第四章 指数函数与对数函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数函数与对数函数核心内容，系统梳理指数运算（根式、指数幂）、指数函数（定义、图像、性质）、对数运算（定义、性质、换底公式）、对数函数（定义、图像、性质），形成从运算到函数的认知进阶，为学生构建完整知识支架。 资料以“知识点梳理+例题+跟踪演练”结构设计，通过典型例题（如整体代换法求指数幂）培养数学思维，图像分析强化几何直观（数学眼光），演练题助力数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数运算 3 考点一 根式意义求参 4 考点二 根式的化简求值 5 考点三 指数幂的运算 7 考点四 根式与分数指数幂的互化 9 考点五 分数指数幂的运算性质化简求值 10 考点六 整体代换法求分数指数幂 11 考点七 解指数方程 12 4.2 指数函数 14 考点一 概念辨析 16 考点二 定义域 18 考点三 图像 19 考点四 定点 20 考点五 单调性 22 角度1.单调性的判断 22 角度2.大小比较 25 角度3.解不等式 27 考点六 值域 29 考点七 奇偶性 32 角度1.的考法 32 角度2.的考法 40 4.3 对数的运算 46 考点一 指数对数的转化 47 考点二 对数式求值 50 考点三 对数式化简（运算性质、恒等式） 51 考点四 换底公式 53 考点五 指数对数运算的综合 56 考点六 与基本不等式的综合 57 4.4 对数函数 59 考点一 定义辨析 60 考点二 定义域 61 考点三 定点 63 考点四 图像 64 考点五 单调性 65 角度1.单调性的判断 68 角度2.单调性的逆向问题 70 考点六 值域 73 考点七 奇偶性 78 角度1.形如 78 角度2.形如 80 角度3. 85 4.1 指数运算 【知识点梳理】 （1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． （6）注意事项：对于根式记号，要注意以下几点： ①N，且；②当是奇数，则；当是偶数，则； ③负数没有偶次方根；④零的任何次方根都是零． ⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式： 例：；． ⑥指数的逆运算过程：． 考点一 根式意义求参 【例1】若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【跟踪演练】 1.在①，②，③，④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是（ ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 2．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答. 【详解】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 考点二 根式的化简求值 【例2】（1）若，则化简的结果是（ ） A． B． C． D． （2）若代数式有意义，则（ ） A． B． C． D． （3）化简：①； ②） 【答案】（1）B（2）B（3）①；②）. 【跟踪演练】 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质即可判断各选项的真假． 【详解】因为当为奇数时，，当为偶数时，， 所以＝3，＝|a|，＝－2，即A、B、D错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查根式的性质的应用，属于基础题． 2.（多选）下列说法中正确的是（    ） A． B．16的4次方根是 C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式的定义即可求解. 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故A错误； 16的4次方根有两个，为，故B正确； ，故C错误； 是非负数，所以，故D正确． 故选：BD. 3.求值_______． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】直接利用根式的运算性质化简 【详解】. 故答案为：4 考点三 指数幂的运算 【例3】（多选）已知，均为正整数且，下列化简结果中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算法则逐一判断. 【详解】，均为正整数且， 由指数的运算法则可得 ，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：ABD. 【跟踪演练】 已知正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、指数幂的运算 【分析】利用指数运算可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，即，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 考点四 根式与分数指数幂的互化 【例4】将下列根式化成有理数指数幂的形式： （1）（a>0）； （2）（x>0）； （3）（b>0）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【跟踪演练】 1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A．－＝（－x）（x＞0） B．＝y（y＜0） C．xy＝ （x＞0，y＞0） D．x＝－ （x≠0） 【答案】C 2.用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）． 考点五 分数指数幂的运算性质化简求值 【例5】计算或化简：－10＋. 【答案】－ 【跟踪演练】 计算下列各式： （1）； （2）； （3）； 【答案】(1)；(2)100；(3)3 考点六 整体代换法求分数指数幂 【例6】已知，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【跟踪演练】 1．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C 2．若，则________． 【答案】 考点七 解指数方程 【例7】解下列方程： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】简单的指数方程 【分析】利用指数幂的运算法则及一元二次方程的解法计算即可. 【详解】原方程可化为：， 令，则，原方程等价于， 即， 即方程的解为. 【跟踪演练】 1．方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】简单的指数方程 【分析】由，再利用指数函数的单调性求解    . 【详解】解：∵， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． 故选：C． 2.解下列方程： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】应用指数幂运算律计算求解即得. 【详解】 , . 3．方程的解集是_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】简单的指数方程、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】令，换元可得方程，求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【详解】令，则， 方程可化为，解得或， 所以，或， 解得或. 所以，方程的解集为. 故答案为：. 4.2 指数函数 【知识点梳理】 1.指数函数的定义：函数 且叫做指数函数． 2.指数函数的图像与性质 图象 性质 ①定义域_______，值域_______ ②，即图象都经过_______点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是_______ 在定义域上是_______ ⑤时，_______；时，_______ 时，_______；时，_______ ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）函数与的图象关于轴对称． 函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则；即，(底大幂大)；时，． 图2-3-1 图2-3-2 （4）特殊函数：函数，，，的图象如图2-3-2所示． （5）指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较． ④比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 1)若；若；若； 2)当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可． 考点一 概念辨析 【例1】下列函数：①；②；③；④（且）.其中，指数函数的个数是 . 【答案】1 【解析】①函数是二次函数；②函数底数小于，故不是指数函数；③函数为，故不是指数函数；④且，可得出且，则是指数函数。指数函数个数为1. 【跟踪演练】 1.下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数解析式特征直接判断即可. 【详解】指数函数解析式为且， 对于①②④，、和不符合指数函数解析式特征，①②④错误； 对于③，符合指数函数解析式特征，③正确. 故选：B. 2．若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【详解】由指数函数的定义得，解得. 考点二 定义域 【例2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、抽象函数的定义域 【分析】由函数的定义域得出的范围，再根据指数函数的单调性求解，最后取交集即可. 【详解】因函数的定义域为，则，得 又，即，得， 故的定义域为. 故选：B 【跟踪演练】 1.设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为 . 【答案】 【解析】因为，所以，因为， 所以的定义域为． 2．已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是 . 【答案】[-1，0] 【解析】∵f（x）的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立， 即恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为[﹣1，0]． 考点三 图像 【例3】函数的图象如图，其中，为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据判断的范围，根据图象趋势判断的范围即可. 【详解】由图象可知：，， 又由函数为减函数，可得． 故选：C． 【跟踪演练】 已知函数（其中的图象如图所示，则函数的图象是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的图象可知，，，则为增函数，，过定点，故选：． 考点四 定点 【例4】函数且的图象必经过定点 . 【答案】 【解析】当时，无论a取何值， 函数且的图象必经过定点 【跟踪演练】 1.已知函数（且）的图象恒过定点，则________. 【答案】3 【解析】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.答案为： 2.已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴，其图象不经过第四象限， 故选：D. 3.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】定点为,， 当且仅当时等号成立，即时取得最小值. 考点五 单调性 角度1.单调性的判断 【例5-1】函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 【跟踪演练】 1.函数的单调减区间为 . 【答案】 【解析】设，则由.得到，即函数的定义域.又.所以在上单调递减。 2.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】设函数，根据复合函数的单调性的判定方法，以及指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】设函数， 则函数是由二次函数与指数函数复合而成的. 函数单调递增，要使函数在区间上单调递增， 则二次函数在区间上单调递增， 又因为的图象开口向上，且其对称轴为，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】分段函数的单调性需要分段分析，特别注意分段点处的衔接. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以函数与均是减函数，且， 即，解得. 故选：C. 角度2.大小比较 【例5-2】（多选）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确； 对于B，由幂函数在上单调递增，可得成立，所以B不正确； 对于C，由指数函数为单调递减函数，可得成立，所以C正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 故选：AC. 【跟踪演练】 1.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断. 【详解】因为在定义域上单调递增，且， 所以，即， 又因为在定义域上单调递减，且， 所以，即， 所以. 故选：D. 2.设，则（    ） A．　 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】指数式比较大小，化为同底，转化为函数单调性的问题. 【详解】因为，由于函数在R上是增函数，且，所以，即. 故选：D. 3.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】得到，得到，得到答案. 【详解】，故，即； ，即； 故. 故选：B 角度3.解不等式 【例5-3】不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数的单调性解不等式. 【详解】由， 所以，即， 解得或， 故答案为：. 【跟踪演练】 1.不等式的解集为__________． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项、通分，利用分类讨论法解不等式． 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项、通分整理为， 此不等式等价于或 解得或． 所以原不等式的解集为，． 故答案为：，． 2.已知函数，则不等式的解集为____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、解分段函数不等式 【分析】根据题意，分与两种情况，解不等式，即可得到结果. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，即，解得，则， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 考点六 值域 【例6-1】函数的值域是 . 【答案】 【解析】令，则，而，所以. 【例6-2】函数在上值域为 . 【答案】 【解析】， 令,因为则，所以， 而的对称轴，在上单调递增， 所以当时，有最小值；当时，有最大值；所以的值域为， 【跟踪演练】 已知函数． (1)若，求在区间的值域； (2)若方程有两个不等实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】根据指数函数的最值求参数、求指数型复合函数的值域、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，，方程有两个不等实根即等价于有两个不等实根且实根均大于零，从而可得，据此可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得，由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解． 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，开口向上，对称轴为， 又，所以时，有最小值， 而离对称轴更远，所以时，有最大值， 所以，所以时，在区间上的值域为． （2）由（1）知当令，，， 则，即， 又指数函数单调递增，所以有两个不等实根，且此时实根大于零， 所以可得，解得，实数m的取值范围为． （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由函数可得当时单调递减，当时单调递增， 函数为增函数，所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即，则实数m的取值范围为． 考点七 奇偶性 角度1.的考法 【例7-1】函数. (1)证明函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，若，求函数的最值； (3)已知，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增，， (3)或 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用指数函数的单调性判断；再利用的单调性求解； （3）令，由一元二次不等式的解法求得或，再利用函数在上单调性求解； 【详解】（1）解：由题意得：函数的定义域为， ， ，故：函数为上的奇函数. （2）在上为单调递增函数， 在上均为单调递增函数，则在上单调递增， 在区间也单调递增. ，. （3）令， ，解得：或， ①当时，即：， 函数在上单调递增，且. 故. ②当时，即：， 函数在上单调递增，且， ，故. 综上所述：或. 【跟踪演练】 1.（多选）函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在R上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数单调性的性质，结合奇函数的定义、指数的运算法则、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且， 故为奇函数，A正确； 对于BC，，故方程在上有解，B正确，C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减，D错误． 故选：AB. 2.已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式. 【详解】令，定义域为，且， 所以函数为定义域内的奇函数，且在上单调递增； 则，则，即，即， 又因为为定义域内的奇函数，所以， 又因为在上单调递增，所以， 解得或， 故实数a的取值范围是. 故选：C 3．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)，求的值域； (3)在上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解； （2）令，求出的范围，求出的值域，的值域即为的值域； （3）令，由（2）可得，即的最小值为，分为，和三种情况分别讨论即可求出答案. 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以对任意的恒成立，故，即， 所以的值为. （2）由（1）知，所以， 令，函数在上单调递增，则， ， 令， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的值域为. （3）令， 采用与（2）相同的换元方法可得， 当，即时，当时，取得最小值， 由题意得，解得，舍去， 当，即时，当时，取得最小值， 由题意得，解得或（舍去）， 当，即时，当时，取得最小值，不符合题意，舍去. 综上，. 4．已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求指数型复合函数的值域、求已知指数型函数的最值 【分析】（1）利用换元法，结合对勾函数、指数函数的性质即可求得在区间上的最小值. （2）先求得的最大值和最小值，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，则由，可知的取值范围为， 故原函数可化为， 由对勾函数性质，可知在上单调递增， 因此在时取到最小值，此时， 所以当时，在上取到最小值. （2）依题意， 故当时，. 因为，总存在，使得， 设在上取值的集合为集合，则有. 当时，显然有在区间上单调递增， 此时， 由可知，解得 当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此有，即， 因为时，，故时，在上单调递增， 此时， 由此可得无解， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于二次函数，可以根据二次函数的对称轴、开口方向、给定区间来求得最大值和最小值.对于含参数的最值问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，全面分析各种情况. 角度2.的考法 【例7-2】已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性并证明. (3)求的值域. 【答案】(1) (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 又在上单调递增，故， 又， 故， 所以， 故在上单调递增； (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据得到方程，求出，检验满足在上为奇函数； （2）定义法证明函数单调性，其步骤为：取点，作差，变形定号，下结论； （3）变形得到，故，解不等式求出答案. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，故， 故，解得， 所以， 由于，故满足在上为奇函数， 故； （2）略 （3）， 故，即，解得， 故的值域为. 【跟踪演练】 1.已知函数是奇函数，则实数的值为_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数是指数函数求参数、由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的性质得出，求出实数的值，然后验证函数为奇函数即可. 【详解】对任意的，，则函数的定义域为， 由是奇函数，得，解得，即， 由于，即函数是奇函数，所以． 故答案为：. 2．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断指数型复合函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 3．若函数为上的奇函数． (1)求的值，并判断函数的单调性（不用证明）； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)，函数在上单调递增， (2) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、由奇偶性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）结合奇函数的定义可得关系，列方程求，结合指数函数单调性判断函数的单调性， （2）根据函数性质化简不等式可得，令，换元可得，结合基本不等式可求的范围，由此可得结论. 【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以， 所以. 所以， 因为函数为增函数，又， 所以函数为减函数， 所以函数为增函数，即函数在上单调递增， （2）因为在恒成立， 所以， 因为为奇函数，所以原不等式等价于， 因为为增函数，所以原不等式等价于， 令，所以原不等式可化简为， 即当，恒成立， 根据基本不等式，，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为. 4.3 对数的运算 【知识点梳理】 1.对数的概念 ① 概念 一般地，如果，那么数叫做___________，记作(底数，真数，对数) ② 两个重要对数 常用对数以_______的对数，记为； 自然对数以无理数_______的对数，记为． ③ 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 ④ 结论 (1)负数和零没有对数 (2) 特别地，，， 2.对数的运算 如果，有 ① ② ③ ④ ⑤ 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 ① ② ③ _______ 特别注意：， 考点一 指数对数的转化 【例1】将下列指数式与对数式互化. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）.（2）.（3）.（4）. 【解析】因为由可得，所以 (1)由可得； (2)由可得； 由可得，所以 (3)由可得； (4)由可得. 总结：指数式和对数式的互化.由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数；由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 【跟踪演练】 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】，故正确； ，故正确； ，，故不正确； ，故正确． 故选：C． 2．将下列指数式写成对数式： （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以. 3．将下列对数式改为指数式： （1），指数式为__________； （2），指数式为__________； （3），指数式为__________； （4），指数式为____________. 【答案】 【解析】由于，所以： （1），指数式为； （2），指数式为； （3），指数式为； （4），指数式为 故答案为：；；；. 考点二 对数式求值 【例2】求下列各式中x的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）2；（4） 【解析】（1）因为所以. （2）因为,所以.又所以 （3）因为所以于是 （4）因为所以于是 【跟踪演练】 1．下列四个等式:①;②;③若,则;④若,则. 其中正确的是( ) A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【解析】①;②;③若,则; ④若,则.故选：C 2．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，∴． ∴．故选D． 考点三 对数式化简（运算性质、恒等式） 【例3】（1）计算：_______ . （2）计算：__________． 【答案】（1）2（2）4 【解析】（1）原式. 故答案为：2. （2）原式 故答案为4 【跟踪演练】 1．计算______． 【答案】0 【解析】由题意. 故答案为：. 2．______. 【答案】 【解析】根据对数的运算性质及换底公式化简可得 ， 故答案为：. 3. log2＋log212－log242； 【答案】－ 【解析】原式＝log2＝log22＝－. 4.(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3. 【答案】1 【解析】原式＝(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1. 考点四 换底公式 【例4-1】_________. 【答案】3 【解析】原式.故答案为：. 【跟踪演练】 1．计算： （1）. （2）. 【答案】（1）4；（2）. 【解析】（1）. （2） . 2.求值:_____ 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、指数幂的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】原式. 故答案为：5 【例4-2】若，且，则为（ ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【解析】令， 则，，， 依换底公式得 或. 当时，且，故； 当时， . 故选：D 【跟踪演练】 1．若实数a，b满足，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】因为，所以， ．故选：D． 2.已知均为正实数，若，则的值为______. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】对等式同取对数，代换出基本关系，将全部代换为，结合对数运算和换底公式化简求解即可. 【详解】对同取对数可得， 结合换底公式可得， 即， ， 故. 故答案为：1 考点五 指数对数运算的综合 【例5】已知，试用表示. 【答案】. 【解析】. ∵∴.则. 【跟踪演练】 1．设，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据对数的换底公式得，，故选D． 2．已知log189＝a，18b＝5，则log3645=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， ． 故选：D． 考点六 与基本不等式的综合 【例6】（多选）若，则（     ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】结合对数的运算，利用不等式的性质与基本不等式即可解决. 【详解】对于A，，则，可得， 当且仅当时，等号成立，此时，，可得，故A错误； 对于B，由于，所以，由， 当且仅当等号成立，即，，故B正确； 对于C，由可得，，故， 所以 ， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由可得，，所以， 当且仅当时，即，时，等号成立. 故选：BCD. 【跟踪演练】 （多选）已知实数满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的性质及运算法则得到，再利用基本不等式即可验证各选项是否正确. 【详解】由对数的性质及运算法则可知：，且， 所以：. 对于选项A：由，得：， 所以， 当，即时，取“”，所以选项A正确； 对于选项B：，所以， 当，即时取“”，所以的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由选项B的解题中可知：，所以， 所以，所以选项C正确； 对于选项D：因为 ，即 当，即时，取“”， 所以，故选项D正确. 故选A,C,D. 4.4 对数函数 【知识点梳理】 1.对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量. 2.图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是_______ 在上是_______ 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越_______； 考点一 定义辨析 【例1】下列函数表达式中，对数函数的个数有 . ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 【答案】2 【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数； 由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数； 由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数； 由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义. 【跟踪演练】 若函数是对数函数，_________. 【答案】5 【解析】由对数函数的定义可知，，解得．故答案为： 考点二 定义域 【例2-1】函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意可知：. 【跟踪演练】 1.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算 【分析】先解指数、对数不等式得到集合的范围，再计算即可. 【详解】因为，所以 ，又因为，所以 所以 故选：B 2.已知函数，则函数的定义域为 . 【答案】 【解析】对于函数，，即，解得.对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 【例2-2】函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵的定义域为，∴恒成立， 即判别式，得，即实数的取值范围是 【跟踪演练】 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】试题分析：函数的定义域是R，则有恒成立.设，当时， 恒成立；当时，要使得恒成立，则有，解得.所以实数的取值范围是. 考点三 定点 【例3】函数（且）的图象经过的定点是 . 【答案】 【解析】当时，函数值恒为，故定点为. 【跟踪演练】 1.函数的图象过定点 . 【答案】 【解析】令有.代入得. 故函数的图象过定点. 2.函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 　 　． 【解答】解：时，， 函数，的图象恒过定点， 即， 点在直线上， ，即， ， ，， ， 当且仅当时取等号． 故答案为：5． 考点四 图像 【例4-1】1.在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是 . A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时,对数函数单调递增,且幂函数往下凸,无满足选项.当时, 对数函数单调递减, 且幂函数往上凸.易得D满足条件.故选：D 【跟踪演练】 1．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是 . A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，若，则在上单调递减， 又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D. 若，则在上是增函数， 函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧， 因此B项不正确，只有选项A满足. 2．已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由于函数的图像不经过第四象限，所以，即，所以.故填：. 【例4-2】 1.图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是 . A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近， 所以．故选． 2.设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，将与中间值进行比较即可求出答案. 【详解】，即， ， ， 故. 故选：D. 【跟踪演练】 1.已知，则实数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得，再由指数函数的图象与性质，可得，即可得到答案. 【详解】由对数函数的图象与性质，可得，即， 又由，所以， 又由，指数函数为单调递增函数，可得，所以， 又由，所以， 综上可得：. 故选：D. 2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.78 【知识点】运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数的单调性和对数换底公式化简比较求解. 【详解】当时，在上单调递增， 在上单调递减，所以，即， 因为， ，所以. 考点五 单调性 角度1.单调性的判断 【例5-1】函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由得，或，则函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递增，由复合函数的单调性原则“同增异减”得函数的单调递减区间为 【跟踪演练】 1.函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】函数所以定义域为,解得或 由复合函数“同增异减”的性质,可知函数的单调递增区间为 即为函数的单调递增区间 2.函数的单调递增区间是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 角度2.单调性的逆向问题 【例5-2】已知函数(其中，)在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数y＝loga（8﹣ax）（其中a＞0，a≠1）在区间[1，4]上单调递减， 当a＞1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减且t＞0，故8﹣4a＞0，求得1＜a＜2．当0＜a＜1时，由函数t＝8﹣ax在区间[1，4]上单调递减， 可得函数y＝loga（8﹣ax）在区间[1，4]上单调递增，这不符合条件．综上，实数a的取值范围为（1，2）。 【跟踪演练】 1.函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，，在定义域上为减函数， 又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，， 要使函数有意义，则， 又在上为减函数，在上的最小值为，即， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 2.若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 则实数a的取值范围为 【例5-3】已知函数在上单调,则的取值范围为 . 【答案】 【解析】 又 当时,是单调递减函数 在上是单调递减函数 根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保证在分界点上单调递减可得: 解得:. 【跟踪演练】 1.已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、对数函数单调性的应用 【分析】根据可以判断分段函数是上的单调递减函数，结合一次函数单调性可以求解，再结合处的函数值的关系建立关于的不等式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且在上为单调函数， 所以为上的单调递减函数. 当时，一次函数单调递减， 当时，对数函数单调递减， 当时，， 又因为在上为单调递减函数， 所以，解得：. 2.函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据分段函数的单调性求参数 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 【详解】因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 考点六 值域 【例6-1】 1.已知函数，，则的值域是_________． 【答案】 【解析】因为,所以,则得,所以,即函数的值域为.故答案为:. 2.函数的最小值为_______． 【答案】0 【解析】由题得， ， ， ， 令,则， 因为二次函数的对称轴为，所以当时，.故答案为0 【跟踪演练】 已知函数． (1)若，．求的最小值、最大值及对应的的值； (2)若函数的定义域为，令．求的最小值、最大值及对应的的值． 【答案】(1)，当 (2)，当. 【难度】0.65 【知识点】复合函数的定义域、求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域 【分析】（1）令，换元可得，结合二次函数性质求最值； （2）求函数的定义域，令，换元可得，结合二次函数性质求最值. 【详解】（1）因为，． 令， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 则，， 所以当，即时，， 当，即时，. （2）因为的定义域为，， 所以，，所以的定义域为， 因为， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 令，则， 所以当，即时，， 当时，即时，. 【例6-2】函数的值域是 . 【答案】 【解析】设函数，则函数，，∵，在上单调递增，∴当时，最小值为，故答案为：. 【跟踪演练】 1.函数的值域是　　 A． B．， C．， D．， 【分析】此为一复合函数，要由里往外求，先求内层函数，用配方法求即可，再求复合函数的值域． 【解答】解： 内层函数的值域变， 在，是减函数， 故 函数的值域是， 故选：． 2.已知的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为的值域为， 所以函数可以取到任意的正实数， 若，该式为，符合题意若，则，解得， 所以实数a的取值范围是， 【例4-3】函数的值域为__________. 【答案】 【解析】由于函数，故当时，． 当时，．综上可得，，故函数的值域为，故答案为：． 【跟踪演练】 1．已知函数的值域为R，则实数的范围是 . 【答案】 【解析】当时，，因此当时，的取值范围应包含，∴，解得．故答案为：． 2.若函数且的值域是，，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】当时，检验满足．当时，分类讨论的范围，依据函数的单调性，求得的范围，综合可得结论． 【解答】解：由于函数且的值域是，， 故当时，满足． ①若，在它的定义域上单调递增， 当时，由，，，． ②若，在它的定义域上单调递减， ，不满足的值域是，． 综上可得，， 故答案为：，． 考点七 奇偶性 角度1.形如 【例7-1】已知函数,若为偶函数，求实数的值． 【答案】； 【跟踪演练】 1.若函数是偶函数，则　　． 答案：1 2.已知函数是偶函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由得到：（1）， ． （Ⅱ）函数与的图象有且只有一个公共点 即方程有且只有一个实根 化简得：方程有且只有一个实根 令，则方程有一个正根 ①，不合题意； ②或 若，不合题意；若 ③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意． 所以实数的取值范围为或 角度2.形如 【例7-2】已知函数，且． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1). (2)为奇函数，证明见解析. (3) 【难度】0.83 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由对数的真数为正数求解即可； （2）由奇偶性的定义证明即可； （3）由，利用对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）， 所以由，得， 所以的定义域为. （2）为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减，所以，解得. 所以的取值范围为. 【跟踪演练】 1.已知，其中为奇函数，为偶函数. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)解关于m的不等式. 【答案】(1)； (2)在单调递增，证明见解析； (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由函数奇偶性构造关系式，与已知关系式消去得； （2），且，通过判断的范围判断的符号证明； （3）由的奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）因为为奇函数，为偶函数， 所以即①； 又②； ②①得， 即； （2）函数是定义在的增函数，证明如下： ，且， 则 因为， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，所以，即， 所以在单调递增. （3）由得， 由（2）得，即，解得， 所以不等式的解集为. 2.已知函数的图象关于原点对称，其中为常数． （1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围． 【解答】解：（1）函数的图象关于原点对称， ，即， ，恒成立， 即，即恒成立，所以，解得， 又时，无意义，故； （2）时，恒成立，即， 在恒成立， 由于是减函数，故当，函数取到最大值， ，即实数的取值范围是，； （3）在，上是增函数，在，上是减函数， 只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组． 代入函数解析式得，解得， 即当时关于的方程在，上有解． 另解即为，即， 即有在，上有解， 设，在，递减， 可得，，所以的范围为，． 另解即为，即， 即有， 而在，递减，可得， 所以的范围为，． 角度3. 【例7-3】已知函数，设集合 ，集合 ，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、对数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域 【分析】探讨函数的性质，由此化简集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】函数中，，函数定义域为R， ， 则函数是R上的奇函数，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递增，由奇函数性质得函数在上单调递增， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，即，解得，集合， 而集合，集合是集合的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【跟踪演练】 1.已知函数，，则　 　 ． 答案：-2 2.已知函数，若，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性及单调性，可得，由基本不等式可得的最小值. 【详解】由题知函数定义域为R， ， 所以为奇函数，所以， 又令，易知在R上单调递减， 所以在R上单调递减，所以即， 所以有， 由基本不等式得， 所以，解得， 当且仅当时等号成立，此时，最小值为. 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $第四章指数函数与对数函数 4.1指数运算......… ….3 考点一根式意义求参.… 考点二根式的化简求值..……· ….5 考点三指数幂的运算.·…… …………6 考点四根式与分数指数幂的互化.………………………6 考点五分数指数幂的运算性质化简求值.………….7 考点六整体代换法求分数指数幂.··· 考点七解指数方程...· 4.2指数函数. 考点一概念辨析.··· …….11 考点二定义域…….11 考点三图像..12 考点四定点 ……….13 考点五单调性....... 角度1.单调性的判断..· …….13 角度2.大小比较…14 角度3.解不等式·· 15 考点六值域.15 考点七奇偶性.…… 角度1.y=a-a的考法...。 16 a*-a-x y= 角度2.+a的考法.…18 4.3对数的运算..….… …….20 考点一指数对数的转化..21 考点二对数式求值..... 考点三对数式化简（运算性质、恒等式）…….23 考点四换底公式· …….24 考点五指数对数运算的综合…25 2 考点六与基本不等式的综合.............25 4.4对数函数.... 26 考点一定义辨析…27 考点二定义域.…… ….27 考点三定点…28 考点四图像... 28 考点五单调性.··... 角度1.单调性的判断.... 30 角度2.单调性的逆向问题..· ……30 考点六值域.………… 考点七奇偶性…34 角度1.形如y=log(m+m*) ……………34 角度2.形如 y=log(心-m x+m …34 角度3.y=l0g(mx+√m2x2+1) …….36 3 4.1指数运算 【知识点梳理】 (1)根式的定义：一般地，如果x=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1, neN),记为a,n称为根指数，a称为根底数. (2)根式的性质： 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算a(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数， 指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘 (4)有理数指数幂的分类 n个 ①正整数指数幂a”=aaa…a(neN*);②零指数幂a°=1(a≠0)； ③负整数指数幂a”= (a0 a" n∈N:④0的正分数指数幂等于0，O的 负分数指数幂没有意义. (5)有理数指数幂的性质 ①aa=a"m(a>0，m,n∈Q): ②a")=am"(a>0，m,n∈Q): ③(ab)m=ambm(a>0,b>0,m∈Q); ④am=an(a>0,m,n∈Q). 4 (6)注意事项：对于根式记号ā，要注意以下几点： ①n∈N,且n>l:②当n是奇数，则a=a:当n是偶数，则 a=a={ a,a≥0 -a,a<0 ③负数没有偶次方根：④零的任何次方根都是零. ⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式： 例：Nava=a0o=a=:a原-ao头-a品. ⑥指数的逆运算过程：6哈=骨吗-中- 考点一根式意义求参 【例1】若4-如+1=-20，则实教0的取值范图是（） A.分+w) B.（←0，月 c. D.R 【跟踪演练】 1.在04，②4m,③匠，④G中，n从，R时各式子有意义 的是（) 5 A.①② B.①③ C.②③④ D.①②④ 2.若@-4如+4=2-a,则实数“的取值范围是（) A.a∈R B.a=2 C.a>2 D.a≤2 考点二根式的化简求值 【例2】(1)若a<4,则化简a-可的结果是（) A.4a-1 B.V1-4a C.-V4a-1 D.-V1-4a (2)若代数式V2x-1+2-x有意义，则V4r-4r+1+2x-2)=（) A.2 B.3 C.2x-1 D.x-2 (3)化简：①3-25+-2+-2可： ②)VP-2x+1-V2+6r+90xk3) 【跟踪演练】 6 1.下列各式正确的是() A.V-3=-3 B.Va"=a 0.V2=2 D.-2)=2 2.（多选)下列说法中正确的是（) A.-27=3 B.16的4次方根是±2 C.81=3 D.V(x+y)2=k+y 3.求值V7+45+V7-45 考点三指数幂的运算 【例3】（多选)已知a>0,m,n均为正整数且m≥2，n≥2，下列化简结果中正 确的有() A.(a）=amB.a=a C.ai-a a D.am= am 【跟踪演练】 7 2,3 已知正数m、n满足3”.9=9，则m+n的最小值为（) A.26 B.4+25 C.8+4v3 D.8+2√5 考点四根式与分数指数幂的互化 【例4】将下列根式化成有理数指数幂的形式： （1)aa(o0: (2) F (x>0); 2 (3〉 (b>0). 【跟踪演练】 1.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（) A.-F=(-X(x>0) B.F=y(<0) 罗 C.x (x>0,y>0) D.x5=-派(x+0) 2.用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数)： a.b (1)√a.b; 25-2可)：6； 3)(. 考点五分数指数幂的运算性质化简求值 【例5】计算或化简： （-38+0o022-1o5-2+5-5. 【跟踪演练】 计算下列各式： 1)(+2g-0: 考点六整体代换法求分数指数幂 【例6】已知x+x1=3,求下列各式的值. )+ (2)x2+x2; (3)x2-x2. 【跟踪演练】 x2-x2 1.已知x2+x2=9,则x+x的值是（) A.V万 B.-V万 C.±V万 D.tv11 ax+a-3x 2.若a+a=3,则a2+az= 10 考点七解指数方程 【例7】解下列方程：225x+2+3×25-1=0 【跟踪演练】 1.方程4= 16的解为（) A.2 B.-2 C.-1 D.1 2.解下列方程： 81x32a=） 3.方程22x1-92+4=0的解集是」 4.2 指数函数 【知识点梳理】 1.指数函数的定义：函数y=a(a>0且a≠)叫做指数函数. 11 2.指数函数的图像与性质 y=a" 0<a<1 a>1 a 1 图象 ①定义域 值域 ②a=1,即图象都经过点 ③a=a,即x=1时，y等于底数a 性质 ④在定义域上是 在定义域上是 ⑤x<0时， ;x>0时 x<0时， ；x>0时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 (1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论. (2)当0<a<1时，x→+o,y→0：a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速 度越快。 当a>l时，x→+0，y→0；a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快. (3)函数y=4与=（日的图象关于y轴对称。 函数①y=a;②y=b;③y=c:④y=d的图象如图2-3-1所示，则 12 0<b<a<1<d<c;即x∈(0，+oo),b<a<d<c(底大幂大)；xe(-0,0)时， b*>a*>d*>c*. h(x)=(5 fx)=( 图2-3-1 图2-3-2 (④)特殊函敏：函数y=2,y=3,=分，y=的图象如图2-32所示. (5)指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较 ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和 “1”作比较. ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用 指数函数的单调性进行比较.· ④比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 1)若A-B>0台A>B;若A-B<0台A<B:若A-B=0台A=B: 2》当两个式子均为正位的清况下，可用作南法，判断合1，或后<1即可。 考点一概念辨析 【例1】下列函数：①y=:②y=(-2):③y=2:@y=(a-)(a>1且 13 a≠2、 ).其中，指数函数的个数是一 【跟踪演练】 1.下列函数：①y=2×3:②y=3；③y=π；④y=x.其中为指数函数的个 数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.若-(a-3a+3)是指数函数，则有() A.a=1 B.a=2 C.a=3 D.a>0且a≠1 考点二定义域 【例2】已知函数f()的定义城为-14，则函数()=f(x++V4-2的定义城 为() 14 A.[0,2] 8.【2,2] c.[2,3] D.2,4 【跟踪演练】 X 1.设函数f(x)=V4-4，则函数f（4)的定义域为 2.已知f(x)=V32-1的定义域为R,则实数a的取值范围是」 考点三图像 【例3】函数fx)=a-b的图象如图，其中a,b为常数，则下列结论正确的是 A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0 【跟踪演练】 已知函数f代)=(K-ax-b)（其中>)的图象如图所示，则函数8)=a+b 的图象是()· 15 0 考点四定点 【例4】函数'=a+1a>0且a≠》的图象必经过定点 【跟踪演练】 1.已知函数四=a+n(a>0且al)的图象恒过定点Pm,2),则m+n= 2.巴知通数f闭=a-2(a>0,a)恒过定点a川，则西数8()=m+” 的图象不经过（) 16 A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 3.已知曲线y=a+l(a>0且a≠)过定点(k,b),若m+n=b且m>0,n>0, 41 则mn的最小值为 考点五单调性 角度1.单调性的判断 F-2r-3 【例5-1】函数y 的单调递增区间是 【跟踪演练】 1.函数f(x)=2V3 的单调减区间为一· 2.若通数()=2在区问2)上单调道增，则“的取值范图是（) A.（∞，] 8.∞，2] c.24 D.[4+o) 17 a,x<0 3.已知函数 ){a-2)x+2a,x≥0是R上的减函数，则实数a的取值范国是 () A.(0,) 。 D.(1,2) 角度2.大小比较 【例5-2】（多选)下列比较大小正确的是（) A.21<202 B.52>65 0.0.335>0.323D.1.25<0.512 【跟踪演练】 1.若a=35，b=33,c=0.91,则() A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 18 3.设a=1.445,b=1.25.c=V55 ,则() A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b 角度3解不等式 【例5=3】不等式>7的解美为一 【跟踪演练】 2 1.不等式 4的解集为 f(x)= 周0 2.已知函数 1x-,0, 则不等式f四s2的解集为— 考点六值域 【例6-1】函数 的值域是 19 【例6-2】函数=4-2-5在L2上值城为一 【跟踪演练】 已知函数f)4-(m+1)-2-1 （)若m=0,求在区间2刘的值城： 2)若方程(+2=0 两个不等实根，求实数m的取值范围： -2x2+4x-l 3设通款8)得 ，若对任意的：∈[，2]，总存在∈[0,3]，使得 f(x)≥g(: ,求实数m的范围. 20 考点七奇偶性 角度1.y=a-a的考法 【例7-1】函数f)=3-孕 (1)证明函数()的奇偶性； 2判断函数的单调性，若22，求画数四的最值： ③)已知f)-f)≥0，求x的取值范图 【跟踪演练】 1（多运)高数)日-。，其中a0且2则下列瓷正骑的是 () A.函数是奇画数 B.方程()=0 R上有解 c.函数的图象过定点0 D.当>1时，函数四在其定义城上为增函数 21 2.已知函数f创=2-2+1，若a)+fa-2小>2 则实数a的取值范围是 () A.（0,1) B.(2) c.（@-20+w)0.1,2) 3.已知函数f()=2+a2 为奇函数 (1)求a的值； 2)=4+4-fxcD则，求8（的值城： ③)4+4-m(冈在0上的最小值为1，求m的值. 4.已知函数 了e间-8)--+6 ()当a=1时，求四在区间2+w)上的小值： 2若L4,总存在5利，使得)=8()，求实数“的取值范周 22 y=a-ax 角度2.a*+a的考法 【倒7-2】已东高载)二无定义在R上的寸高数 (1)求实数a的值： (2)判断函数y=f(x)的单调性并证明. ③求f)的值城 【跟踪演练】 1.巳知函数①3是奇函数，则实数m的值为二 2.（多选)已知函数了)，则下列结论正骑的是（】 23 A.函数f四的定义城为R B.函数的值城为) c.()+f(-x)=0 D.函数四为减函教 3.若函数)=1+2为R上的奇函数. ()求“的值，并判断画数的的单调性（不用证明）： ②若对任意，不等式2)+4-列0恒成立，求实数长的最大值. 24 4.3对数的运算 【知识点梳理】 1.对数的概念 ①概念 一般地，如果a=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 记作 x=log.N.(a底数，N真数，log,N对数) ②两个重要对数 常用对数以的对数，lo910N记为lgN: 自然对数以无理数 的对数，loge N-记为lnN. ③对数式与指数式的互化 x=log。N=a'=N 对数式 指数式 ④结论 (1)负数和零没有对数 (2)lo9a=1,logn1=0. 25 特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1.1n1=0. 2.对数的运算 如果Q>0,a≠1，M>0,N>0,有 ①loga(MN)=----- ②lo9.N ③logaM"=-----n∈R ④ag.M= ⑤换底公式 l0g。b=-----(a>0,a≠1，c>0,c≠1，b>0） 利用换底公式推导下面的结论 ①1o9.b=---- ②109.b·lb96c=----- ③1o9。b"=- 特别注意：log。MN≠log。M,logaN,loga M±N≠log.M±logoN 考点一指数对数的转化 【例1】将下列指数式与对数式互化. 331 3 (1) Γ27； (2)164=x; 26 (3) l0g18=-3 2 (4)1og(1+V2)=-1. 总结：指数式和对数式的互化.由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运 算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数；由对数式转化为指数式时，以对数的底 数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 【跟踪演练】 1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（) 11 A.e°=1与lnl=0 B83=上o87 2与 C.l0g,9=292=3 D.10g,7=1与7=7 2.将下列指数式写成对数式： D56@5:a)2*4:30gy-27:④周=57对 3.将下列对数式改为指数式： (1)10g,64=6 指数式为 27 (2) 1og53=2,指数式为 (3)gx=-1,指数式为」 10g1x=-5 (4) 2 ，指数式为 考点二对数式求值 【例2】求下列各式中x的值： 2 (1) 10g64X=- 3； (2)10g8=6: (3)g100=x: (4)-lne2=x. 【跟踪演练】 1.下列四个等式：①g(lg10)=0;②lgne)=0;③若lgx=10,则x=10;④若 hx=e,则=c 其中正确的是() A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 28 2.已知1og[1og(1og对]=0，那么x=() 3 5 √2 A.3 B.6 0.3 D.4 考点三对数式化简（运算性质、恒等式) 1 30①计：g2+g2g5+g5-298 2》：g8-e月 (27+g25= 【跟踪演练】 1 1.计算(35)3 2 .-elh2-1g2-1g5= 27 2.1og,3+1g25+l1g4+7em4= 3.|og2+1og212-|og242; 4.(1g2)3+31g2·1g5+(1g5)3. 29 考点四换底公式 【例4-1】log,3x1og,4×log45x1og,6×10g67x1og,8= 【跟踪演练】 1.计算： (1)1og,5-log,7-1og,16 (2)(og,3+og,3-(og,5+log,5)1g2 2.求值：10+lg5-lo8,2×1oe,3×e 【例4-2】若x,y∈R,且2=18”=6，则x+y为（) A.0 B.1 C.1或2 D.0或2 30 【跟踪演练】 11= 1.若实数a,b满足3=4=12，则ab（) 1 1 A.2 8. c.6 D.1 og2 z(x+2y) 2.已知x,八2均为正实数，若3=4=6，则 y的值为 考点五指数对数运算的综合 【例5】已知7人 1og4=b,试用a.b表示10g48 【跟踪演练】 1.设lg2=a,1g3=b,则1og:12 等于（) 2a+b a+2b a+2b 2a+b A.1+a B.1+a C.1-a D.1-a 31 2.已知1og189=a,18°=5，则10g3645=（) 2 a+b a+b a+b A.a-2 B.2 C.a+2 D.2-a 考点六与基本不等式的综合 【例6】（多选）若lga+lgb=lg(a+2b),则（) A.ab的最小值是22 B.a+b的最小值是3+2W2 1 b C.a8的最大值是0 1 2 D.a-2+b-i的最小值是2 【跟踪演练】 (多生)巴如安我6足5如+86=如：。则下列结论正痛的是{） A.a+b的最小值为9 B.ab的最大值为4 32 4. c.VaVb的最大值为√2 D.lga+lgb的最小值为4lg2 4.4 对数函数 【知识点梳理】 1.对数函数的概念 函数y=l09ax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量. 2.图像与性质 a>1 0<a<1 图像 1,0) 0 71(1,0) 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0，+0上是 在0，+∞)上是 33 变化对图 在第一象限内，C越大图象越 像的影响 考点一定义辨析 【例1】下列函数表达式中，对数函数的个数有 Oy=log.2:②y=log。x(aeR);③y=lg,x:④y=lx:⑤y=log(x+2): ⑥y=21og4x:⑦y=log,(x+)】 【跟踪演练】 若函数)=lg。x+(a-4a-5)是对数函数，a= 考点二定义域 y=1og1(3x-2) 【例2-1】函数V2 的定义域是 【跟踪演练】 1E如是合-小-s4则0a.【) 34 A.（4) B.(01) c.(0,+o) g D. 2.已知函数f(四)=lg(r+3x-2),则函数f(2x-1)的定义拔为 【例2-2】函数f心)=lg+4红+3a的定义藏为R,则实教“的取值范图是 【跟踪演练】 若函数y=log(mr-2mr+3)的定义域为R,则实数m的取值范围是 考点三定点 【例3】函数f(x)=logx+2)+1(a>0且a≠1)的图象经过的定，点是 【跟踪演练】 1.函数=3+log.(3r-2a>0,a≠1)的图象过定点 2.函数y=log,x+2)-3的图象恒过定点A,若点A在直线mr+y+1=0上，其中 n,1 mn>0,则mn的最小值为 35 考点四图像 【例4-1】1.在同一直角坐标系中，画数f()=r(>0）,8()=1og,×的图 像可能是 【跟踪演练】 1.对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的 图象可能是 法新 2.已知函数)=，任-m)的图像不经过第四象限，则实数m的取值范周是 【例4-2】 1.图中曲线分别表示y=og,,y=og,y=0g,x,y=og的图象，则a, b cd ，，的关系是 y=logax y=loghx y=logx y=logx A.0<a<b<1<d<c B.0<b<a<1<c<d c.0<d<c<1<a<b D.0<c<d<1<a<b 2.设a=0.89,b=log8l.1,c=21,则a,b,c的大小关系为() A.a>c>bB.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 37 【跟踪演练】 1.已知a=log32,b=2,c=log,2,d=402,则实数a,b,cd的大小关系为() A.c>b>d>a B.d>b>azc C.d>c>b>a D.d>b>cxa 2.已知a=1og:2b=log,3,c=2,则ac的大小关系为（) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>cxa 考点五单调性 角度1.单调性的判断 【例5-1】函数f()=g(t-)的单调递减区间为. 【跟踪演练】 1.函数f)=l血(t-3x+2列的单调递增区间为 38 2.函数四lg-3x+2)的单调递增区间是 角度2.单调性的逆向问题 【例5-2】已知画数y=1og,8a四)（笑中a>0,a)在区间4上单调道减， 则实数a的取值范围是 【跟踪演练】 1.函数)=log.(2-a),其中a>0且a≠1，在[0，小上是减函数，则实数“的取值范 围是() A.(2) B.(0,2) c.(0,) D.(2,+∞) 2.若f()=le-2ar+5a+)在区间肌3]上单调递端，则实教a的取值范国为 () A.B+∞) B.(3.+o) c.B10) D.(3,10) 39 【例5-3】已知函数f()=0g,-3x>1 -x+a,x≤1在R上单调，则a的取值范围为 【跟踪演练】 (3a-2)x-4a,(x<1) 1.已知f(x)= log1x,(x≥1) 是上的单调函数，则实数a的取值范围是 R () D.（-0,-2] 2.函数x)= -3x2+4ax-4a+5,x<1 1og(x+3),x≥1 在R上单调递增，则a的取值范围是 40 考点六值域 【例6-1】 1.已知画数f)=4-1o8:,re[2,8,则四的值城是 2.函数f)=o82V,loga2x)+1og62的最小值为 【跟踪演练】 已知函数f()=1ogr 若-)[2 求8(x)的最小值、最大值及对应的x的值： 2)若函数f(的定义城为[L16,令()=-2[/（订+r)-1.求（四的最小 值、最大值及对应的的值. 41 【例6-2】函数”=10g(-6x+17）的值域是 【跟踪演练】 y=1og1(x2-6x+17) 1.函数 的值域是() A.R B.[8,+oo) 0.（0，-3] D.[3,+o) 2.已和f=lg(ar-2r+)的值域为R,则实数a的取值范围为 x<1 【例4-3】函数f(x)= 的值域为 log2xx≥1 42 【跟踪演练】 (1+2a)x-,x<0 1.已知函数f)= log2(x+1),x≥0的值域为R,则实数。的范围是 「-x+6,x,2 f(x)= 2.若函数 3+og,>2a>0。 且a≠)的值域是[4，+o),则实数a的取值范 围是 43 考点七奇偶性 角度1.形如y=log(m+m) 【例7-1】已知函数8)r+lg影9+aeR）,若8()为偶函数，求实数“的值. 【跟踪演练】 1.若函数f(,=log,16+)-ac是偶函数，则log,2= 2.已知函数fw)=log,(4+)+a(x∈R)是偶函数. (1)求k的值： （1）设8=1og,a-2- 3 ,若函数四与8四)的图象有且只有一个公共点， 求实数a的取值范围. 44 角度2.形 y=log,(m x+m 【例7-2】已知函数)lo;+18()=oe:0-,且)=f)-s. ()求的定义拨： 2判断四的奇偶性，并证明： (3)若小>1 求的取值范围. 【跟踪演练】 1.已知+8（闭-21oe,0+,其中10为奇西数，8为偶西数 ()求的解析式： 2判断的单调性，并利用定义证明： (3)解关于m的不等式m-+f-2m)<0 45 1-ax f(x)=log 2.已知函数 x-l的图象关于原点对称，其中a为常数. (1)求a的值； f(x)+log(x-1)<m (2)当x∈(+∞)时， 恒成立，求实数m的取值范围； f(x)=log (x+k) (3)若关于x的方程 2在[2,3]上有解，求k的取值范围. 46 角度3.y=log.(mx+√m2x2+1) 【例7-3】已知函数f)=lg,x+vr+,设集合A={mf(m-2+f(m㎡)0}， 冬合8=-6≤斗，剥4哭的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【跟踪演练】 1.已知函数f)=n(+r-)+1,fa)=4,则f(-a)= 2.已知函数f()=N+1-,若f(m-)+f(2)=0,则m2+4r的最小值为 () A.2 B.1 0.2 0.4 47