广西桂林市广西师范大学附属外国语学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

2026-2027 学年广西师范大学附属外国语学校 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A B B A A A ABD BC BCD 1．已知集合 ，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 逐个让元素等于 2 求解，最后用集合元素的互异性检验． 【解答】若 ，则 ，此时 ，符合题意； 若 ，则 ，无解；若 ，不可能． 又 时 ，元素 1 重复，不合题意，故 ，选 B． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】全称量词命题的否定：改量词、否结论． 【解答】“，”的否定是“，”，故选 D． 3．已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式 ，再用集合的包含关系判断充分必要． 【解答】由 得 ，即 ，解得 或 ， 所以 或 ， 即“”是“”的充分不必要条件，故选 A． 4．如图，已知全集 ，集合 ，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】B 【分析】先化简 ，再由韦恩图看出阴影部分是 的补集． 【解答】由 得 ，即 ； ，所以 ， 图中阴影部分表示 ，即 ，故选 B． 5．如果 ，那么下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用不等式性质与作差法逐项判断，注意 的情形． 【解答】A：，A 错误； B：，B 正确； C：当 时 ，C 错误； D：，故 ，D 错误．故选 B． 6．若 对于任意实数 都有 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 换成 得到第二个等式，消去 ． 【解答】已知 ①， 将 换成 得 ②， 由①得 ，代入②得 ， 所以 ，故 ，选 A． 7．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 的定义域得 ，由分母有意义得 ，取交集． 【解答】由 得 ；由 得 ， 取交集得 ，即定义域为 ，故选 A． 8．已知定义域为 的函数 ，对于任意的 ，，且 ，都有 ，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造 ，由条件知 在 上单调递增，把不等式化为 ． 【解答】令 ，则 ，故 在 上单调递增， 又 ， 不等式 即 ， 所以 ，即 ，解得 ，故选 A． 9．下列四个函数中，定义域与值域相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】逐项写出定义域与值域比较． 【解答】A： 的定义域与值域都是 ，相同； B： 的定义域与值域都是 ，相同； C： 的定义域为 ，值域为 ，不同； D： 的定义域与值域都是 ，相同．故选 ABD． 10．下列结论不正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， 的最小值是 C．当 时， 的最小值是 D．若 ，，且 ，则 的最小值是 【答案】BC 【分析】逐项求最值并检查等号能否取到，注意换元后新变量的范围． 【解答】A： 时 ，当 时取等号，正确； B：令 ，则 ，而 在 上单调递增，故最小值为 ，不是 2，错误； C： 时 ，，又 ，故 ，不可能取到 ，错误； D：，当 ，即 ， 时取等号，正确．故选 BC． 11．已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A． B．函数 在 上单调递增 C． D．满足不等式 的 的取值范围为 【答案】BCD 【分析】令 求 ，再把条件变形为 ，逐项判断． 【解答】在 中令 得 ； 令 得 ，即 ，故 ，得 ，A 错误； 把条件写成 ，取 得 ， 任取 ，则 （因 ），故 在 上单调递增，B 正确； 由 知每两项 ，所以该和式为 0，C 正确； ， 由单调性得 ，结合 解得 ，D 正确．故选 BCD． 12．若函数 ，则 ______． 【答案】 【分析】先算内层函数值，再代回外层． 【解答】，所以 ． 13．不等式 的解集是______． 【答案】 【分析】移项通分，把分式不等式化为整式不等式，注意分母不为零． 【解答】由 得 ，即 ， 等价于 且 ，解得 ， 故解集为 ． 14．已知函数 ，，若对任意的 ，都存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【分析】“任意的 都存在 ”即 的值域是 值域的子集． 【解答】，在 上 ，，故 的值域为 ； 在 上单调递增（），值域为 ， 由题意 ，即 且 ， 解得 且 ，结合 得 ． 15．（本小题 13 分）已知集合 ，． (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)先解出 ，再求 与 的交集；(2) 即 ，注意 的情形． 【解答】(1)由 得 ，即 ，故 ； 当 时 ，所以 ． (2)由 得 ． 当 ，即 时，，符合； 当 时，，由 得 且 ，即 且 ，故 ． 综上，． 16．（本小题 15 分）已知正实数 ， 满足 ． (1)求 的最大值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)用基本不等式 ；(2)先求 的最小值，再把“有解”转化为 不小于该最小值． 【解答】(1)因为 ，，所以 ，即 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 的最大值为 ． (2)由 得 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 3， 不等式有解等价于 ，即 ， 化简得 ，即 ，解得 ， 所以 的取值范围是 ． 17．（本小题 15 分）已知函数 ，且 ． (1)求 的值； (2)用定义证明函数 在 上单调递增； (3)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)最大值 ，最小值 【分析】(1)代入 ；(2)作差后用 判断符号；(3)由 (2) 知 在 上单调递增． 【解答】(1)由 得 ，此时 ． (2)证明：任取 ， 且 ，则 ， 因为 ，所以 ，，即 ， 故 ，即 ， 所以 在 上单调递增． (3)因为 ，由 (2) 知 在 上单调递增， 所以 ，． 18．（本小题 17 分）某无人机企业原有 200 名科技人员，年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元． (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少．请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件？若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)100 人；(2)存在， 【分析】(1)列不等式 ；(2)把两个条件都化为关于 的不等式，再用基本不等式求最值，检验能否同时取到． 【解答】(1)调整后研发人员有 名，年人均工资为 万元， 依题意 ，即 ，亦即 ，解得 ， 故当 时该不等式恒成立，研发人员的人数 ， 所以调整后研发人员最少为 100 人（此时 ）． (2)①即 对一切 恒成立， 化简得 ，即 ， 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，故 ； ②即 对一切 成立，即 恒成立，故 ； 综上 ，且当 时两个条件都成立（如 时取等号）， 所以存在这样的实数 ，且 ． 19．（本小题 17 分）为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间 为函数 定义域的子集，若存在非负常数 ，对任意的 ，，都有 成立，则称 是区间 上的 平缓函数．已知函数 ． (1)当 时，判断并证明 在区间 上是否为 平缓函数； (2)若 在区间 上为 平缓函数，求实数 的取值范围； (3)设 在区间 上的最大值为 ，且 为 平缓函数，满足 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)是，证明见解析；(2)；(3) 【分析】对二次函数，，于是问题化为 的最大值问题；(3)先求最小可能的 ，再解 ． 【解答】(1)当 时 ，对任意 ，， ， 因为 ，，所以 ，从而 ， 所以 ，即 是 上的 平缓函数． (2)对任意 ，，， 因 ，故 的最大值为 ， 要使 是 上的 平缓函数，需 且 ， 即 且 ，故 ． (3)记 ，则 为 平缓函数等价于 ，故条件为 ． ，： 当 时， 在 上单调递减，，，由 得 ，与 矛盾； 当 时，．若 ，，由 得 ，即 ，故 ；若 ，，由 得 恒成立，故 ； 当 时， 在 上单调递增，，，由 得 ，恒成立，故 ； 综上，． 广西师大附属外国语学校高一 10 月月考数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年广西师范大学附属外国语学校 10 月月考试卷　高一数学 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．如图，已知全集 ，集合 ，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． 或 D． 或 5．如果 ，那么下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．若 对于任意实数 都有 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 8．已知定义域为 的函数 ，对于任意的 ，，且 ，都有 ，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．下列四个函数中，定义域与值域相同的函数是（　　） A． B． C． D． 10．下列结论不正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， 的最小值是 C．当 时， 的最小值是 D．若 ，，且 ，则 的最小值是 11．已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A． B．函数 在 上单调递增 C． D．满足不等式 的 的取值范围为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若函数 ，则 ______． 13．不等式 的解集是______． 14．已知函数 ，，若对任意的 ，都存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13 分）已知集合 ，． (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围． 16．（本小题 15 分）已知正实数 ， 满足 ． (1)求 的最大值； (2)若不等式 有解，求实数 的取值范围． 17．（本小题 15 分）已知函数 ，且 ． (1)求 的值； (2)用定义证明函数 在 上单调递增； (3)求函数 在区间 上的最大值和最小值． 18．（本小题 17 分）某无人机企业原有 200 名科技人员，年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元． (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资；②技术人员的年人均工资始终不减少．请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件？若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由． 19．（本小题 17 分）为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间 为函数 定义域的子集，若存在非负常数 ，对任意的 ，，都有 成立，则称 是区间 上的 平缓函数．已知函数 ． (1)当 时，判断并证明 在区间 上是否为 平缓函数； (2)若 在区间 上为 平缓函数，求实数 的取值范围； (3)设 在区间 上的最大值为 ，且 为 平缓函数，满足 ，求实数 的取值范围． 广西师大附属外国语学校高一 10 月月考数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $