第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（举一反三综合训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·贵州六盘水·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【解题思路】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【解答过程】对有， 令，则，有， 故的展开式中的系数是. 故选：D. 2．（5分）（2026·四川南充·三模）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（    ） 附：（若，则，） A．2717 B．2718 C．6827 D．9545 【答案】C 【解题思路】先根据正态分布的对称性，求，再估计测试成绩在内的学生人数. 【解答过程】因为 . 所以测试成绩在内的学生人数约为：. 故选：C. 3．（5分）（2026·山东·模拟预测）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件概率的计算公式即可求解. 【解答过程】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则． 设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则． 所求即为． 故选：D. 4．（5分）（2026·云南昆明·模拟预测）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 【答案】D 【解题思路】先分组后分配，再间接减去甲、乙在一起的情况即可. 【解答过程】总的分配方法有种. 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为. 故选D. 5．（5分）（2026·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由古典概率的计算公式求解即可. 【解答过程】所有可能的借阅顺序总数为：， 最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》， 所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况， 最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况， 设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件， 则， 故选：D. 6．（5分）（2026·广东广州·三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 【答案】D 【解题思路】利用互斥事件的定义即可判断A，根据并事件的定义即可判断B，利用独立事件的定义即可判断CD. 【解答过程】对于A：，即事件同时发生，所以，故A错误； 对于B：事件发生，不一定发生，故B错误； 对于C：根据题意，， 所以，，故C错误； 对于D：由，， 所以A，B，C两两独立，故D正确， 故选：D. 7．（5分）（2026·河北·二模）已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过分析取球结束时的次数情况，结合不放回抽样的概率计算方法，分别求出各次数对应的概率，再利用数学期望公式求解. 【解答过程】随机变量的可能取值为. 当时，前两次取球就取到一对编号相同的红、白球， 第一次任取一球，第二次需取到与它编号相同的另一颜色球：； 当时，前两次未出现同号球，第三次才取到， 第一次任取一球，第二次不取同号球， 第三次取到与前两次之一同号的另一颜色球：； 当时，前三次未出现同号球，第四次才取到， 第一次任取一球，后两次均不取已取编号的同号球， 第四次取到与前三次之一同号的另一颜色球：； 当时，前四次未出现同号球， 第五次必然取到（前四次取了4个不同编号的球，剩余球必与前四次某一球同号）： ， 数学期望：. 故选：A. 8．（5分）（2026·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果． 【解答过程】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】利用正态分布的原则求概率即可逐项验证. 【解答过程】由题意有，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10．（6分）（2026·四川泸州·模拟预测）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】由，可判断A；利用展开式的通项求出，可判断B；令求出，再对二项式两边求导，令即可判断C；当时，可判断D． 【解答过程】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故B正确； 因为，令，可得， 令， 有， 令，可得， 所以，故C错误； 由展开式的通项为，， 所以，， 所以， 令，可得， 所以，故D正确. 故选：BD． 11．（6分）（2026·湖北黄冈·三模）在本场考试中，多选题可能有2个或3个正确的选项.全部选对得6分，若有3个正确的选项则每选对一个得2分；若有2个正确的选项则每选对一个得3分；有选错或未选的得0分.若因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项.设该题恰有3个正确选项的概率为，得分设为随机变量 ，则下列说法正确的是（  ） A．若随机选择一项，则为定值 B．若，则随机选择两项比选择一项更优 C．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望 D．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望 【答案】AB 【解题思路】利用条件概率乘法公式来计算各种条件下的概率，并列出分布列，通过求期望来判断各选项即可. 【解答过程】对于，随机选一项， 若该题恰有3个正确选项的概率为，则该题恰有2个正确选项的概率为， 若得2分，则由条件概率乘法公式可得，， 若得3分，则由条件概率乘法公式可得，， 所以得0分，则， 则随机选一项，可得分布列为 0 2 3 P ，故A正确； 对于，随机选两项， 若该题恰有3个正确选项的概率为，则该题恰有2个正确选项的概率为， 若得4分，则由条件概率乘法公式可得，， 若得6分，则由条件概率乘法公式可得，， 所以得0分，则， 则随机选两项，可得分布列为 0 4 6 P 所以， 当时，由于， ，故B正确； 对于，随机选三项， 若该题恰有3个正确选项的概率为，则该题恰有2个正确选项的概率为， 若得6分，则由条件概率乘法公式可得，， 所以得0分，则， 则随机选三项，可得分布列为 0 6 P ， 由于， 所以，故C错误； 通过比较：，所以， 所以随机选择三项的得分期望小于随机选择两项的得分期望，故D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知的展开式中的系数为，则__________. 【答案】 【解题思路】利用二项式定理的展开式求指定项的系数即可. 【解答过程】的展开式的通项为： 则的系数为，解得，所以. 故答案为：. 13．（5分）（2026·河北·模拟预测）某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为__________. 【答案】/ 【解题思路】先对女生分组然后排列剩余男生与班主任再插空最后排相邻两女生，最后用古典概型计算概率即可. 【解答过程】由题意，先将2位男生和班主任排成一排，有种排法，然后将3位女生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后2位男生和班主任排列后产生4个空有种插空方法，最后交换相邻2位女生的位置有种方法，所以3位女生中有且只有2位相邻共有种排法， 又因为6人随机排成一排有种排法， 所以所求概率为. 故答案为: . 14．（5分）（2026·安徽合肥·三模）某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为__________元． 【答案】 【解题思路】解法一：当相邻卡片上的数字都不同时，求得；当相邻卡片的数字只有一对相同时，求得；当相邻卡片的数字只有两对相同时，可得，结合期望的公式，即可求解；解法二：根据题意，得到，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】解法一：当相邻卡片上的数字都不同时，如6868，有，则； 当相邻卡片的数字只有一对相同时，如6886，有，则； 当相邻卡片的数字只有两对相同时，如6688，有，则， 故所求期望． 解法二：两个6和两个8四张卡片，共有6种排法， 其中相邻卡片上的数字都不相同的排法有2种， 相邻卡片上数字只有一对相同的排法有2种， 相邻卡片上数字有两对相同的排法有2种， 可得， 故所求期望． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 【答案】(1)，和 (2)，，， 【解题思路】（1）所有二项式系数之和为，由此求出n；利用n为奇数时，中间两项的二项式系数最大即可求解； （2）写出通项公式，令x的指数为整数，找出k的可取整数值，算出有理项. 【解答过程】（1）由题可知，， 展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项. 展开式的通项公式为 ；. 综上，展开式中二项式系数最大的项为和； （2）由（1）知展开式的通项公式为， 有理项要求的指数为整数，即，其中， 易知当，，，时，其对应的项依次为： ；； ；. 16．（15分）（2026·湖南永州·一模）盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，记为抽取出的3张卡片上的最小数字． (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率． (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 1 2 3 数学期望为 【解题思路】（1）根据古典概率公式，以及组合数的计算公式，求出结果即可； （2）根据题意，每次抽取出的最小数字卡牌有一张和两张两种可能，再根据分类加法计数原理，以及古典概率公式，求出分布列即可，再根据数学期望的概念，求出结果即可. 【解答过程】（1）可知共有八张卡片，则抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率为. （2）随机变量的可能取值有， 当时，有1张和2张数字1，两种情况，则， 同理， ， 随机变量的分布列为： 1 2 3 数学期望为. 17．（15分）（2026·山东聊城·模拟预测）袋中有编号为1，2，3，4的小球各一个，每次从袋中摸出一个小球，记下编号后，将小球放回袋中，记为一轮摸球，如此循环. (1)若摸三轮，求在不摸出1号球的条件下，恰有一个小球被摸出次数等于该小球编号的概率； (2)如此循环，直到4个编号的小球均被摸出过或摸球次数达到停止摸球，记停止摸球时摸球次数为X. ①时，求； ②求. 【答案】(1)； (2)①；② 【解题思路】（1）先求出不摸出1号球的概率，再求出不摸出1号球且恰有一个小球被摸出次数等于该小球编号的概率，最后根据条件概率公式计算； （2）①时，表示前4次摸球只出现了3个不同编号的小球，第5次摸出了第4个不同编号的小球，根据古典概型概率公式计算；表示前次摸球没有将4个编号的小球全部摸出，根据古典概型概率公式计算. 【解答过程】（1）设事件A为“三轮不摸出一号球”，事件B为“恰有一个小球被摸出次数等于该小球编号”， ∴. （2）①表示前4次摸球只出现了3个不同编号的小球，第5次摸出了第4个不同编号的小球. 前4次摸球只出现3个不同编号的小球，从4个编号中选3个，有种选法， 将这3个编号的小球放入4次摸球中，且每个编号至少出现一次， 种情况. 第5次摸出剩下的1个编号的小球，有1种情况，而摸5次球，每次有4种选择，总共有种情况. 所以. ②由题意可知：表示在第次摸球停止，则前次的情况如下： 情形1：只摸出1种编号：4种； 情形2：只摸出2种编号：； 情形3：只摸出3种编号：， ∴. 18．（17分）（2026·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)估计满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为 (2)8186 (3)的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 【解题思路】（1）结合题设数据，根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）由题意，，，进而根据正态分布特殊区间的概率求解即可； （3）由题意可得的所有取值为，再求出顾客每次抽奖返还2000元现金的概率，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率，顾客每次抽奖不返还任何现金的概率，进而求解分布列和数学期望. 【解答过程】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 19．（17分）（2026·贵州贵阳·模拟预测）2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)周 【解题思路】（1）利用马尔可夫链的期望递推即可得到结论； （2）利用全概率公式，考虑第一周等可能选A或B及对应的转移概率，即可计算得第2周选B的概率； （3）由题意确定的所有可能取值为20，21，22，，30，由超几何分布并组合恒等式即可计算期望值. 【解答过程】（1）记为第一次选择的周数， 表示从出发首次到所需的步数，表示从出发首次到所需的步数， 由题设第一周选择的概率为，选的概率为，而第一次出现在第周， 故，故， 故， 又， 故第n次选择B出现的周数期望为， 则，当且仅当时等号成立， 故当时，；当时，. （2）设小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率为， 则. （3）1~30这30个数字中除以7余数为1或者2的有10个， 所以有10次选择路线A，20次选择路线B， 的所有可能取值为20，21，22，，30，为的个数， 从30个数字中任选个数字，共有种可能，其中符合要求的个数为， 因此前次抽取的集合恰好包含所有和个的概率为， 这个数字的所有排列顺序等可能， 在随机排列中，最后一个位置是的概率等于所占的比例， 故，， . 所以随机变量的期望是周. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·贵州六盘水·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 2．（5分）（2026·四川南充·三模）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（    ） 附：（若，则，） A．2717 B．2718 C．6827 D．9545 3．（5分）（2026·山东·模拟预测）现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2026·云南昆明·模拟预测）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 5．（5分）（2026·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·广东广州·三模）一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件A：，事件B：，事件C：，则（    ） A．A，B互斥 B． C． D．A，B，C两两独立 7．（5分）（2026·河北·二模）已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（2026·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（2026·四川泸州·模拟预测）已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（2026·湖北黄冈·三模）在本场考试中，多选题可能有2个或3个正确的选项.全部选对得6分，若有3个正确的选项则每选对一个得2分；若有2个正确的选项则每选对一个得3分；有选错或未选的得0分.若因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项.设该题恰有3个正确选项的概率为，得分设为随机变量 ，则下列说法正确的是（  ） A．若随机选择一项，则为定值 B．若，则随机选择两项比选择一项更优 C．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择一项的得分期望 D．存在使随机选择三项的得分期望大于随机选择两项的得分期望 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知的展开式中的系数为，则__________. 13．（5分）（2026·河北·模拟预测）某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为__________. 14．（5分）（2026·安徽合肥·三模）某超市举办了一场抽奖活动，回馈消费者，规则如下：在抽奖盒子中装有6、8两个数字的卡牌（除数字外不可区分）各两张，消费者从盒子中依次摸出4张卡牌，并按摸取的顺序排成一列．若4张牌上相邻的数字均不相同，则可获得50元奖励；若4张牌上只有一对相邻的数字相同，则可获得80元奖励；若4张牌上有两对相邻的数字相同，则可获得100元奖励．按上述规则，任意1名消费者最终可获得奖励的数学期望为__________元． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 16．（15分）（2026·湖南永州·一模）盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，记为抽取出的3张卡片上的最小数字． (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率． (2)求随机变量的分布列和数学期望． 17．（15分）（2026·山东聊城·模拟预测）袋中有编号为1，2，3，4的小球各一个，每次从袋中摸出一个小球，记下编号后，将小球放回袋中，记为一轮摸球，如此循环. (1)若摸三轮，求在不摸出1号球的条件下，恰有一个小球被摸出次数等于该小球编号的概率； (2)如此循环，直到4个编号的小球均被摸出过或摸球次数达到停止摸球，记停止摸球时摸球次数为X. ①时，求； ②求. 18．（17分）（2026·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)估计满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 19．（17分）（2026·贵州贵阳·模拟预测）2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $