第四章 指数函数与对数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数与指数函数、对数与对数函数 指数 1、根式与分数指数幂 1.1 n 次方根 如果 （，），那么 叫作 的 次方根. 方根的存在与个数，只由被开方数的正负和根指数的奇偶决定. 被开方数 方根情况 正数 偶次方根有两个，互为相反数，记作 ；奇次方根是一个正数 负数 没有偶次方根；奇次方根是一个负数 任何次方根都是 正数 的正 次方根叫作 的 次算术根. 记号 在 为偶数时专指算术根，不取负值. 1.2 根式的两条性质 ① （，）； ② 当 为奇数时 ；当 为偶数时 . 两条性质对 的要求不同：① 先开方再乘方，要求根式本身有意义—— 为奇数时 ， 为偶数时 ；② 先乘方再开方，对一切 都有意义， 为偶数时结果为 . 1.3 分数指数幂与无理数指数幂 规定 ，（，，）. 这样规定后，根式与分数指数幂是同一意义的两种写法，运算时一律化成分数指数幂. 两条补充规定： 的正分数指数幂等于 ； 的负分数指数幂没有意义. 无理数指数幂 （ 为无理数，）用有理数指数幂逼近来定义，取值唯一，且运算性质与有理数指数幂完全一致. 1.4 实数指数幂的运算性质 性质 内容 条件 同底数幂相乘 ， 幂的乘方 ， 积的乘方 ，， 由三条可推出除法：，. 指数从有理数扩大到实数后，运算性质不变. 2、指数幂的化简与条件求值 2.1 化简的通法与三条易错 通法：把所有根式统一成分数指数幂再运算. 两个方向都行——从里向外逐层化，或从外向里整体化. 多个因式乘除时先合并同底数的指数，最后再还原成题目要求的形式. 易错一：偶次算术根非负，，不是 . 易错二：和的方根不能拆成方根的和，（取 即得 ）；只有积（商）的方根才能拆，（）. 易错三： 只在 时无条件成立； 时会出错，例如 ，而 . 乘法公式对分数指数幂仍适用：平方差、完全平方、配方照常使用. 2.2 条件求值：平方配方法 已知 （或 ）的值，求 、、 一类式子，通法是乘法公式整体升幂. 求 ：由 互推. 开方取正负时看 与 谁大： 时 ，而 恒成立. 求三次：用立方和、立方差公式整体代入. 立方和公式： 立方差公式： 所以 全程不解出 ，只把已知式当整体反复代入——解出 再代入计算量大且容易算错. 2.3 例题 例 1、(1) 用分数指数幂表示 （）；(2) 化简 （）； (3) 已知 （），求 的值. （），求：(1) ；(2) ；(3) . 指数函数 3、概念与图像性质 3.1 概念与判定 函数 （，且 ）叫作指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 . 判断一个函数是不是指数函数，看形状：系数为 、底数是正常数且不等于 、指数恰好是 、定义域为 . 四项缺一不可. （系数不是 ）、（指数不是 ）、（自变量在底数上）都不是指数函数，前者与第二者叫指数型函数. 底数限制的原因： 时部分 处 无意义； 时 是常函数，没有研究价值. 3.2 图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 共同性质：定义域 、值域 、图像恒在 轴上方、过定点 、以 轴为渐近线. 底数未指定时，性质必须分 与 两支讨论——这是本节最容易漏的一步. 3.3 定点与底数比较 定点： 恒过 ； 恒过 . 做法：令指数等于 解出 ，此时函数值与 无关. 画草图只需这三点： 处、 处、 处. 底数比较（图 1）：作直线 ，与各曲线交点的纵坐标从下到上底数从小到大，即——因为 处函数值就是底数. 口诀： 轴右侧「底大图高」. 图 1　指数函数底数比较：x=1 处交点越高，底数越大 3.4 图像变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ① (去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧) ② (保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方) 4、 与 的图像关于 轴对称（图 2）. 图 2　指数函数 y=2ˣ 与 y=的图像关于 y 轴对称 两条翻折容易混： 动的是整体值， 动的是自变量. 前者把 轴下方的部分翻上来；后者保留 轴右侧、去掉左侧、再对称过去，是偶函数的常见来源. 3.5 例题 例 3、函数 的图像恒过定点 ，求 的坐标. 例 4、若函数 是指数函数，求 的值. 例 5、(1) 说明 的图像如何由 变换得到，并判断其奇偶性； (2) 已知 （，且 ）的图像恒过定点 ，求 的坐标. 4、指数型函数 4.1 定义域与值域 形如 ：因指数函数的定义域为 ，故定义域就是使 有意义的 的范围. 求值域两步：先求 的取值范围，再用 的单调性把 的范围翻译成 的范围. 4.2 单调性：同增异减 复合函数 的单调性： 时与 同增同减； 时与 增减相反. 一句话：外层增则同向，外层减则反向. 求单调区间先扣定义域；区间用集合或「和」连接，不能写成并集. 4.3 换元法求最值 二次型 ：令 ，由 的范围定出 的范围，转化成二次函数在闭区间上的最值. 三步：换元、定 的范围、在 的范围内求二次函数最值（看对称轴与区间的位置关系）. 注意 这个隐含约束——，丢掉它会把区间端点取错. 4.4 例题 例 6、求函数 的值域及单调递减区间. 例 7、已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围. 例 8、求函数 在 上的值域. 对数 5、对数的概念 5.1 定义与互化 如果 （，且 ），那么数 叫作以 为底 的对数，记作 . 其中 叫作对数的底数， 叫作真数. 互化一句话：底数不变， 与 交换位置. 指数式、根式、对数式是同一种数量关系的三种写法. 形式 式中的 式中的 式中的 底数 指数 幂 方根 根指数 被开方数 底数 对数 真数 三者可以互相翻译：写不出答案时，先译成指数式再算. 5.2 底数与真数的限制 底数规定 且 ： 时部分 的对数不存在（如 ）； 时 不存在、 时值不唯一. 真数必须 ：因为 恒为正，负数和 都没有对数. 两条限制合起来就是解「使式子有意义的 范围」题的全部依据：底数大于 且不为 、真数大于 、偶次根号下非负、分母不为 ，逐条翻译再取交集. 5.3 常用对数与自然对数 以 为底的对数叫常用对数， 记为 . 以 为底的对数叫自然对数， 记为 ，其中 . 两者只是底数特殊，运算性质与一般对数完全相同. 6、对数的运算 6.1 基本恒等式 ① 真数 ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ （，且 ）. ④ 与 ⑤ 是同一件事的两个方向：一个把对数「还原」成真数，一个把幂「还原」成指数. 化简多重对数时反复用它们. 6.2 三条运算性质 当 ，且 ，， 时： 性质 内容 一句话 加 积的对数等于对数的和 减 商的对数等于对数的差 提 （） 幂的对数把指数提到前面 常用变形： 三条性质最容易错的地方：真数必须为正. 存在，但 不存在——左式能算不代表拆开能算. 6.3 化简技巧：收与拆 收：同底对数的和差收成积商的对数，多个对数并成一个. 拆：正用性质把一个对数拆开，凑 这类组合. 多重对数符号从内向外逐层化简. 题目给的往往是对数的和差、要的往往是积商幂——逆用比正用频率更高. 6.4 例题 例 9、(1) 求值：；(2) 若 ，求 的值. 例 10、求值：. 证明：设 ，则 . 两边同时取以 为底的对数，得 ，即 . 因 故 ，两边除以 得 ，即 . 换底的作用：把不同底的对数统一成同底，为使用运算性质铺路. 常换成以 为底（）或以 为底（），因为计算器可直接算. 7.2 三条推论 ① （互为倒数）； ② （真数的指数当分子、底数的指数当分母）； ③ 同真数、底不同：；同底、真数不同：. 推论 ① 换个写法就是 ，遇到「对数的倒数」直接换代. 推论 ① 是高频捷径：见到 与 同时出现，直接相乘得 . 7.3 例题 例 11、(1) 求值：；(2) 已知 ，求 的值. ，，用 、 表示 . 对数函数 8、概念与图像性质 8.1 概念与判定 函数 （，且 ）叫作对数函数，定义域是 ，值域是 . 判定四条：形如 、底数是正常数且不等于 、真数恰好是 、 的系数为 . （真数不是 ）、（可化为 ，系数不是 ）都不是对数函数，叫对数型函数. 8.2 图像与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 共同性质：定义域 、值域 、过定点 、以 轴为渐近线. 8.3 定点与底数比较 定点： 恒过 . 平移型 令括号内为 （即 ）即得定点 . 底数比较（图 3）：作直线 ，与各曲线交点的横坐标就是底数（因 ），自左向右底数从小到大. 口诀： 部分「底大图低」. 图3 指数是「底大图高」，对数正好相反——因为两者互为反函数，图像关于 对称，上下与左右互换. 8.4 图像变换与对称 以 为母函数，变换规律与指数函数完全一致，只是定义域受限（图 4）. 变换 结果 定义域 关于 轴对称 关于 轴对称 关于原点对称 去左留右再翻左 图 4　y= 与它关于两坐标轴的对称图像 是偶函数：保留 的部分，再把右侧沿 轴翻折到左侧. 画对数型函数草图，先定定义域、再定渐近线、最后定定点，三点画准就不会错. 8.5 例题 例 13、(1) 函数 （，且 ）的图像恒过定点 ，若点 也在 的图像上，求 ； (2) 若 是对数函数，求 . 9、指数函数与对数函数的关系 9.1 互为反函数 与 （，且 ）互为反函数，三条性质： ① 图像关于直线 对称（图 5）； ② 原图像上的点 ，在反函数图像上对应点 ——坐标互换； ③ 两个函数单调性相同（同增或同减）. 图 5　y=2ˣ 与 y=log₂x 的图像关于直线 y=x 对称 9.2 三类函数的增长差异 在 上，、、 都单调递增，但增长速度不在同一档次. 一次函数匀速上升；指数函数越增越快，称「指数爆炸」；对数函数越增越慢，增长平缓. 总会存在 ，使 时恒有 ，如图 6. 图 6　一次函数、指数函数、对数函数的增长差异 选模型看增长速度的变化趋势：匀速选一次，先快后慢选对数，先慢后急剧选指数. 9.3 例题 例 14、(1) 已知 的反函数为 ，求 ； (2) 设 （，且 ）的图像过点 ，其反函数的图像过点 ，求 的值. 常考题型与解题方法 10、定义域与值域 10.1 定义域的求法 逐条翻译再取交集：偶次根号下非负、分母不为零、对数真数大于 、对数底数大于 且不等于 . 复合函数 的定义域是 的解集——定义域是自变量 的范围，必须解不等式，不能把端点直接代进 . 型抽象函数：由 落在 的定义域内解出 ，别把两个定义域直接套用. 10.2 值域：换元四步 型求值域：① 换元 ；② 求 的取值范围（且 ，内层若是二次式用配方法）；③ 判断 的单调性；④ 由 的范围写出 的范围. 型同理，只是 无正负限制，而 的值域本身是 . 10.3 定义域为 R 与值域为 R 的分界 这是本模块最高频的对比陷阱，一字之差条件相反. 题设 转化 判据 的定义域为 对一切 恒成立 开口向上且 的值域为 真数 须取遍 开口向上且 「值域为 」要求真数能取到任意小的正数，故最小值不能大于 —— 允许最小值 ，此时 仍被取遍. 10.4 例题 例 15、求下列函数的值域：(1) ，；(2) . 例 16、已知 . (1) 若 的定义域为 ，求 的取值范围；(2) 若 的值域为 ，求 的取值范围. 11、复合函数的单调性 11.1 三步与三条纪律 型：① 解 得定义域；② 在定义域内判断 的单调性；③ 按「 同向、 反向」得复合单调性. 三条纪律：定义域优先（区间必须落在定义域内）、区间不并（写成两个区间的和）、底数含参分类（ 与 各算一遍）. 11.2 含参单调的三件套 求「 在给定区间上单调」中的参数范围，要同时卡住三件事： ① 对称轴卡区间——内层二次函数的对称轴必须在区间端点的正确一侧； ② 真数恒正——区间上 恒成立（对数型专有）； ③ 端点取舍——端点处等号能否取到，要回代检验. 只列①最常见，会漏掉「真数变负」与「端点处真数为零」两类假根. 11.3 例题 例 17、已知 （），求 的增区间. 例 18、已知 在 上单调递减，求 的取值范围. 12、大小比较 12.1 中间量法 最常用的中间量是 和 . 与 比： 的符号由「底数与 、真数与 是否同侧」决定——同侧（同大于 或同小于 ）为正，异侧为负，口诀「同大异小」. 与 比： 与 比看指数 的符号； 与 比化成与 比. 12.2 四种情形的方法选择 情形 方法 同底数 构造该底数的对数（或指数）函数，用单调性 同真数 换底化同底，或画图像看高低 不同底不同真 用 、 等中间量先分组 底数含字母 对底数与 的大小分类讨论 多个数一起比：先逐个与中间量定号（正负各一组），组内再比大小. 12.3 例题 例 19、已知 ，，，试比较 ，， 的大小. 例 20、已知 ，，，比较 ，， 的大小. 13、指数不等式与对数不等式 13.1 三种类型 类型 解法 化同底，按底数分类： 时 ； 时 先把 写成 ，归为上一类型 化同底幂： 时 ； 时 底数不同时先换底统一，常用 把 化成 . 13.2 两条纪律 ① 真数大于 不能丢：去对数符号时必须同时联立 、； ② 底数含字母必须分类： 与 两支分别求解，两支的不等号方向相反，最后答案分段写. 两边都含对数且底数相同时，也可以两边取指数（即用 的单调性）脱掉对数符号，但同样要先保证真数为正. 13.3 例题 例 21、解关于 的不等式：(1) ；(2) （，且 ）. 例 22、解不等式 . 同底则 ，直接脱掉底数 取对数：；或把 写成 换元 ，解二次方程后回代，负根舍去 14.2 对数方程的类型与验根 形如 ：化成 求解，再回代验真数. 形如 ：换元 ，解出 再回代. 形如 ：化成指数式 求解. 对数方程化为代数方程时，未知数范围可能扩大，因此必须验根——把解代回原方程看真数是否为正、底数是否合法. 14.3 例题 例 23、解下列方程：(1) ；(2) . 15、奇偶性模型 15.1 常见模型表 设 ，且 . 模型 奇偶性 定义域 判断抓手 奇函数 偶函数 偶函数 是偶函数（复合） 奇函数 分子分母同乘 后对照 奇函数 同上； 处无定义但定义域对称 奇函数 通分后即上一行的一半 奇函数 真数互为倒数，乘积为 奇函数 同上 奇函数 两式相乘，真数积为 奇函数 奇 偶 奇 偶函数 奇 奇 偶 记忆一句话：指数型盯「 与 互换」，对数型盯「真数互为倒数」——倒数则对数相加为 ，即奇函数. 15.2 判定与用法四条 ① 定义域优先：对数型先解真数大于 ，看定义域是否关于原点对称——不对称直接判非奇非偶，不必再算 ； ② 证明套路：算 与 比较；对数型常用 （真数相乘为 ）； ③ 定参技巧：奇函数且 在定义域内，可直接列 定参；偶函数可用 等特殊值辅助； ④ 「奇 单调」解抽象不等式：，再按单调性脱掉 ——增函数得 ，减函数得 ，别忘定义域的对称限制. 另注：平移破坏对称性—— 只有 时才是偶函数. 15.3 例题 例 24、(1) 判断并证明 的奇偶性； (2) 判断 的奇偶性，并解不等式 . 例 25、已知 （，且 ）是偶函数，且 ，求 、 的值. . (1) 判断 的奇偶性与单调性； (2) 解不等式 . ， 恒成立 求 在 上的最小值 存在 ，使 求 在 上的最大值 一字之差，一个看最小值、一个看最大值，是本模块最容易做反的地方. 16.2 分离参数三步 ① 把参数从不等式中解出来，化成 或 的形式（注意乘除负数时不等号反向）； ② 求 在给定区间上的最值； ③ 按量词定答案：恒成立取「最紧」的一侧（ 恒成立则 ），存在性取宽松的一侧（则 ）. 若参数无法分离（如参数在二次项系数上），改用「分类讨论 端点效应」或直接求含参函数的最值. 16.3 例题 例 27、已知不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. 例 28、若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $指数与指数函数、对数与对数函数 指数 1、根式与分数指数幂 1.1n次方根 如果xn=a(n>1,n∈N*),那么x叫作a的n次方根 方根的存在与个数，只由被开方数的正负和根指数的奇偶决定 被开方数 方根情况 正数a 偶次方根有两个，互为相反数，记作±Vā；奇次方根是一个正数 负数a 没有偶次方根：奇次方根是一个负数 0 任何次方根都是0 正数a的正n次方根叫作α的n次算术根.记号Va在n为偶数时专指算术根，不取负 值」 1.2根式的两条性质 ①(a)"=a(n>1,neN*); ②当n为奇数时Van=a;当n为偶数时yan=lal. 两条性质对a的要求不同：①先开方再乘方，要求根式本身有意义一n为奇数时a∈ R,n为偶数时a≥0；②先乘方再开方，对一切a∈R都有意义，n为偶数时结果为a 1.3分数指数幂与无理数指数幂 规定a器=am,a费=产(a>0.mnE,n>1D. 这样规定后，根式与分数指数幂是同一意义的两种写法，运算时一律化成分数指数幂 两条补充规定：0的正分数指数幂等于0：0的负分数指数幂没有意义 无理数指数幂a(a:为无理数，a>0)用有理数指数幂逼近来定义，取值唯一，且运 算性质与有理数指数幂完全一致 1 1.4实数指数幂的运算性质 性质 内容 条件 同底数幂相乘 ar.as=ar+s a>0,r,s∈R 幂的乘方 (ar)s=ars a>0,r,S∈R 积的乘方 (ab)"a"b" a>0,b>0,rER 由三条可推出除法：a÷as=a-s, 指数从有理数扩大到实数后，运算性质不变 2、指数幂的化简与条件求值 2.1化简的通法与三条易错 通法：把所有根式统一成分数指数幂再运算 两个方向都行一从里向外逐层化，或从外向里整体化 多个因式乘除时先合并同底数的指数，最后再还原成题目要求的形式. 易错一：偶次算术根非负，√(-3)严=3，不是-3. 易错二：和的方根不能拆成方根的和，va+b≠va+Vb(取a=b=1即得√2≠ 2);只有积（商）的方根才能拆，√ab=VaV万(a,b≥0). 易错三：(ar)5=as只在a>0时无条件成立；a<0时会出错，例如(-1)2)2=1， 而(-1)2x经=-1 乘法公式对分数指数幂仍适用：平方差、完全平方、配方照常使用 2.2条件求值：平方配方法 己知a+日（或a-的值，求a+a京、a2+是a3±后一类式子，通法是乘法公式 整体升幂 求a+由(a±)2=a2±2+互推 开方取正负时看a与是谁大：a>1时a-是>0，而a+是>0恒成立. 求三次：用立方和、立方差公式整体代入」 立方和公式：a+b3=(a+b)(a2+b2-ab) 立方差公式：ad-b3=(a-b)川am2+b+ab) 所以a3+3=(a+)(a2-1+),a3-是=(a-)(a2+1+) 全程不解出α，只把已知式当整体反复代入一解出a再代入计算量大且容易算错。 2.3例题 例1、()用分数指数幂表示VaVa(a>0);(2)化简a(a>0): (3)已知a+b=2(a,b>0),求V9a·3b÷3a的值 例2、已知a-=1(a>0),求：()a2+3:(2)a+6)a3- 3 指数函数 3、概念与图像性质 3.1概念与判定 函数y=ax（a>0,且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R 判断一个函数是不是指数函数，看形状：系数为1、底数是正常数且不等于1、指数恰好 是x、定义域为R 四项缺一不可.y=2·3x(系数不是1)、y=3x+1(指数不是x)、y=x3(自变量在 底数上)都不是指数函数，前者与第二者叫指数型函数 底数限制的原因：a≤0时部分x处ax无意义；a=1时y≡1是常函数，没有研究价 ® 3.2图像与性质 a>1 0<a<1 y=a y=ay 图象 (0,1) (0,1) y=1 -=1 0 定义域 R 值域 (0,+0) 性质 过定点 (0,1) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 共同性质：定义域R、值域(0，+o)、图像恒在x轴上方、过定点(0,1)、以x轴为渐近 线 底数未指定时，性质必须分a>1与0<a<1两支讨论一这是本节最容易漏的一步： 3.3定点与底数比较 定点：y=ax恒过(0,1)：y=ax+h+k恒过(-h,1+k). 4 做法：令指数等于0解出x,此时函数值与a无关.画草图只需这三点：x=0处、x=1 处、x=-1处 底数比较（图1）：作直线x=1,与各曲线交点的纵坐标从下到上底数从小到大，即 0<d<c<1<b<a—因为x=1处函数值就是底数 口诀：y轴右侧「底大图高」. Y=b 图1指数函数底数比较：=1处交点越高，底数越大 3.4图像变换 已知函数y=a(a>0(y=a(a>0且a≠1)a≠1) 1、平移变换 ①y=G商上平移x个单位长度>0y=心+k ②y=向下平移x个单位长度0))y=d-k ③y=d向左平移个单位长度Ca>0))y=a+h ④y=d向右平移个单位长度>0→y=a-M 2、对称变换 ①y=d关打轴对称)y=a ②y=心关于轴对称)y=一d ③y=心关于原点对称)y=-(x 3、翻折变换 5 ①y=d禁声)y=(去掉y轴左侧图象，保留y轴右侧图象；将y轴右侧图象翻折 到y轴左侧) ②y=→ya(保留x轴上方的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方) 4y=a*与y=ax=(月 的图像关于y轴对称（图2）. y=2 =2 图2指数函数=2与=()的图像关于y轴对称 两条翻折容易混：y=|a|动的是整体值，y=a风动的是自变量 前者把x轴下方的部分翻上来；后者保留y轴右侧、去掉左侧、再对称过去，是偶函数 的常见来源 3.5例题 例3、函数f(x)=ax-1+3的图像恒过定点P,求P的坐标 例4、若函数fx)=(a2-3)·a*是指数函数，求f(的值， 6 例5、(1)说明y=2x的图像如何由y=2x变换得到，并判断其奇偶性： (2)已知f(x)=ax-2+5(a>0,且a≠1)的图像恒过定点P,求P的坐标」 4、指数型函数 4.1定义域与值域 形如y=af(:因指数函数的定义域为R,故定义域就是使f(x)有意义的x的范围 求值域两步：先求t=f(x)的取值范围，再用y=a的单调性把t的范围翻译成y的范 围 4.2单调性：同增异减 复合函数y=af(x的单调性：a>1时与f(x)同增同减：0<a<1时与f(x)增减相 反 一句话：外层增则同向，外层减则反向 求单调区间先扣定义域：区间用集合或「和」连接，不能写成并集 4.3换元法求最值 二次型y=A·a2x+B·ax+C:令t=ax,由x的范围定出t的范围，转化成二次函数 在闭区间上的最值. 三步：换元、定t的范围、在t的范围内求二次函数最值（看对称轴与区间的位置关 系) 注意t>0这个隐含约束一t=αx>0,丢掉它会把区间端点取错！ 4.4例题 例6、求函数y=2x2-2x+3的值域及单调递减区间. 例7、已知函数f(x)=2x2-ax在[2，+o)上单调递增，求实数a的取值范围 例8、求函数y=4-2x+1+3在[-1,1]上的值域， 对数 5、对数的概念 5.1定义与互化 如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫作以a为底N的对数，记作x=logaN 其中a叫作对数的底数，N叫作真数 互化一句话：底数不变，x与N交换位置 ab=N→logaN=b(a>0,a≠1，N>0) 指数式、根式、对数式是同一种数量关系的三种写法 形式 式中的a 式中的b 式中的N ab=N 底数 指数 幂 RN=a 方根 根指数 被开方数 logaN b 底数 对数 真数 三者可以互相翻译：写不出答案时，先译成指数式再算 8 5.2底数与真数的限制 底数规定a>0且a≠1：a≤0时部分N的对数不存在（如log-28);a=1时N≠1 不存在、N=1时值不唯一 真数必须N>0:因为ax恒为正，负数和0都没有对数， 两条限制合起来就是解「使式子有意义的x范围」题的全部依据：底数大于0且不为 1、真数大于0、偶次根号下非负、分母不为0，逐条翻译再取交集， 5.3常用对数与自然对数 以10为底的对数叫常用对数，log1oN记为lgN 以e为底的对数叫自然对数，logeN记为nN,其中e=2.71828…. 两者只是底数特殊，运算性质与一般对数完全相同， 6、对数的运算 6.1基本恒等式 ①真数N>0: ②loga1=0; ③logaa=1; ④alogaN=N: ⑤logaax=x(a>0,且a≠1). ④与⑤是同一件事的两个方向：一个把对数「还原」成真数，一个把幂「还原」成指 数.化简多重对数时反复用它们. 6.2三条运算性质 当a>0,且a≠1，M>0,N>0时： 性质 内容 一句话 加 loga(MN)=logaM +logaN 积的对数等于对数的和 减 M loga N=logaM-logaN 商的对数等于对数的差 提 logaMT=nlogaM(n∈R) 幂的对数把指数提到前面 常用变形： logaM,MMMoM 1 三条性质最容易错的地方：真数必须为正.1og2[(-3)×(-5)]存在，但log2(-3)+ log2(-5)不存在一左式能算不代表拆开能算 6.3化简技巧：收与拆 收：同底对数的和差收成积商的对数，多个对数并成一个 拆：正用性质把一个对数拆开，凑1g2+1g5=1这类组合 多重对数符号从内向外逐层化简， 题目给的往往是对数的和差、要的往往是积商幂一逆用比正用频率更高. 6.4例题 例9、(1)求值：lg25+lg2·lg50+g2)2；(2)若log3[g(nx)]=0,求lnx的值 例10、求值：1og2云·log日logs 10 7、换底公式 7.1公式与证明 logcb logab logca (a>0,a≠1；b>0;c>0,c≠1). 证明：设logab=x,则ax=b. 两边同时取以c为底的对数，得logcax=logcb,即xlogca=logcb. 因a≠1故1ogca≠0，两边除以logea得x=e也即1ogab=e边 logca logca 换底的作用：把不同底的对数统一成同底，为使用运算性质铺路 常换成以10为底(lg)或以e为底(n),因为计算器可直接算 7.2三条推论 ①logNM.logMN=1(互为倒数)； ②logambn=”logab(真数的指数当分子、底数的指数当分母)； m ③同真数、底不同：sa=l1ogab:同底、真数不同：1cw-logwM. logbM logcN 推论①换个写法就是=1gwa,遇到[对数的倒数直接换代 推论①是高频捷径：见到log23与1og32同时出现，直接相乘得1. 7.3例题 例11、(1)求值：1og6432;(2)已知3a=40=12,求+的值. 例12、已知a=1og52,2b=3,用a、b表示log215 11 对数函数 8、概念与图像性质 8.1概念与判定 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数，定义域是(0，+oo),值域是R 判定四条：形如y=logax、底数是正常数且不等于1、真数恰好是x、logax的系数为 1. y=1og2(x-1)(真数不是x)、y=log5x5(可化为5log5x,系数不是1)都不是对数 函数，叫对数型函数 8.2图像与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域：(0，十0) 值域：R 性质 过点(1,0)，即当x=1时，y=0 在(0，+o)上是单调增函数 在(0，+∞)上是单调减函数 共同性质：定义域(0，+o∞)、值域R、过定点(1,0)、以y轴为渐近线 8.3定点与底数比较 定点：y=logx恒过(1,0) 平移型y=loga(x+h)+k令括号内为1（即x=1-h)即得定点(1-h,k). 底数比较（图3）：作直线y=1,与各曲线交点的横坐标就是底数（因log。a=1), 自左向右底数从小到大 口诀：x>1部分「底大图低」. 12 y= y=logT 越 来越 (底数大于1) 0 6 2 y=log (底数小于1) =1 y=log r 图3 指数是「底大图高」，对数正好相反一因为两者互为反函数，图像关于y=x对称， 上下与左右互换 8.4图像变换与对称 以y=logax为母函数，变换规律与指数函数完全一致，只是定义域受限（图4）. 变换 结果 定义域 关于y轴对称 y=loga(-x) X<0 关于x轴对称 y=-logax X>0 关于原点对称 y=-loga(-x) x<0 去左留右再翻左 y=logalxl x≠0 y=log2 y=log2 (-x) y=-10g 图4y曰Hog2x与它关于两坐标轴的对称图像 y=logalx|是偶函数：保留x>0的部分，再把右侧沿y轴翻折到左侧 画对数型函数草图，先定定义域、再定渐近线、最后定定点，三点画准就不会错 8.5例题 13 例13、(1)函数y=loga(x+1)+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A也 在f(x)=2x+b的图像上，求b: ()②若f)=(a2+a-5 logax是对数函数，求f() 9、指数函数与对数函数的关系 9.1互为反函数 y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数，三条性质： ①图像关于直线y=x对称（图5)； ②原图像上的点(m,n),在反函数图像上对应点(n,m)一坐标互换： ③两个函数单调性相同（同增或同减）. 图5y=2与y=log2x的图像关于直线y=x对称 9.2三类函数的增长差异 在(0，+o)上，y=kx(k>0)、y=ax(a>1)、y=logax(a>1)都单调递增，但增 长速度不在同一档次 一次函数匀速上升：指数函数越增越快，称「指数爆炸」：对数函数越增越慢，增长平 缓 14 总会存在xo,使x>xo时恒有logax<kx<ax,如图6. 》 y=a(a>1) y=kr y=logx 2 34 图6一次函数、指数函数、对数函数的增长差异 选模型看增长速度的变化趋势：匀速选一次，先快后慢选对数，先慢后急剧选指数 9.3例题 例14、()已知f(x)=4的反函数为g(),求g(): (2)设f(x)=loga(x+b)(a>0,且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点 (2,8),求a+b的值 常考题型与解题方法 10、定义域与值域 10.1定义域的求法 逐条翻译再取交集：偶次根号下非负、分母不为零、对数真数大于0、对数底数大于0 且不等于1 复合函数y=logaf(x)的定义域是f(x)>0的解集—定义域是自变量x的范围，必须 解不等式，不能把端点直接代进∫ f(g(x)型抽象函数：由g(x)落在f的定义域内解出x,别把两个定义域直接套用. 15 10.2值域：换元四步 y=l1ogaf(x)型求值域：①换元t=f(x);②求t的取值范围（且t>0,内层若是二 次式用配方法)；③判断y=logat的单调性；④由t的范围写出y的范围， y=af型同理，只是t无正负限制，而y=a的值域本身是(0，十o) 10.3定义域为R与值域为R的分界 这是本模块最高频的对比陷阱，一字之差条件相反 题设 转化 判据 f(x)=lg(x2+2x+a)的定义域为R x2+2x+a>0对一切x恒成立 开口向上且△<0 f(x)=lg(x2+2x+a)的值域为R 真数t须取遍(0，十o) 开口向上且△≥0 「值域为R」要求真数能取到任意小的正数，故最小值不能大于0一△≥0允许最小值 ≤0，此时(0，十∞)仍被取遍 10.4例题 例15、求下列函数的值域：(1)y=log3(2x-1),x∈[1,2]：(2)y=logo4(-x2+3x+ 4). 例16、己知f(x)=lg(x2+2x+a).(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围：(2)若 f(x)的值域为R,求a的取值范围. 16 11、复合函数的单调性 11.1三步与三条纪律 y=logaf(x)型：①解f(x)>0得定义域；②在定义域内判断t=f(x)的单调性；③ 按「a>1同向、0<a<1反向」得复合单调性 三条纪律：定义域优先（区间必须落在定义域内）、区间不并（写成两个区间的和）、 底数含参分类(a>1与0<a<1各算一遍) 11.2含参单调的三件套 求「f(x)在给定区间上单调」中的参数范围，要同时卡住三件事： ①对称轴卡区间一内层二次函数的对称轴必须在区间端点的正确一侧； ②真数恒正—区间上f(x)>0恒成立（对数型专有）： ③端点取舍一端点处等号能否取到，要回代检验， 只列①最常见，会漏掉「真数变负」与「端点处真数为零」两类假根 11.3例题 例17、己知f(x)=l1oga(2x2+x)(0<a<1),求f(x)的增区间. 例18、已知f(x)=lg(x2-ax+2)在(-o,1]上单调递减，求a的取值范围， 17 12、大小比较 12.1中间量法 最常用的中间量是0和1. 与0比：1og。x的符号由「底数与1、真数与1是否同侧」决定一同侧（同大于1或 同小于1)为正，异侧为负，口诀「同大异小」 与1比：ax与1比看指数x的符号；logax与1比化成与logaa比. 12.2四种情形的方法选择 情形 方法 同底数 构造该底数的对数（或指数）函数，用单调性 同真数 换底化同底，或画图像看高低 不同底不同真 用0、1等中间量先分组 底数含字母 对底数与1的大小分类讨论 多个数一起比：先逐个与中间量定号（正负各一组)，组内再比大小 12.3例题 例19、已知a=log20.3,b=log0.32,c=2.3,试比较a,b,c的大小 例20、已知a=log2,b=log23,c=203,比较a,b,c的大小 18 13、指数不等式与对数不等式 13.1三种类型 类型 解法 logaf(x) 化同底，按底数分类：a>1时f(x)>g(x):0<a<1时0< >logag(x) g(x)<f(x) logaf(x)>b 先把b写成logaa,归为上一类型 af(x)>ag(x) 化同底幂：a>1时f(x)>g(x):0<a<1时f(x)<g(x) 底数不同时先换底统一，常用loganM=logaM把1og4化成log2 13.2两条纪律 ①真数大于0不能丢：去对数符号时必须同时联立f(x)>0、g(x)>0: ②底数含字母必须分类：a>1与0<a<1两支分别求解，两支的不等号方向相反， 最后答案分段写 两边都含对数且底数相同时，也可以两边取指数（即用y=αx的单调性）脱掉对数符 号，但同样要先保证真数为正 13.3例题 例21、解关于x的不等式：(1)l1og2(2x-1)≤3；(2)loga(x-1)>loga2(a>0,且 a≠1). 例22、解不等式lg2(x-1)-1og4(3x-5)>0. 19 14、指数方程与对数方程 14.1指数方程的三种类型 类型 解法 af(x)=ag(x) 同底则f(x)=g(x),直接脱掉底数 af(x)=b 取对数：f(x)=logab:或把b写成alo8ab A·a2x+B·ax+C=0 换元t=ax>0,解二次方程后回代，负根舍去 14.2对数方程的类型与验根 形如logaf(x)=logag(x):化成f(x)=g(x)求解，再回代验真数. 形如f(logax)=0:换元t=logax,解出t再回代 形如1ogr9(x)=c:化成指数式f(x)]=g(x)求解。 对数方程化为代数方程时，未知数范围可能扩大，因此必须验根一把解代回原方程看 真数是否为正、底数是否合法 14.3例题 例23、解下列方程：(1)4x-6·2x+8=0;(2)lg(x+1)+1g(x-1)=1g3 15、奇偶性模型 15.1常见模型表 设a>0,且a≠1. 模型 奇偶性 定义域 判断抓手 f(x)=ax-a-x 奇函数 R f(-x)=-f(x) 20 棋型 奇偶性 定义域 判断抓手 f(x)=ax+a-x 偶函数 R f(-x)=f(x) f(x)=alxl 偶函数 R Ix|是偶函数（复合） f=a-1 奇函数 R 分子分母同乘αx后对照 ax+1 f()1 奇函数 {xIx≠0} 同上：0处无定义但定义域对称 ax-1 1 1 f)=a*-i+2 奇函数 {xIx≠0} 通分后即上一行的一半 1+x f(x)=181-x 奇函数 (-1,1) 真数互为倒数，乘积为1 1-x f)=1g1+x 奇函数 (-1,1) 同上 f(x)=lg(x2+1-x) 奇函数 R 两式相乘，真数积为1 f(x)=xlg(x2+1) 奇函数 R 奇×偶=奇 f(x)=x(ax-a-x) 偶函数 R 奇×奇=偶 记忆一句话：指数型盯「x与一x互换」，对数型盯「真数互为倒数」 倒数则对数 相加为0，即奇函数 15.2判定与用法四条 ①定义域优先：对数型先解真数大于0，看定义域是否关于原点对称一不对称直接判 非奇非偶，不必再算f(-x): ②证明套路：算f(-x)与+f(x)比较：对数型常用f(x)+f(-x)=0(真数相乘为 1); ③定参技巧：奇函数且0在定义域内，可直接列f(0)=0定参；偶函数可用f(-1)= f(1)等特殊值辅助： ④「奇+单调」解抽象不等式：f(t)+f(s)<0→f(t)<-f(s)=f(-s),再按单调 性脱掉f一增函数得t<-s,减函数得t>-s,别忘定义域的对称限制. 另注：平移破坏对称性—f(x)=a*+ax+c只有c=0时才是偶函数. 15.3例题 21 例24、(1)判断并证明f(x)=lg(Vx2+1-x)的奇偶性： (②)判断f)=g的奇偶性，并解不等式f()>0. 例25、已知f(x)=a*+b:ax(a>0,且a≠1)是偶函数，且f(1)=3求a、b 的值 例26、己知f(x)=2x-2x. (1)判断f(x)的奇偶性与单调性： (2)解不等式f(x-2)+f(2x2-2)>0. 22 16、恒成立与存在性 16.1两种量词的分界 题设 转化 判据 对任意xED,F(x)>0恒成立 求F在D上的最小值 Fmin >0 存在xED,使F(x)>0 求F在D上的最大值 Fmax>0 一字之差，一个看最小值、一个看最大值，是本模块最容易做反的地方」 16.2分离参数三步 ①把参数从不等式中解出来，化成a<g(x)或a>g(x)的形式（注意乘除负数时不等 号反向)： ②求g在给定区间上的最值： ③按量词定答案：恒成立取「最紧」的一侧(a<g(x)恒成立则a<gmim)，存在性 取宽松的一侧（则a<gmax) 若参数无法分离（如参数在二次项系数上），改用「分类讨论+端点效应」或直接求含 参函数的最值 16.3例题 例27、已知不等式log2(x2-2ax+3)>0在xE[1,2]上恒成立，求a的取值范围， 23 例28、若存在xE[1,2],使不等式log2(x2-2ax+3)>0成立，求a的取值范围 24 指数与指数函数、对数与对数函数 指数 1、根式与分数指数幂 1.1 n 次方根 如果 （，），那么 叫作 的 次方根. 方根的存在与个数，只由被开方数的正负和根指数的奇偶决定. 被开方数 方根情况 正数 偶次方根有两个，互为相反数，记作 ；奇次方根是一个正数 负数 没有偶次方根；奇次方根是一个负数 任何次方根都是 正数 的正 次方根叫作 的 次算术根. 记号 在 为偶数时专指算术根，不取负值. 1.2 根式的两条性质 ① （，）； ② 当 为奇数时 ；当 为偶数时 . 两条性质对 的要求不同：① 先开方再乘方，要求根式本身有意义—— 为奇数时 ， 为偶数时 ；② 先乘方再开方，对一切 都有意义， 为偶数时结果为 . 1.3 分数指数幂与无理数指数幂 规定 ，（，，）. 这样规定后，根式与分数指数幂是同一意义的两种写法，运算时一律化成分数指数幂. 两条补充规定： 的正分数指数幂等于 ； 的负分数指数幂没有意义. 无理数指数幂 （ 为无理数，）用有理数指数幂逼近来定义，取值唯一，且运算性质与有理数指数幂完全一致. 1.4 实数指数幂的运算性质 性质 内容 条件 同底数幂相乘 ， 幂的乘方 ， 积的乘方 ，， 由三条可推出除法：，. 指数从有理数扩大到实数后，运算性质不变. 2、指数幂的化简与条件求值 2.1 化简的通法与三条易错 通法：把所有根式统一成分数指数幂再运算. 两个方向都行——从里向外逐层化，或从外向里整体化. 多个因式乘除时先合并同底数的指数，最后再还原成题目要求的形式. 易错一：偶次算术根非负，，不是 . 易错二：和的方根不能拆成方根的和，（取 即得 ）；只有积（商）的方根才能拆，（）. 易错三： 只在 时无条件成立； 时会出错，例如 ，而 . 乘法公式对分数指数幂仍适用：平方差、完全平方、配方照常使用. 2.2 条件求值：平方配方法 已知 （或 ）的值，求 、、 一类式子，通法是乘法公式整体升幂. 求 ：由 互推. 开方取正负时看 与 谁大： 时 ，而 恒成立. 求三次：用立方和、立方差公式整体代入. 立方和公式： 立方差公式： 所以 全程不解出 ，只把已知式当整体反复代入——解出 再代入计算量大且容易算错. 2.3 例题 例 1、(1) 用分数指数幂表示 （）；(2) 化简 （）； (3) 已知 （），求 的值. 解：(1) 由内向外：. (2) 统一成分数指数幂再合并：. (3) 全部化成以 为底的幂，根号写成指数 ： 第 (3) 问不分别解出 、，而是把指数组成的整体 直接代入——整体思想是本章条件求值的通用套路. 例 2、已知 （），求：(1) ；(2) ；(3) . 解：(1) 已知式两边平方：，故 . (2) 由 ，且 时 ，开方得 . (3) 立方差公式整体代入：. 与 知一求二，靠平方互推；三次方用乘法公式整体代入，始终不解出 . 指数函数 3、概念与图像性质 3.1 概念与判定 函数 （，且 ）叫作指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 . 判断一个函数是不是指数函数，看形状：系数为 、底数是正常数且不等于 、指数恰好是 、定义域为 . 四项缺一不可. （系数不是 ）、（指数不是 ）、（自变量在底数上）都不是指数函数，前者与第二者叫指数型函数. 底数限制的原因： 时部分 处 无意义； 时 是常函数，没有研究价值. 3.2 图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 共同性质：定义域 、值域 、图像恒在 轴上方、过定点 、以 轴为渐近线. 底数未指定时，性质必须分 与 两支讨论——这是本节最容易漏的一步. 3.3 定点与底数比较 定点： 恒过 ； 恒过 . 做法：令指数等于 解出 ，此时函数值与 无关. 画草图只需这三点： 处、 处、 处. 底数比较（图 1）：作直线 ，与各曲线交点的纵坐标从下到上底数从小到大，即——因为 处函数值就是底数. 口诀： 轴右侧「底大图高」. 图 1　指数函数底数比较：x=1 处交点越高，底数越大 3.4 图像变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ① (去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧) ② (保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方) 4、 与 的图像关于 轴对称（图 2）. 图 2　指数函数 y=2ˣ 与 y=的图像关于 y 轴对称 两条翻折容易混： 动的是整体值， 动的是自变量. 前者把 轴下方的部分翻上来；后者保留 轴右侧、去掉左侧、再对称过去，是偶函数的常见来源. 3.5 例题 例 3、函数 的图像恒过定点 ，求 的坐标. 解：令指数 得 ，此时 ，故 . 平移观点： 过 ，向右平移 个单位、向上平移 个单位即得，故定点为 . 例 4、若函数 是指数函数，求 的值. 解：指数函数的系数为 且底数 、：由 得 ，结合 且 舍去 ，故 ，. 于是 . 解出底数后必须回代检验 且 ；若解出 或负数就要舍去. 例 5、(1) 说明 的图像如何由 变换得到，并判断其奇偶性；(2) 已知 （，且 ）的图像恒过定点 ，求 的坐标. 解：(1) 保留 在 轴右侧（含 轴）的部分，去掉左侧，再把右侧图像沿 轴翻折到左侧. 由 知它是偶函数——图像关于 轴对称，与变换方式一致. (2) 令指数 得 ，此时 ，与 的取值无关，故 . 与 型的定点仍由「指数为零」确定——绝对值非负，取到零点即得. 4、指数型函数 4.1 定义域与值域 形如 ：因指数函数的定义域为 ，故定义域就是使 有意义的 的范围. 求值域两步：先求 的取值范围，再用 的单调性把 的范围翻译成 的范围. 4.2 单调性：同增异减 复合函数 的单调性： 时与 同增同减； 时与 增减相反. 一句话：外层增则同向，外层减则反向. 求单调区间先扣定义域；区间用集合或「和」连接，不能写成并集. 4.3 换元法求最值 二次型 ：令 ，由 的范围定出 的范围，转化成二次函数在闭区间上的最值. 三步：换元、定 的范围、在 的范围内求二次函数最值（看对称轴与区间的位置关系）. 注意 这个隐含约束——，丢掉它会把区间端点取错. 4.4 例题 例 6、求函数 的值域及单调递减区间. 解：令 ，则 . 在 上递增，故 ，值域为 . 递增，递减区间就是 的递减区间，即 . 外层单调时「复合函数的单调区间与内层相同（）或相反（）」. 例 7、已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围. 解：外层 递增，故内层 在 上须单调递增. 的对称轴为 ，递增区间为 ，故 ，即 . 的取值范围是 . 「指数型 + 二次指数」的含参单调，本质是二次函数对称轴卡区间；此处指数函数是增的，若底数在 内则方向相反. 例 8、求函数 在 上的值域. 解：令 ，由 得 . 原式化为 . 对称轴 落在区间内，故 时取最小值 ；端点处 得 ， 得 . 值域为 . 换元后一定要先定 的范围再求最值——直接对二次函数在整个实数集上求最值会答成 . 对数 5、对数的概念 5.1 定义与互化 如果 （，且 ），那么数 叫作以 为底 的对数，记作 . 其中 叫作对数的底数， 叫作真数. 互化一句话：底数不变， 与 交换位置. 指数式、根式、对数式是同一种数量关系的三种写法. 形式 式中的 式中的 式中的 底数 指数 幂 方根 根指数 被开方数 底数 对数 真数 三者可以互相翻译：写不出答案时，先译成指数式再算. 5.2 底数与真数的限制 底数规定 且 ： 时部分 的对数不存在（如 ）； 时 不存在、 时值不唯一. 真数必须 ：因为 恒为正，负数和 都没有对数. 两条限制合起来就是解「使式子有意义的 范围」题的全部依据：底数大于 且不为 、真数大于 、偶次根号下非负、分母不为 ，逐条翻译再取交集. 5.3 常用对数与自然对数 以 为底的对数叫常用对数， 记为 . 以 为底的对数叫自然对数， 记为 ，其中 . 两者只是底数特殊，运算性质与一般对数完全相同. 6、对数的运算 6.1 基本恒等式 ① 真数 ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ （，且 ）. ④ 与 ⑤ 是同一件事的两个方向：一个把对数「还原」成真数，一个把幂「还原」成指数. 化简多重对数时反复用它们. 6.2 三条运算性质 当 ，且 ，， 时： 性质 内容 一句话 加 积的对数等于对数的和 减 商的对数等于对数的差 提 （） 幂的对数把指数提到前面 常用变形： 三条性质最容易错的地方：真数必须为正. 存在，但 不存在——左式能算不代表拆开能算. 6.3 化简技巧：收与拆 收：同底对数的和差收成积商的对数，多个对数并成一个. 拆：正用性质把一个对数拆开，凑 这类组合. 多重对数符号从内向外逐层化简. 题目给的往往是对数的和差、要的往往是积商幂——逆用比正用频率更高. 6.4 例题 例 9、(1) 求值：；(2) 若 ，求 的值. 解：(1) 两处都往 、 上凑：，. 原式 . 展开：. 由 ，故原式 . (2) 从外向内逐层脱掉对数符号：，故 . 是最常用的组合，见到 就该找 配对；含 的式子先展开，平方项往往正好消掉. 例 10、求值：. 解：三个对数都化成正指数再合并： 系数相乘得 ，而 . 故原式 . 三个对数首尾相接、底数与真数轮流出现时，换成常用对数后连乘必然约光——这是判断「该换底」的信号. 7、换底公式 7.1 公式与证明 证明：设 ，则 . 两边同时取以 为底的对数，得 ，即 . 因 故 ，两边除以 得 ，即 . 换底的作用：把不同底的对数统一成同底，为使用运算性质铺路. 常换成以 为底（）或以 为底（），因为计算器可直接算. 7.2 三条推论 ① （互为倒数）； ② （真数的指数当分子、底数的指数当分母）； ③ 同真数、底不同：；同底、真数不同：. 推论 ① 换个写法就是 ，遇到「对数的倒数」直接换代. 推论 ① 是高频捷径：见到 与 同时出现，直接相乘得 . 7.3 例题 例 11、(1) 求值：；(2) 已知 ，求 的值. 解：(1) 化同底：，，由推论 ② 得 (2) 设 （，且 ），则 ，，. 由推论 ③： 故 . 连等式设 是通用起手式——把每个字母都表示成对数，再用换底公式统一成同底，比互相表示成指数简单得多. 例 12、已知 ，，用 、 表示 . 解：条件里一个是对数式、一个是指数式，先统一： 两边取以 为底的对数，得 . 拆目标式：. 由 及倒数关系 ，故 . 条件形如「，」这种混搭，先全部化成同一个底的对数再动手；倒数关系 是本题枢纽. 对数函数 8、概念与图像性质 8.1 概念与判定 函数 （，且 ）叫作对数函数，定义域是 ，值域是 . 判定四条：形如 、底数是正常数且不等于 、真数恰好是 、 的系数为 . （真数不是 ）、（可化为 ，系数不是 ）都不是对数函数，叫对数型函数. 8.2 图像与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过点，即当时， 在上是单调增函数 在上是单调减函数 共同性质：定义域 、值域 、过定点 、以 轴为渐近线. 8.3 定点与底数比较 定点： 恒过 . 平移型 令括号内为 （即 ）即得定点 . 底数比较（图 3）：作直线 ，与各曲线交点的横坐标就是底数（因 ），自左向右底数从小到大. 口诀： 部分「底大图低」. 图3 指数是「底大图高」，对数正好相反——因为两者互为反函数，图像关于 对称，上下与左右互换. 8.4 图像变换与对称 以 为母函数，变换规律与指数函数完全一致，只是定义域受限（图 4）. 变换 结果 定义域 关于 轴对称 关于 轴对称 关于原点对称 去左留右再翻左 图 4　y= 与它关于两坐标轴的对称图像 是偶函数：保留 的部分，再把右侧沿 轴翻折到左侧. 画对数型函数草图，先定定义域、再定渐近线、最后定定点，三点画准就不会错. 8.5 例题 例 13、(1) 函数 （，且 ）的图像恒过定点 ，若点 也在 的图像上，求 ； (2) 若 是对数函数，求 . 解：(1) 令 得 ，此时 ，故 . 代入 ：，得 . (2) 对数函数 前的系数为 ：，即 ，解得 或 . 底数须为正，故舍去 ，得 ，. 于是 . 「系数为 」与「底数为正且不等于 」两条必须同时用；只解方程不验底数是本类题最常见的失分点. 9、指数函数与对数函数的关系 9.1 互为反函数 与 （，且 ）互为反函数，三条性质： ① 图像关于直线 对称（图 5）； ② 原图像上的点 ，在反函数图像上对应点 ——坐标互换； ③ 两个函数单调性相同（同增或同减）. 图 5　y=2ˣ 与 y=log₂x 的图像关于直线 y=x 对称 9.2 三类函数的增长差异 在 上，、、 都单调递增，但增长速度不在同一档次. 一次函数匀速上升；指数函数越增越快，称「指数爆炸」；对数函数越增越慢，增长平缓. 总会存在 ，使 时恒有 ，如图 6. 图 6　一次函数、指数函数、对数函数的增长差异 选模型看增长速度的变化趋势：匀速选一次，先快后慢选对数，先慢后急剧选指数. 9.3 例题 例 14、(1) 已知 的反函数为 ，求 ； (2) 设 （，且 ）的图像过点 ，其反函数的图像过点 ，求 的值. 解：(1) 的反函数是 ，故 . (2) 反函数图像过 ，由坐标互换，原函数 的图像过 . 联立两点：，，即 ，. 由第一式 代入第二式：，即 ，解得 或 . 底数为正，舍去 ，故 ，，. 「反函数图像过 」不必求反函数表达式，坐标互换成本 直接代原函数即可. 常考题型与解题方法 10、定义域与值域 10.1 定义域的求法 逐条翻译再取交集：偶次根号下非负、分母不为零、对数真数大于 、对数底数大于 且不等于 . 复合函数 的定义域是 的解集——定义域是自变量 的范围，必须解不等式，不能把端点直接代进 . 型抽象函数：由 落在 的定义域内解出 ，别把两个定义域直接套用. 10.2 值域：换元四步 型求值域：① 换元 ；② 求 的取值范围（且 ，内层若是二次式用配方法）；③ 判断 的单调性；④ 由 的范围写出 的范围. 型同理，只是 无正负限制，而 的值域本身是 . 10.3 定义域为 R 与值域为 R 的分界 这是本模块最高频的对比陷阱，一字之差条件相反. 题设 转化 判据 的定义域为 对一切 恒成立 开口向上且 的值域为 真数 须取遍 开口向上且 「值域为 」要求真数能取到任意小的正数，故最小值不能大于 —— 允许最小值 ，此时 仍被取遍. 10.4 例题 例 15、求下列函数的值域：(1) ，；(2) . 解：(1) 由 得 . 递增，故 ，即 ，值域为 . (2) 令 ，则 ；又真数 ，故 . 在 上递减，故 . 而 ，故 ，值域为 . 第 (2) 问真数必须大于 ， 的范围是 而不是只写上界； 的计算靠把 化成底数的幂. 例 16、已知 . (1) 若 的定义域为 ，求 的取值范围；(2) 若 的值域为 ，求 的取值范围. 解：(1) 定义域为 ，即 对一切 恒成立. 二次式恒正需开口向上且 ：，得 . (2) 值域为 ，即真数 要能取遍一切正数， 才能取遍 . 这要求 的最小值不大于 ：，得 . 此时 的取值范围是 ，含有全部正数， 取遍 . 「定义域为 」盯恒正（）；「值域为 」盯取遍正数（）——一字之差，条件恰好相反. 11、复合函数的单调性 11.1 三步与三条纪律 型：① 解 得定义域；② 在定义域内判断 的单调性；③ 按「 同向、 反向」得复合单调性. 三条纪律：定义域优先（区间必须落在定义域内）、区间不并（写成两个区间的和）、底数含参分类（ 与 各算一遍）. 11.2 含参单调的三件套 求「 在给定区间上单调」中的参数范围，要同时卡住三件事： ① 对称轴卡区间——内层二次函数的对称轴必须在区间端点的正确一侧； ② 真数恒正——区间上 恒成立（对数型专有）； ③ 端点取舍——端点处等号能否取到，要回代检验. 只列①最常见，会漏掉「真数变负」与「端点处真数为零」两类假根. 11.3 例题 例 17、已知 （），求 的增区间. 解：先定义域：，即 ，解得 或 . 的对称轴为 ：在 上 递减，在 上 递增. 时 递减，「外层减」故复合函数与 增减相反： 递减的 上 递增. 故增区间为 . 若漏掉定义域，会误把 一类区间当答案——先扣定义域是本题型唯一的硬纪律. 例 18、已知 在 上单调递减，求 的取值范围. 解：外层 递增，故内层 在 上须递减且恒正. 递减：对称轴 ，即 . 恒正： 时 在 递减，最小值在端点 处取到，故 ，即 . 两者取交集， 的取值范围是 . 只列 会把 （此时 ，真数为零）这类假根放进来. 12、大小比较 12.1 中间量法 最常用的中间量是 和 . 与 比： 的符号由「底数与 、真数与 是否同侧」决定——同侧（同大于 或同小于 ）为正，异侧为负，口诀「同大异小」. 与 比： 与 比看指数 的符号； 与 比化成与 比. 12.2 四种情形的方法选择 情形 方法 同底数 构造该底数的对数（或指数）函数，用单调性 同真数 换底化同底，或画图像看高低 不同底不同真 用 、 等中间量先分组 底数含字母 对底数与 的大小分类讨论 多个数一起比：先逐个与中间量定号（正负各一组），组内再比大小. 12.3 例题 例 19、已知 ，，，试比较 ，， 的大小. 解：先定号：， 最大. 时 递增，故 . 而 ，底数与真数异侧，故 . 再比 、：由倒数关系 ，即 、 互为倒数. 由 得 ，故 的倒数 落在 ，即 . 综上 . 底数与真数一个大于 、一个小于 时，对数值为负——「同大异小」直接定号； 的倒数关系是本题捷径. 例 20、已知 ，，，比较 ，， 的大小. 解：三个数用中间量分段. ，由 得 ，故 . ，故 . ，且 ，故 . 三段分离：，故 . 三个数各落在 、、 三段时，用 、 两个中间量一次分完，无需两两比较. 13、指数不等式与对数不等式 13.1 三种类型 类型 解法 化同底，按底数分类： 时 ； 时 先把 写成 ，归为上一类型 化同底幂： 时 ； 时 底数不同时先换底统一，常用 把 化成 . 13.2 两条纪律 ① 真数大于 不能丢：去对数符号时必须同时联立 、； ② 底数含字母必须分类： 与 两支分别求解，两支的不等号方向相反，最后答案分段写. 两边都含对数且底数相同时，也可以两边取指数（即用 的单调性）脱掉对数符号，但同样要先保证真数为正. 13.3 例题 例 21、解关于 的不等式：(1) ；(2) （，且 ）. 解：(1) 真数条件：，即 . 底数 ，对数递增，故 ，得 . 两者取交集，解集为 . (2) 真数条件：，即 . 时对数递增：，得 ，结合 ，解集为 ； 时对数递减，不等号反向：，得 ，解集为 . 第 (1) 问忘真数条件会答成 ，多出一段假根；第 (2) 问两支方向相反，答案必须按 的范围分段写. 例 22、解不等式 . 解：底数不同先换底统一：，原不等式化为 定义域： 且 ，即 . 底数 ，对数递增，故 ；两边均非负，平方得 . 整理：，即 ，得 或 . 结合定义域 ，解集为 . 两边平方前必须确认两边都非负（右边 ，左边由定义域保证 ），否则可能扩大解集. 14、指数方程与对数方程 14.1 指数方程的三种类型 类型 解法 同底则 ，直接脱掉底数 取对数：；或把 写成 换元 ，解二次方程后回代，负根舍去 14.2 对数方程的类型与验根 形如 ：化成 求解，再回代验真数. 形如 ：换元 ，解出 再回代. 形如 ：化成指数式 求解. 对数方程化为代数方程时，未知数范围可能扩大，因此必须验根——把解代回原方程看真数是否为正、底数是否合法. 14.3 例题 例 23、解下列方程：(1) ；(2) . 解：(1) 令 ，则 ，原方程化为 . 解得 或 ，均满足 ，故 或 ，即 或 . (2) 真数条件： 且 ，即 . 左边合并：，故 ，解得 或 . 由 舍去 ，故 . 第 (1) 问换元后必须写 ，负根要舍；第 (2) 问的 是「化为代数方程时扩大范围」产生的增根，只能靠真数条件或验根剔除. 15、奇偶性模型 15.1 常见模型表 设 ，且 . 模型 奇偶性 定义域 判断抓手 奇函数 偶函数 偶函数 是偶函数（复合） 奇函数 分子分母同乘 后对照 奇函数 同上； 处无定义但定义域对称 奇函数 通分后即上一行的一半 奇函数 真数互为倒数，乘积为 奇函数 同上 奇函数 两式相乘，真数积为 奇函数 奇 偶 奇 偶函数 奇 奇 偶 记忆一句话：指数型盯「 与 互换」，对数型盯「真数互为倒数」——倒数则对数相加为 ，即奇函数. 15.2 判定与用法四条 ① 定义域优先：对数型先解真数大于 ，看定义域是否关于原点对称——不对称直接判非奇非偶，不必再算 ； ② 证明套路：算 与 比较；对数型常用 （真数相乘为 ）； ③ 定参技巧：奇函数且 在定义域内，可直接列 定参；偶函数可用 等特殊值辅助； ④ 「奇 单调」解抽象不等式：，再按单调性脱掉 ——增函数得 ，减函数得 ，别忘定义域的对称限制. 另注：平移破坏对称性—— 只有 时才是偶函数. 15.3 例题 例 24、(1) 判断并证明 的奇偶性； (2) 判断 的奇偶性，并解不等式 . 解：(1) 定义域： 对一切实数成立，故定义域为 ，关于原点对称. . 即 ，故 是奇函数. (2) 定义域：，关于原点对称. ，故 是奇函数. 解 ：，底数 ，对数递增，故 . 即 ，与定义域 取交集仍为 . 解集为 . 对数型奇函数的证明核心是「真数互为倒数、乘积为 」；解不等式时通分定号一步不能少. 例 25、已知 （，且 ）是偶函数，且 ，求 、 的值. 解：，偶函数要求 对一切 成立： 不恒为 （），故只能 ，即 . 由 ，得 ，即 ，解得 或 ，均满足 且 . 故 ， 或 . 定出的是「 与 的和」，两个解互为倒数——底数 与 给出同一条 曲线，不必舍去任何一支. 例 26、已知 . (1) 判断 的奇偶性与单调性； (2) 解不等式 . 解：(1) 定义域 关于原点对称，，故是奇函数. 任取 ，则 两项括号内均为正，故 ， 在 上单调递增. (2) 移项并用奇函数改写：. 递增，脱掉 ：，即 . 解 得 ，故 或 . 是「奇函数解不等式」的改写桥梁；本题定义域为 ，脱 后无附加限制——若定义域有限制（如对数型），脱 后必须把定义域一并取交集. 16、恒成立与存在性 16.1 两种量词的分界 题设 转化 判据 对任意 ， 恒成立 求 在 上的最小值 存在 ，使 求 在 上的最大值 一字之差，一个看最小值、一个看最大值，是本模块最容易做反的地方. 16.2 分离参数三步 ① 把参数从不等式中解出来，化成 或 的形式（注意乘除负数时不等号反向）； ② 求 在给定区间上的最值； ③ 按量词定答案：恒成立取「最紧」的一侧（ 恒成立则 ），存在性取宽松的一侧（则 ）. 若参数无法分离（如参数在二次项系数上），改用「分类讨论 端点效应」或直接求含参函数的最值. 16.3 例题 例 27、已知不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. 解：，故原不等式等价于 ，即 在 上恒成立. 分离参数：由 得 对 恒成立. 设 ，由基本不等式 ，等号在 处取到，故 . 于是 ，即 . 这里必须严格取「」：若 ，则 时真数为 ， 不满足严格大于 . 例 28、若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围. 解：同样化为 在 上有解. 存在性看最大值： 在 上，端点 、，最小值 ，故 . 于是 ，即 . 与上题对照：恒成立得 ，存在性得 ——同一不等式、同一区间，只因量词不同，判据从 换成 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $