遗漏括号内的常数。如果先把括号看成整体，也要在求出整体后继续求未知数。 例题与跟踪练习 例1 【两步求解】 解方程：。 跟踪1 【两步求解】 解方程：。 例2 【整体看括号】 解方程：。 跟踪2 【整体看括号】 解方程：。 例3 【小数系数】 解方程：。 跟踪3 【小数系数】 解方程：。 例4 【两边都有未知数】 解方程：。 跟踪4 【两边都有未知数】 解方程：。 例5 【两种装袋方案】 同一批贴纸采用两种装袋方案。第一种装 3 袋，每袋放基本数量再加 4 张；第二种装 2 袋，每袋放同样的基本数量再加 13 张。两种方案都恰好装完这批贴纸。每袋的基本数量是多少张？ 跟踪5 【两种装袋方案】 同一批卡片有两种装袋方案：第一种装 4 袋，每袋装基本数量加 2 张；第二种装 3 袋，每袋装同样的基本数量加 7 张。两种方案都恰好装完。基本数量是多少张？ 例6 【份数与剩余】 手工组把若干珠子分到 3 个袋中，每袋放同样多，还剩 5 颗；一共有 35 颗。每袋放多少颗？ 跟踪6 【份数与缺少】 要给 4 个小组各发同样多的贴纸，需要的总数比现有的 24 张多 8 张。每组应发多少张？ 分层训练 A组 基础巩固 1 解方程：。 2 解方程：。 3 小林解 时，第一步写成 。他做对了吗？请改正并求解。 4 填空：如果 ，那么 （ ）。写出检验过程。 B组 综合运用 5 文具店的同款笔记本每本价格相同。买 4 本和一个 3 元的笔袋，共花 35 元。每本笔记本多少元？ 6 甲买 3 本同一种图书并付运费 12 元，乙买 2 本同一种图书并付运费 27 元，所有图书单价相同，两人总支出相等。每本图书多少元？ 7 甲、乙两个空水箱，分别倒入同样容量的水。甲箱倒入 5 桶后再取出 6 升，乙箱倒入 3 桶后再加入 18 升，两箱水量相同。每桶多少升？ 8 游园时买 3 张相同价格的儿童票和 2 张每张 8 元的成人票，共付 40 元。每张儿童票多少元？ C组 挑战思考 9 解方程：。 10 解方程：。 11 一批卡片分成 3 套，每套有 2 组，每组卡片数量相同；另有 2 张特别卡。全部卡片共 50 张，每组有多少张？ 12 妈妈现在的年龄是孩子的 3 倍，12 年后妈妈的年龄是孩子的 2 倍。妈妈和孩子现在各多少岁？ 综合探究 探究1 一本故事书共 35 页。小雨先读了 2 页，接下来 5 天每天读同样多的页数，还剩 3 页。请列方程求这 5 天每天读多少页，并用两种方式检验。 探究2 数字机器按顺序执行三步：先将输入数加 5，再将结果乘 4，最后减 6。显示的结果是 70。输入数是多少？请按机器的顺序检验。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三讲 一元一次方程 解析版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 一袋珠子有多少颗尚不知道。三袋同样多的珠子加上 7 颗散珠，共有 40 颗。用 表示每袋的颗数，就可以写成 。怎样保持两边相等，逐步求出每袋的颗数？ 知识梳理 含有未知数的等式叫方程。方程的解是使等式左右两边相等的未知数的值；解方程是求这个值的过程。 等式两边同时加或减同一个数，结果仍相等；两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，结果也相等。 可先把括号内的数量看成一个整体，再按运算顺序逐步求解。等式两边都有未知数时，可以两边同时减去相同的含未知数的数量。 列方程解决问题时，先写清未知量和单位，再找数量之间的相等关系；求出结果后，既代回方程，也检查是否符合题意。 方法与易错提醒 一 找相等关系：先画出分组、增加、取出或剩余的过程，确认相等的是哪些总量。每份数量相同的几组可合并表示，再与题目中的另一数量比较。 二 解方程：每一步让两边进行同样的运算。括号作为整体时，先确定整个括号的值；展开时，括号内每一项都要乘括号外的数。 三 两边都有未知数：可从两边同时减去较少的未知数部分，再消去常数。运算记录清楚，不把“移项”当作无须解释的规则。 四 检验：把结果代回原方程，核对左右两边；应用题还要检查单位、数量的实际含义以及所有已知条件。 常见错误： 不能只把左边的 5 去掉、右边却加 5。正确做法是两边同时减 5。 常见错误：展开括号时不能遗漏括号内的常数。如果先把括号看成整体，也要在求出整体后继续求未知数。 例题与跟踪练习 例1 【两步求解】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时减 7，得 ；再同时除以 3，得 。检验：。 跟踪1 【两步求解】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时加 9，得 ；再同时除以 5，得 。检验：。 例2 【整体看括号】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时除以 4，得 ；再同时减 3，得 。检验：。 跟踪2 【整体看括号】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时除以 3，得 ；两边再加 2，得 。检验：。 例3 【小数系数】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时减 4，得 ；两边同时除以 2.5，得 。检验：。 跟踪3 【小数系数】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时加 1.4，得 ；再同时除以 1.2，得 。检验：。 例4 【两边都有未知数】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时减去 ，得 ；再同时减 4，得 ，所以 。代回原式，两边都是 24。 跟踪4 【两边都有未知数】 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边同时减去 ，再同时加 5，得 ，所以 。代回原式，两边都是 37。 例5 【两种装袋方案】 同一批贴纸采用两种装袋方案。第一种装 3 袋，每袋放基本数量再加 4 张；第二种装 2 袋，每袋放同样的基本数量再加 13 张。两种方案都恰好装完这批贴纸。每袋的基本数量是多少张？ 【答案】14 张。 【解析】设基本数量为 张，两种方案的总数相同，列 。展开得 ，所以 。检验：两种方案均装了 54 张。 跟踪5 【两种装袋方案】 同一批卡片有两种装袋方案：第一种装 4 袋，每袋装基本数量加 2 张；第二种装 3 袋，每袋装同样的基本数量加 7 张。两种方案都恰好装完。基本数量是多少张？ 【答案】13 张。 【解析】设基本数量为 张，列 。展开得 ，所以 。检验：两种方案均装了 60 张。 例6 【份数与剩余】 手工组把若干珠子分到 3 个袋中，每袋放同样多，还剩 5 颗；一共有 35 颗。每袋放多少颗？ 【答案】10 颗。 【解析】设每袋 颗，根据“袋中总数＋剩余数＝总数”，列 。得 ，所以 。检验：。 跟踪6 【份数与缺少】 要给 4 个小组各发同样多的贴纸，需要的总数比现有的 24 张多 8 张。每组应发多少张？ 【答案】8 张。 【解析】设每组 张，需要的总数是 张，列 。得 ，所以 。检验：。 分层训练 A组 基础巩固 1 解方程：。 【答案】 。 【解析】两边先减 3，得 ；两边再乘 4，得 。检验：。 2 解方程：。 【答案】 。 【解析】把左边的两份和一份合成三份，，所以 。检验：。 3 小林解 时，第一步写成 。他做对了吗？请改正并求解。 【答案】不对；。 【解析】应从等式两边同时减 5，得 ，再除以 3，得 。检验：。 4 填空：如果 ，那么 （ ）。写出检验过程。 【答案】13。 【解析】两边同时减 8，得 ；代入检验，。 B组 综合运用 5 文具店的同款笔记本每本价格相同。买 4 本和一个 3 元的笔袋，共花 35 元。每本笔记本多少元？ 【答案】8 元。 【解析】设每本笔记本 元，列 ，得 ，所以 。检验：。 6 甲买 3 本同一种图书并付运费 12 元，乙买 2 本同一种图书并付运费 27 元，所有图书单价相同，两人总支出相等。每本图书多少元？ 【答案】15 元。 【解析】设每本 元，列 。两边同时减 和 12，得 。检验两人均付 57 元。 7 甲、乙两个空水箱，分别倒入同样容量的水。甲箱倒入 5 桶后再取出 6 升，乙箱倒入 3 桶后再加入 18 升，两箱水量相同。每桶多少升？ 【答案】12 升。 【解析】设每桶水 升，列 。两边同时减去 并加 6，得 ，所以 。检验：两箱均为 54 升。 8 游园时买 3 张相同价格的儿童票和 2 张每张 8 元的成人票，共付 40 元。每张儿童票多少元？ 【答案】8 元。 【解析】设每张儿童票 元，列 ，得 ，所以 。检验总价为 40 元。 C组 挑战思考 9 解方程：。 【答案】 。 【解析】左边展开为 。两边同时减 并加 2，得 。检验：两边均为 28。 10 解方程：。 【答案】 。 【解析】展开得 ；两边同时减 并加 10，得 ，所以 。检验：两边均为 45。 11 一批卡片分成 3 套，每套有 2 组，每组卡片数量相同；另有 2 张特别卡。全部卡片共 50 张，每组有多少张？ 【答案】8 张。 【解析】设每组 张，三套共 6 组，列 。两边同时减 2 得 ，所以 。检验：。 12 妈妈现在的年龄是孩子的 3 倍，12 年后妈妈的年龄是孩子的 2 倍。妈妈和孩子现在各多少岁？ 【答案】孩子 12 岁，妈妈 36 岁。 【解析】设孩子现在 岁，妈妈现在 岁，列 。展开后得 ，所以 ，妈妈 36 岁。12 年后分别为 24 岁和 48 岁，符合。 综合探究 探究1 一本故事书共 35 页。小雨先读了 2 页，接下来 5 天每天读同样多的页数，还剩 3 页。请列方程求这 5 天每天读多少页，并用两种方式检验。 【答案】每天 6 页。 【解析】设每天读 页，按“先读的页数＋五天读的页数＋剩余页数＝全书页数”列 ，得 。检验一：；检验二：。 探究2 数字机器按顺序执行三步：先将输入数加 5，再将结果乘 4，最后减 6。显示的结果是 70。输入数是多少？请按机器的顺序检验。 【答案】输入数是 14。 【解析】设输入数为 ，按机器的顺序列 。两边加 6、除以 4，再减 5，得 。检验：先算 ，再算 ，最后算 。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $