精品解析：河北省保定市部分高中2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在公差不为0的等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，均在上单调递增，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，当光线从介质δ射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线l的夹角为入射角，折射光线与法线l的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为α时，折射角为β，其中，若将入射角变为2α，设此时的折射角为θ，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的最大值为，且无最小值，则函数的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上的最小值为 C. 的图象关于点对称 D. 10. 若直线与曲线、均相切，则（ ） A. B. C. D. 11. 设数列的前项和为，若对于任意的正整数，存在正整数，使得，则称为“封闭数列”，下列结论正确的是（） A. 若，则为“封闭数列” B. 若，则不存在常数，使得为“封闭数列” C. 若和均为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” D. 若为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是函数的极值点，则_______． 13. 的内角，，的对边分别为，，，的面积为．已知，，则_________，周长的最大值为_________． 14. 平面内的10个向量满足：①这10个向量的和为零向量，②每个向量的模为1或2，③任意两个向量平行或垂直．这10个向量中与向量的夹角为锐角的向量个数的最大值为________． 四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数的图象经过点，函数． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 16. 在锐角中，，且，，． （1）求； （2）若是的中点，证明：． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期和值域； （2）若在上的最大值为，求的最小值； （3）若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的最大值； （2）若，，求的取值范围； （3）记函数的零点分别为和，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，等式与不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以或，即， 又，所以. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用除法运算求出，再利用共轭复数实部相等、虚部互为相反数即可求得. 【详解】因为，所以， 所以. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由得，解得或， 因为或，或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 在公差不为0的等差数列中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为，因此等差数列的通项为， 故，， 因此， 故，即. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数运算性质统一对数底数比较与的大小，再结合对数、指数函数的单调性判断、与1的大小关系，最终得出三者排序. 【详解】由题设有. 又，对数函数在上单调递增，且， 因此，即.  由对数函数单调性得； 指数函数在上单调递增， 因此，即. 综上可得. 6. 已知，分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，均在上单调递增，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以， 定义域为R关于原点对称，所以函数为偶函数，其图象关于轴成轴对称. 设，因为，均在上单调递增， 且是定义在上的奇函数，所以. 所以，所以， 所以在上单调递增. 只有选项B符合要求. 7. 如图，当光线从介质δ射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线l的夹角为入射角，折射光线与法线l的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为α时，折射角为β，其中，若将入射角变为2α，设此时的折射角为θ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比，所以设比例系数为， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 因为，由正弦函数的单调性可得， 又，即，即， 所以. 8. 设函数的最大值为，且无最小值，则函数的（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】通过化简可得，然后研究函数与函数的定义域和值域的关系即可得出答案. 【详解】易知的定义域为， 则. 由，得， 所以与的值域相同，则的最大值为， 则的最小值为，又无最小值，所以无最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上的最小值为 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据图象的平移变换，得到的解析式，可得选项A错误；再根据正弦函数的图象性质，可知选项B、C正确；根据函数的周期性，先求得、，进而可判断选项D正确. 【详解】对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度，可得，故A错误； 对于B选项，当时，可得， 可知当时，取得最小值，即，因此在上的最小值为，故B正确； 对于C选项，因为，令（），解得（）， 取时，可得，因此点是的对称中心，故C正确； 对于D选项，由，可得，则，， 所以，所以，故D正确. 综上所述，选项BCD正确. 10. 若直线与曲线、均相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点，利用导数的几何意义写出两切线方程；由两切线重合，对比斜率和截距建立方程组，整体代换求出的值，再利用求出的二次函数范围，即可判断各选项的正误. 【详解】设直线与曲线切于点，与曲线（即 ，）切于点， 对求导得，所以在点处的切线方程为：，即， 对求导得，所以在点处的切线方程为：，即， 因为这两条切线是同一直线，对比系数可得：①，②， 由①得，代入②得； 两边同乘得：， 所以，故A错误，B正确； ， 因为，由①知； 又因为，由②知，即，所以， 因此，从而，故C错误，D正确. 11. 设数列的前项和为，若对于任意的正整数，存在正整数，使得，则称为“封闭数列”，下列结论正确的是（） A. 若，则为“封闭数列” B. 若，则不存在常数，使得为“封闭数列” C. 若和均为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” D. 若为“封闭数列”，则一定为“封闭数列” 【答案】AB 【解析】 【分析】A.验证等差数列的前项和可表示为数列的某一项，利用连续整数乘积为偶数保证为正整数；B.代入=1，2，3建立方程，利用2的幂次的奇偶性推出矛盾，证明不存在满足条件的常数；C.构造两个均为封闭数列的等差数列，验证其和数列存在前项和无法对应数列项的反例；D.以已知的封闭数列为基础，验证其前项和组成的数列存在前项和无法对应数列项的反例. 【详解】选项A，若，则是首项为3、公差为3的等差数列，其前项和， 令，解得， 由于与是连续正整数，乘积必为偶数，因此恒为正整数，满足封闭数列的定义，A正确； 选项B，若，则其前项和， 若为封闭数列，则对任意正整数，存在正整数使得，即， 当时，，得，恒成立， 当时，，即（为正整数）， 当时，，两边除以2得（为正整数）， 将代入上式，得 ， 等式右侧1是奇数；左侧是两个2的正整数次幂相减，因，故是偶数，也必为偶数， 偶数减偶数结果为偶数，不可能等于奇数1，等式无正整数解， 因此不存在常数使得为封闭数列，B正确； 选项C，举反例，设，其前项和，令（正整数），满足，故是封闭数列， 设，其前项和，令（为正整数），满足，故是封闭数列， 两数列之和，其前项和， 令，得，当时，，不是正整数， 不满足封闭数列定义，因此不一定是封闭数列，C错误； 选项D，举反例，取选项A中的封闭数列，其前项和， 设的前项和为，， 所以， 若是封闭数列，则对任意，存在正整数使得， 即 ， 当时，右侧，即，无正整数解， 不满足封闭数列定义，因此不一定是封闭数列，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是函数的极值点，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由是的极值点得到，计算得到的值. 【详解】， ， 因为是的极值点，所以， 即， 解得，即， 当时，， 当时，即时，，在上是单调递增函数， 当时，即时，，在上是单调递减函数， 则是的极值点，满足题意，故. 13. 的内角，，的对边分别为，，，的面积为．已知，，则_________，周长的最大值为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】由余弦定理，， 又，所以， 又，所以， 又，所以，所以. 因为，所以， 所以，所以（当且仅当时取等号）. 所以周长的最大值为：. 14. 平面内的10个向量满足：①这10个向量的和为零向量，②每个向量的模为1或2，③任意两个向量平行或垂直．这10个向量中与向量的夹角为锐角的向量个数的最大值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用向量只能沿坐标轴四个方向的特点，通过放缩求出锐角向量个数的上限，再构造一组向量验证6可以取到，即可得到最大值. 【详解】由条件③，任意两个向量平行或垂直，故所有的向量落在相互垂直的一组直线上，又因为与向量的夹角为锐角，所以只能沿轴、轴四个方向：. 若向量与的夹角为锐角，则且不同向共线，故只有轴正方向、轴正方向的向量满足题意. 设轴正方向、轴正方向的向量共有个，则轴负方向、轴负方向的向量共有个， 设轴正方向向量的总长度为，轴正方向的向量的总长度为，轴负方向向量的总长度为，轴负方向的向量的总长度为， 由向量和为零向量得：，即，因为每个向量的模为1或2， 则，，所以，即，因为为正整数，故. 当时，取向量： 轴正方向：共3个；轴正方向：共3个； 轴负方向：共2个；轴负方向：共2个， 总数为10个，轴方向的和为：；轴方向的和为：， 则和为零向量，每个向量模长为1或2，任意向量平行或垂直，满足条件； 综上，最大值为6. 四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数的图象经过点，函数． （1）求的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求解； （2）求出的单调性，利用单调性解不等式. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以设， 因为的图象经过点，所以， 解得，则． 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，，所以，即． 又，所以由，可得， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以转化为，解得． 故原不等式的解集为． 16. 在锐角中，，且，，． （1）求； （2）若是的中点，证明：． 【答案】（1） （2）设，，所对的边分别为，，，由（1）可得，， 则，． 因为是的中点，所以， 则． 由，得，则， 则， 则，即. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角的正切关系得到，利用两角和的正切展开式和，化简得到，因为，，且，所以，，即可得到； （2）利用向量的运算得到，则，由正弦定理得到，则，则，即. 【小问1详解】 因为，所以． 又，且是锐角三角形，所以， 则，即，． 因为，，且，所以，， 则． 【小问2详解】 略 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用可得到数列为等比数列，进而可得的通项公式. （2）利用（1）的结果化简，再利用裂项相消法即可求前项和. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，由， 得， 则， 则. 则是以为首项，为公比的等比数列. 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 则． 设的前项和为， 则. 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期和值域； （2）若在上的最大值为，求的最小值； （3）若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，值域为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，由的正负分类讨论得解析式，可得的最小正周期和值域； （2）依题意，在上的最大值为或，代入解析式求的取值范围得最小值； （3）由，可得或，，结合函数图象和周期性，求的取值范围． 【小问1详解】 ． 当，，即，时， ，则． 当，，即，时， ，则． 故 可得的最小正周期为，值域为 【小问2详解】 （方法一）由的图象可知，若，则在上的最大值为2，不符合题意． 若，则在上的最大值为或， 若在上的最大值为，则，得， 则由的图象可得，，且，得． 若在上的最大值为，则，得， 则由的图象可得，，，且，，得 ，． 因为，所以的最小值为． （方法二）由，得． 因为，所以，． 又在上的最大值为，所以的最小值满足， 解得的最小值为． 【小问3详解】 由，可得，得， 则或，， 解得或，． 结合的图象可知，当，时，在上的图象与直线的交点个数为0，不符合条件； 当，时，在上的图象与直线的交点个数为奇数，符合条件； 当，时，在上的图象与直线的交点个数为偶数，不符合条件． 综上所述，的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求的最大值； （2）若，，求的取值范围； （3）记函数的零点分别为和，证明：． 【答案】（1）0 （2） （3）不妨令，则由（1）可知． 令，则 在上恒成立，则在 上单调递增，则，则在上恒成立． 由，得．因为，所以． 又，，且在上单调递减，所以，即 ． 由，得． 因为，所以易得， 则由，得，则， 即，得， 从而． 同理，由，，得． 由，得， 则，即． 因为在上单调递增，所以，故． 由（2）可知，当时，由，得． 因为，所以， 则，即． 设， 则，当时，， 则在上单调递减．因为，， 所以，则，则． 故． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导函数得到的单调性，即可求最大值； （2）分离参数得，，令， 利用导数得到在上单调递减，则，故的取值范围为； （3）先由的单调性知道，下界采用极值点偏移的对称构造法，设，求导得在递增、，即，结合在单调递减推得，故；上界采取分而治之的放缩思路，先用时得到，再由推出单调递减，借助第（2）问结论证明最大的，从而，两式相加即得. 【小问1详解】 因为，，所以． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的最大值为． 【小问2详解】 由，，得，． 令，则． 令，则在上恒成立，则在 上单调递增，则， 从而在上恒成立，则在上单调递减，则， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $