计数原理与概率统计专项训练-2027届高考数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习 专项训练：计数原理与概率统计 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：计数原理与概率统计 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一组数据为1，2，3，4，6，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为（ ） A．6 B．3 C．1 D． 2．为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 3．下列说法中不正确的是（     ） A．一组数据的下四分位数为 B．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C．已知，则 D．根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 4．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（   ） A．30种 B．31种 C．35种 D．40种 5．某食品厂制作了种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐种卡片才可获奖，则购买该食品袋，获奖的概率为（   ） A． B． C． D． 6．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 7．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 8．某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．鼓励大学毕业生自主创业是国家的一项战略决策．为此，某高校针对电气工程及其自动化专业的大四毕业生作了问卷调查，是否有自主创业打算的情况如下表： 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 从这些学生中随机抽取一人，下列说法正确的是（   ） A．抽到的人有自主创业打算的概率为 B．抽到的人是女生的概率为 C．若已知抽到的人是女生，则她有自主创业打算的概率为 D．“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”不相互独立 10．某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 11．下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则 C．若随机变量，，则 D．若，，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 13．随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 14．某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次．甲每次生成成功的概率为，失败概率为；乙每次生成成功的概率为，失败概率为．记甲成功生成密钥的次数为，乙成功生成密钥的次数为，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 16．（15分）盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，记为抽取出的3张卡片上的最小数字． (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率． (2)求随机变量的分布列和数学期望． 17．（15分）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 18．（17分）从2009年夏季开始，某省普通高中全面实施新课程．新课程的一个最大亮点就是实行课程选修制．现在某校分别开设了语文、数学、英语学科的选修课，假设现有4位同学，每位同学选语文、数学、英语选修课的概率均为． (1)求这4位同学选择数学选修课的概率最大时相应的人数； (2)求这4位同学至少有2人选择数学选修课的概率． 19．（17分）甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为．甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为． (1)设为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件、事件、事件发生的概率； (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为，求的分布列与数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习 专项训练：计数原理与概率统计 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：计数原理与概率统计 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知一组数据为1，2，3，4，6，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为（ ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，所以数据的上四分位数为4，即； 下面求的展开式中的系数，展开式的通项为， 令，得，所以，所以的展开式中的系数为6. 2．为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【详解】零假设：新的学习方法与数学成绩无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为新的学习方法与数学成绩无关，AC选项错误，B选项正确； 临界值用于判断小概率值是否足够小以至于拒绝零假设，D选项错误． 3．下列说法中不正确的是（     ） A．一组数据的下四分位数为 B．根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C．已知，则 D．根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 【答案】C 【分析】逐一验证各选项对应的统计概念，找出计算或表述错误的选项． 【详解】对于A，该组数据共个，下四分位数即第25百分位数，位置为整数， 所以下四分位数为第2项与第3项的平均值，即，A正确． 对于B，残差公式为，代入观测值，预测值， 得残差为，B正确； 对于C，，由二项分布概率公式， 代入得，C错误。 对于D：由独立性检验原理，对应， 即推断两个分类变量有关联的犯错概率不大于，D正确． 4．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（   ） A．30种 B．31种 C．35种 D．40种 【答案】B 【分析】至少有两人拿对自己外衣包括三种情况，一是有两个人拿对自己的衣服，二是三个人拿对自己的衣服，三是五个人都拿对自己的衣服，有1种结果，相加即可得到结果． 【详解】由题意知本题是一个简单分类计数问题，至少有两人拿对自己外衣包括三种情况， 第一类，两人拿对：（种）；第二类，三人拿对：（种）； 第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有（种）． 5．某食品厂制作了种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐种卡片才可获奖，则购买该食品袋，获奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理得出不同的放法种数，再求出个食品袋中种不同的卡片都有的放法种数，结合古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】将种不同的精美卡片随机放进个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有种不同放法，个食品袋中种不同的卡片都有的放法共有种， 根据古典概型概率公式知能获奖的概率为. 6．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 【答案】C 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种．所以总数为． 7．用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则，所以，则． 8．某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常”的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．鼓励大学毕业生自主创业是国家的一项战略决策．为此，某高校针对电气工程及其自动化专业的大四毕业生作了问卷调查，是否有自主创业打算的情况如下表： 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 从这些学生中随机抽取一人，下列说法正确的是（   ） A．抽到的人有自主创业打算的概率为 B．抽到的人是女生的概率为 C．若已知抽到的人是女生，则她有自主创业打算的概率为 D．“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”不相互独立 【答案】ABC 【分析】根据古典概型及条件概率定义可得. 【详解】记抽到的人有自主创业打算抽到的人是女生， 则，． ，所以“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”相互独立． 10．某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，甲同学回答类问题的概率为，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．甲同学在第一轮答对试题的概率为 B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为 C．甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为 D．甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 【答案】ACD 【详解】根据题意，在第一轮答题中，甲同学回答正确的概率为，故选项A正确； 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为，故选项B不正确； 分析可得，甲同学经过轮答题，答对的试题个数服从二项分布， 故甲同学经过三轮答题，只回答正确一道试题的概率为，故选项C正确； 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为，故选项D正确． 11．下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．一组不全相等的数的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这个数的方差为，则 C．若随机变量，，则 D．若，，，则 【答案】ABD 【分析】对A，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质求出；对B，根据平均数和方差的计算公式分别求出，然后比较大小；对C，根据正态分布的性质分别计算和，再比较大小；对D，根据条件概率公式和全概率列出关于的方程，进而求解. 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的方差公式可得， 所以，故A正确； 一组不全相等的数的平均数为，所以方差， 若再插入一个数，则这个数的方差， 因为，所以，所以，故B正确； 因为随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以， 所以， 同理，随机变量，则正态分布曲线关于对称，所以， 所以，由正态分布的性质可知，， 所以，故C错误；由，， 可得，，又，所以， 又，所以，解得，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 【答案】 【分析】应用贝叶斯公式及全概率公式计算求解. 【详解】设高一、高二、高三的学生数分别为， 则所求概率为 13．随机变量，正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先根据正态分布的对称性得到满足的条件，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为，且正实数，满足， 所以，即.所以 （当且仅当即，时取等号）.所以的最小值为. 14．某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次．甲每次生成成功的概率为，失败概率为；乙每次生成成功的概率为，失败概率为．记甲成功生成密钥的次数为，乙成功生成密钥的次数为，则的值为______． 【答案】 【分析】将分解成三种互斥事件的和事件，再结合独立事件乘法公式和二项分布概率计算公式即可求解. 【详解】由题意，，且甲成功生成密钥与乙成功生成密钥为独立事件， 情况1： ，，， 该项概率：， 情况2： ，， ，该项概率：， 情况3： ， ， ，该项概率： 故 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图． (1)按照分层随机抽样，从和中随机抽取了9名学生．现从已抽取的9名学生中随机推荐3名学生参加体能测试．记推荐的3名学生来自的人数为，求的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到0.001）． 参考数据1：当时，，，． 参考数据2：，． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图及分层随机抽样的定义求出在上抽取的人数为6人，在上抽取的人数为3人，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，利用组合数得出各随机变量的概率，进而得出分布列； （2）利用频率分布直方图求出平均数，得出，利用正态分布的性质得出，再根据二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意，运动时间在的人数为， 运动时间在的人数为．按照分层随机抽样共抽取9人， 则在区间内抽取的人数为，在区间内抽取的人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，则，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 （2）由题意，，． ，． ， （或）， ． ． 16．（15分）盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，记为抽取出的3张卡片上的最小数字． (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率． (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 1 2 3 数学期望为 【分析】（1）根据古典概率公式，以及组合数的计算公式，求出结果即可； （2）根据题意，每次抽取出的最小数字卡牌有一张和两张两种可能，再根据分类加法计数原理，以及古典概率公式，求出分布列即可，再根据数学期望的概念，求出结果即可. 【详解】（1）可知共有八张卡片，则抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率为. （2）随机变量的可能取值有， 当时，有1张和2张数字1，两种情况，则， 同理， ， 随机变量的分布列为： 1 2 3 数学期望为. 17．（15分）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 【答案】(1)的分布列为： X 0 1 2 P (2) 【分析】（1）根据题意求出随机变量X的所有取值，利用古典概型概率计算公式依次求出取每个值的概率即可，再利用数学期望的计算公式求解. （2）本题属于条件概率，分别求出第一次摸到的球是红球的概率，第一次摸到的球是红球并且第二次摸到的球也是红球的概率，利用条件概率计算公式即可求解. 【详解】（1）X的所有取值为0,1,2. .. . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 数学期望. （2）设事件“第一次摸到的球是红球”,事件“第二次摸到的球是红球”. . 。所以. 所以已知第一次摸到的球是红球，第二次摸到的球也是红球的概率为. 18．（17分）从2009年夏季开始，某省普通高中全面实施新课程．新课程的一个最大亮点就是实行课程选修制．现在某校分别开设了语文、数学、英语学科的选修课，假设现有4位同学，每位同学选语文、数学、英语选修课的概率均为． (1)求这4位同学选择数学选修课的概率最大时相应的人数； (2)求这4位同学至少有2人选择数学选修课的概率． 【答案】(1)1人 (2) 【分析】（1）确定的可能取值，求得对应概率即可判断； （2）由（1）中概率，结合对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】（1）令4位同学选择数学选修课的人数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，，， 所以这4位同学选择数学选修课的概率最大时相应的人数为1人． （2）由（1）知，这4位同学至少有2人选择数学选修课程的概率是： 19．（17分）甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为．甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为． (1)设为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件、事件、事件发生的概率； (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 的分布列如下: 0 1 2 3 的数学期望为2. 【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果； （2）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望． 【详解】（1）甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为． 甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为； 乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为； 丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为． 设为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，事件发生的概率， 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件发生的概率， 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件发生的概率． （2）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为，则的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习专项训练：计数原理与概率统计 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：计数原理与概率统计 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知一组数据为1,2,3,4,6，若n为这组数据的上四分位数，则(x-1)”的展开式中x2的系数为() A.6 B.3 C.1 D.-10 2.为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验， 其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行 评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知X2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d,且P(x2≥10.828)=0.001.根据小概率值 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d =0.001的独立性检验，则() A.新的学习方法与数学成绩有关 B.新的学习方法与数学成绩无关 C.新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D.新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 3.下列说法中不正确的是() A.一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为51 B.根据线性回归方程得到预测值为y。=33.991时的观测值为34，则残差为0.009 C.已知X~ l62 则Px=列-名 D.根据2×2列联表中的数据计算得出x2≥6.635，而P(x2≥6.635)≈0.01，则两个分类变量有关联 此推断犯错误的概率不大于0.01 4.五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，看不清自己 的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有() A.30种 B.31种 C.35种 D.40种 5.某食品厂制作了3种与“福字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福，每袋食品中随 机装入一张卡片.若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为() B号 c.3 D.g 6.某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0,1,2，，9中选择.若要求密码中恰有两个相 同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为() A.2160 B.3240 C.4320 D.5040 7.用5,6,7这三个数字组成无重复数字的三位数M,记事件A=“M能被5整除”，事件B=“M为奇数”， 则事件A与事件B至少有一个发生的概率为() A号 B C. D.5 6 8.某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常两种判断现对系统进行测 试。结果如下：食室员工被判定为异常的概率为5：非食营员工被判定为正宿的概率为 1 10 已知进入 该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为1：6，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概 率为() A行 1 B. 7 70 C. 14 D.56 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.鼓励大学毕业生自主创业是国家的一项战略决策.为此，某高校针对电气工程及其自动化专业的大四 毕业生作了问卷调查，是否有自主创业打算的情况如下表： 男生/人 女生/人 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 从这些学生中随机抽取一人，下列说法正确的是() A.抽到的人有自主创业打算的概率为亏 B.抽到的人是女生的概率为5 37 C。若已知抽到的人是女生，则她有自主创业打算的概率为 D.“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算不相互独立 10.某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机 选择一类并从中任意抽取一个问题回答，己知甲同学答对A类问题的概率为？，答对B类问题的概率为分， 甲同学曰答A类问题的概率为}，每轮只答一道题，每轮答题互不影明。则下列说法正确的是() A。甲同学在第一轮答对试题的概率为 ®，甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类向题的概率为 C.甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为225 512 D.甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 11.下列选项正确的是（) A.若随机变量X~1 则x+号 B.一组不全相等的数x,x2,…,xn（n≥2)的平均数为x,方差为S2,若再插入一个数x,则这n+1个数 的方差为S?,则S好<S C.若随机变量X~N(1,4),Y~N(2,4),则P(X<-1)<P(Y>4) D.若P0=了PA=子-名，则P叫- 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的40%，30%，30%， 且这三个年级的学生数之比为3：3：4，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生 的概率为 13.随机变量X~N(2,2),正实数a,b满足PX≤a)+P(X≤b)=l,则上+4的最小值为 ab 14.某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次.甲每次生成成功的 概率为号，失败度率为：乙每次生皮成功的概率为；，失败概率为；·记甲成功生成寄钥的次影为X, 2 乙成功生成密钥的次数为Y,则P(X=Y+)的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间， 制成如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.03 0.02 0.015---- 0.01 0- 30405060708090时间(0 (1)按照分层随机抽样，从[40,50)和80,90)中随机抽取了9名学生.现从己抽取的9名学生中随机推荐3 名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自[40,50)的人数为X,求X的分布列： (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服从正态分布N(4,o),其中，！为周末运动时间的平均数 t,0近似为样本的标准差s,并己求得≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初 中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在(43.9,87.7之外的人数为Y,求P(Y=3)(精确到0.001). 参考数据1：当1~N4,o2)时，P(4-o<t≤μ+o)≈0.6827，P(u-2o<1≤4+2o)≈0.9545， P(μ-3o<t≤+3σ)≈0.9973 参考数据2：0.8186≈0.1651,0.18143≈0.0060. 16.(15分)盒中装有标有数字1,2,3,4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能 性都相等，记X为抽取出的3张卡片上的最小数字. (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率. (2)求随机变量X的分布列和数学期望， 17.(15分)已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个 红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为 这两个球中红球的个数， (1)求X的分布列和数学期望E(X): (2)己知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 18.(17分)从2009年夏季开始，某省普通高中全面实施新课程.新课程的一个最大亮点就是实行课程选 修制.现在某校分别开设了语文、数学、英语学科的选修课，假设现有4位同学，每位同学选语文、数学、 英语选修课的概率均为？ (1)求这4位同学选择数学选修课的概率最大时相应的人数： (2)求这4位同学至少有2人选择数学选修课的概率. 19.(17分)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于 30分的概率依次为1、↓甲若第一次成数不低于130分，则第二次成缆不低于130分的概率为子，者 432 第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为}：乙若第一次成绩不低于130分，则第 二次成绩不低于130分的概率为}，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为2： 丙第二次成统不受第一次成级的影响，不低于130分的概率为号 (1)设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率； (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,求X的分布列与数学期望.2027届高考数学一轮复习专项训练：计数原理与概率统计 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：计数原理与概率统计 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.己知一组数据为1,2,3,4,6，若n为这组数据的上四分位数，则(x-1)”的展开式中x的系数为() A.6 B.3 C.1 D.-10 【答案】A 【详解】因为5×75%=3.75，所以数据1,2,3,4,6的上四分位数为4，即n=4: 下面求(x-1)的展开式中x2的系数，(x-1)展开式的通项为T=C4(-1)·x4(r=0,1,2,3,4), 令4-r=2,得r=2,所以工=C(-1)2·x2=6x2,所以(x-1)的展开式中x2的系数为6. 2.为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验， 其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行 评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知x2 n(ad-be) 其中n=a+b+c+d,且P(x2≥10.828)=0.001.根据小概率值 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a=0.001的独立性检验，则() A.新的学习方法与数学成绩有关 B.新的学习方法与数学成绩无关 C.新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D.新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【详解】零假设H。：新的学习方法与数学成绩无关， 因为x= 200×(50×30-70×50)225 ≈8.333<10.828， 120×80×100×1003 所以，根据α=0.001的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立， 因此可认为新的学习方法与数学成绩无关，AC选项错误，B选项正确； 临界值用于判断小概率值是否足够小以至于拒绝零假设，D选项错误. 3.下列说法中不正确的是() A.一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为51 B.根据线性回归方程得到预测值为y。=33.991时的观测值为34，则残差为0.009 C.已知X~B6,2 Px=8 D.根据2×2列联表中的数据计算得出X2≥6.635，而P(x2≥6.635)≈0.01，则两个分类变量有关联” 此推断犯错误的概率不大于0.01 【答案】C 【分析】逐一验证各选项对应的统计概念，找出计算或表述错误的选项， 【详解】对于A,该组数据共8个，下四分位数即第25百分位数，位置i=8×25%=2为整数， 所以下四分位数为第2项与第3项的平均值，即49,53-51，A正确。 2 对于B,残差公式为e,=y,-y,代入观测值y。=34,预测值y。=33.991, 得残差为34-33.991=0.009，B正确； 对于C,X~B62 1 由二项分布概率公式P(X=k)=Cp(1-p)”, (1)6 2053,C错误。 代入得P(X=3)=Cg2=64i6i61 士一 对于D:由独立性检验原理，X2≥6.635对应Px2≥6.635)≈0.01， 即推断两个分类变量有关联的犯错概率不大于0.01，D正确. 4.五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，看不清自己 的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有() A.30种 B.31种 C.35种 D.40种 【答案】B 【分析】至少有两人拿对自己外衣包括三种情况，一是有两个人拿对自己的衣服，二是三个人拿对自己的 衣服，三是五个人都拿对自己的衣服，有1种结果，相加即可得到结果 【详解】由题意知本题是一个简单分类计数问题，至少有两人拿对自己外衣包括三种情况， 第一类，两人拿对：2×C=20(种)：第二类，三人拿对：C=10(种)： 第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种.故共有20+10+1=31（种）. 5.某食品厂制作了3种与“福字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品中随 机装入一张卡片.若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为() 4.3 3 8 B. C. 16 9 8 D. 9 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理得出不同的放法种数，再求出4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法种 数，结合古典概型的概率公式可求得结果， 【详解】将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有34=81种不同放 法，4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×C2×A2=36种， 根据古典概型概率公式知能获奖的概率为36=4 819 6.某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0,1,2，，9中选择.若要求密码中恰有两个相 同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为() A.2160 B.3240 C.4320 D.5040 【答案】c 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有C=6种. 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有A?=9×8=72 种.所以总数为10×6×72=4320 7.用5,6,7这三个数字组成无重复数字的三位数M,记事件A=“M能被5整除”，事件B=“M为奇数， 则事件A与事件B至少有一个发生的概率为() B. C.2 J D. 6 【答案】A 【详解】由题意知，用5,6,7这三个数字组成无重复数字的三位数M, 则样本空间2={567,576,657,675,756,765}，共有6个样本点， 则A={675,765,B={567,657,675,765},所以AUB=B,则P(4UB)=P(B)=1-2 63 8.某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常两种判断现对系统进行测 1 试，结果如下：食堂员工被判定为异常的概率为5，非食堂员工被判定为灯正常的概率为0已知进入 该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为1：6，经测试某人被判定为正常”，则其是食堂员工的概 率为() 57 A.5 1 56 B. C. D. 70 14 57 【答案】D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案 【详解】设A表示“食堂员工”，A表示“非食堂员工”，设B表示“正常”， 已知非食堂员工和食登员工的比为16，则P(4)-名P(团 食室员工被判定为异常的概率为5，则食堂员工被判定为正常的概率P81)-4 1 159 食堂员工被判定为“正常的概率P(B1小= 因此某人被判定为正常的概率为P(B)=P(A)P(B④+P(a)PB1刀=x4+x-7 715710-70 6x14 所以P(AB) P(4)P(B1A)_7×15=168=56 P(B) 57=171=57 70 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.鼓励大学毕业生自主创业是国家的一项战略决策.为此，某高校针对电气工程及其自动化专业的大四 毕业生作了问卷调查，是否有自主创业打算的情况如下表： 男生/人 女生/八 有自主创业打算 16 15 无自主创业打算 64 60 从这些学生中随机抽取一人，下列说法正确的是() A.抽到的人有自主创业打算的概率为月 15 B.抽到的人是女生的概率为 C.若已知抽到的人是女生，则她有自主创业打算的概率为 D.“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算不相互独立 【答案】ABC 【分析】根据古典概型及条件概率定义可得 【详解】记A={抽到的人有自主创业打算}，B={抽到的人是女生}， 16+151 则P(A) 16+15+64+605P)= 6+15+64+603P4A)=15= 15+6015 755 P(A)=P(AB),所以抽到的人是女生”与抽到的人有自主创业打算”相互独立. 10.某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机 选择一类并从中任意抽取一个问题日答，已知甲同学答对A类向愿的概率为，答对B类问题的概率为)， 甲同学回答A类阿题的概率为(，每轮只答一道题，每轮答思互不影响，则下列说法正确的是〈) A.甲同学在第一轮答对试题的概率为3 8 B。甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为， C.甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为2 225 D.甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6 【答案】ACD 3x+x=3,故选项A正确： 【详解】根据题意，在第一轮答题中，甲同学回答正确的概率为×3十4×28 11 一X 甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是B类问题的概率为32,1= 42 故选项B不正确： 5 Y- 4342 分析可得，甲同学经过轮答题，答对的试题个数X服从二项分布X~B”8 3 x3x/5)_ 故甲同学经过三轮答题，只回答正确一道试题的概率为C!×二× 25, 故选项C正确： 88512 甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为16×三=6，故选项D正确. 8 11.下列选项正确的是( A.若随机变量X~ B.一组不全相等的数x,x2,…,xn（n≥2)的平均数为x,方差为S,若再插入一个数x,则这n+1个数 的方差为S,则S<S C.若随机变量X~N(1,4),Y~N(2,4),则P(X<-1)<P(Y>4) D.若P0=写PM)=子r4=则P()=写 【答案】ABD 【分析】对A,根据=项分布的方差公式求出(Y),再根据方差的性质求出DX+写月 对B,根据平均 数和方差的计算公式分别求出S2、S?,然后比较大小：对C,根据正态分布的性质分别计算P(X<-)和 P(Y>4),再比较大小；对D,根据条件概率公式和全概率列出关于P(B)的方程，进而求解P(B) 【详解1已刻医机安蛋X~号》 据三项分的方若公式可D(X)=3×兮-》3*号-号 333 所以DX+兮=D()子故A正确： 组不全相等的数，，，x,(≥2)的平均数为元，所以方差S=2(5-}。 n 若再插入一个数x,则这n+1个数的方差 42fe对2时42- n+1 因为n≥2，所以”<1，所以S<,故B正确： n+1 因为随机变量X~N1,4),则正态分布曲线关于X=1对称，所以P(X<-I)=P(X>3), 所以P(X>3)=1-P-I<X<3) 2 同理，随机变量Y~N(2,4),则正态分布曲线关于Y=2对称，所以PY<0)=P(Y>4), 所以PY>4=1-P0<Y<4,由正态分布的性质可知，P-1<X<3)=P0<Y<4), 2 以PX<-=PY>4,故c错误：由P4)-P4月 P(AB)5 P(B)8 可得P(4=P(B,P(-P间，又P(=I-P,所以P回)--P(B]-&Pa), 又0-有所以P)=P氏4)+P()-P@)专P@)-写解得P?,故D正确 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的40%，30%，30%， 且这三个年级的学生数之比为3：3：4，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生 的概率为 【谷】 【分析】应用贝叶斯公式及全概率公式计算求解 【详解】设高一、高二、高三的学生数分别为3k,3k,4k, 3k×30% 0.9k 则所求概率为P= 0.9k3 3k×40%+3k×30%+4k×30%1.2k+0.9k+1.2k3.3k11 13.随机变量X~N(2,a2),正实数a,b满足PX≤a)+PX≤)=1，则上+4的最小值为 a b 【答案】9 【分析】先根据正态分布的对称性得到a,b满足的条件，再结合基本不等式求'+4的最小值 d h 【详解】因为X~N(2,o),且正实数a,b满足P(X≤a)+P(X≤b)=1, 所似6-2.nb=4所u+分0+9后司-5+名智5+22日-9 2 （当且仅当合名日a=分6一时取等号)所8。音的最小值为号 a b b 14.某量子通信实验室部署甲、乙两台加密机独立生成密钥，每台加密机各生成3次.甲每次生成成功的 感率为，失败概率为：乙每次生成成功的概率为失败概率为，记甲成功生成密钥的次数为X 乙成功生成密钥的次数为Y,则P(X=Y+)的值为 【答案】 36 【分析】将X=Y+1分解成三种互斥事件的和事件，再结合独立事件乘法公式和二项分布概率计算公式即 可求解 【详解】由题意X~ ).v-u32) 且甲成功生成密钥与乙成功生成密钥为独立事件， 情现17=x=1x=)-C[)目-名PY=0-CS[日-g该顶率 616 27×8216' 278216 情况3：Y=2,X=3, Px-=c-”-2-c& 该项概率： 8×3-24 278216 故P(X=Y+)= 6+36+246611 21621636 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某市为了解本市初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间， 制成如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.03--- 0.02 0.015--- 0.01.- 30405060708090时间() (1)按照分层随机抽样，从40,50)和[80,90)中随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中随机推荐3 名学生参加体能测试.记推荐的3名学生来自「40,50)的人数为X,求X的分布列： (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间1服从正态分布N(4,σ)，其中，为周末运动时间的平均数 t,。近似为样本的标准差s,并己求得s≈14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初 中生中随机抽取12名学生，记周末运动时间在(43.9,87.7]之外的人数为Y,求P(Y=3)(精确到0.001). 参考数据1：当t~N4,o2)时，P(u-o<t≤μ+o)≈0.6827，P(u-2o<1≤4+2o)≈0.9545， P(-3o<1≤4+3σ)≈0.9973. 参考数据2：0.8186≈0.1651,0.18143≈0.0060. 【答案】(1) X 0 1 2 3 1 3 15 5 84 14 28 21 (2)0.218 【分析】(1)根据频率分布直方图及分层随机抽样的定义求出在[40,50)上抽取的人数为6人，在[80,90)上 抽取的人数为3人，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，利用组合数得出各随机变量的概率，进 而得出分布列： (2)利用频率分布直方图求出平均数，得出“，利用正态分布的性质得出Y~B(12,0.1814),再根据二项 分布的概率计算公式即可求解 【详解】(1)由题意，运动时间在[40,50)的人数为3000×0.02×10=600， 运动时间在[80,90)的人数为3000×0.01×10=300.按照分层随机抽样共抽取9人， 600+300-6,在区间[80,90)内抽取的人数为300 9 9 则在区间40,50)内抽取的人数为600× =3」 600+300 能机变截X的所有可能取为0之五则X-0小=答-好代X=小-受合 C14 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 1 P 15 5 84 14 28 21 (2)由题意，4=t=35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5,o=s≈14.6. .43.9=58.5-14.6=4-0,87.7=58.5+14.6×2=μ+2o. ÷P43.9<1≤87.7)=P4-G<1≤4+20)≈0.6827+0.9545-0.8186， .P(1≤μ-o或t>u+2o)=1-0.8186=0.1814, ∴.Y~B(12,0.1814). P(Y=3)=C2×0.18143×0.8186≈220×0.0060×0.1651≈0.218 16.(15分)盒中装有标有数字1,2,3,4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能 性都相等，记X为抽取出的3张卡片上的最小数字. (1)求抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率. (2)求随机变量X的分布列和数学期望， 【容】0号 (2 X 1 3 3 9 P 2 1 14 14 数学期望为号 【分析】(1)根据古典概率公式，以及组合数的计算公式，求出结果即可： (2)根据题意，每次抽取出的最小数字卡牌有一张和两张两种可能，再根据分类加法计数原理，以及古 典概率公式，求出分布列即可，再根据数学期望的概念，求出结果即可 【详解】(1)可知共有八张卡片，则抽取出的3张卡片中有2张卡片上的数字是1的概率为 .=3 C28 (2)随机变量X的可能取值有1,2,3， 当X=1时，有1张和2张数字1，两种情况，则P(X=)CC+3-9 C2814' C P(X-3)-CCCC-1 CC14' 随机变量X的分布列为： X 2 3 9 P 3 1 14 14 数学期望为E(x)=1×9+2x2+3x-10 14 7 ×147 17.(15分)已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个 红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为 这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望E(X): (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 【答案】(1)X的分布列为： X 0 1 2 P 1 3 1 5 5 5 E(X)=1 a号 【分析】(1)根据题意求出随机变量X的所有取值，利用古典概型概率计算公式依次求出取每个值的概率 即可，再利用数学期望的计算公式求解。 (2)本题属于条件概率，分别求出第一次摸到的球是红球的概率，第一次摸到的球是红球并且第二次摸 到的球也是红球的概率，利用条件概率计算公式即可求解 【详解】(1)X的所有取值为0,1,2. -1xC1xC-1x1+1x3-1P(X-1)-1xCxC+1xCxC-x6+x6-3 P(X=0)=5× Γ2C2C?-2102105 2C+2C2102105 1xC+lxC经=1x3+Lx1=I P(X=2)-2×己 2C2102105 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 1 3 1 5 5 数学里E(0X)-0兮1号2×写1 (2)设事件A=“第一次摸到的球是红球”，事件B=“第二次摸到的球是红球” _1xCxC+1xCxC-1x3+1x2-1 P(40-2*xC+2xCxC2*s+2*52 1 P国-8：80分后甘两u8小智产-号 P(A)15 2 所以P知第一次摸到的球是红球，第三次痠到的球也是红球的搭率为} 18.(17分)从2009年夏季开始，某省普通高中全面实施新课程.新课程的一个最大亮点就是实行课程选 修制.现在某校分别开设了语文、数学、英语学科的选修课，假设现有4位同学，每位同学选语文、数学、 英语选修课的概率均为？】 (1)求这4位同学选择数学选修课的概率最大时相应的人数： (2)求这4位同学至少有2人选择数学选修课的概率. 【答案】(1)1人 11 0 【分析】1)确定5的可能取值，求得对应概率即可判断： (2)由(1)中概率，结合对立事件概率计算公式即可求解 【详解】(1)令4位同学选择数学选修课的人数为5，则5的所有可能取值为0,1,2,3,4， P5=-)-P5=-C*)×g是 P=2-c-5=-c号4=4到-G- 所以这4位同学选择数学选修课的概率最大时相应的人数为1人. (2)由(1)知，这4位同学至少有2人选择数学选修课程的概率是： P=1re-0-G--1行品 19.(17分)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于 30分的度率依次为士人甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为，者 4321 第一次成锁在130分以下，则第二次成线不低于130分的概率为：乙若第一次成续不低于150分，则第 二次成绩不低于130分的概率为：，若第一次成绩在130分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为2； 丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为 (1)设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”，C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”，分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率； (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,求X的分布列与数学期望， 125 【答案】)吃6 (2) X的分布列如下： 0 1 2 3 8 17 10 P 36 36 36 36 X的数学期望为2 【分析】(1)利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果； (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3，分别 求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望， 【详解】(1)甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于 130分的概率依次为432 111 甲若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130分的概率为号，若第一次成绩在130分以下，则 第=次成镇不低于130分的概率为} 乙若第一次成绩不低于130分，则第=次成绩不低于130分的概率为}，若第一次成绩在130分以下，则 第二次成绩不低于130分的概率为？： 三次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为 设A为作甲的英西务考最柴成装不低于150分，*件4发生的再车P(--》号 1112 B为事件乙的英语高考最终成绩不低于130分”，事件B发生的概率P(B)3+1-3×2, C为事样内的实高考品终发谈不长于10分，事件C发生的微率9一-》号- (2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3， mx-0=0-对名G Px=)=PaC+ABC+ABO=xx5+x2x是+是xlx18 236+23×62×3×636 Px-2》-mac+cha0-号*88*60 P(X(BC) .X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 8 17 10 36 36 36 36 数学两塑(X)=061×名2 +3×10=2. 3636