二次函数期中综合大题核心题型训练2026-2027学年九年级数学上册沪科版

九年级上二次函数期中综合大题核心题型训练 题型一 二次函数的性质 1.（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（为常数）关于直线对称． （1）求常数的值； （2）平面直角坐标系中，已知点与点，且点在抛物线上． ①若点也在抛物线上，当时，比较的大小； ②若点在抛物线上，，求的最大值． 【详解】（1）解： 抛物线为对称轴为直线，， 对称轴为直线，又抛物线与关于直线对称， ，解得； （2）①解：由题意，抛物线的对称轴为直线．， ．在抛物线中的系数为，且距离对称轴越远，函数值越小，； ②解：，．将点代入，得．将点代入，得．， ，当时，取最大值，为． 2.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，，求a的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的顶点在轴上，∴此时抛物线与x轴只有一个交点， ，，该抛物线的函数表达式为； （2）解：①若，则直线的解析式为，为直线与抛物线的交点，，，若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称，，，联立得：，∵直线与该抛物线相交于，两点， ∴，是方程的两个根，，，， ∵，，，． 3.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【详解】（1）解：①依题意，，解得，； ②，对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小，当时，，当时，， 依题意，，方程无解当时，最小值为，最大值为， ∴，解得：或（舍去），综上所述，； （2）证明：∵，， ∴， ∴，由题意得：，， ∴，∴， ∴，∵，　∴，即， ∴把，代入，得∴． 4.（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，，即，所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，，抛物线的解析式为． ∵，∴ ，∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴，，故． ②由题意知，，．∵，∴．因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，．故，即．于是．依题意知，是与无关的定值．则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意．所以，． 5.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，，都在抛物线上． ①求，的值（用含a的代数式表示）； ②当时，线段上所有横坐标为整数的点个数为m，求m的值． 【详解】（1）解：令，∴，∴或， ∴抛物线与轴的两个交点为，则抛物线的对称轴为直线：， 把代入抛物线解析式得解得，即为抛物线顶点的纵坐标． （2）解：①令，可得，即， ∴，，，故解得； ②∵，∴， ∵，∴，∴的整数值为：， 故线段上所有横坐标为整数的点个，∴． 6.（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知抛物线． （1）当，时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； （3）当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线为：，所以当时，y的最小值为． （2）解：∵抛物线的顶点在轴上，∴抛物线与轴只有一个交点，∴，即， ∴，∴抛物线为：，代入点得：，解得，． （3）解：当时，抛物线为：，∴抛物线对称轴为直线， ∵，∴抛物线开口方向向上，当，点都在对称轴右侧时， ∵时，总有， ∴，解得：；当，点在对称轴右侧，点在对称轴左侧时，即， ∵时，总有，∴，解得：，与矛盾，舍去；当时，点在对称轴左侧，点关于对称轴的对称点的横坐标为，∵时，总有，∴，解得：．综上：或． 7.（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在二次函数中． （1）若它的图像过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求的值； （3）若，，均在此二次函数的图像上，且．求的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入中，得，解得． （2）解：抛物线的关系式为：，对称轴为直线，若，当时，函数有最小值，此时，或（舍去），当时，都在对称轴的左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值，此时， 解得：（不符合题意，舍去），的值为． （3）解：， 均在此二次函数的图像上，则对称轴可表示为直线， 对称轴为直线，，，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，，，即，点在抛物线上， 当在对称轴左侧时，，都在对称轴的左侧，随的增大而减小， ，，解得，此时满足的条件为． 当在对称轴右侧时，在对称轴的左侧，且，点到对称轴直线的距离大于到对称轴直线的距离，，解得， 此时满足的条件是，综上所述，的取值范围是或． 8.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； （3）点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 【详解】（1）解：由题意得：，所以； （2）解：在抛物线上，，在抛物线上， ，，， ．，当时，h有最大值； （3）解：点在抛物线上，点在抛物线上， ，， 是一个与无关的定值且，． ，． 9.（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点，，点在点 的左侧． （1）当抛物线经过点时， （i）若 ，求抛物线的顶点坐标； （ii）若 求a的值． （2）当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： ． 【详解】（1）解：（i）当时，把代入得，解得， 抛物线L的顶点坐标为． （ii）将代入得，， 是抛物线与轴的交点，，，， ①当时，且在左侧时，则点都在轴右侧，设， 则，， ，无实数解，这种情况不成立． ②当时，且在左侧时，则存在点在轴左侧，点在轴右侧，设， 此时，则，，，， ，（舍去），．，． （2）证明：当时，则 ， ，， ， ，． 10.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）． （1）已知点．若抛物线与轴交于原点和点，点在线段上，且不与端点重合，求的取值范围； （2）若，，将抛物线的对称轴向右平移3个单位长度后，与抛物线（为常数）的对称轴重合，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，若在抛物线上，点在抛物线上，求的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线过原点，∴，即抛物线解析式为． 令，得．解得，．∴点的坐标为． ∵点在线段上，∴，即． （2）若，，则抛物线．∴原抛物线的对称轴为直线，向右平移3个单位长度后得直线．∴，即． （3）在（2）的条件下，抛物线，． 把代入抛物线，得． 把代入抛物线得，． ∴． ∴抛物线的对称轴为直线．∵，，又∵，∴当时，，此时为最小值；当时，，此时为最大值．∴的取值范围为． 11.（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线和抛物线． （1）若抛物线经过点和，且该抛物线的最高点的纵坐标为5，求抛物线的顶点坐标； （2）已知抛物线和抛物线都经过点． （i）抛物线的顶点纵坐标为，拋物线的顶点纵坐标为，求的值； （ii）已知抛物线经过点，拋物线经过点，当时，总成立，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且该抛物线的最高点的纵坐标为5， ∴抛物线的对称轴为直线，∴拋物线的顶点坐标为； （2）（i）解：∵抛物线和抛物线都经过点， ，当时，，即，当时，；当时，，即，当时，，； （ii）解：根据题意，把点代入，得，把点代入，得，∴ ． ①当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，它与横轴的交点为， 在，的值为负，不合题意； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，它与横轴的交点为， 在的值为正．∵，，且， ∴当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为， ． 12.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，，点位于点的左侧，与轴交于点．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． （1）求抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，且，①________； ②求的取值范围． 【详解】（1）解：将抛物线向右平移1个单位得到表达式为， 将抛物线向左平移3个单位得到表达式为，∵将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点，∴，解得， ∴抛物线的解析式为，令，则， 解得，，∵抛物线（为常数）与轴交于点，，点位于点的左侧， ∴，，当时，，∴，设直线的解析式为， 将，代入解析式得，∴， ∴直线的解析式为； （2）解：①如图所示：设直线为， ∵平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，且，，∴，点、关于抛物线的对称轴对称，∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，∴； ②∵平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点， ∴，∴，， 由①可得，∴， ∴ ，∵，，∴当时，的值最小，为， 当时，，当时，， ∴的取值范围为． 13.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 【详解】（1）解：把代入，得，解得：． （2）解：由（1）可知，，∵点的横坐标为， ，，， ． （3）解：∵点在直线上，点在抛物线上， ∴，，当时，， ，故，整理得：， 故当时，最小，最小值是． 14.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． （1） ， ； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，． ①求的值；②求证：． （3）当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且，则t的值为 ． 【详解】（1）解：∵抛物线（）经过点，对称轴为， ∴，解得：，∴抛物线为． （2）解：① ． ②证明：∵，，∴设，（）， ∴ （3）解：，∴对称轴为直线， ∴当时，，关于对称轴对称的点的坐标为：．∵（其中）， ①当时（对称轴在范围的左侧）；如图， 此时y随x的增大而增大，最大值m在处取得，；最小值n在处取得， ∴．∴，无解； ②当时； ∴最小值n在顶点处取得，；当时，最大值，，无解； ③当时（对称轴在范围内）；如图， ∴最小值仍为；最大值m在处取得，（此时大于1）， ∴，∴，解得：（舍去，不满足）或（满足）．综上． 15.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求出二次函数最大值与最小值的差； （3）如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，抛物线的解析式为，即． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，，且，抛物线开口向上，离对称轴越远值越大，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值是0， 最大值与最小值的差是16． （3）解：设直线的解析式为，将点代入解得，∴直线的解析式为，将代入，整理得：， ，，，， ． 16.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过，且关于直线对称，点是上的动点． （1）求的解析式； （2）若点也在上，求s的最小值； （3）点在抛物线上，若经过的直线与和恰好交于B、D两点（B，D点与不重合．如图所示），求的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线∴解得， ∴抛物线，∵抛物线经过，∴，∴， ∴； （2）解：∵点在上，∴；又∵点也在上， ∴ ∴ ∴是开口向上的二次函数，对称轴为，∴的最小值； （3）解：设过点的直线解析式为，∴，∴过点的直线解析式为， 又，∴联立直线与（点是上的动点）得， 整理得，解得：，，由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴，联立直线与（点在抛物线上）得：， 整理得，解得：，由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴；∴． 题型二 二次函数与几何关系 1.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； （3）设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，由题意得，解得，，∴该抛物线的函数解析式为． （2）解：由题意得，， ， ，，，． （3）解：如图，∵点在抛物线上，设，， 连接交对称轴于点，设直线的函数解析式为， 将代入，得， 解得，∴直线的函数解析式为，当时，， 点坐标为，设直线的函数解析式为， 把与代入得：，解得：直线的函数解析式为， ∴点坐标为，，，， ，配方得，的面积的最大值为．     2.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 【详解】（1）解：将，两点代入得 ，解得：，抛物线解析式为：； （2）解：存在，∵，∴，， ∴，∴，设点Q坐标为，由（1）可知：，， ，，，解得：，故Q点的坐标为； （3）解：过点P作轴垂线交直线于点E如图： 设直线的解析式为：，将代入得，，解得：， 直线的解析式为：设点P的坐标为，，∴， 解得，则E的坐标为，∴， ，，，， ，，当时，有最大值为， 当或时，，∴． 3.（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线（a，b是常数且a≠0）与x轴交于点A和点B，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C，连接，，已知． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （i）如图2，连接，，若的面积为3，求点P的坐标； （ii）如图3，设与交于点G，连接，求的最大值． 【详解】（1）解：在抛物线中， 当时，，即点，∴，∵，∴， ∴点，点，∴抛物线将点代入，得，解得，∴抛物线的解析式为，即； （2）解：（i）设所在直线的解析式为，把点代入，得解得， ∴直线的解析式为，如答图1，过点作轴交于点， 设点，则点， ∴，由题意，得， 整理，得．解得（舍去）或， ∴，∴点的坐标为； （ii）由抛物线知，顶点的坐标为，由（i）知直线的解析式为，则点，∴，如答图2，设直线交于点，设点， 由直线经过点，可设直线的解析式为，把点代入，得，解得（舍去）或，即，∴直线的解析式为，当时，，即， ∴，， ∵，∴当时，有最大值，最大值为3． 4.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． （3）过点作直线，交轴于点，当的面积等于时，求的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为：，∴，把点代入抛物线，可得， ∵抛物线与 轴交于点 ，∴，∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：∵点 ，点 在抛物线上， ∴，，∴， ∴，∵，∴， ∴，∴． （3）解：∵抛物线的对称轴为，抛物线 与 轴交于 ， ∴，解得：，即点；设直线的解析式为：，代入 ，点 ，∴，解得：，∴直线的解析式为； ∵ ，∴直线的解析式为；∵点在轴上，∴解得：，即点∵点，点∴，∵ 的面积等于 ，∴，整理得：，解得：，； 联立直线和抛物线的解析式，，整理可得：， 当时，，解得：； 当时，，解得：或；∴ 的值为：或或． 5.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； （3）在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，∴抛物线与x轴的另一个交点为点， 设抛物线的解析式为，把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由（1）知，，∴设直线的解析式为，将代入得，解得，∴直线的解析式为，设，则，其中， ∴，∵，∴当时，线段的长度有最大值，最大值为4； （3）解：同（2）得直线的解析式为，过点P作竖直线（垂直x轴），交直线于点Q， 设，则，线段就是铅垂高，，水平宽为， 由题意得，解方程，得，； 解方程，整理得，∵，∴方程无实数解； ∴点的坐标为和． 6.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得，∴； （2）解：存在；∵，∴当时，， ∴，∵，∴，∴，设直线的解析式为：，把代入，得：，∴，过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴当最大时，最大，∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为，∴； （3）解：由（2）得直线的解析式为，∵点是直线上一动点， ∴设，∵过点作线段（点在直线下方），则：， ∵点在抛物线上∴，∴， 当时，则：，解得：或，∵， 则或，∴点的坐标为或． 7.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得，∴； （2）解：存在；∵，∴当时，，∴，∵，∴， ∴，设直线的解析式为：，把代入，得：，∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴当最大时，最大， ∵，∴当时，的最大值为，此时最大，为，∴； （3）解：设，则：，当点恰好在抛物线上时，则：， ∴，当时，则：，解得：或， ∵线段与抛物线有交点，∴点M的横坐标的取值范围是或． 8.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线：（，是常数）经过点． （1）若抛物线的对称轴为直线，求，的值． （2）若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，解得． ∵抛物线经过点，∴代入解析式得，即．将代入， 得． （2）解：①∵抛物线经过和，∴两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． 又∵抛物线对称轴为直线，∴，即．∵，∴， 即． ②∵抛物线与y轴交于点C，∴令，得，即．将代入抛物线解析式得，即．结合①中，得，∴． ∵点P在抛物线的对称轴上，点A是点B关于对称轴的对称点，∴，即． ∵对称轴为直线，且，∴，且，即点B、C均在对称轴右侧，两点在同侧．∴，即最小值．由勾股定理得，∴．∵、纵坐标相同， ∴线段的长度．∴，其中． 将配方得．∵二次函数开口向上，对称轴为直线，且在内， ∴当时，取得最小值，最小值为． 9.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为该抛物线对称轴上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标； （3）设四边形的面积为，求S的最大值并求出此时点的坐标； 【详解】（1）解： 抛物线经过，， 把，代入解析式得化简，得两式相加，得，．把代入， ，，． 抛物线的函数表达式为． （2）解：，是抛物线与轴交点， 抛物线的对称轴为直线． 点、点关于对称轴直线对称，，． 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长． 在中，令，得，．设直线的解析式为，把，代入，解得，， 直线解析式为． 把代入，得，．由勾股定理，，的最小值为，此时． （3）解：设点的横坐标为，在第四象限抛物线上，，其中． 连接， ．，在轴上，．，点纵坐标为负数，到轴距离为， ．． ， 二次函数开口向下，有最大值．当时，取得最大值， 最大值．把代入抛物线解析式， ，．答：四边形面积的最大值是 12，此时点坐标为． 10.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）设四边形PBOC的面积为，求的最大值； （2）连接，若的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得：，解得， ，过点作轴于点，如图所示， 令，则，，，为第四象限内抛物线上一点，设点，，，， ，， ， ，当时，有最大值，； （2）解：，，，，， 又，∴当取大值，即时，也有最大值，的最大值； （3）解：轴，轴，，，， ，又∵，，， ∵为第四象限内抛物线上一点，与轴交于点，∴设，∴，，∵，∴，在中，有，， ，． 11.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得，解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为，将点、代入得，，解得， ∴直线的解析式为，如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴，∵， ∴， ∵轴，∴，∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知，∴． ∵，∴当时，的面积的最大值为，此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时，，，如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得，∴直线的解析式为． ∵，∴其顶点为，∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ，令，解得，， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称，，则直线解析式为． ，，解得，． 12.（26-27九年级上·天津·开学考试）已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 （1）当时，求此抛物线顶点的坐标； （2）当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； （3）将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，直按写出的值和四边形周长的最小值． 【详解】（1）解：∵（为常数，）过点，∴， ∴，当时，抛物线，∴此抛物线顶点的坐标为； （2）解：由（1）可知，，∵抛物线，∴此抛物线顶点的坐标为，设直线的表达式为，代入点，∴，∴， ∴直线的表达式为，过点作轴交直线于点， ∴，∴，∵，∴，∴， ∴此抛物线的解析式为：； （3）解：∵原抛物线顶点的坐标为， 将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位， ∴新顶点的坐标为，即．∵抛物线，向左平移个单位，向下平移个单位，∴新抛物线的解析式为， 令，得， ∴．∵的长度为定值， ∴四边形的周长最小等价于最小．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点， 由对称性质得，， ∴， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立，此时四边形周长最小．由对称性质可得： 的坐标为， 的坐标为．此时在直线上， ∵， ∴．过点作轴，过点作轴，交于点， 则，则，，．过点作轴，过点作轴，交于点， 则， 则，，． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等），∵， ∴，∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得．当时， ， ， ∴四边形周长的最小值为．综上所述，的值为，四边形周长的最小值为． 题型三 二次函数的应用 1.（26-27九年级上·天津河北·阶段检测）某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． （1）直接写出与的函数关系式； （2）求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； （3）若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：∵ 原销量为200件，售价每降低1元多售出20件，降价x元，∴每天的销售量为y 与的函数关系式，即（）． （2）解：∵ 单件利润为元，销量为件， ∴ （），∵，∴ 抛物线开口向下，函数有最大值． 对称轴为，∵ ， ∴ 当时，W取得最大值． 最大值为（元）． （3）解：由题意得，即，解得，又∵ ， ∴ ， ∵开口向下，对称轴为，∴在范围内，W随x的增大而减小． ∴当时，W取得最大值，最大值为4500元． 此时售价为（元）． 答：售价应定为45元时利润最大，最大利润为4500元． 2.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊40棚，铁皮石斛54棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润35元，铁皮石斛平均每棚利润26元．调研发现：徽州黄菊每减少1棚，黄菊平均每棚利润增加2元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建96棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少棚，第二期黄菊总利润为元，铁皮石斛总利润为元． （1）求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润； （2）用含的代数式分别表示和．并求出自变量的取值范围； （3）当取何值时，第二期获得的总利润最大？求出最大总利润． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； （2）解：由题意得：， ；∵且，∴， ∴自变量的取值范围是且为整数； （3）解： ，∴当时， 3.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划 项目背景： 为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长的旧围墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园．园区内设置一条宽2m的生态观察步道（步道属于园区整体的一部分）；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验． 测量数据： 竹篱笆总长度为．设平行于围墙的篱笆的长度为米，垂直于围墙的篱笆的长度为米，园区的总面积为平方米．    （1）任务一：建立函数模型 根据上面测量得到的数据，请写出与与之间的函数解析式； （2）任务二：方案优化 实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最大面积； （3）任务三：植物采购规划 在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用．已知绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元．采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性，绣球花的种植面积至少要有165平方米．试求绣球花最多可以购进多少株？ 【详解】（1）解：由题意知，， 其中，，， ∴，整理得； ，∵墙长，∴，解得， ∴，； （2）解：，当时，，此时， 即，时，园区有最大面积； （3）解：在（2）的条件下，种植面积有，设有平方米种植绣球花，则平方米种植红叶石楠，由题意知绣球花可种植株，红叶石楠可种植株， ∴，解得，即， 当时，绣球花可种植的数量最多，为株，∴绣球花最多可以购进株． 4.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． （1）借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ （2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【详解】（1）解：设每件降价元．∵线下每件利润为元，日销量为件， ∵总利润为1800元，∴，整理得， 解得，，∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大，∴，答：每件应降价10元． （2）解：设每件降价元，线上和线下的日利润总和为元． ∵线下每件利润为元，日销量为件；线上每件利润为元，日销量为100件，∴，， ． ∵且，∴∵，∴抛物线开口向下，∴当时，取得最大值，最大值为3310元．答：当每件降价1元时，线上和线下的日利润总和最大，最大利润为3310元． 5.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展，某科技公司自主研制出，两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为万元，每台种型号智能机器人制造成本为万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元；售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）任务一确定销售单价：求，两种型号智能机器人每台的销售价格； （2）任务二拟定最优方案：若型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求型机器人的销售单价定为多少时，，两种型号的机器人利润之和最大． 根据题意列方程组：，解得． 答：型号智能机器人每台销售价格为万元，型号智能机器人每台销售价格为万元． （2）解：设总销售量与 型销售单价的函数解析式为． 将点、代入解析式，得，解得．． 型机器人销售量占总销量的， 型机器人销售量占总销量的． 型机器人销售量：， 型机器人销售量：， 型每台成本 万元，型每台成本万元， 每台 型利润为万元，每台 型利润为万元．设总利润为万元， ， ， 二次函数图象开口向下，有最大值． 当时，取得最大值． 答：当型机器人的销售单价定为万元时，，两种型号的机器人利润之和最大． 6.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）【亚运赛场观察】年9月日，在第届亚运会羽毛球男单决赛中，中国选手通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一点，他在网前吊球时的运动路线可以近似抽象成一条抛物线，如图所示． 【数学建模】选手发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离 ； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系； 连接，设抛物线解析式为，∵，∴．∵，， ∴．∵，∴．把，代入函数解析式得 解得∴； （2）解：把代入抛物线解析式得，解得，， ∴．∴； （3）解：把代入抛物线解析式得，解得，， ∵乙站在球网右侧，∴．∵羽毛球离地高度不小于，∴． ∵，∴．∵乙站在球网右侧，∴的取值范围为． 7.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． （1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为．设抛物线的函数表达式为，将代入上式，得，解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）．乒乓球发球器此次发出的球无效，由题意可知点A的横坐标为1.4，当时，，，乒乓球越过了球网．令，则，解得（舍去），．，乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． 8.（2025·安徽·一模）在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米． （1）求该抛物线的表达式． （2）若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？ （3）若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，） 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为．将代入，得， 解得，∴． （2）解：把代入可得：，解得，， ∴，，∴（米），∴两个正方形“脚手架”的距离为1米． （3）解：①当四个正方形“脚手架”如图1所示放置时， 设正方形的边长为，把代入，得，解得（负值舍去），∴正方形“脚手架”的边长为米． ②当四个正方形“脚手架”如图2所示放置时， 设正方形“脚手架”的边长为， 把代入，得，解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ③当四个正方形“脚手架”如图3所示放置时，由图形可得其边长明显小于图2中正方形“脚手架”的边长． ∵，，， ∴在拱桥下摆放个同样大小的正方形“脚手架”，正方形“㑢手架”的边长最大约为1.24米． 9.（26-27九年级上·广西梧州·阶段检测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得顶点，设，又∵抛物线过点， ，∴，∴上边缘抛物线的函数解析式为，当时，，解得，（舍去），∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵，∴对称轴为直线，∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，∴， ∴点B的坐标为； （3）解：，点的纵坐标为0.5，∴，解得：， ∵，∴，∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小， 当时，要使，则，当时，随的增大而增大，且时，，∴当时，要使，则，，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，的最小值为2，综上所述，的取值范围是． 10.（25-26九年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足 函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为 ，排队人数与检票时间的函数关系式为 ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 【详解】解：[模型构建] （1）如图： （2）根据所画图象为抛物线一部分，可得与之间满足二次函数关系，故答案为：二次； （3）设与之间的函数表达式为，将，，代入，得，解得∴与之间的函数表达式为； [模型应用] （1）由题意，当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为，排队人数 与检票时间的函数关系式为，故答案为：；； （2），∵，，∴当时，w有最大值，最大值为61， 答：排队人数在第6分钟达到最大值，最大人数为61人，故答案为：6，61； （3）设应打开m条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车，则，∵车站规定列车开车前5分钟停止检票， ∴当时，且，即且， 解得，∵，m为正整数，∴应至少打开4条检票通道，可保证候车室所有旅客都能安全检票上车． 11.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点，设， 又∵抛物线过点，，解得：，∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线，∴点的对称点为，∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时，解得，（舍去）， ∴∴点B的坐标为； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由：∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米）∴点F的坐标为， 当时，，当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 12.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，某跳水运动员进行跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为，跳板距离水面的高为，跳水运动员在离起跳点水平距离时达到距水面最大高度米，现以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线对应的函数表达式； （2）图中，，，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求， ①当时，是否达到训练要求？ ②直接写出达到训练要求时，的取值范围______． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，当时，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴这条抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①当时，，解得，，∵运动员的入水点在轴右侧，∴，∵，∴，又∵，， ∴入水点不在区域内，∴不能达到训练要求； ②设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴，∴，若跳水运动员要在区域内入水（含点），则当时，；当时，，即，解得，∴达到训练要求时，的取值范围为． 13.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）2026年美加墨世界杯决赛中，西班牙队在对方禁区前沿获得距离球门的前场任意球．以足球的起脚点为坐标原点O，沿水平方向指向球门为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知球门线对应的横坐标为，国际足联标准球门横梁离地面高度为，足球从原点踢出后，飞行轨迹为开口向下的抛物线；当足球水平飞行时，到达运动轨迹的最高点，此时离地面高度为． （1）求足球飞行的竖直高度y（单位：）关于水平距离x（单位：）的函数解析式； （2）防守方在距离起脚点（原点）处排起人墙，人墙球员起跳后可达到的最大封堵高度为，请通过计算判断，这记任意球能否成功越过人墙； （3）若主罚球员调整射门弧度，保持足球最高点的水平位置始终在处且足球仍从地面起脚，设最高点离地高度为h米，要求同时满足以下两个条件： ①足球能成功越过人墙（即在处时，足球高度大于）； ②足球能成功破门，既不击中横梁，也不贴地进门（在处时，高度满足）．求此时h的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，设其解析式为：， 将原点代入，得，解得，由对称性可得：， . （2）能成功越过人墙．理由如下：当时，， ∴这记任意球能成功越过人墙． （3）解：由题意可知，抛物线顶点坐标为，设其解析式为， ∵抛物线过原点，代入得，∴，∴此抛物线解析式为， 条件①：越过人墙，当时，，即， 解得，条件②：成功破门，当时，，即， 整理，得，∴， 14.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为，∴将点代入解析式得：，解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有，解得：； 当时，则有，解得：；∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，，∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有，∴，解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为，∴丙的平均速度为；答：丙的平均速度为． 15.（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设，将，代入得， ∴与的函数关系式为，当时，（元）； （2）解：收支平衡满足，∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本，∴收入与的新关系式为； （3），理由如下：设净收益为W， ∴，，二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值，由题意得，时净收益最大， ∴解得． 16.（安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 【详解】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，∵＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2＋8＝3，解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤， 方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋， ∵－1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，此时P2P1＝，P2P3＝，令x2＋8＝， 解得：x＝，∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上二次函数期中综合大题核心题型训练 题型一 二次函数的性质 1.（26-27九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（为常数）关于直线对称． （1）求常数的值； （2）平面直角坐标系中，已知点与点，且点在抛物线上． ①若点也在抛物线上，当时，比较的大小； ②若点在抛物线上，，求的最大值． 2.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点不与点，重合，当时，，求a的取值范围． 3.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 4.（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 5.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，，都在抛物线上． ①求，的值（用含a的代数式表示）； ②当时，线段上所有横坐标为整数的点个数为m，求m的值． 6.（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知抛物线． （1）当，时，求y的最小值； （2）若抛物线的顶点在x轴上，且经过点，求a的值； （3）当时，，为此抛物线上的两点，若时，总有，求a的取值范围． 7.（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在二次函数中． （1）若它的图像过点，则的值为多少？ （2）当时，的最小值为，求的值； （3）若，，均在此二次函数的图像上，且．求的取值范围． 8.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线（a为常数，且）的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标相等． （1）求a的值； （2）点在抛物线上，点在抛物线上（t，h为常数），若，求h的最大值； （3）点在抛物线上，点在抛物线上（k，m为常数，且），若是一个与无关的定值，求该定值及k的值． 9.（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于点，，点在点 的左侧． （1）当抛物线经过点时， （i）若 ，求抛物线的顶点坐标； （ii）若 求a的值． （2）当 时，抛物线L经过 两点 若 求证： ． 10.（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）． （1）已知点．若抛物线与轴交于原点和点，点在线段上，且不与端点重合，求的取值范围； （2）若，，将抛物线的对称轴向右平移3个单位长度后，与抛物线（为常数）的对称轴重合，求的值； （3）在（2）的条件下，当时，若在抛物线上，点在抛物线上，求的取值范围． 11.（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线和抛物线． （1）若抛物线经过点和，且该抛物线的最高点的纵坐标为5，求抛物线的顶点坐标； （2）已知抛物线和抛物线都经过点． （i）抛物线的顶点纵坐标为，拋物线的顶点纵坐标为，求的值； （ii）已知抛物线经过点，拋物线经过点，当时，总成立，求的取值范围． 12.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，，点位于点的左侧，与轴交于点．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点． （1）求抛物线和直线对应的函数表达式； （2）若平行于轴的直线与抛物线交于点，，与直线交于点，且，①________； ②求的取值范围． 13.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． （1）求的值； （2）如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （3）若点在直线上，点在抛物线上，当时，求的最小值． 14.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，对称轴为． （1） ， ； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，． ①求的值；②求证：． （3）当时，设该二次函数的最大值和最小值分别为m和n，且，则t的值为 ． 15.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求出二次函数最大值与最小值的差； （3）如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 16.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过，且关于直线对称，点是上的动点． （1）求的解析式； （2）若点也在上，求s的最小值； （3）点在抛物线上，若经过的直线与和恰好交于B、D两点（B，D点与不重合．如图所示），求的值． 题型二 二次函数与几何关系 1.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，对称轴为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知，两点均在该抛物线上，且，，求的值； （3）设对称轴与线段交于点，是抛物线在第一象限上的一点，求的面积的最大值． 2.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于A点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在y轴的负半轴是否存在点Q，使得？若存在，求Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点P是抛物线上的一个动点，且点P在第三象限内，连接与直线交于点D，若，请求出k的取值范围． 3.（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图1，抛物线（a，b是常数且a≠0）与x轴交于点A和点B，点A位于原点左侧，点B位于原点右侧，与y轴交于点C，连接，，已知． （1）求抛物线的解析式； （2）若是该抛物线的对称轴，点D是抛物线的顶点，点P是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点． （i）如图2，连接，，若的面积为3，求点P的坐标； （ii）如图3，设与交于点G，连接，求的最大值． 4.（26-27九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 A，B 两点，与 轴交于点 C，对称轴为 ，点 P 在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 在抛物线上，且 ，用含 m 的代数式表示 ． （3）过点作直线，交轴于点，当的面积等于时，求的值． 5.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； （3）在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 6.（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点是直线上一动点，是抛物线上一点，过点作线段（点在直线下方），已知，请直接写出点的坐标． 7.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 8.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线：（，是常数）经过点． （1）若抛物线的对称轴为直线，求，的值． （2）若抛物线还经过另一点，且， ①求的取值范围； ②抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．的最小值为，线段长为，记，求关于的函数解析式，并求的最小值． 9.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为该抛物线对称轴上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标； （3）设四边形的面积为，求S的最大值并求出此时点的坐标； 10.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）设四边形PBOC的面积为，求的最大值； （2）连接，若的面积为，求的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点，当时，求点的坐标． 11.（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 12.（26-27九年级上·天津·开学考试）已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点 （1）当时，求此抛物线顶点的坐标； （2）当时，若的面积为4，求此抛物线的解析式； （3）将抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位；得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，直按写出的值和四边形周长的最小值． 题型三 二次函数的应用 1.（26-27九年级上·天津河北·阶段检测）某公司生产一种产品，成本为每件30元．当售价为50元/件时，每天可售出200件.经调查发现：售价每降低1元，每天可多售出20件．设每件售价降低x元（），每天的销售量为y件，每天的利润为元． （1）直接写出与的函数关系式； （2）求与的函数关系式，并求当为何值时最大，最大利润是多少； （3）若该公司要求每天至少售出300件，此时售价应定为多少元可使利润最大？最大利润是多少？ 2.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）安徽省黄山市徽州区某农业合作社第一期搭建大棚，种植徽州黄菊40棚，铁皮石斛54棚．经统计，第一期徽州黄菊平均每棚利润35元，铁皮石斛平均每棚利润26元．调研发现：徽州黄菊每减少1棚，黄菊平均每棚利润增加2元；铁皮石斛平均每棚利润保持不变．为了增加总利润，合作社计划第二期一共搭建96棚，全部种植徽州黄菊和铁皮石斛．设第二期徽州黄菊比第一期减少棚，第二期黄菊总利润为元，铁皮石斛总利润为元． （1）求第一期黄菊和铁皮石斛的总利润； （2）用含的代数式分别表示和．并求出自变量的取值范围； （3）当取何值时，第二期获得的总利润最大？求出最大总利润． 3.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）综合与实践 项目主题：校园“碳中和”生态探究园规划 项目背景： 为落实“双碳”目标，合肥某中学劳动实践小组计划依托校园一面长的旧围墙，利用环保竹篱笆搭建矩形生态探究园．园区内设置一条宽2m的生态观察步道（步道属于园区整体的一部分）；步道中间用篱笆进行分隔，把整个园区分成形状、大小完全相同的两个实验区，用来开展植物固碳相关探究实验． 测量数据： 竹篱笆总长度为．设平行于围墙的篱笆的长度为米，垂直于围墙的篱笆的长度为米，园区的总面积为平方米．    （1）任务一：建立函数模型 根据上面测量得到的数据，请写出与与之间的函数解析式； （2）任务二：方案优化 实践小组希望园区的总面积尽可能大，请你帮忙设计搭建方案，并求出园区的最大面积； （3）任务三：植物采购规划 在园区面积取到最大值的条件下，小组准备在园区内种植绣球花和红叶石楠两种植物：每平方米可以种植绣球花2株，或者红叶石楠1株，整个园区的种植面积要充分利用．已知绣球花每株售价30元，红叶石楠每株售价20元．采购总费用不能超过1.5万元；同时为了景观观赏性，绣球花的种植面积至少要有165平方米．试求绣球花最多可以购进多少株？ 4.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． （1）借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ （2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 5.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展，某科技公司自主研制出，两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为万元，每台种型号智能机器人制造成本为万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元；售出台型智能机器人、台型智能机器人共收入万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如图所示． 根据以上信息解决下列问题： （1）任务一确定销售单价：求，两种型号智能机器人每台的销售价格； （2）任务二拟定最优方案：若型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求型机器人的销售单价定为多少时，，两种型号的机器人利润之和最大． 6.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）【亚运赛场观察】年9月日，在第届亚运会羽毛球男单决赛中，中国选手通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一点，他在网前吊球时的运动路线可以近似抽象成一条抛物线，如图所示． 【数学建模】选手发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离 ； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 7.（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． （1）求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 8.（2025·安徽·一模）在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米． （1）求该抛物线的表达式． （2）若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？ （3）若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，） 9.（26-27九年级上·广西梧州·阶段检测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围． 10.（25-26九年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题、研究了排队人数与安检时间，检票闸口数之间的关系． 【模型构建】收集数据：列车发车前15分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数（人）与安检时间（分钟）之间部分对应值并制成下表： 0 5 10 15 25 150 225 250 （1）以，的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； （2）根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中与之间满足 函数关系； （3）求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数=候车总人数-已检票人数； 已知条件2：若该检票口最多可开放10条检票通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条检票通道，检票时间分钟时，已检票人数为 ，排队人数与检票时间的函数关系式为 ； （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）为保证列车行车安全，车站规定列车开车前5分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 11.（25-26九年级上·安徽安庆·期中）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 12.（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，某跳水运动员进行跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为，跳板距离水面的高为，跳水运动员在离起跳点水平距离时达到距水面最大高度米，现以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线对应的函数表达式； （2）图中，，，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求， ①当时，是否达到训练要求？ ②直接写出达到训练要求时，的取值范围______． 13.（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）2026年美加墨世界杯决赛中，西班牙队在对方禁区前沿获得距离球门的前场任意球．以足球的起脚点为坐标原点O，沿水平方向指向球门为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知球门线对应的横坐标为，国际足联标准球门横梁离地面高度为，足球从原点踢出后，飞行轨迹为开口向下的抛物线；当足球水平飞行时，到达运动轨迹的最高点，此时离地面高度为． （1）求足球飞行的竖直高度y（单位：）关于水平距离x（单位：）的函数解析式； （2）防守方在距离起脚点（原点）处排起人墙，人墙球员起跳后可达到的最大封堵高度为，请通过计算判断，这记任意球能否成功越过人墙； （3）若主罚球员调整射门弧度，保持足球最高点的水平位置始终在处且足球仍从地面起脚，设最高点离地高度为h米，要求同时满足以下两个条件： ①足球能成功越过人墙（即在处时，足球高度大于）； ②足球能成功破门，既不击中横梁，也不贴地进门（在处时，高度满足）．求此时h的取值范围． 14.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 15.（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： （1）根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ （2）当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 （3）由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 16.（安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 1 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