精品解析：安徽合肥市庐江县2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

2026—2027学年度第一学期期中练习 九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 3. 若将抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数的图象上，则下列也在此反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 6. 已知 ，在同一直角坐标系中，函数与的图像有可能是（ ） A. B. C. D. 7. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为169，则方程的正数解是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. 的周长可以等于 D. 四边形的面积为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是轴上的一点，若的面积为4，则的值为__________． 13. 某市今年第一季度的专项教育投入为3亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为________________． 14. 已知，是抛物线上的两个不同点，为坐标原点． （1）若，两点都在直线上，则线段的长为__________； （2）若抛物线关于轴对称，直线的解析式为，则的值为__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知直线与双曲线交于，两点． （1）求的值； （2）若，求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数的图象的顶点是，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请直接写出自变量的取值范围． 18. 已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）请判断的形状； （2）当，时，求一元二次方程的解． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 一次函数经过点，交反比例函数于点． （1）求，，． （2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的横坐标的取值范围． 20. 某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： （1）图4中共有_______个矩形； （2）图中共有_______个矩形（用含的式子表示）； （3）图中矩形的个数为270，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实根． （1）求证：； （2）若，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 项目名称：环保纸盒的设计与优化 某社团计划用一批长为，宽为的矩形硬纸板制作无盖收纳纸盒，用于校园垃圾分类回收． （1）任务1：基础尺寸设计 在硬纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒．若折成的纸盒底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）任务2：可行性分析 为保证纸盒的实用性，社团要求纸盒的底面长不小于，宽不小于，且剪去的小正方形边长为正整数．若要求纸盒的容积不小于，求在符合要求的值中，哪个对应的纸盒容积最大． （3）任务3：最优方案选择 在任务2中，设纸盒的侧面积为，求纸盒的侧面积最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）． （1）当时， ①求的值和抛物线的对称轴； ②在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值； （2）当点在直线上方时，求点到直线的距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求在抛物线和直线所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中练习 九年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，熟记二次函数顶点式求顶点坐标的方法是解决问题的关键．根据二次函数图像与性质直接求解即可得到答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是 ． 故选：B． 2. 解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ） A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， 故． 3. 若将抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位，得；再向下平移2个单位，得． 4. 已知点在反比例函数的图象上，则下列也在此反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即该函数图象上的点满足横纵坐标之积为． 选项A、B、D的横纵坐标乘积均为，不符合要求； 选项C中，，符合要求． 5. 若关于的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别为（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 6. 已知 ，在同一直角坐标系中，函数与的图像有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得，解得或，故两个函数有两个不同的交点，据此判断解答即可． 本题考查了图象的分布，根据交点个数判断是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 解得或， 故两个函数有两个不同的交点， 故选择C． 7. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为169，则方程的正数解是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程一次项系数确定四个矩形的宽，根据大正方形面积确定大正方形边长，利用边长关系求解.  【详解】解：由方程可知，四个矩形的总面积为  ∴每个矩形的面积为，即四个角小正方形的边长为  ∵大正方形的面积为  ∴大正方形的边长为  ∴方程的正数解是 8. 已知点，，在抛物线上．当，，时，，，三者之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线解析式可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，且离对称轴距离越远，值越大， ∵，，， ∴， 故选：C． 9. 已知二次函数（，为常数）．当时，的最大值为7；当时，的最大值为3，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个取值范围的最大值大小关系，从而判断对称轴位置，进而求解b，c的值． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线． ∵当时的最大值为7，当时的最大值3， ∴函数的顶点在的范围内，即，． ∵当时，函数图象在对称轴左侧，该范围内最大值在处取得， ∴时，． ∵顶点处的最大值为7， ∴， ∴． 将代入，得， 解得（负值舍去）， ∴． 10. 如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（ ） A. 是等腰直角三角形 B. C. 的周长可以等于 D. 四边形的面积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象得到对称轴，求出直角边的长度，再利用证明，进而逐一判断各选项结论是否成立． 【详解】解：在中，，， 为等腰直角三角形，， 设， ， ，即， ， ∵， ∴ 该二次函数的对称轴为， 由图可知，函数图象对称轴为， ， 解得， 即． 连接， 是等腰斜边的中点， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形，故选项正确； 是面积的最大值， 当（对称轴处）时，，， ，即，故选项正确； 是等腰直角三角形， ， 为定点，在上运动， 当时，最小，此时为中位线， 则， 当与（或）重合时，最大， 由勾股定理：， ，即最大值为， 周长最大值为， 的周长不可能等于，故选项错误； 由，得， ， 是中点， ， 又， ， 即四边形的面积为，故选项正确． 综上所述，说法不正确的是C选项． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】需同时满足两个条件，一是方程为一元二次方程，二次项系数不为0．二是方程的常数项为0．联立两个条件求解m的取值即可． 【详解】解：∵给定方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数，即 ∵方程的常数项为0 ∴ 解得 ∴． 12. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点是轴上的一点，若的面积为4，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点坐标为，根据三角形面积公式可得，再结合图象确定的符号． 【详解】解：设点的坐标为， 轴， ， 点在轴上，轴， 中边上的高为， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 由图象可知反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 13. 某市今年第一季度的专项教育投入为3亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】已知第一季度专项教育投入为3亿元，第二季度增长率为x，第三季度增长率为第二季度的2倍，依据增长率的计算规则依次推导各季度投入，整理得到对应函数关系式. 【详解】解：∵ 第一季度专项教育投入为3亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为x， ∴ 第二季度专项教育投入为亿元， ∵ 第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的2倍，即增长率为， ∴ 第三季度专项教育投入， 化简得． 14. 已知，是抛物线上的两个不同点，为坐标原点． （1）若，两点都在直线上，则线段的长为__________； （2）若抛物线关于轴对称，直线的解析式为，则的值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据，同时在抛物线和直线上，联立两个解析式可求出，的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得线段的长. （2）先根据抛物线关于y轴对称的条件求出的值，即可得抛物线解析式，再根据，是直线与抛物线的交点，即可联立两个解析式组成方程，化简为一元二次方程后结合根与系数的关系得，，进而得，再根据，在直线上求出，，根据两点间距离公式求出，，根据完全平方公式变形得，进而求出，即可得，再把、的值代入计算即可得答案. 【详解】解：（1）∵，同时在抛物线和直线上， ∴ 联立两式得： ， 整理得 ：， 解得：，， ∵，的纵坐标均为，两点纵坐标差为0， ∴ ， ∴线段的长为2． （2）∵ 抛物线关于y轴对称， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∴ ，即：， ∴ 抛物线的解析式为， ∵ ，是直线与抛物线的交点， ∴ 联立两式得： ，整理得： ， 设方程的两根为、，根据根与系数的关系得： ，， ∵ ，在直线上， ∴ ，， 根据两点间距离公式得：， ， ∵ ，即、异号， ∴ ， 根据完全平方公式变形得：， ∴ ， ∴， ∴ . 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴，． 16. 已知直线与双曲线交于，两点． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两函数解析式得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求解； （2）结合双曲线解析式将转化为含的表达式，利用根与系数的关系列方程求解k． 【小问1详解】 解：联立直线与双曲线的解析式，得 ， 是该方程的两个实数根， ∴； 【小问2详解】 解：点，在双曲线上， ， ， 在中，， ， ． 解得． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数的图象的顶点是，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数的顶点式，将点代入计算即可； （2）求出二次函数与x轴的另一交点，根据二次函数图象开口向下，即得时的x取值范围． 【小问1详解】 解：设二次函数的顶点式，将点代入得：， 解得， 二次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，， 二次函数图象与x轴的交点为和， ， 二次函数的图象开口向下， 当时，． 18. 已知、、是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）请判断的形状； （2）当，时，求一元二次方程的解． 【答案】（1）解：是以为斜边的直角三角形． ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形． （2）． 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导三边关系判断三角形形状． （2）利用直角三角形三边关系求，代入原方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 将，，代入原方程，得， 整理得， 解得． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 一次函数经过点，交反比例函数于点． （1）求，，． （2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数经过点，点， ， 解得， 点， 反比例函数经过点， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴点的横纵坐标都为正数， 点，点， ， ， 由题意得 ， 的横坐标a的取值范围为． 20. 某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： （1）图4中共有_______个矩形； （2）图中共有_______个矩形（用含的式子表示）； （3）图中矩形的个数为270，求的值． 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查图形变化规律的探究．这里的“矩形”指图中所有由线段围成的长方形，包括由地砖拼合而成的大小长方形，这是本题最容易漏数的关键．任一矩形都由左右两条竖线和上下两条横线唯一确定，所以数矩形的关键在于“横线取2条、竖线取2条，再两两搭配”：图n排成n列3行，横线始终是4条，取2条有6种；竖线的条数等于列数加1，取2条的种数随n增大而增大．两者相乘就是图n中矩形的总数，这样数既不重复也不遗漏．求出一般规律后，可回代n取的情形检验；已知总数反求n时，把规律看作方程来解，最后要结合n为正整数（列数）的实际意义取舍． （1）图4有4列3行，按照“先取上下边、再取左右边”的方法直接计数即可． （2）仿照（1），用含n的式子表示图n中矩形上下边、左右边的取法数，相乘即得一般规律，可由n取1、2、3的情形检验． （3）由（2）的规律，将270代入列方程求解，注意n的实际意义（列数为正整数）． 【小问1详解】 解：图4有4列3行：矩形的上下边须从4条横线中取2条，有6种取法；左右边须从5条竖线中取2条，有10种取法．所以图4中共有矩形（个）． 【小问2详解】 解：图n有n列3行：矩形的上下边仍须从4条横线中取2条，有6种取法；左右边须从条竖线中取2条，有种取法． 所以图n中矩形个数为（个）． 检验：当n取1、2、3时，上式分别给出6、18、36，与题设相符． 【小问3详解】 解：由（2）知，图n中矩形个数为．由题意得，两边同除以3，得． 因为n为正整数，且，所以（方程的另一解为负数，不符合实际意义，舍去）．故n的值为9． 六、（本题满分12分） 21. 若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实根． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明： 是方程 的正实根， ， ，即 ； （2） 【解析】 【分析】（1）将方程的根t代入原方程，通过配方变形，计算即可； （2）由得出n与m的数量关系，结合（1）的结论求出t的表达式，代入化简求值． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 ， ， 由（1）的结论得 ， 将代入，得 ，  为正实数， ， 是正实根，若 则不符合题意，舍去， ，即， ． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 项目名称：环保纸盒的设计与优化 某社团计划用一批长为，宽为的矩形硬纸板制作无盖收纳纸盒，用于校园垃圾分类回收． （1）任务1：基础尺寸设计 在硬纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒．若折成的纸盒底面积为，求剪去的小正方形的边长． （2）任务2：可行性分析 为保证纸盒的实用性，社团要求纸盒的底面长不小于，宽不小于，且剪去的小正方形边长为正整数．若要求纸盒的容积不小于，求在符合要求的值中，哪个对应的纸盒容积最大． （3）任务3：最优方案选择 在任务2中，设纸盒的侧面积为，求纸盒的侧面积最大值． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为 （2）时对应的纸盒容积最大； （3） 【解析】 【分析】（1）折成的纸盒底面是一个长为，宽为的矩形，据此根据矩形面积公式建立方程求解即可； （2）根据底面长不小于，宽不小于建立不等式组求出x的取值范围，结合x是正整数求出对应x的取值下纸盒的容积即可得到答案； （3）根据长方体的侧面积公式列出S关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为； 【小问2详解】 解：∵要求纸盒的底面长不小于，宽不小于， ∴， 解得； 设纸盒的容积为， 则， ∵剪去的小正方形边长为正整数，即x为正整数， ∴当时，，不符合 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，不符合， ∵， ∴时对应的纸盒容积最大； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当时，S随x的增大而增大， 由（2）知x的取值可以为2或3或4， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：纸盒的侧面积最大值为． 八、（本题满分14分） 23. 如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，抛物线的顶点为，且与轴左交点为（其中）． （1）当时， ①求的值和抛物线的对称轴； ②在抛物线对称轴上求一点使得的周长最小，且写出最小值； （2）当点在直线上方时，求点到直线的距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当时，求在抛物线和直线所围成的封闭图形内“整点”的个数（包括边界上）． 【答案】（1）①；直线；②当点P的坐标为时，的周长有最小值，最小值为； （2）1 （3）232 【解析】 【分析】（1）①求出点A和点B的坐标，根据求出m的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式即可得到对称轴；②连接，可推出抛物线与x轴交于点和点，则由对称性可得，可证明当B、D、P三点共线时，的周长有最小值，利用勾股定理求出的长，再求出点P的坐标即可； （2）把抛物线的解析式化为顶点式求出点C的坐标，进而表示出点到直线的距离，最后根据二次函数的性质求解即可； （3）求出直线和抛物线的交点坐标，然后求出对应整数x下两个函数的函数值，从而确定对应整数x下的整点数，最后求和即可． 【小问1详解】 解：①∵直线与轴交于点， ∴； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ②如图所示，连接， 在中，当时，，解得或， ∴抛物线与x轴交于点和点， ∴由对称性可得， ∴的周长， ∴当B、D、P三点共线时，的周长有最小值， 在中，， ∴， 在中，当时，， ∴当点P的坐标为时，的周长有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点在直线上方， ∴点C到直线l的距离， ∵， ∴当时，点C到直线l的距离有最大值，最大值为1； 【小问3详解】 解：当时，抛物线的解析式为 直线的解析式为， 联立上述两个解析式，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，； 当时，，故横坐标为1的整点有1个， 当时，，故横坐标为0的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 当时，，故横坐标为的整点有个， 综上所述，一共有个整点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $