专题03 圆锥曲线（期中知识清单）高二数学上学期人教B版

专题03 圆锥曲线（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 椭圆及其标准方程 1. 定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离 叫做焦距。 2. 标准方程：焦点在 轴上时为 （）；焦点在 轴上时为 （）。 3. 基本量关系：（），离心率 ； 越小椭圆越圆， 越大越扁。 知识点02 椭圆的几何性质 1. 范围：（）中 ，，椭圆夹在直线 与 围成的矩形内。 2. 对称性：关于 轴、 轴、原点都对称，原点叫椭圆的中心（对称中心）。 3. 顶点与轴：长轴端点 、短轴端点 ；长轴长 、短轴长 ，长轴在焦点所在的坐标轴上。 知识点03 双曲线及其标准方程 1. 定义：平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫做双曲线。 2. 标准方程：焦点在 轴上时为 （）；焦点在 轴上时为 。焦点总在"正项"所在的坐标轴上。 3. 基本量关系：（），离心率 。 知识点04 双曲线的几何性质 1. 范围： 中 ，图像分左右两支，分别在直线 的外侧。 2. 对称性：关于 轴、 轴、原点都对称，原点为双曲线的中心。 3. 顶点与轴：实轴端点 ，实轴长 、虚轴长 ；实轴在焦点所在的坐标轴上。 4. 渐近线：；把标准方程右边的 改成 即得渐近线方程。 时叫等轴双曲线，渐近线互相垂直。 知识点05 抛物线及其标准方程 1. 定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；点 叫焦点，直线 叫准线。 2. 标准方程（四种，， 为焦点到准线的距离）：（开口向右，焦点 ，准线 ）；（开口向左）；（开口向上，焦点 ）；（开口向下）。 3. 几何性质：范围由开口方向决定；对称轴为坐标轴；顶点在原点；离心率恒为 。 知识点06 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 位置判定：联立直线与圆锥曲线方程，消元得一元二次方程，用判别式判定： 相交， 相切， 相离；联立前先看二次项系数是否为 。 2. 弦长公式：（斜率 存在），其中 由韦达定理得到。 3. 中点弦（点差法）：设弦 的中点 、斜率为 ，则椭圆 有 ，双曲线 有 。 考点01 椭圆的基本量与标准方程 考点内容：由椭圆方程求 ，或由几何条件求椭圆的标准方程；a,b,c 的关系；焦点位置的判断（分母大小）；标准方程两种形式（焦点在 x 轴 / y 轴）；待定系数法求方程 常见考法： ① 由方程求 ：化为标准形后直接读出 a,b,c,p 及焦点所在轴等要素，再求所需量 ② 由焦点、顶点条件求方程 ③ 由定义求轨迹方程 ④ 焦点位置的判断 易错提醒：椭圆中 最大（），；焦点在哪个轴，看哪个项的分母大。 考点02 双曲线的基本量与渐近线 考点内容：双曲线的 关系、渐近线方程、离心率的计算与互求；a,b,c 的关系（c²=a²+b²）；渐近线方程的求法（令右边为 0）；离心率 e>1 及其与渐近线斜率的关系 常见考法： ① 由方程求渐近线方程：双曲线化为标准式后令右边为0分解得 y=±(b/a)x（焦点在 x 轴）或 x=±(b/a)y（焦点在 y 轴）；注意先判焦点位置 ② 由渐近线求双曲线方程 ③ 渐近线与离心率互求 ④ 实轴、虚轴长的计算 易错提醒：双曲线是 （加法， 最大），与椭圆的 相反；渐近线总可把右边 改 得到。 考点03 抛物线的基本量 考点内容：抛物线的标准方程、焦点、准线及 的几何意义；四种标准形式；焦点、准线与开口方向的对应；p 是焦点到准线的距离；一次项决定对称轴、符号决定开口方向 常见考法： ① 由方程求焦点与准线：先化为标准方程确定焦点所在轴与参数 a,b,p，再用 c²=a²−b²（椭圆）/ c²=a²+b²（双曲线）/ p 的含义求焦点与准线 ② 由焦点或准线求方程 ③ 四种标准形式的辨析 ④ 用定义转化距离 易错提醒： 是焦点到准线的距离，焦点坐标是 ；一次项决定对称轴方向，符号决定开口方向，四种形式不要记混。 考点04 离心率的计算 考点内容：椭圆 、双曲线 、抛物线 的求解与取值范围；定义法（紧扣曲线定义）；待定系数法；相关点法（代入转移）；范围问题注意挖掘隐含不等式 常见考法： ① 由方程直接算 ：识别标准形式与参数，直接套离心率 e=c/a、渐近线 y=±(b/a)x（或 x=±(b/a)y）等公式；双曲线先判焦点在 x 轴还是 y 轴 ② 由渐近线求离心率 ③ 由几何条件建式求 ④ 离心率的取值范围 易错提醒：双曲线 、椭圆 ；求出 后先看范围是否合理，范围问题注意挖掘隐含不等式。 考点05 圆锥曲线定义的应用 考点内容：椭圆（距离和 ）、双曲线（距离差的绝对值 ）、抛物线（到焦点距离 到准线距离）三大定义；定义的双向使用（求轨迹、证性质）；椭圆 / 双曲线的成立条件（2a 与 |F₁F₂| 的大小）；抛物线 p>0 常见考法： ① 焦点三角形中求边：利用定义（2a 或 2c）结合余弦定理/正弦定理，由焦距角建立边角关系求解 ② 用定义把折线化为线段 ③ 抛物线中转化到准线 ④ 定义法求轨迹方程 易错提醒：椭圆是"和"且要求 ，双曲线是"差的绝对值"且要求 ，条件大小相反，极易记混。 考点06 直线与圆锥曲线的位置关系 考点内容：相交判定、弦长计算、中点弦问题以及存在性与范围问题；联立方程与韦达定理；弦长公式；中点弦的点差法；判别式与参数范围；注意与渐近线平行时二次项系数可能为 0 常见考法： ① 联立判别式判交点个数；联立直线与曲线方程，化为关于一个变量的一元二次方程，用判别式 Δ 判定：Δ>0 有两个交点、Δ=0 相切（一个交点）、Δ<0 无交点；注意二次项系数可能为0（直线与渐近线平行）需单独讨论 ② 弦长公式（韦达定理） ③ 中点弦用点差法 ④ 存在性与参数范围 易错提醒：联立后二次项系数可能为 （直线与渐近线平行），要先讨论；韦达定理解出的参数要回代验证判别式。 1 椭圆 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 椭圆标准方程 焦点在 轴上 2 椭圆基本量 ， ， 3 椭圆第一定义 2 双曲线 序号 名称 公式（符号语言） 说明 4 双曲线标准方程 焦点在 轴上 5 双曲线基本量 ， 最大， 6 渐近线方程 把标准方程右边 改 3 抛物线 序号 名称 公式（符号语言） 说明 7 抛物线标准方程 焦点 ，准线 4 弦长 序号 名称 公式（符号语言） 说明 8 弦长公式 配合韦达定理使用 辨析01 椭圆中 是最大的 椭圆 且 ，故 （ 时 最大）；离心率 ，分母永远是半长轴 。 辨析02 双曲线中是加号不是减号 双曲线 （ 最大），椭圆才是 （ 最大）。两者极易混淆，是圆锥曲线最常见的错误来源。 辨析03 焦点位置看"哪个分母大" 椭圆：焦点在分母大的那一项的坐标轴上（ 项分母 则焦点在 轴）；双曲线：焦点在"正项"所在的坐标轴上。 辨析04 渐近线方程总可把 改 双曲线 ；等轴双曲线（）的渐近线互相垂直，离心率为 。 辨析05 抛物线四种标准形式的符号 向右、 向左、 向上、 向下；一次项定对称轴、符号定开口， 且焦点到准线距离就是 。 辨析06 抛物线离心率恒为 椭圆 、双曲线 、抛物线 ；抛物线没有 的概念，不要乱套 。 辨析07 椭圆是"距离和"，双曲线是"距离差的绝对值" 椭圆 （）；双曲线 （）。条件的大小关系相反，记混会直接判错。 辨析08 通径长不要记混 椭圆、双曲线的通径（过焦点垂直长轴的弦）长为 ，抛物线的通径长就是 ；三者形式不同，别混用。 辨析09 与渐近线平行的直线只交双曲线一支一点 直线与双曲线联立时，若直线与渐近线平行（二次项系数化为 ），方程退化，只有一个交点但判别式失效；讨论前必须先看二次项系数。 辨析10 韦达定理解出的参数要回代检验 用韦达定理求出的参数、用 之类求出的点，都要回代验证：满足判别式、满足 （双曲线两支）等范围限制。 【题型一】椭圆的基本量与标准方程 【例1】(25-26高二上·江苏·期中)已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】(24-25高二上·山东青岛·期末)已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】(25-26高二上·重庆沙坪坝·期末)已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型二】双曲线的基本量与渐近线 【例2】(25-26高二上·海南儋州·阶段检测)已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1　　B．2　　C．4　　D．8 【变式2-1】(24-25高二上·河北沧州·阶段检测)已知双曲线的离心率为4，则的渐近线方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-2】(24-25高二上·广东广州·期末)已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】抛物线的基本量 【例3】(25-26高二上·山西太原·期末)以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】(24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测)已知抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．　　B．　　C．　　D．2 【变式3-2】(24-25高二上·全国·期中)抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型四】离心率的计算 【例4】(24-25高二上·河南开封·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式4-1】(24-25高二上·江苏盐城·阶段检测)已知椭圆，则椭圆的（    ） A．长轴长为4　　B．焦点在轴上　　C．离心率为　　D．焦距为 【变式4-2】(25-26高二上·广东江门·阶段检测)椭圆，则其离心率（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型一】混淆椭圆与双曲线的 关系 【例1】(21-22高二上·内蒙古赤峰·期中)设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（    ） A．　　B．　　C．或　　D．或 易错警示　双曲线是 （加法， 最大），椭圆才是 （ 最大）；把双曲线错记成减法会得到 、焦距 而错选。 【变式1-1】(23-24高二上·江西赣州·期中)以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】(24-25高二上·重庆·期末)与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型二】焦点位置判断错误 【例2】(24-25高二上·浙江杭州·阶段检测)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并完成了对定义的证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（定点不在定直线上）：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线则（  ） A．方程 表示的曲线是椭圆　　 B．方程 表示的曲线是双曲线　　 C．方程表示的曲线是椭圆 D．方程 表示的曲线是双曲线 易错警示　椭圆中 永远在焦点所在的轴上：焦点在 轴， 项分母才是 ；错把 写到 项上就会选成 B。 【变式2-1】(25-26高二上·广东深圳·期末)已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A．　　B．　　C．或　　D．或 【变式2-2】(23-24高三下·陕西安康·阶段检测)已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】抛物线标准方程的形式与开口方向 【例3】(24-25高二上·甘肃·期末)已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 易错警示　 开口向左、焦点在 轴负半轴；把符号漏掉会错选 B，把" 形"当成" 形"会错选 C 或 D。 【变式3-1】(24-25高二上·湖南长沙·期中)过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【变式3-2】(23-24高二上·山东潍坊·阶段检测)已知为抛物线：上一点.点到的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则（    ） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【题型一】定义的应用（焦点三角形与焦半径） 【例1】(25-26高二上·吉林长春·期末)设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（    ） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【变式1-1】(23-24高二上·浙江·期中)双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（    ） A．　　B．26　　C．25　　D．23 【变式1-2】(25-26高二上·河南·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 【题型二】直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与中点弦） 【例2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-1】(23-24高二上·河北石家庄·期末)已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-2】(25-26高二下·安徽芜湖·期末)已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A．　　B．1　　C．　　D．2 【题型三】圆锥曲线中的最值与范围 【例3】(25-26高二上·广东·期末)记椭圆的右焦点为，右顶点为，直线过且与椭圆交于两点，为坐标平面上一点，若的重心为原点，则直线斜率的最小值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】(25-26高三上·广东·阶段检测)记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-2】(2025·云南玉溪·模拟预测)已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为1　　B．椭圆的短轴长为　　C．的最小值为　　D．过点的圆的切线斜率为 【题型一】定义法求轨迹方程模型 【模型解读】 圆锥曲线的定义揭示了"距离的和、差、相等"三种几何条件，直接由定义写方程，避免繁琐代数推导。 结论：椭圆用"和 "、双曲线用"差的绝对值 "、抛物线用"到焦点距离 到准线距离"。 【例1】(23-24高二下·安徽·阶段检测)如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆　　B．双曲线　　C．抛物线　　D．线段 【变式1-1】(24-25高二上·四川资阳·期末)已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-2】(24-25高二上·河南洛阳·阶段检测)若椭圆E：的周长为C，则（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型二】待定系数求标准方程模型 【模型解读】 已知焦点所在轴和 与 （或 与 ）的关系时，直接设标准方程用待定系数法；关键是先确定哪一项取 。 结论：先定轴、再定 、最后用 关系求出第三个量，并回代检验。 【例2】(25-26高二上·天津·期中)在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-1】(23-24高二上·云南玉溪·期末)已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式2-2】(25-26高二上·湖南长沙·阶段检测)已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型三】离心率计算模型 【模型解读】 离心率 ，核心是建立 与 （或 与 ）的关系；常见条件是渐近线、过某点、三角形边比等。 结论：椭圆 、双曲线 ；求范围时注意挖掘隐含的不等式条件。 【例3】(25-26高二上·海南儋州·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】(25-26高二上·浙江·期中)已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-2】(24-25高二上·浙江·期中)已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型四】焦点三角形与焦半径模型 【模型解读】 椭圆中 ，双曲线中 ，结合余弦定理与面积公式解焦点三角形。 结论：先用定义把两边关系化成一个等式，再用余弦定理列第二式联立求解。 【例4】(23-24高二上·陕西西安·期末)已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【变式4-1】(24-25高二上·黑龙江·期中)若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式4-2】(23-24高二下·浙江杭州·期中)设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型五】弦长（韦达定理）模型 【模型解读】 直线与圆锥曲线联立、消元得一元二次方程，用韦达定理与弦长公式 求解。 结论：联立前先看二次项系数是否为 ；务必用判别式确认确有两个交点。 【例5】(24-25高二上·天津和平·阶段检测)已知双曲线 的左右顶点为，左右焦点为，直线 与双曲线的左右两支分别交于两点，则以下结论正确的有 （  ） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【变式5-1】(23-24高二上·江苏·期中)已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4　　B．　　C．5　　D． 【变式5-2】(25-26高二下·四川南充·期中)已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型六】中点弦（点差法）模型 【模型解读】 涉及弦中点问题时，把弦两端点坐标代入曲线方程后相减（点差法），直接得到斜率与中点的关系。 结论：椭圆 有 ，双曲线 有 。 【例6】(24-25高二上·云南昆明·期末)已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式6-1】(25-26高二上·黑龙江大庆·期中)若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【变式6-2】(24-25高三上·江苏·期末)已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【题型七】圆锥曲线中的最值（定义转化）模型 【模型解读】 折线段之和的最值常借助定义转化为"点到焦点（或到准线）的距离"，再用三角不等式或几何意义求解。 结论：抛物线用定义把到焦点距离转为到准线距离；椭圆用 转化；最值常在"三点共线"时取得。 【例7】(24-25高二下·安徽安庆·阶段检测)已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2　　B．3　　C．　　D．5 【变式7-1】(2026·山西吕梁·三模)已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A．　　B．3　　C．7　　D．9 【变式7-2】(24-25高二下·云南昆明·阶段检测)已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 技巧 一句话要点 类型判定——"椭圆看分母、双曲看正项" 椭圆焦点在分母大的那一项轴上；双曲线焦点在正项所在的轴上；抛物线看一次项与符号。 基本量关系——"椭圆减、双曲加" 椭圆 （ 最大）；双曲线 （ 最大），千万别记反。 离心率——"范围先定" 椭圆 、双曲线 、抛物线 ；算完先看范围是否合理。 求标准方程——"先定轴再定参" 焦点在 轴还是 轴决定哪一项取 ，再用待定系数法求第三量。 定义优先——"距离就转化" 见到距离之和、之差、到定点与定直线距离相等，先想三大定义。 焦点三角形——"定义加余弦定理" （椭圆）或 （双曲线），配合余弦定理与面积公式列式。 渐近线——"1 改 0" 把双曲线标准方程右边的 改成 ，即得渐近线方程。 抛物线——" 的含义" 是焦点到准线的距离，焦点坐标是 ；四种形式看一次项定轴、符号定口。 直线与曲线——"联立前看二次项" 二次项系数为 时方程退化（与渐近线平行），别硬套判别式。 弦长——"韦达加根式" ，其中 。 中点弦——"点差法" 两端点代入相减，一步得到斜率与中点的关系式。 抛物线焦点弦——"定义代长度" 过焦点的弦 ，不必解交点。 最值——"定义加三角不等式" 折线转直线、共线取等；抛物线优先把距离转到准线。 存在性——"算完回代验" 韦达定理解出的参数要回代验证判别式与取值范围（如双曲线 ）。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 椭圆及其标准方程 1. 定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做焦点，两焦点间的距离 叫做焦距。 2. 标准方程：焦点在 轴上时为 （）；焦点在 轴上时为 （）。 3. 基本量关系：（），离心率 ； 越小椭圆越圆， 越大越扁。 知识点02 椭圆的几何性质 1. 范围：（）中 ，，椭圆夹在直线 与 围成的矩形内。 2. 对称性：关于 轴、 轴、原点都对称，原点叫椭圆的中心（对称中心）。 3. 顶点与轴：长轴端点 、短轴端点 ；长轴长 、短轴长 ，长轴在焦点所在的坐标轴上。 知识点03 双曲线及其标准方程 1. 定义：平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫做双曲线。 2. 标准方程：焦点在 轴上时为 （）；焦点在 轴上时为 。焦点总在"正项"所在的坐标轴上。 3. 基本量关系：（），离心率 。 知识点04 双曲线的几何性质 1. 范围： 中 ，图像分左右两支，分别在直线 的外侧。 2. 对称性：关于 轴、 轴、原点都对称，原点为双曲线的中心。 3. 顶点与轴：实轴端点 ，实轴长 、虚轴长 ；实轴在焦点所在的坐标轴上。 4. 渐近线：；把标准方程右边的 改成 即得渐近线方程。 时叫等轴双曲线，渐近线互相垂直。 知识点05 抛物线及其标准方程 1. 定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线；点 叫焦点，直线 叫准线。 2. 标准方程（四种，， 为焦点到准线的距离）：（开口向右，焦点 ，准线 ）；（开口向左）；（开口向上，焦点 ）；（开口向下）。 3. 几何性质：范围由开口方向决定；对称轴为坐标轴；顶点在原点；离心率恒为 。 知识点06 直线与圆锥曲线的位置关系 1. 位置判定：联立直线与圆锥曲线方程，消元得一元二次方程，用判别式判定： 相交， 相切， 相离；联立前先看二次项系数是否为 。 2. 弦长公式：（斜率 存在），其中 由韦达定理得到。 3. 中点弦（点差法）：设弦 的中点 、斜率为 ，则椭圆 有 ，双曲线 有 。 考点01 椭圆的基本量与标准方程 考点内容：由椭圆方程求 ，或由几何条件求椭圆的标准方程；a,b,c 的关系；焦点位置的判断（分母大小）；标准方程两种形式（焦点在 x 轴 / y 轴）；待定系数法求方程 常见考法： ① 由方程求 ：化为标准形后直接读出 a,b,c,p 及焦点所在轴等要素，再求所需量 ② 由焦点、顶点条件求方程 ③ 由定义求轨迹方程 ④ 焦点位置的判断 易错提醒：椭圆中 最大（），；焦点在哪个轴，看哪个项的分母大。 考点02 双曲线的基本量与渐近线 考点内容：双曲线的 关系、渐近线方程、离心率的计算与互求；a,b,c 的关系（c²=a²+b²）；渐近线方程的求法（令右边为 0）；离心率 e>1 及其与渐近线斜率的关系 常见考法： ① 由方程求渐近线方程：双曲线化为标准式后令右边为0分解得 y=±(b/a)x（焦点在 x 轴）或 x=±(b/a)y（焦点在 y 轴）；注意先判焦点位置 ② 由渐近线求双曲线方程 ③ 渐近线与离心率互求 ④ 实轴、虚轴长的计算 易错提醒：双曲线是 （加法， 最大），与椭圆的 相反；渐近线总可把右边 改 得到。 考点03 抛物线的基本量 考点内容：抛物线的标准方程、焦点、准线及 的几何意义；四种标准形式；焦点、准线与开口方向的对应；p 是焦点到准线的距离；一次项决定对称轴、符号决定开口方向 常见考法： ① 由方程求焦点与准线：先化为标准方程确定焦点所在轴与参数 a,b,p，再用 c²=a²−b²（椭圆）/ c²=a²+b²（双曲线）/ p 的含义求焦点与准线 ② 由焦点或准线求方程 ③ 四种标准形式的辨析 ④ 用定义转化距离 易错提醒： 是焦点到准线的距离，焦点坐标是 ；一次项决定对称轴方向，符号决定开口方向，四种形式不要记混。 考点04 离心率的计算 考点内容：椭圆 、双曲线 、抛物线 的求解与取值范围；定义法（紧扣曲线定义）；待定系数法；相关点法（代入转移）；范围问题注意挖掘隐含不等式 常见考法： ① 由方程直接算 ：识别标准形式与参数，直接套离心率 e=c/a、渐近线 y=±(b/a)x（或 x=±(b/a)y）等公式；双曲线先判焦点在 x 轴还是 y 轴 ② 由渐近线求离心率 ③ 由几何条件建式求 ④ 离心率的取值范围 易错提醒：双曲线 、椭圆 ；求出 后先看范围是否合理，范围问题注意挖掘隐含不等式。 考点05 圆锥曲线定义的应用 考点内容：椭圆（距离和 ）、双曲线（距离差的绝对值 ）、抛物线（到焦点距离 到准线距离）三大定义；定义的双向使用（求轨迹、证性质）；椭圆 / 双曲线的成立条件（2a 与 |F₁F₂| 的大小）；抛物线 p>0 常见考法： ① 焦点三角形中求边：利用定义（2a 或 2c）结合余弦定理/正弦定理，由焦距角建立边角关系求解 ② 用定义把折线化为线段 ③ 抛物线中转化到准线 ④ 定义法求轨迹方程 易错提醒：椭圆是"和"且要求 ，双曲线是"差的绝对值"且要求 ，条件大小相反，极易记混。 考点06 直线与圆锥曲线的位置关系 考点内容：相交判定、弦长计算、中点弦问题以及存在性与范围问题；联立方程与韦达定理；弦长公式；中点弦的点差法；判别式与参数范围；注意与渐近线平行时二次项系数可能为 0 常见考法： ① 联立判别式判交点个数；联立直线与曲线方程，化为关于一个变量的一元二次方程，用判别式 Δ 判定：Δ>0 有两个交点、Δ=0 相切（一个交点）、Δ<0 无交点；注意二次项系数可能为0（直线与渐近线平行）需单独讨论 ② 弦长公式（韦达定理） ③ 中点弦用点差法 ④ 存在性与参数范围 易错提醒：联立后二次项系数可能为 （直线与渐近线平行），要先讨论；韦达定理解出的参数要回代验证判别式。 1 椭圆 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 椭圆标准方程 焦点在 轴上 2 椭圆基本量 ， ， 3 椭圆第一定义 2 双曲线 序号 名称 公式（符号语言） 说明 4 双曲线标准方程 焦点在 轴上 5 双曲线基本量 ， 最大， 6 渐近线方程 把标准方程右边 改 3 抛物线 序号 名称 公式（符号语言） 说明 7 抛物线标准方程 焦点 ，准线 4 弦长 序号 名称 公式（符号语言） 说明 8 弦长公式 配合韦达定理使用 辨析01 椭圆中 是最大的 椭圆 且 ，故 （ 时 最大）；离心率 ，分母永远是半长轴 。 辨析02 双曲线中是加号不是减号 双曲线 （ 最大），椭圆才是 （ 最大）。两者极易混淆，是圆锥曲线最常见的错误来源。 辨析03 焦点位置看"哪个分母大" 椭圆：焦点在分母大的那一项的坐标轴上（ 项分母 则焦点在 轴）；双曲线：焦点在"正项"所在的坐标轴上。 辨析04 渐近线方程总可把 改 双曲线 ；等轴双曲线（）的渐近线互相垂直，离心率为 。 辨析05 抛物线四种标准形式的符号 向右、 向左、 向上、 向下；一次项定对称轴、符号定开口， 且焦点到准线距离就是 。 辨析06 抛物线离心率恒为 椭圆 、双曲线 、抛物线 ；抛物线没有 的概念，不要乱套 。 辨析07 椭圆是"距离和"，双曲线是"距离差的绝对值" 椭圆 （）；双曲线 （）。条件的大小关系相反，记混会直接判错。 辨析08 通径长不要记混 椭圆、双曲线的通径（过焦点垂直长轴的弦）长为 ，抛物线的通径长就是 ；三者形式不同，别混用。 辨析09 与渐近线平行的直线只交双曲线一支一点 直线与双曲线联立时，若直线与渐近线平行（二次项系数化为 ），方程退化，只有一个交点但判别式失效；讨论前必须先看二次项系数。 辨析10 韦达定理解出的参数要回代检验 用韦达定理求出的参数、用 之类求出的点，都要回代验证：满足判别式、满足 （双曲线两支）等范围限制。 【题型一】椭圆的基本量与标准方程 【例1】(25-26高二上·江苏·期中)已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】因为椭圆经过点，所以，即；离心率，所以，所以方程为.故选：D 【变式1-1】(24-25高二上·山东青岛·期末)已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得，所以m的取值范围是.故选：B 【变式1-2】(25-26高二上·重庆沙坪坝·期末)已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由直线，令，可得，令，可得，即直线与坐标轴的交点分别为，因为直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，可得，则，所以椭圆的标准方程为.故选：D. 【题型二】双曲线的基本量与渐近线 【例2】(25-26高二上·海南儋州·阶段检测)已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1　　B．2　　C．4　　D．8 【答案】A 【详解】因为方程表示双曲线，所以，又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为，由解得.故选：A 【变式2-1】(24-25高二上·河北沧州·阶段检测)已知双曲线的离心率为4，则的渐近线方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由双曲线的离心率，可得，所以双曲线的渐近线方程为；故答案为：C.故选 C． 【变式2-2】(24-25高二上·广东广州·期末)已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由，知椭圆离心率，故双曲线的离心率为2，所以，可得，故渐近线为.故选：C 【题型三】抛物线的基本量 【例3】(25-26高二上·山西太原·期末)以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】椭圆中心是原点，右顶点是，它是抛物线的焦点，则，，所以抛物线标准方程是．故选：D． 【变式3-1】(24-25高二下·安徽铜陵·阶段检测)已知抛物线的焦点为，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则（    ） A．　　B．　　C．　　D．2 【答案】A 【详解】由于的准线，所以，设准线与纵轴交于E点，根据抛物线定义可知，所以，易知，所以 .故选：A 【变式3-2】(24-25高二上·全国·期中)抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】由抛物线的标准方程为，有，得，所以抛物线的焦点到准线的距离为.故选：B. 【题型四】离心率的计算 【例4】(24-25高二上·河南开封·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为的离心率为，过点的直线与交于点（在轴下方），若，则的周长与的比值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】设，由椭圆定义易得的周长为，由对称性可得，所以，所以的周长与的比值为．故选：B． 【变式4-1】(24-25高二上·江苏盐城·阶段检测)已知椭圆，则椭圆的（    ） A．长轴长为4　　B．焦点在轴上　　C．离心率为　　D．焦距为 【答案】A 【详解】由，则焦点在轴上，且，，则，即，所以长轴长为，焦距为，离心率为.故选：A. 【变式4-2】(25-26高二上·广东江门·阶段检测)椭圆，则其离心率（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】因为，所以离心率.故选：C 【题型一】混淆椭圆与双曲线的 关系 【例1】(21-22高二上·内蒙古赤峰·期中)设圆锥曲线的两个焦点分别为，.若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（    ） A．　　B．　　C．或　　D．或 【答案】C 【详解】设该圆锥曲线的离心率为，当该圆锥曲线为椭圆时，，当该圆锥曲线为双曲线时，.即曲线的离心率等于或.故选：C. 易错警示　双曲线是 （加法， 最大），椭圆才是 （ 最大）；把双曲线错记成减法会得到 、焦距 而错选。 【变式1-1】(23-24高二上·江西赣州·期中)以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】椭圆化为标准方程为，焦点为，双曲线的半焦距，离心率，，，双曲线的标准方程为．故选：A． 【变式1-2】(24-25高二上·重庆·期末)与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】因为椭圆，焦点在x轴上，且，又因为所为双曲线与双曲线共渐近线，所以设所求双曲线，即则，解得.所以所求双曲线为.故选：B 【题型二】焦点位置判断错误 【例2】(24-25高二上·浙江杭州·阶段检测)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并完成了对定义的证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹是圆锥曲线（定点不在定直线上）：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线则（  ） A．方程 表示的曲线是椭圆　　B．方程 表示的曲线是双曲线　　C．方程表示的曲线是椭圆　　D．方程 表示的曲线是双曲线 【答案】B 【详解】不在直线 上，对于A，方程化为=，表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，而，所以表示的曲线是双曲线，错误；对于B，方程化为=，表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，而，所以表示的曲线是双曲线，正确；对于C，方程化为=，表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，所以表示的曲线是抛物线，错误；对于D，方程化为=，表示动点到定点的距离与到定直线的距离之比是常数，而，所以表示的曲线是椭圆，错误；故选： 二、多选题 易错警示　椭圆中 永远在焦点所在的轴上：焦点在 轴， 项分母才是 ；错把 写到 项上就会选成 B。 【变式2-1】(25-26高二上·广东深圳·期末)已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A．　　B．　　C．或　　D．或 【答案】B 【详解】因为椭圆，若椭圆的焦点在轴上，则，则由,得舍去，若椭圆的焦点在轴上，则，则由得，故椭圆的长轴长为．故选：B． 【变式2-2】(23-24高三下·陕西安康·阶段检测)已知椭圆的左、右焦点分别为，，抛物线，且椭圆与抛物线相交于两点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】解：设，则，因为，，由，得：，即，点在椭圆上，所以满足，代入上式可得：，即，即，因为点在椭圆上，所以，解得：，即，解得：.故选：B 【题型三】抛物线标准方程的形式与开口方向 【例3】(24-25高二上·甘肃·期末)已知抛物线经过点，则抛物线的准线方程是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】抛物线经过点，则，所以，所以抛物线准线方程为.故选：C. 易错警示　 开口向左、焦点在 轴负半轴；把符号漏掉会错选 B，把" 形"当成" 形"会错选 C 或 D。 【变式3-1】(24-25高二上·湖南长沙·期中)过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】A 【详解】设，则，圆的圆心，半径为，由切圆于点，得，则，当且仅当时，等号成立，可知的最小值为，整理可得，解得或，因为，所以，即.故选：A.（1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线乘积的一半.（2）根据圆的切线垂直于过切点的半径，可把四边形面积转化为两个全等三角形面积的和.（3）设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，求出函数的最小值，利用等量关系即可得到结果. 【变式3-2】(23-24高二上·山东潍坊·阶段检测)已知为抛物线：上一点.点到的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则（    ） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】C 【详解】根据题意可得，所以，故选：C 【题型一】定义的应用（焦点三角形与焦半径） 【例1】(25-26高二上·吉林长春·期末)设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则（    ） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】A 【详解】由椭圆，可得，所以，因为点在椭圆上，且为椭圆的两个焦点，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A. 【变式1-1】(23-24高二上·浙江·期中)双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（    ） A．　　B．26　　C．25　　D．23 【答案】B 【详解】由题设知：，令，则，，中，，则，所以，则，故，则，所以.故选：B 【变式1-2】(25-26高二上·河南·期中)已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6　　B．8　　C．10　　D．12 【答案】C 【详解】对于直线 ，令，解得，所以抛物线的焦点为,准线方程为．，解得，所以抛物线的方程为，设的坐标为，则，∴的坐标为，则，得，所以．由抛物线的定义，得．故选：C． 【题型二】直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与中点弦） 【例2】(24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则双曲线的实轴长为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】设，则且，相减可得，故，故，又，故，解得，故长轴长为，故选：B 【变式2-1】(23-24高二上·河北石家庄·期末)已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即，由消去并整理得：，则，即，设，则，而弦的中点为，即，于是，解得，此时所以椭圆的离心率.故选：C 【变式2-2】(25-26高二下·安徽芜湖·期末)已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A．　　B．1　　C．　　D．2 【答案】A 【详解】设，，，，，即，又，则点P在线段垂直平分线上，设线段中点为，，，则直线的方程为，，又，所以，即，整理得，，解得，代入得，解得．故选 A． 【题型三】圆锥曲线中的最值与范围 【例3】(25-26高二上·广东·期末)记椭圆的右焦点为，右顶点为，直线过且与椭圆交于两点，为坐标平面上一点，若的重心为原点，则直线斜率的最小值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】显然，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，联立，整理可得，可知恒成立，可得，又因为的重心为原点，则，则，又，所以，可知时，；时，，所以当时，，当且仅当时，即时等号成立，所以，即直线斜率的最小值为.故选：A． 【变式3-1】(25-26高三上·广东·阶段检测)记椭圆的左、右焦点分别为，其上存在两点构成的四边形满足，则离心率的最小值为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由椭圆的性质可知，，，.因为，则，即四边形对角互补，所以四边形共圆.因为 关于轴对称，所以圆心必位于轴上，设圆心为，半径为，则圆的方程为,代入可得，.联立，已知该方程有两个实数解，即的纵坐标，所以,所以.又因为，所以.令，，则，.又因为，所以.所以，所以，当且仅当时取等号.故选：C. 【变式3-2】(2025·云南玉溪·模拟预测)已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为1　　B．椭圆的短轴长为　　C．的最小值为　　D．过点的圆的切线斜率为 【答案】D 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，所以，所以 ，解得或5，因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误；对于B，由，得椭圆的短轴长为，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为4，不符合题意；设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确.故选：D. 【题型一】定义法求轨迹方程模型 【模型解读】 圆锥曲线的定义揭示了"距离的和、差、相等"三种几何条件，直接由定义写方程，避免繁琐代数推导。 结论：椭圆用"和 "、双曲线用"差的绝对值 "、抛物线用"到焦点距离 到准线距离"。 【例1】(23-24高二下·安徽·阶段检测)如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆　　B．双曲线　　C．抛物线　　D．线段 【答案】D 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，即，所以点M的轨迹是线段．故选：D 【变式1-1】(24-25高二上·四川资阳·期末)已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为，由可知圆内含于圆内.设动圆半径为，由题意可得，，两式相加可得，故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，所以，所以椭圆方程为.故选：C. 【变式1-2】(24-25高二上·河南洛阳·阶段检测)若椭圆E：的周长为C，则（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】把化为标准方程为，以长轴为直径的圆周长为，边平行于E的对称轴的外切矩形的周长为，所以，，所以A，C错误；以短轴为直径的圆周长为，以长轴和短轴为对角线的菱形的周长为，所以，，所以B错误，D正确.故选：D. 【题型二】待定系数求标准方程模型 【模型解读】 已知焦点所在轴和 与 （或 与 ）的关系时，直接设标准方程用待定系数法；关键是先确定哪一项取 。 结论：先定轴、再定 、最后用 关系求出第三个量，并回代检验。 【例2】(25-26高二上·天津·期中)在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由过的直线与圆切于点可得：，则，由此可得切线的斜率为，即可得切线方程：，整理得：，令，可得，即焦点，所以即，所以椭圆方程为，故选：C. 【变式2-1】(23-24高二上·云南玉溪·期末)已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于两点．若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】设椭圆方程为，易知直线的斜率为；设，则，所以，；易知，两式相减可得；即，可得，又，可得，所以；即椭圆的方程为.故选：A 【变式2-2】(25-26高二上·湖南长沙·阶段检测)已知双曲线 的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线 上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上异于B 点且位于第一象限的动点，直线 PA，PB的斜率分别为 则 的取值范围为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则，双曲线的左焦点坐标为，且该点在直线上，代入可得，解得，且，故，所以，设，则，为双曲线右支上位于第一象限的动点，故，且，当单调递减，故,即.故选：C 【题型三】离心率计算模型 【模型解读】 离心率 ，核心是建立 与 （或 与 ）的关系；常见条件是渐近线、过某点、三角形边比等。 结论：椭圆 、双曲线 ；求范围时注意挖掘隐含的不等式条件。 【例3】(25-26高二上·海南儋州·期末)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A.若是钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】因为是钝角三角形，且，所以为钝角，则，则，则，则，得，故椭圆的离心率的取值范围是.故选：B 【变式3-1】(25-26高二上·浙江·期中)已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】圆：，半径为，过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，，，，，，，，，在中，由余弦定理得，，则，，，.故选：D.二、多选题 【变式3-2】(24-25高二上·浙江·期中)已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由题意，，，过点组平行于的直线方程为，联立，可得，则，，由，可得，即，即，即，整理得，两边同时除以，可得，又，可得，则．故选：C． 【题型四】焦点三角形与焦半径模型 【模型解读】 椭圆中 ，双曲线中 ，结合余弦定理与面积公式解焦点三角形。 结论：先用定义把两边关系化成一个等式，再用余弦定理列第二式联立求解。 【例4】(23-24高二上·陕西西安·期末)已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】D 【详解】由椭圆，可得，，，因为，所以，由题意可得，，即.故选：D. 【变式4-1】(24-25高二上·黑龙江·期中)若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】设，，则，易知，，由椭圆焦半径公式可得，，设分别为的内切圆与边，，的切点，则，根据内切圆的性质知，，，因此，即，解得.在中，，解得，因此，所以.故选：A. 【变式4-2】(23-24高二下·浙江杭州·期中)设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】，设，则，所以，则，故，所以，则直线的倾斜角，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，消得，，设，则，所以.故选：A. 【题型五】弦长（韦达定理）模型 【模型解读】 直线与圆锥曲线联立、消元得一元二次方程，用韦达定理与弦长公式 求解。 结论：联立前先看二次项系数是否为 ；务必用判别式确认确有两个交点。 【例5】(24-25高二上·天津和平·阶段检测)已知双曲线 的左右顶点为，左右焦点为，直线 与双曲线的左右两支分别交于两点，则以下结论正确的有 （  ） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】C 【详解】在双曲线中，,对于①：在双曲线的焦点三角形中，由余弦定理及双曲线的定义得，可得，所以，故①正确； 对于②，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.设直线，其与的交点为，联立，可得，应满足且.由韦达定理可知，都与无关.所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.由可知，故②正确；对于③，设，且，则，所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，故③正确；对于④，联立，消去可得，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，④错误.故选：C. 【变式5-1】(23-24高二上·江苏·期中)已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4　　B．　　C．5　　D． 【答案】B 【详解】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得，，设，，则，因为面积是面积的两倍，所以，则，解得，则，则，解得，故，则.故选：B 【变式5-2】(25-26高二下·四川南充·期中)已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得，因此，椭圆的方程为.斜率为且过点的直线方程为.联立方程，整理得，，设，，由韦达定理，得，.由弦长公式，代入参数计算：.故选 C． 【题型六】中点弦（点差法）模型 【模型解读】 涉及弦中点问题时，把弦两端点坐标代入曲线方程后相减（点差法），直接得到斜率与中点的关系。 结论：椭圆 有 ，双曲线 有 。 【例6】(24-25高二上·云南昆明·期末)已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】设,则且，故，故,故，即，因此，故选：D 【变式6-1】(25-26高二上·黑龙江大庆·期中)若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】设端点，，作图如下：由，在双曲线上，则，两式做差可得，即，又弦被点平分，则，代入上式可得，则，即直线方程为，化简可得，故选：D． 【变式6-2】(24-25高三上·江苏·期末)已知椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的方程为（    ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得，故椭圆方程为，故选：A 【题型七】圆锥曲线中的最值（定义转化）模型 【模型解读】 折线段之和的最值常借助定义转化为"点到焦点（或到准线）的距离"，再用三角不等式或几何意义求解。 结论：抛物线用定义把到焦点距离转为到准线距离；椭圆用 转化；最值常在"三点共线"时取得。 【例7】(24-25高二下·安徽安庆·阶段检测)已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） A．2　　B．3　　C．　　D．5 【答案】B 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线，设动点直线的距离分别为，点到直线的距离分别为，则，可得，当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立，动点到直线直线的距离之和的最小值是3.故选：B. 【变式7-1】(2026·山西吕梁·三模)已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A．　　B．3　　C．7　　D．9 【答案】A 【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径.设，则.因为切线长等于，所以当切线长最小时，最小.，当，即点的坐标为时，取得最小值，最小值为.所以切线长的最小值为.故选 A． 【变式7-2】(24-25高二下·云南昆明·阶段检测)已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为，因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：，所以只需要求最小即可.当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即.故选：B. 技巧 一句话要点 类型判定——"椭圆看分母、双曲看正项" 椭圆焦点在分母大的那一项轴上；双曲线焦点在正项所在的轴上；抛物线看一次项与符号。 基本量关系——"椭圆减、双曲加" 椭圆 （ 最大）；双曲线 （ 最大），千万别记反。 离心率——"范围先定" 椭圆 、双曲线 、抛物线 ；算完先看范围是否合理。 求标准方程——"先定轴再定参" 焦点在 轴还是 轴决定哪一项取 ，再用待定系数法求第三量。 定义优先——"距离就转化" 见到距离之和、之差、到定点与定直线距离相等，先想三大定义。 焦点三角形——"定义加余弦定理" （椭圆）或 （双曲线），配合余弦定理与面积公式列式。 渐近线——"1 改 0" 把双曲线标准方程右边的 改成 ，即得渐近线方程。 抛物线——" 的含义" 是焦点到准线的距离，焦点坐标是 ；四种形式看一次项定轴、符号定口。 直线与曲线——"联立前看二次项" 二次项系数为 时方程退化（与渐近线平行），别硬套判别式。 弦长——"韦达加根式" ，其中 。 中点弦——"点差法" 两端点代入相减，一步得到斜率与中点的关系式。 抛物线焦点弦——"定义代长度" 过焦点的弦 ，不必解交点。 最值——"定义加三角不等式" 折线转直线、共线取等；抛物线优先把距离转到准线。 存在性——"算完回代验" 韦达定理解出的参数要回代验证判别式与取值范围（如双曲线 ）。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $