第1章 学案6 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

新知应用 则a2=(-1)2+22+32=14,a·b=(-1)×1+2×(-2)+ 5[法-：由题意知，n≠0，则2 =m=2 解得m= 3×(-1)=-8, -21 因为a⊥(a+Ab), 1,n=4, 则a·(a+入b)=a2+aa·b=14-8x=0, 所以m十n=1十4=5. 7 2=一入， =-2, 解得入=4？ 法二：设b=Aa,则一2=mλ，解得(m=1, n=-2, n=4, 所以实数入的维为子] 所以m+n=5.] 2 ,[由题意知，a·b=2m-1=0,解得m=2； 活动二 新知导学 因为a=(2,0,-1D,b-(2,-2,1)a+b-(号，-2,0， 问题2提示：aLb曰(a,b)=90°台c0s90°= a·b a11bT=0a. b=0台x1x2十y1y2=0. 所以1a+b1-,√）+(-2F-] 新知生成 6.解：(1)ac, x1x2十y1y2十z1z2=0 ∴.存在实数k,使得c=ka, 新知应用 |x=2k, C[.向量a=(-2,1,3),b=(-1,1,1), .2=4k, 则x=1, .a-λb=(-2+λ，1-λ，3-λ)， -1=-2k, 若a⊥(a-b), 则|c|=√12+22+(-1)2=√6. 则a·(a-λb)=-2(-2+λ)+(1一λ)+3(3-λ)=0， (2)b⊥c,则b·c=-x十0一2=0， 7 :λ=3 x=一2， ∴.c=(-2,2,-1), 故选C.] a·c 活动三 故cos(a,c)=1ad 新知应用 -2×2+2×4+(-1)×(-2)=6 解：(1)已知p=(1,1,a)(a>0),q=(2,b,1), √4+16+4X×√4+4+1 6 则p+q=(3,1+b,a+1),p-9=(-1,1-b,a-1), (p+q)∥p-q), 学案6空间直角坐标系及空间向量坐标 :1+6=-31-0, (a+1=-3(a-1), 的应用 解得a=分6=2. 课堂活动 活动一 (2)由题意得，p-2g=(-3,1-2b,a-2),p-r=(1-c,0,a), 新知导学 rl=2且(p-2q)L(p-r), 问题1提示：斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础。 :+1-. 它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮 -3(1-c)+a(a-2)=0, 为虚，空间观感好体现 .a=2,c=1. 新知生成 课堂达标 1.xOy zOy平面垂直Oxyz(1)垂直坐标轴(2)坐标平面 1.C[由于a=(x,1,-3),b=(1,3,-9),且ab xOy平面yOz平面Ox平面(3)垂直 故子-了号释红子 1 2.坐标分量横坐标x坐标纵坐标y坐标竖坐标 之坐标 故选C.] 新知应用 2.C[因为向量a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且a⊥b, 角度1 所以a·b=3x十1×(-3)十1×0=0，解得x=1.故选C.] 1.解：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在之轴上，它的x坐 3.D[a⊥c,a=(x,2,2),c=(3,-6,3), .a·c=3x-12+6=0,.x=2, 标、y坐标均为0，而E为DD,的中点，故其坐标为(0,0，）)： 6c6=y2e=8,63号=。号 D .y=-4, B ∴.a+b=(4,-2,4), E: H ∴.a+b|=√42+(-2)2+42=6. Di(O)M.ik 故选D.] B 4.子[向量a=(-1,23),b=(1,-2,-10, 由F作FM⊥AD,FN⊥DC,垂足分别为M,N, 71 由平西几何知识知FPM=号，FPN- 1 2 G-AG-AE-(A店+2AD)-(AD+2AM） 收点F的丝标为（合，日o】。 =应-2a市-2A=(1,-分，）： 点G在y轴上，其x,之坐标均为0， DG=AG-AD=AB+号AD-A而 故点G的坐标为0，是o) 又GD=3 过H作HK⊥CG于K,由于H为C,G的中，点， =A脑-2ò=(，-合 故HK=，CK=DK= 法二：(1)以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直 线为y轴，AA'所在直线为之轴，建立空间直角坐标系Axyz 故点H的坐标为(0，名，） （图略). .A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A'(0,0,1), 角度2 B'(1,0,1),C(1,1,1),D'(0,1,1), 2.(1)(1,2,1),(1,-2,1)(2)(2,-3,1)[(1)如图所示，过点 A作AM⊥平面xOy,交于点M,并延长到C,使AM=CM,则A 由中点坐标公式得E(o,1,)F(合，1,1)，c(1,20） 与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1). a证-(01，)aG=(1,70A示=（分11 2成-求-花-（分0，） 成=A-应-(1，-，）： 过点A作AN⊥x轴于N并延长到点B,使AN=NB,则A D=aG-A茄=(1.-2o, 与B关于x轴对称且点B的坐标为(1，一2,1). 母题变式：解：以D为原点，DA,DC,DD'所在直线分别为x (2)点P(2,3,一1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为 轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系（图略）， (2,3,1), A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A'(1,0,1), 点P1关于坐标平面yOx的对称点P2的坐标为(-2,3,1)， B'(1,1,1),C(0,1,1),D'(0,0,1), 点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，一3,1).] 0,)Fo,21),c(分1,0小： 活动二 新知导学 A花=(-1,0,2）， 问题2提示：(x,y,z),(x,y,z). 问题3提示：设P1(x1,y1,之1)，P,(x2,y2,z2)是空间中任意 忘-（←10 两，点，则P1P2=OP2-OP1=(x2-x1y2-y1,22-21). 萨-(，2) 于是|P1P2=√PP2·PP2 活动三 =√(x2-x1)+(y2-y1)2+(22-21). 新知应用 所以P1P2=P1P2 解：以C为原点，以CA,CB,CC1所在直 =√(x2-x1)+(y2-y1)+(22-z1)7, 线分别为x轴、y轴、之轴建立空间直角坐 这就是空间两点间的距离公式 标系，如图所示， 新知生成 则B(0,1,0),M(1,0,1), 1.单位正交基底相同(x,y,z)P(x,y,z) N(o,2 2.(1)(x2-x1y2-y1z2-z1) 新知应用 (1):BM=(1,-1,1), 解法-：a正-A心+D成-A市+号D币-A市+AA 丽=(0-2小， =(,1,2) .|BM=√+(-1)2+1平=3， AG-AB+BG-AB+2AD-(1.20) 1-0+(》+1- A症=AA+A'D+D市=AA+Ad+2A店=(31,1月 故BM的长为5，BN的长为号 (2)cos∠MBN=cos(BM,BN〉 (2)E京=A-A正=(AA+A市+子A)-(A市+ BM BN √/15 2A4）=2aA+2a店-（合0，）： BMIIBNI 后x号 5 18 .sin∠MBN=-A (3)由(1)知AB1=(W5,1,2),BC=(-3,1,0), 5 因为1AB1|=√(W3)2+1+W2)2=6, 故S△aMN=2·BM·BN·sin∠MBN 1BC1=√(-3)2+12+02=2， AB,.BC=(,1W2)·(-3,1,0) 54 =-(3)2+1×1=-2, 即△BMN的面积为5 4 所以cos(AB,BC)= AB1·BC -26 AB1IIBC√6X26 课堂达标 1.D[点A(2,1,1)关于z轴的对称点为B(一2,1,1)， 所以AB,与BC夹角的余弦值为一5 6 所以AB=2√5. 故选D.] 学案7空间中的点、直线与空间向量 2.B[设点A(x,y,z), 课堂活动 则AB=(3-x,-1-y,一z), 活动一 又因为AB=(-2,-5,3), 新知生成 3-x=-2, x=5, 位置向量 所以（一1一y=一5，解得{y=4, 新知应用 -z=3, z=-3, 解：(1)AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5), 所以A(5,4,-3). 故选B.] o驴-2店-AC)-22,20=1,10, 3.C[如图所示，设D为边BC的中点，连接AD. .点P的坐标为(1,1,0) A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0), (2)由P是线段AB上的一点，且AP:PB=1:2, ∴.D(1,1,0) 知市-成 .AD=√/12+12+12=5. 设点P的坐标为(x,y,之)，则 故选C AP=(x-3,y-4,x),PB=(2-x,5-y,5-z), 故x-3y-4)=2-x5-y5-0 - B 即-4= 2(5-y),得y= 1 3, 4AD[由题意可知线段OP的中点的坐标为（分，1,2），所 1 5 =3, 以A中说法正确： 点P关于x轴对称的点的坐标为(1，一2，一3)，所以B中说 因北点P的垒标为（停号，号）》 法错误； 活动二 点P关于坐标原点对称的点的坐标为（一1，一2，一3），所以 新知应用 C中说法错误； 1.C[PQ=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为λPQ= 点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，一3)，所以D中 (-2λ，一入，入)（入≠0） 说法正确.故选AD.] 所以C符合题意. 5.(0,4,-3)(-4,0,-3)[设i,j,k分别为DA,DC,DD 故选C.] 方向上的单位向量，则A1B=AB-AA1=DC-DD,=4 2.解：由已知可得，长方体顶点A,B,A',D'的坐标分别为A(4, 3k:B:C=B:B+B:C1=-DDj-DA=-4i-3k, 0,0),B(4,2,0),A'(4,0,3),D'(0,0,3). 所以A1B=(0,4,-3),B1C=(-4,0,-3).] (1)因为向量AA=(0,0,3),所以直线AA'的一个方向向量 为(0,0,3).（答案不唯一） 6.解：(1)设侧棱长为b,则A(0,-1,0),B1(W3,0,b),B(W3,0, 0),C1(0,1,b), (2)因为向量BD=(-4,-2,3),所以直线BD的一个方向 所以AB1=(3,1,b),BC1-(-√3,1，b). 向量为(-4，一2,3).（答案不唯一） 活动三 图为AB1⊥BC1, 新知应用 所以AB1·BC1=(W3,1,b)·(-√3,1，b)=-(W3)2+1+ 1.C[因为112，则ab, b2=0,解得b=√2，即三棱柱的侧棱长为√2」 (2)因为M为BC1的中点， 所以导号-告，解得-2=5 所以Ai=之AC+A=号(A+AC+A. 所以x十y=3. 故选C.] 91空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 学案6 学案6空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 听 课 昆学习任务 记 1.了解空间直角坐标系.（数学抽象) 2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标.（数学运算） 3.掌握空间向量坐标的简单应用.（逻辑推理、数学运算） 正方向夹角为135°（或45），x轴与y轴（或x 课堂活动 轴) .如图(1)(2)所示. 活动一了解空间直角坐标系 阄新知导学 阅读教材P21一24，完成下列问题。 (1) (2) 问题1我们画空间几何图形用的什么方法？ 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x,y,x), x,y,之都称为点M的 ,且x称为点 M的 (或 ),y称为点M的 (或 ),之称为点M的 (或 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中， 厅新知生成 三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八： 个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点 1.空间直角坐标系的建立 (x,y,之)的坐标符号为：第I卦限(+，十，十)， 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择 第Ⅱ卦限（一，十，十），第Ⅲ卦限（一，一，十），第 合适的平面先建立平面直角坐标系 V卦限(+，一，+)，第V卦限(+，+，一)，第M 然后过0作一条与 的数轴z轴， 卦限（一，十，一），第M卦限（一，一，一），第Ⅷ卦 这样建立的空间直角坐标系，记作 限（十，-，一）. (1)x轴、y轴、之轴是两两互相 的，都 提醒：(1)建系的条件：特殊图形以及有垂直关 称为 系的条件可考虑建系 (2)通过每两个坐标轴的平面都称为 (2)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或！ 分别记为 坐标平面上，充分利用几何图形的对称性。 (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般 (3)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不 把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴 同，但不会影响结果 1910 人教B版数学选择性必修第一册 听 今新知应用 活动二掌握空间向量的坐标 课 笔 角度1确定空间任意一点的坐标 阄新知导学 1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 问题2在平面直角坐标系中，{i,j}为一组单位 E,F分别是DD,BD的中点，G在棱CD上， 正交基底，OA=xi十j,那么向量OA的坐标 且CG=CD,H为C,G的中点，试建立适当 为(x,y),点A的坐标为(x,y);如果设{i,j, k}为空间的单位正交基底，OA=xi十yj十k, 的坐标系，写出E,F,G,H的坐标 猜想空间向量OA的坐标是什么？点A的坐 标是什么？ 问题3你能利用空间向量运算的坐标表示推导 空间两点间的距离公式吗？ 「方法总结」求某点P的坐标的方法 一般先找到点P在xOy平面上的射影M,过点 !M向x轴作垂线，确定垂足N,其中ON,NM, :MP即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→ P确定相应坐标的符号（与坐标轴同向为正，反 厅新知生成 向为负)，即可得到相应的点P的坐标. 1.空间直角坐标系下的向量坐标 角度2空间点的对称问题 在空间直角坐标系下，如果指定空间中的单位 2.(1)点A(1,2,-1)关于坐标平面xOy及x轴 向量e1,e2,e3的始点都在原点O,且它们的方 向分别与x轴、y轴、之轴的正方向相同，则 的对称点的坐标分别是 {e1,e2,e3}为 ,且向量OP (2)已知点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的 对称点为P1,点P1关于坐标平面yOz的对称 的坐标与P点的坐标 即OP=xe1+ ye2+ze3= 台 点为P2,点P2关于之轴的对称点为P3,则点 2.空间向量坐标的计算及应用 P3的坐标为 在空间直角坐标系中，A(x1,y1,之1)，B(x2, 「方法总结」空间点对称问题的解题策略 y2之2)，则 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中 (1)AB= 点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准 (2)AB=√x2-x1)2+y2-y1)2+(22-z1). 确求解。 (3)线段AB的中点M的坐标为 (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持 x1十x2y1十y221十z2 !不变，其余坐标相反”这个结论. 2 Γ，2,2 1120 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用学案6 提醒：在空间直角坐标系中，有向线段表示的向 【方法总结」用坐标表示空间向量的步骤 听 量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始 <观图形 充分观察图形特征 点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 课笔记 建坐标系> 根据图形特征建立空间直角坐标系 新知应用 <用运算 综合利用向量的加减及数乘运算 如图，在棱长为1的正方体 D' ABCD-A'B'C'D中，E,F,G 定结果 将所求向量用已知的基向量表示出 E 来，确定坐标 分别为棱DD',D'C',BC的 中点，以{AB,AD,AA')为基 活动三掌握利用坐标研究几何问题 底，求下列向量的坐标. 今新知应用 (1)AE,AG,AF; 如图，在直三棱柱ABC (2)EF,EG,DG A1B1C1中，CA=CB=1, ∠BCA=90°，棱AA1=2,M,N 分别是AA1,CB1的中点 (1)求BM,BN的长； (2)求△BMN的面积. 母题变式：若将本题中的条件“以{AB,AD,AA) 为基底”改为“以{DA,D心，DD}为基底，试写 「方法总结」通过分析几何体的结构特征，建立 出AE,AG,EF的坐标. 适当的空间直角坐标系，使尽可能多的点落在坐！ 标轴上或坐标平面内，以便于写点的坐标建立坐 标系后，写出相关点的坐标，然后写出相应向量的 坐标，把向量坐标化，再利用向量的坐标运算求解 夹角和距离问题. 七课堂小结 1.知识清单： (1)空间直角坐标系 (2)空间点的对称问题与空间向量的坐标. (3)空间向量坐标的应用. 2110 人教B版数学选择性必修第一册 听 2.方法归纳：数形结合、类比、公式法 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA= 3.常见误区：x,y,之轴的选择不是随意的，应符 DC=4,DD1=3,连接A1B,BC,如图，建立 记 合正确的建系要求. 空间直角坐标系.则A1B的坐标为 上课堂达标 B1C的坐标为 1.已知点A(2,一1,1)关于之轴的对称点为B,则 B |AB|等于 A.3√2 B.2√6 C.2 D.25 6.已知正三棱柱ABC-A1B,C1, 0 2.已知点B(3,-1,0),AB=(-2,-5,3),则点 底面边长AB=2,AB1⊥BC1, A的坐标为 ( 点O,O1分别是边AC,A1C A.(1,-6,3) B.(5,4,-3) 的中点.建立如图所示的空间 C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3) 直角坐标系， 3.若△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标 (1)求三棱柱的侧棱长； 如图所示，则BC边上的中线的长是( (2)若M为BC1的中点，试用基底{AA1,AB, AC}表示向量AM; (3)求AB1与BC夹角的余弦值. A.√2 B.2 C.3 D.3 4.(多选)下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一 点P(1,2,3)的说法，正确的有 A线段OP的中点的坐标为（分1，》 B.点P关于x轴对称的点的坐标为（一1，一2，一3） C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，一3) D.点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，一3) 课后反思 1122