安徽省合肥市四校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

合肥四校联考高三10月数学 合肥四校联考2026-2027 高三10月数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数产的虚部为() A.司 B. C.-司 D. 解析：由古=脚=一专+，得其虚部为安：故选A 2.已知集合A={x|号≥，B={x|<2,则AnB=（) A.{x|-2<x<1B.{x|-2<x≤1}C.{x|-3<x<2}D.{x|-2≤x≤1 解析：由景≥0，得-3<x≤1，故A=(-3,。又B=(-2,2),所以 A∩B=(-2,1]={x|-2<x≤1}。故选B。 3.己知函数f(x)=xsinx,g(x)=cosx,则图象为如图的函数可能是() A.y=f(x)g(x)-1 B.=8 C.y=f(x)-g(x)+1 D.y=f(x)+g(x)-1 解析：图象经过原点，A中函数在x=0时的值为-1，排除A;B中函数为y=ztanz,在x=±受处 无定义，与图示连续曲线不符，排除B:C中函数在x=π时的值为2，与图示该处函数值为负不符，排 除C。对于D,令h(x)=xsinz+cosx-l,则h(x)为偶函数，h(O)=0,h(π)=-2，且 h'(x)=x cosx.。它在(0，)上递增、在（受，π）上递减，且h(受)=受-1>0，与所给图象一致。 故选D。 4.己知向量a=(1,V3),i在a上的投影向量为-2à，且=8，则cos(a,)=() A.-号 B.-9 C.-2 D.吉 解析：由a=V1+3=2,且方在立上的投影向量为爵立=-2a,得立.方=-8。因此 cos(a,==-。故选C. 第8页 合肥四校联考高三10月数学 5.若命题p:x∈(-2,2)，使得x2-2x-m2+2m≥0为假命题，则实数m的取值范围为 () A.(-∞，0]U[1,+o∞) B.（-o,0)U(2,+∞) C.(-∞，-2]U[4,+∞) D.（-∞-2)U(4,十∞) 解析：命题为假，等价于对任意x∈(-2,2)，都有x2-2x-m2+2m<0,即(x-1)2<(m-1)2。当 x∈(-2,2)时，(x-1)2的取值范围为[0,9)，故上述不等式恒成立的充要条件为(m-1)2≥9。解得 m≤-2或m≥4。等号情形可取，因为x=一2不在所给区间内。故选C。 6.已知等差数列{an}的首项a1=2,取子数列bk=a2,(k=0,1,2,…),则（) A.{b}是等差数列 B.{bk}是等比数列 C.{bk+1+bk}是公比为2的等比数列 D.存在d,使{b}是等比数列 解析：设等差数列{an}的公差为d,则an=2+(n-1)d,所以bk=d·2k+2-d。当d=1时， b0=2,b1=3,b2=5,既不成等差数列，也不成等比数列，故A、B错误；当d=0时，b+1+bk=4, 其公比为1，故C错误；当d=2时，bk=2+1,是公比为2的等比数列，故D正确。故选D。 7.已知x∈（倍，牙），sin(c-)=是，则tan(2x+晋)=（） A.-4 B. 0.-号 D.号 解析：令t=x-吾，则t∈(0，)，sint=号，所以cost=号。又2x+吾=2t+受，故 an2x十君)=-cot2t=一品感=-=-名。故述A 8.已知函数f()=二云，关于x的方程2f(c)=3af(川-a2有且仅有4个不同的实根，则实 数a的取值范围为() A.(号，e4) B.(e4,3e4) C.(e4,2e4) D.(e,3e4) 解析：令t=f(x川>0，原方程化为2t2-3at+a2=(2t-a)(t-a)=0。当a≤0时无解：当a>0 时，t=号或t=a,两者不同。当红<3时，=÷导数为导>0.函数值从0递增至 +o,故每个正数t对应一个解。 当>3时，训=气，导数为》，故在B,④上递减、在4，+∞)上递增，最小值为，两端 函数值均趋于+oo。因此，正数t小于、等于、大于e4时，f(c川=t分别有1、2、3个不同实根。原 方程恰有4个不同实根，必须且只需号<e4<a,即e4<a<2e4。两端点分别产生3个、5个不同实 根，均不取。故选C。 第9页 合肥四校联考高三10月数学 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.己知函数f(x)=sin(2x+),则下列结论中正确的有() A.f(c)在(，)上单调递增 B.点(-吾，0)是曲线y=f(x)的一个对称中心 C.若函数y=f(x+)的图像关于y轴对称，则正数的最小值为答 D.f(x)在区间(-吾，节)有两个极值点 解析：A:当x∈(，)时，2c+晋∈（受，红），正弦函数在此区间单调递减，故A错误。 B:f(-变+t)=sin2t,f(-亚-t)=-sin2t,故点(-亚，0)为对称中心，B正确。 C:f(c+)=sin(2x+20+)。图像关于y轴对称，等价于cos(20+晋)=0，故0=若+馁，k∈Z,最 小正值为石，C正确。 D:极值点满足2江十晋=受+km,即x=吾+受，k∈Z。在给定区间内恰有父=吾、x=ξ两个极值 点，D正确。故选BCD。 10.下列选项中正确的是() A.若a>0,b>0,则Va2+≥岁 B.若a>0,b>0,则1ga+lgb≥2Vga·lgb C.若a>0,b>0,且ab+2a+b=6,ab的最大值为2 D.若a>0,b>0,且ab+2a+b=6,本+2的最小值为竖 解析：A:由2(@2+b)-(a+)2=(a-b2≥0，且两边均非负，得Va2+≥岁，A正确。 B:取a=b=品，则左边为-2，右边为2，不等式不成立，B错误。 C:由6=ab+2a+b≥ab+2√2ad,令s=Vab>0,得s2+2V2s≤6，即(s+V②2≤8，故s≤V2, 即ab≤2。当a=1,b=2时等号成立，C正确。 D:由b+2a+6=6,得(a+16+2)=8,所以++南之2Va=孚。当 1 a+1=b+2=2V2时等号成立，此时a=2V2-1>0,b=2V2-2>0,满足条件，D正确。 故选ACD。 11.己知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)是奇函数，f(2)=-f(1)卡0，且对任意 x,y∈R,f(x+)=f(x)f'()+f'(x)f(,则() Af-1)=月 B.f(6)=0 2027 2027 C.∑f=1 1 n2r=-1 解析：由f(x)是奇函数，得f(0)=0,且f'(x)为偶函数。令y=0,并取f(x)卡0，得f'(0)=1。 第10页 合肥四校联考高三10月数学 11.(续) 1 A:令2=y=1,得f2)=2ff'(1),结合f2)=-寸)卡0.得j'(1)=f'(-1)=-7,A正确. B:令红=2g=1得f0)=0)-f2和.故fg=分由加法式， f(x+1)+f(x+2)=[f'(1)+f'(2)]f(x)+[f(1)+f2]f'(x)=-f(x)。将x替换为x+1并比较，得 f(x+3)=f(x),故f(6)=f0)=0,B正确。 C:每连续三个正整数处的函数值之和为f(1)+f(2)+f(3)=0。由2027=3×675+2，得 2027 f()=f(1)+f2)=0,c错误。 k-1 11 D:由f+3)=f(@)求导，得∫'(x+3)=f'(。又f"()+∫'2)+∫'(3)=-2-2+1=0.所以 2027 f'()=f'(山+f'(2)=-1,D正确。故选ABD。 k=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知2=3,1og53=b,则436-a= 解析：由2a=3,得a=1og23,故b= 1g21/9=-3·于是36-a=-2a,所以 1og23 a 4-8=4-2a=24=2)=34=87 13.在凸四边形ABCD中，AC=4,AD=2,AB⊥BC,AC⊥AD,则AB·AD的最小值为 解析：取A(0,0),C(4,0),D(0,2),设B(,)。由AB⊥BC,得(4-x)-y2=0,即(c-2)2+y2=4,从 而y≥-2。又AB.AD=(c,)·(0,2)=2y≥-4。当B(2,-2)时取等号，此时A,B,C,D按此顺序构成严格凸 四边形，且AB⊥BC、AC⊥AD均成立。故最小值为-4。 14.已知函数f(x)=x(x-1)3,若过点P(0,a)可以作曲线y=f(x)的四条不同的切线，四个切点的横坐 标依次为x1,x2,x3,x4,且x1<x2<D3<x4,则x1x4十x2x3= 解析：设切点横坐标为t。由f'(t)=(t-1)2(4t一1)，过P(0,a)的切线满足a=f(t)-tf'()=-3t(t-1)2。 令c=√一a3。由存在四个不同切点，得c>0,且方程2-t=c与t2-t=-c各有两个不同实根，因而 0<c<寻方程2-t=c的两根分别小于0、大于1，即，4：方程：-t=-c的两根均在0,1内，即 x2,x3。由根与系数的关系，C1x4=一C,x2C3=c,故x1x4十x2E3=0。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 2bsin Bcos C+csin 2B=2V36 cos A. (1)求角A: ②若a=2,∠BAC的Y分线交BC时点n.AD-兽，求△MBC的周长. 解所：)由正弦定理，6=9，将已知等式两边同除以2b,并用sn2B=2 sin Bcos B,得 sin Bcos C+sin Ccos B=vV3cosA,即sin(B+C)=√3cosA。由B+C=π-A,得 sinA=V3cosA。因为0<A<元，且sinA>0,所以cosA>0,从而A=3。 π 第11页 合肥四校联考高三10月数学 15.(续) (2)由AD平分∠BAC,将△ABC的面积分为△ABD与△ACD的面积之和，得 2cnA=2ADb+9sin分，所以AD= 1 2bc cos(A/2)V3bc V3 结合AD=3, 。 得 b+c b+ bc=6+e。由余弦定理，4=a2=b2+c2-bc=6十c2-3bc 3 设s=b+c>0,得g2-9=4,放s=1+,厅，所以周长为a+6+e=5+ 2 2 16. (15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3·2m+2。 (1证明：数列{贸}是等差数列，并求an (2）设bn=log an+1, 数列{bn}的前n项和为Tn。 an 解析：(1)当n=1时，a1=S1=2a1-6+2,得a1=4。当n≥2时， an=Sn-Sm-1=2am-2am-1-3.2m-1,故an=2an-1+3.2n-1。于是a- an-13 2n-1= 所以 2n 数列{：}是首项为2、公差为的等差数列。 因此经=2+-1)=3凯+1，即a.=8m+12-1. 2 (3m+4)2m ②》由第(I间，a>0,且b.=1o828n+12=1+og23n+4到-log23m+1.所以 10 3m+4 n+1lo82+g27+…+g28机十1=n+10524 17.(15分)已知函数f(x)=Asin(wx+p)(A>0,w>0,0<p<π)的部分图象如图所 不。 (1)求f(x)的解析式： (2当x∈[7时，关于的方程)=m有两个不同的实根，且<，求 f(2c1+x2)的最小值。 6 1 解析：(1)由图象得A=4,f0)=2,所以si血p=2·又图象在红=0附近单调递增，且 0<口<，所以0=石由图象中红=0右侧第一个最高点的横坐标为合，得w言+看=豆 故w=2。所以fm)=4sin(2x+石) 第12页 合肥四校联考高三10月数学 17.(续) 2当e[时，2+e[],函数在[] 单调递减， 在[小上单 调递增，时()=-2、f(）=-4、)=2.故方程有两个不同实根当且仅当 -4<m≤-2. 此时两根关于直线= 行对称，所以+=行，且∈[ π2π 2,3 因此 f2+到=4s血(2知+1晋)=4(2+)】 ∈[），正孩函数在此区间上单调递指，故最小值为血=-2。当 由21+6 m=一2时，1=行、为=誓最小值取得。 18.(17分)已知fi(m)=sinc,x∈[0，，fn+1(c)=-3fn(号)，n∈N*。记A:为函数 f(x)取得极值时对应的点，直线A:A+2m与直线A;A+2m-1的斜率分别记为Pm 和Km(m∈N*)。 (1)求点A1的坐标； (2)求点An(c,yn)的坐标（要求写出推导过程）； (3)设bm=|会，记{bm}的前m项和为Sm,求证：合≤m-Sm<五。 解析：(1)在[0，π)上，i(c)=six仅在x=受处取得极值，故A1(受，1) (2)令u=号。若fn(u)在u=cn处取得极值，则n+1()=-3fn(u)在x=3axn+T处 取得极值，其纵坐标为一3则m。该自变量替换在各自定义域间一一对应，乘非零常数只改变极 值的大小与类型，不改变极值点的唯一性。因此 xn+1=3xn十T, Un+1 =-3yn. 由x1=,得 xn+1+2=3(cn+受)，亚n+受=3n-1(c1+)=π3n-1 又由1=1，得=(-3)n-1。故 An(3m-1-受，(-3)m-1) (3)各点横坐标严格递增，所论两直线的斜率均存在。对固定的i∈N*, Pm=3+-1--31 =-1)= 3+2m-1-m3-1 K=-器告≠0， 所以 bm== 3m11=1-32m1+ 32m-1+1 于是 m-Sm= 、21 等号当且仅当m=1。又因为各分母均为正， 第13页 合肥四校联考高三10月数学 18.(续) 1 m-5m≤2+2】 台32 1. 其中m=1时空和按0计算，上式仍成立。故所证不等式成立。 19.(17分)已知函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3lnx,a∈R。 (1)讨论f(x)的单调区间： (2)若f(x)<ax2恒成立，求a的取值范围： (3)若a=-1时，f(c1)=f(x2)=m,m≥是且x1<x2,求证：x2-x1<孕-受。 解析：(1)函数的定义域为(0，+∞)，且 f'()=ax-(3a+1)+是=-3ac- 当a≤0时，ac-1<0。因此0<x<3时f'(x)>0,x>3时f'(x)<0:故f在(0,3) 上递增，在(3，+∞)上递减。 当0<a<号时，3<。因此f'(e)>0的区间为(0,3)、（合，+∞），f'()<0的区间为 (3,):故∫在前两个区间递增，在后一个区间递减。 当a=专时，f'()=≥0，且仅在亚=3时为零。函数在(0,3)、(3，+∞)上均严格递 增，且在x=3处连续，所以在(0，+∞)上严格递增。 当a>号时，合<3。因此f'()>0的区间为(0，)、(3，+∞)，f'()<0的区间为 (日，3)：故∫在前两个区间递增，在后一个区间递减。 (2)对一切x>0, f(x)<ax2←→3<3a+1. 令g()=(x>0),则 g(c)= 当0<x<e时，g(x)>0,所以g在(0，e)上递增：当x>e时，g(x)<0,所以g在 (e,+o∞)上递减。故9的最大值为9(e)=。由于所求不等式为严格不等式，代入x=e必 须有3a+1>: 反之，此条件下，对任意x>0均有3血≤是<3a+1。所以 a>是- (3)此时 f(x)=-号x2+2x+3nE, f'(x)=--3+1) 所以f在(0,3)上严格递增，在(3，+oo)上严格递减。由f(c1)=f(c2)且x1<x2,得 1<3<2,并且m<f3)=多+3血3。又f(1)=是≤m,由(0,3)上的严格递增性，得 x1≥1。 第14页 合肥四校联考高三10月数学 19.(续) 先证明对所有x>0均有3lnx<x+1。设 u(t)=t--2Int, t>0. 在t>1时， w()=1+0-=>0, 2 故u在(1，+o∞)上严格递增，u(3)>u(1)=0,即 3-3-2n3>0, n3<专 再令h(x)=3lnx-x(c>0),则h'(c)=3产。因此h在(0,3)上递增，在(3，+oo)上递 减，从而 h(x)≤h(3)=3n3-3<1, 即3nx<x+1对所有x>0成立。 将该不等式用于x2,得 m=-2x号+2c2+3lnc2<-x号+3x2+1. 于是 受+2<-号+号2+号=平-(c2-5)2≤平 结合x1≥1，有 2-1<平-受-1≤孕-受 所证不等式成立。 第15页 2026年10月高三数学联考试卷 一．单选 1．复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量，在上的投影向量为，且，则（ ） A． B． C． D． 5．若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（ ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使是等比数列 7．已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二．多选题 9．已知函数，则下列结论中正确的有（ ） A．在上单调递增 B．点是曲线的一个对称中心 C．若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 D．在区间有两个极值点 10．下列选项中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，的最大值为2 D．若，，且，的最小值为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，，则（ ） A． B． C． D． 三．填空题 12．已知，，则______． 13．在凸四边形中，，，，，则的最小值为______． 14．已知函数，若过点可以作曲线的四条不同的切线，四个切点的横坐标依次为，，，，且，则______． 四．解答题 15．在中角，，所对的边分别是a，b，c，． （1）求角； （2）若，的平分线交于点，，求的周长． 16．已知数列的前n项和为，且． （1）证明：数列是等差数列，并求； （2）设，数列的前n项和为． 17．已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）当时，关于x的方程有两个不同的实根，且，求的最小值． 18．已知，，，，记为函数取得极值时对应的点，直线与直线的斜率分别记为和． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标（要求写出推导过程）； （3）设，记的前项和为，求证：． 19．已知函数，． （1）讨论的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若时，，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $