第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦计数原理与概率统计综合应用，覆盖排列组合、随机变量、正态分布等核心知识点，通过分层题型构建知识逻辑链，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|4题（1/10/13/15）|基础排列、分组分配、不相邻排列、二项式定理|以组合数为核心，连接排列应用与二项展开式，形成“概念-计算-应用”链条| |概率基础|3题（2/3/6）|互斥独立事件、古典概型、电路概率|从事件关系到实际情境概率计算，体现逻辑推理与数学建模| |随机变量与分布|7题（4/5/9/14/16/17/18/19）|离散分布、正态分布、期望方差、分布列|以分布规律为基础，结合正态曲线与实际问题，构建“分布-数字特征-应用”体系|

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 （培优综合训练） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．125 B．60 C．25 D．10 2．（25-26高三上·吉林·阶段检测）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．与B互斥 B． C．与相互独立 D． 3．（2026·河南信阳·模拟预测）某校为让学生深入了解中国传统文化，计划从春节、元宵节、重阳节这3个传统节日，以及京剧、国画这2种艺术形式中随机选取3种进行宣传，则恰好选中2个传统节日和1种艺术形式的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 4．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 6．（25-26高三上·安徽滁州·期末）某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（    ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 7．（25-26高三上·四川成都·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对 8．（25-26高三上·江苏南京·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·河北石家庄·期末）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 10．（2026·重庆·模拟预测）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．没有空盒子的方法共有24种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 11．（25-26高三上·福建南平·期末）将杨辉三角中的每一个数值都换成得到的三角形称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个数之和．如果，以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有（     ） A．第行的第个数是 B．第行中，第个数等于第个数 C．当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 D． 第二部分（非选择题 共92分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·贵州黔西南·期末）已知多项式，则_______ 13．（2026·河南·三模）中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种. 14．（25-26高三上·上海·期中）设集合，从中随机选取一个元素，记为，则的期望为__________.（结果用数值表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(13分) （25-26高三上·山东泰安·期末）已知在的展开式中，第3项的系数为112． (1)求展开式中的常数项； (2)从展开式中的所有项中任取5项，取出5项中既有有理项也有无理项，共有多少种不同的取法？ 16．（15分） 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 (1)求m，n； (2)若显著性水平，是否有95%的把握能认为“居家养老与性别有关”？ (3)已知在被调查的男性老人中有5名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这5名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中，． 17．（15分） （25-26高三上·浙江温州·期末）某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了100件产品，整理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为10）： (1)求图中a的值及平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，方差．利用该正态分布求； (3)现从生产线中取出5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件为次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望． 参考数据： 若，则， 18．（17分） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有一种不断分裂的细胞，在每个时间周期内可能发生以下情况，有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞．每个细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为． (1)若，求的分布列和数学期望； (2)若，求的取值范围； (3)若该细胞在分裂过程中灭绝的概率不超过，求的最大值． 19．（17分） （25-26高三上·吉林长春·期末）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B．附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为． （ⅰ）求（用n表示）； （ⅱ）设，求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 （培优综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C D C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2640 14．3069 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）的展开式的通项（） 由题意得，得，（3分） 则，（4分） 令，得，故常数项为；（6分） （2）令，得，则展开式中有理项有3项，无理项有6项，（8分） 从展开式9项中任取5项既有有理项也有无理项，包括三种情况： 1项有理项和4项无理项有种取法； 2项有理项和3项无理项有种取法； 3项有理项和2项无理项有种取法 则抽取5项中既有有理项也有无理项的取法共有种．（13分） 16． （15分） 【解析】（1）由题意得，解得， ，解得.（4分） （2）由题意得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 因此，没有的把握能认为居家养老与性别有关.（9分） （3）已知名单身男性老人中，有名“不居家养老”，名“居家养老”， 由题意得“不居家养老”的人数服从超几何分布，其可能的取值为， ，， ， 的分布列如下: .（15分） 17.（15分） 【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得；（2分） 则.（4分） （2）.(7分) （3）由题可得X的取值为，（8分） 则，（9分） ，（11分） ，（13分） X 2 3 4 P .(15分) 18.（17分） 【解析】（1）若，则在每个时间周期内，细胞消失的概率为，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞， 第一个周期结束后，的概率为，的概率为， 所以的值可能为，（2分） 所以，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为；（5分） （2） ，（8分） 令， 则，所以单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围为；（11分） （3）设一个细胞最终灭绝的概率为，则两个细胞最终灭绝的概率为， 则，整理得， 解得或，（14分） 由于灭绝概率不超过，故舍去，仅需考虑的情况， 由题可知，解得，即的最大值为.（17分） 19.（17分） 【解析】（1）记附近居民第天选择路线A和路线B分别为， 根据题意得， 由全概率公式得，第二天选择路线A散步的概率为 ， 故，则，， ，， ， 故Y的分布列如下： 0 1 2 3 4 期望为；（5分） （2）（ⅰ）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 所以，， 设，则，故，解得， 则，（9分） 其中，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，故，（11分） （ⅱ）证明：因为， 则， 当时，，而， 所以，（13分） 当时，， 而，（14分） 所以 ，（16分） 所以．（17分） 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 （培优综合训练） 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）河北人文厚重，山水壮美，拥有众多5A景区和世界文化遗产，甲、乙、丙三人计划暑假去河北旅游，每人从承德避暑山庄、白洋淀景区、白石山景区、野三坡景区、南湖·开滦旅游景区这5个景点中随机任选1个去游玩，则不同的选择方法种数为（   ） A．125 B．60 C．25 D．10 【答案】A 【解析】因为从5个景点中任选一个，每人均有5种独立选法， 所以共有种不同的选法． 2．（25-26高三上·吉林·阶段检测）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为i”，其中，“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（    ） A．与B互斥 B． C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可. 【解析】对于A，，，与B不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，与不能同时发生，是互斥事件，不是相互独立事件，故C错误； 对于D，，，，故D正确. 故选：D. 3．（2026·河南信阳·模拟预测）某校为让学生深入了解中国传统文化，计划从春节、元宵节、重阳节这3个传统节日，以及京剧、国画这2种艺术形式中随机选取3种进行宣传，则恰好选中2个传统节日和1种艺术形式的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2 【答案】B 【解析】记“恰好选中2个传统节日和1种艺术形式”为事件A， 则样本空间共有个基本事件，事件A包含个基本事件， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·黑龙江·期末）已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.将（）代入得： 得，解得， 事件等价于或，两事件互斥， 因此 . 5．（25-26高三上·山东潍坊·期末）甲、乙两类水果的质量分别为变量，（单位：）且分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．甲类水果的平均质量为 B． C． D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，曲线关于直线 对称，且在 处取得最大值 . 由图可知，甲曲线关于直线 对称，乙曲线关于直线 对称， 所以 ，， 则甲类水果的平均质量为 ，且 ，故选项 A、C 说法正确； 因为甲曲线比乙曲线更“瘦高”，说明甲类水果的质量分布更集中， 所以 ， 对于随机变量 ，其分布函数 单调递增， 因为 ，所以 ，故选项 B 说法正确； 由图可知，乙类水果质量服从的正态分布密度函数的最大值为 ， 即 ， 解得 ，故选项 D 说法错误. 6．（25-26高三上·安徽滁州·期末）某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（    ）    A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336 【答案】C 【解析】由题意，电子元件A与B至少有一个正常工作的概率为： 所以该控制模块能正常工作的概率为.故选：C. 7．（25-26高三上·四川成都·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ） A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不对 【答案】C 【解析】解：E，F，G分别有4，3，2种方法， 当A与F相同时，A有1种方法，此时B有2种， 若与F相同有C有1种方法，同时D有3种方法， 若C与F不同，则此时D有2种方法， 故此时共有：种方法； 当A与G相同时，A有1种方法，此时B有3种方法， 若C与F相同，C有1种方法，同时D有2种方法， 若C与F不同，则D有1种方法， 故此时共有：种方法； 当A既不同于F又不同于G时，A有1种方法， 若B与F相同，则C必须与A相同，同时D有2种方法； 若B不同于F，则B有1种方法， Ⅰ若C与F相同则C有1种方法同时D有2种方法； Ⅱ若C与F不同则必与A相同，C有1种方法，同时D有2种方法； 故此时共有：种方法； 综上共有种方法． 故选：C． 8．（25-26高三上·江苏南京·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【解析】已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此. 根据条件概率公式，代入得： ， 由，得：， 即随机抽取一名学生了解deepseek的概率. 由题意，（二项分布），则， 代入得：， 令，解得. 即当时，； 当时，， 因此最大时. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·河北石家庄·期末）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：两点分布所有概率和为，因此，A正确； 对于B：因为，所以，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 10．（2026·重庆·模拟预测）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A．没有空盒子的方法共有24种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 【答案】ACD 【解析】对于选项A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列，故共有种方法，所以选项A正确， 对于选项B，有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，所以选项B错误； 对于选项C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，再对三个盒子全排共有种方法，故C正确； 对于选项D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D正确. 11．（25-26高三上·福建南平·期末）将杨辉三角中的每一个数值都换成得到的三角形称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个数之和．如果，以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有（     ） A．第行的第个数是 B．第行中，第个数等于第个数 C．当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 D． 【答案】BD 【解析】莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ， 选项 A，第 8 行第 2 个数，即，所以第 8 行第 2 个数是，A 错误； 选项 B，第 100 行，，第 46 个数对应，第 56 个数对应， 由组合数性质得，所以，B 正确； 选项 C，因为，所以， 所以每一行的数关于中间对称，当为奇数时，杨辉三角的中间两个数和相等且是该行组合数的最大值， 因为的分母越大，分数值越小，所以当取最大值时，取最小值， 所以对应的莱布尼茨数是最小值，不是最大值，C 错误； 选项 D，左边， 因为，， 所以， 所以左边， 因为右边， 所以左边=右边，即(，1) ，  D 正确. 第二部分（非选择题 共92分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·贵州黔西南·期末）已知多项式，则_______ 12．【解析】令，得，令x=0，得，所以 13．（2026·河南·三模）中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种. 【答案】2640 【解析】7 个不同古都的全排列:, 西安与洛阳相邻的排列数:, 同理，南京与杭州相邻的排列数也是1440, 西安洛阳相邻且南京杭州相邻的排列数:, 至少有一对相邻的排列数: 两对都不相邻的排列数:. 14．（25-26高三上·上海·期中）设集合，从中随机选取一个元素，记为，则的期望为__________.（结果用数值表示） 【答案】 【解析】设的可能取值为随机变量，， 则，且，， 所以. 又因为， 则 ，故的期望为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．(13分) （25-26高三上·山东泰安·期末）已知在的展开式中，第3项的系数为112． (1)求展开式中的常数项； (2)从展开式中的所有项中任取5项，取出5项中既有有理项也有无理项，共有多少种不同的取法？ 【解析】（1）的展开式的通项（） 由题意得，得，则， 令，得，故常数项为； （2）令，得，则展开式中有理项有3项，无理项有6项， 从展开式9项中任取5项既有有理项也有无理项，包括三种情况： 1项有理项和4项无理项有种取法； 2项有理项和3项无理项有种取法； 3项有理项和2项无理项有种取法 则抽取5项中既有有理项也有无理项的取法共有种． 16．（15分） 4．（25-26高三下·上海·阶段检测）中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 (1)求m，n； (2)若显著性水平，是否有95%的把握能认为“居家养老与性别有关”？ (3)已知在被调查的男性老人中有5名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这5名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中，． 【解析】（1）由题意得，解得， ，解得. （2）由题意得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 因此，没有的把握能认为居家养老与性别有关. （3）已知名单身男性老人中，有名“不居家养老”，名“居家养老”， 由题意得“不居家养老”的人数服从超几何分布，其可能的取值为， ，， ， 的分布列如下: . 17．（15分） （25-26高三上·浙江温州·期末）某企业生产的产品有一项质量指标，为评估产品质量，质检部门抽取了100件产品，整理得到质量指标的频率分布直方图，如下图（组距为10）： (1)求图中a的值及平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，方差．利用该正态分布求； (3)现从生产线中取出5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件为次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了X次，求随机变量X的分布列与期望． 参考数据： 若，则， 【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得； 则. （2） （3）由题可得X的取值为则， X 2 3 4 P 18．（17分） （26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有一种不断分裂的细胞，在每个时间周期内可能发生以下情况，有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞．每个细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为． (1)若，求的分布列和数学期望； (2)若，求的取值范围； (3)若该细胞在分裂过程中灭绝的概率不超过，求的最大值． 【解析】（1）若，则在每个时间周期内，细胞消失的概率为，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞， 第一个周期结束后，的概率为，的概率为， 所以的值可能为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为； （2） ， 令， 则，所以单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围为； （3）设一个细胞最终灭绝的概率为，则两个细胞最终灭绝的概率为， 则，整理得， 解得或， 由于灭绝概率不超过，故舍去，仅需考虑的情况， 由题可知，解得，即的最大值为. 19．（17分） （25-26高三上·吉林长春·期末）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B．附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为． （ⅰ）求（用n表示）； （ⅱ）设，求证：． 【解析】（1）记附近居民第天选择路线A和路线B分别为， 根据题意得， 由全概率公式得，第二天选择路线A散步的概率为 ， 故，则，， ，， ， 故Y的分布列如下： 0 1 2 3 4 期望为； （2）（ⅰ）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 所以，， 设，则，故，解得， 则， 其中，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，故， （ⅱ）证明：因为， 则， 当时，，而， 所以， 当时，， 而， 所以 ， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $