河北涿州中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高 三 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据3，2，4，1，3，6的众数为 A．1 B．3 C．5 D．6 2．若是第二象限角，则 A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡分给这4人，每人分得1张，则恰有1人得到自己写的贺卡的分法数为 A．16 B．12 C．10 D．8 6．已知，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，已知海岛到海岸公路的距离，，间的距离，甲先乘快艇从到海岸公路上的某一点登陆，快艇速度恒为，再乘汽车沿海岸公路到，汽车速度恒为．若忽略换乘的时间，则甲从到所需的时间最少为 A． B． C． D． 8．已知函数的相邻两个零点为，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 10．设，则 A． B． C． D． 11．已知函数，其中，，且．是的导函数，的所有零点分别为，，…，，其中，且，则下列结论正确的是 A．若，则 B． C． D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量，且，则__________． 13．定义符号函数：已知函数，则的值域为__________；若函数的值域为，则不等式的解集为__________．（本题第一空2分，第二空3分） 14．若，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的单调递增区间． 16．（15分）已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 17．（15分）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． （1）求，的解析式． （2）令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 18．（17分）某粽子店每天都会制作一批粽子售卖，其中碱水粽占20%，红枣甜粽占30%，蛋黄肉粽占50%，且每个碱水粽的售价为2元，每个红枣甜粽的售价为3元，每个蛋黄肉粽的售价为6元． （1）设某顾客在店里随机购买个粽子． （ⅰ）若，求该顾客没有买到碱水粽的概率； （ⅱ）若，记为该顾客购买碱水粽的费用，求和． （2）某顾客第一天在该店随机选2个粽子，若携带的钱足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带6元钱随机购买2个粽子，若携带的钱不足以购买这2个粽子，则该顾客第二天携带12元钱随机购买2个粽子，重复上述操作．设该顾客第一天携带6元钱，为第天该顾客携带12元钱购买粽子的概率，求． 19．（17分）已知函数． （1）证明曲线是轴对称图形，并求其对称轴的方程； （2）求的最值； （3）若曲线上所有的点均在圆的圆上或圆内，求圆半径的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学参考答案 1．B 2．C 3．C 4．A 5．D 6．A 7．C 8．C 9．BD 10．AD 11．ACD 12．0.6 13．； 14． 15．解：（1）由图可知， 1分 的最小正周期， 2分 则， 3分 则，得，，则，． 4分 又，所以， 5分 则． 6分 （2）将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 7分 再将所得的图象向左平移个单位长度，则． 8分 令，， 10分 得，， 12分 故的单调递增区间为（）． 13分 16．解：（1）当时，， 1分 则． 3分 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 5分 则的极大值为，无极小值． 7分 （2）由，得． 9分 因为在上单调递增，所以，即在上恒成立． 11分 又，所以． 13分 因为，所以．故的取值范围为． 15分 17．解：（1）由，得． 1分 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，， 2分 则， 3分 解得，． 4分 （2）（ⅰ）由（1）可得， 易得在上单调递增． 5分 因为，， 7分 所以，． 8分 又，所以． 9分 （ⅱ）令．因为是奇函数，所以是奇函数． 10分 又在上单调递增，所以在上单调递增． 11分 由，得， 12分 则， 13分 则，解得或． 14分 故不等式的解集为． 15分 18．解：（1）（ⅰ）由题可知，顾客随机购买1个粽子，不是碱水粽的概率为， 1分 则该顾客随机购买2个粽子，没有买到碱水粽的概率为． 3分 （ⅱ）记为顾客买到的碱水粽的个数，则． 4分 由题可知，， 6分 则，， 7分 则，． 9分 （2）要使得携带6元钱足以购买2个粽子，则不能购买蛋黄肉粽， 10分 故携带6元钱足以购买2个粽子的概率为，不足以购买2个粽子的概率为． 11分 由题可知，，且， 13分 则， 14分 所以是以为首项，为公比的等比数列， 15分 则， 16分 则． 17分 19．（1）证明：由，得． 1分 要证曲线是轴对称图形，则只需证． 2分 因为，所以．由，得． 3分 故曲线是轴对称图形，且其对称轴的方程为． 4分 （2）解：令，则． 5分 设，则恒成立， 6分 则在上单调递增， 7分 则，． 故的最小值为0，最大值为． 8分 （3）解：由，得或，由，得， 则曲线经过点，，． 9分 设外接圆的圆心为，则，得， 则外接圆的半径为． 10分 要使得曲线上所有的点均在圆的圆上或圆内，则圆的半径大于或等于． 11分 下面证明的外接圆即为所求的圆，即证在上恒成立，整理得． 12分 由（2）知，可得． 13分 当时，不等式显然成立． 14分 当时，则． 易知函数，在上均单调递增，且函数值均大于0， 15分 所以在上单调递增，从而． 16分 故圆半径的最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $