精品解析：广西崇左市大新县大新中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

秋季学期高二年级10月月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则 A. B. C. D. 2. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（ ） A. 2分钟 B. 3分钟 C. 4分钟 D. 5分钟 3. 双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为 A. 1 B. -1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C的离心率为 C. D. C的渐近线方程为 10. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（ ） A. 过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条 B. 的最小值为 C. 若的内切圆与圆外切，则圆的半径为 D. 过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率） 11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B. 圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C. 过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数x，y满足方程，则的最小值是________． 13. 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 14. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知圆O：，直线． （1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； （2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 16. 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： （1）过点，离心率； （2），是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，，且离心率为. 17. 已知双曲线的焦距为是的两个焦点. （1）若双曲线的离心率为，求的方程； （2）若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 18. 已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求； （3）当时，求的最小值． 19. 太曲线由曲线和曲线组成，其中点、为曲线所在圆锥曲线的焦点，点、为曲线所在圆锥曲线的焦点. （1）若，，求曲线的方程； （2）作曲线第一象限中渐近线的平行线，若与曲线有两个公共点、，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上； （3）设，，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秋季学期高二年级10月月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线性质表示焦点F的坐标，再表示A、F的中点B的坐标，将其代入抛物线方程，即可求出参数p，所以B、F的坐标即可求出，由两点间距离公式求出线段长. 【详解】点F的坐标为，所以A、F中点B的坐标为，因为B在抛物线上，所以将B的坐标代入抛物线方程可得：，解得：或（舍）， 则点F坐标为，点B的坐标为，由两点间距离公式可得. 故选D. 【点睛】本题考查抛物线的基本性质，要求熟练掌握抛物线中焦点的坐标，求焦半径时，可以由焦半径公式求，也可以用两点间的距离求取，注意p的符号. 2. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为（ ） A. 2分钟 B. 3分钟 C. 4分钟 D. 5分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得. 【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 则直线，即，圆， 记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为， 则，所以被监测的时长为分钟. 故选：C 3. 双曲线和椭圆共焦点，且一条渐近线方程是，则此双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆的焦点坐标，从而设双曲线的方程为，即，再由渐近线可得，求出，即可求解. 【详解】椭圆方程为：，所以焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线有共同的焦点， 则设双曲线的标准方程为，且①， 因为双曲线的一条渐近线方程是，所以②， 联立①②，解得，， 所以双曲线方程为. 故选：C. 4. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 5. 已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，由，解得，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到． 【详解】由题意可得，，焦点为， 则，解得，又， 则双曲线的渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为． 故选：B． 6. 已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1 【答案】D 【解析】 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 7. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由得点在圆上，因此由两圆有交点得，即的最小值为选D. 考点：两圆位置关系 8. 直线与圆相交于点，点是坐标原点，若是正三角形，则实数的值为 A. 1 B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，直线被圆截得的弦长等于半径．圆的圆心坐标，设圆半径为，圆心到直线的距离为，则． 由条件得，整理得． 所以，解得．选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C的离心率为 C. D. C的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据双曲线的简单性质计算即可. 【详解】由标准方程可得， 所以，A正确； 离心率，B正确； ，，C错误； 渐近线方程为，D错误. 故选：AB. 10. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（ ） A. 过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条 B. 的最小值为 C. 若的内切圆与圆外切，则圆的半径为 D. 过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率） 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点的位置可确定与双曲线有一个公共点的直线条数判断A；根据，结合双曲线定义判断B；设，由两圆外切可构造方程求得圆的半径判断C；设直线，可求得，从而将化为，利用基本不等式可判断D. 【详解】 A：由双曲线渐近线为，点在双曲线外， 过作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点， 过作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点， 综上，过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条，对； B：由双曲线方程知，焦点为，故圆的圆心为双曲线的左焦点， 所以， ，当且仅当三点共线时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，错； C：若为焦点三角形内切圆与x轴的切点， 由双曲线定义、圆切线长定理有， 所以，故的内切圆的圆心必在上， 设，圆半径为，又圆与圆外切，则，得， 所以的内切圆半径为，错； D：设，，则，故， 所以， 又，所以， 所以，对. 故选：AD 【点睛】关键点睛：对于D，根据对称性设点坐标，应用斜率两点式求得为定值，进而得到关于所设参数的表达式为关键. 11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（    ） A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为 B. 圆C与曲线：恰有三条公切线，则 C. 过点作圆的一条切线，切点为Q，可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，求出圆心到直线的距离，将圆上点到直线的最短距离与比较即可；对B，转化为两圆外切即可；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点. 【详解】选项A，由题知，圆心到直线的距离为，圆的半径为， 由，圆上不存在点到直线的距离为，故A错误； 选项B， 整理得，圆心为，半径为， 由题可知两圆外切时有三条公切线，则，解得，B正确； 选项C，由切点为，则在中，， 当最小时，取最大值，最大，过点作，垂足为， 此时最小，最小值为， 即最大值为，最大为，不可能为，故C错误； 选项D，设点，切点， 可得切线方程为，由点在切线上，得， 同理可得， 故点都在直线上， 即直线的方程为， 又由点在直线上，则， 代入直线方程整理得， 由解得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数x，y满足方程，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】设，即，当与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，利用点到直线距离等于半径求解即可． 【详解】由，得， 它表示以为圆心，1为半径的圆． 设，即， 当与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值． 由，得. 故的最小值为. 故答案为： 13. 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据双曲线的定义转换求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝ 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的运用,需要利用定义将题中所给的线段进行转换再分析求解.属于基础题型. 14. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】（1）联立直线方程和，求得点的坐标，然后将点代入椭圆方程，化简整理，即可求得本题答案. 【详解】设椭圆的右焦点为，依题意可得， 双曲线的一条渐近线为， 因为，所以， 由，解得，即，又点在椭圆上， 所以，即， 即，即，即， 即，即， 即，即， 即，解得或（舍去）， 所以椭圆方程为，则，所以椭圆的离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知圆O：，直线． （1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； （2）若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【小问1详解】 当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； 【小问2详解】 当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 16. 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： （1）过点，离心率； （2），是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且，，且离心率为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，结合离心率公式，设双曲线方程再代入求解即可； （2）根据双曲线的定义，结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 若双曲线的实轴在轴上，则设（，）为所求双曲线的标准方程． 由，得①， 由点在双曲线上，得②， 由，结合①②，得，，； 若双曲线的实轴在轴上，则设（，）为所求双曲线的标准方程． 同理有，，， 解得（不合题意）． 故所求双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 设双曲线的标准方程为（，）， 由题意知，，， 由双曲线的定义，得， 由余弦定理，得 ， ，，，. 故所求双曲线的标准方程为. 17. 已知双曲线的焦距为是的两个焦点. （1）若双曲线的离心率为，求的方程； （2）若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由焦距及离心率定义计算即可得； （2）由双曲线定义结合勾股定理计算可得，再利用三角形面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由双曲线的焦距为，则，故， 由双曲线的离心率为，则，故， 则，故的方程为； 【小问2详解】 由双曲线的实轴长为，则，故， 由双曲线的焦距为，则， 由双曲线定义可知，又， 则， 即，则， 则三角形的面积. 18. 已知圆与双曲线只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于两点，与轴交于点．当与重合时，． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据条件确定的值及双曲线经过点，可求双曲线的标准方程. （2）先根据直线与圆线切和与直线垂直，求出直线的方程，代入双曲线方程，可求，利用求弦长. （3）求出弦长和点坐标，再结合直线斜率的取值范围确定的最小值. 【小问1详解】 由圆与双曲线只有两个交点可知：， 又根据题意，双曲线过点，所以， 所以双曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 如图： 因为直线的斜率为，且直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线的方程为：，即， 由， 不妨令，则直线的方程为：， 代入得：， 整理得：， 设，，则，， 所以， 所以， 若，亦可得， 综上：. 【小问3详解】 设直线的方程为，由， 不妨设点在第二象限，因为，则的两个端点为，， 则，因为， 所以，， 将代入双曲线可得：， 整理得：， 设，，则，， 因为，所以， 所以， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问中，可设直线方程为，关键在于确定的取值范围.可由，结合圆和双曲线的对称性，可设点在第二象限，可得直线斜率的取值范围，再结合，即可得直线的斜率的取值范围. 19. 太曲线由曲线和曲线组成，其中点、为曲线所在圆锥曲线的焦点，点、为曲线所在圆锥曲线的焦点. （1）若，，求曲线的方程； （2）作曲线第一象限中渐近线的平行线，若与曲线有两个公共点、，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上； （3）设，，若直线过点交曲线于点，求的面积的最大值. 【答案】（1）和 （2）由题意曲线的渐近线为：，设直线：， 由，得， 所以，解得：， 又由数形结合知．设点，，， 则，，所以，， 所以，即点在射线， 弦的中点必在曲线的另一条渐近线上． （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得到关于的方程组，即可得到曲线的方程； （2）设点，，，设直线l：，与椭圆方程联立化为，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可． （3）曲线设直线的方程为直线与椭圆方程联立可得，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出． 【小问1详解】 由，，以及它们分别为、的焦点， 有，解得，， 因此曲线的方程为和； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，曲线：，点， 设直线的方程为：， 由，得， 所以， 设，，所以，， 所以， 所以面积： ， 令，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为． 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $