安徽省合肥市第七中学2026-2027学年高三上学期第二次质检数学试题

2027届高三第一学期第二次质检数学试卷 命题人：姜鹏飞 审题人：戴彭晴 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.设全集U=R,A={xy=V2x-,B={yy=25,x∈R},则(CA)nB=() A{xr<0}B.{x0<x≤1C{l<x≤2 D.{xx>2} 2函数f()=2x-1+的定义域为( a（ a.2小t+网).w 3.已知等式mx=my,则下列变形正确的是( A.mm B.mx+2=my+2 C.x=y D.Vmx=√my y x 4.如图函数图象的解析式可能是( Af=-,2 Bf)=1-,2 c)cos 2 。f=0-1 2 )sinx 5.已知a=l0g32,b=logo30.2,c=0.59,则( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 6.己知点P(3,4)在角α的终边上，将α的终边绕原点0逆时针旋转兀得到角B的终边， 则cosB=() 5 -3 5 7.设函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R),则“a>3b”是“f(x)有三个不同的零点” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 试卷第1页，共4页 8.已知函数f(x)= 女2-2mx+4mx之2若仅存在一个整数b,使得方程f()=b有4个 x+m x<2 不同的实根，则实数m的取值范围是() A.(2,3] B.(2,3) C.（-2,2) D.(1,3) 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是( A.角O终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan0<0 B.若某扇形的弧长为元，圆心角为元，则该扇形的半径是2 C.经过4小时时针转了120° D.sin210°= Γ2 10.下列结论正确的是() A.当0<x<10时，Vx(10-x)的最大值是5 B.当x<时，4x-5+,1的最大值是-2 4x-5 c.当x>2时，+1的最小值是2 D.当正实数x,y满足xy+2x+y=6时，x+y最小值为4√2-3 11.己知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R.记g(x)=f'(x),若f(1一x),g(x 十2)均为偶函数，下列结论正确的是() A.函数f()的图像关于直线=1对称 B.g(2023)=2 c.g(2)=0 D.若函数g(在[1,2]上单调递减，则g()在区间[0,2024]上有1012个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.将75°化为弧度是 13.计算 log,3 14.已知实数x,y满足1og2V2y+1=3-y,2+x=7,则x+2y=一一· 试卷第2页，共4页 四、解答题（本大题有5个小题，共77分）。 3 15.已知sina= a02 5' (1)求sin2a和coa-4 的值： (Q若0<B<受amB=7求证：a+B-牙 1 16.设集合A w-哥 B={xr2-(3a-1)x+2a2-2a≤0，aeR} (1)若a=2,求A∩B; (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17.己知函数f(x)=m:2+2,其中meR. (1)讨论函数f(x)的奇偶性： (2)当m=1时，若存在x∈(0，+o),使得f(x)=12+1成立，求实数t的取值范围. 试卷第3页，共4页 l8.己知函数f(x)=lnx+acos x,(a∈R) (1)若a=e,求函数f(x)在点P(π，f(π)处的切线方程； (2)设函数g(x)=f(x)-acosx-2ax+1 (1)求函数g(x)的单调区间： (i)若g(x)有两个零点，求a的取值范围. 19.如果x=m时，函数f(x)取得极大值或极小值，那么称m为函数f(x)的极值点.已知函 数/)=r+子ag()=a,其中a为正实数 (1)若函数f(x)有极值点，求a的取值范围： (②)当x>>0,为和x的几何平均数为、√玉，算术平均数为十五 2 断心与和x的肌何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明 ②当a≥1时，证明：f(x)≤g(x). 试卷第4页，共4页2027届高三第一学期第二次质检数学试卷 命题人：姜鹏飞 审题人：戴彭晴 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.设全集U=R,A=xy=V2x-,B={yy=2,x∈R},则(CA)nB=() A{xx<0}B.{xl0<x≤}C{xl<x≤2}D.{xx>2} 【答案】D 2.函数f()=2x1+的定义域为( ( c. B网 【答案】C 【分析】直接根据被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解即可. [2x-1≥0 【详解】由解析式得 1 x-1≠0 ，解得x≥。且x≠1， 即函数定义域为 3.已知等式mx=my,则下列变形正确的是( A.mm B.mx+2=my+2 C.x=y D.mx =my 【答案】B 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A,X=y=0满足x=my,但m-”无意义，故错误： yx 对于B,mx=m四两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确： 对于C,当m=0,x=1,y=2,满足m=my,但得不到x=y,故错误： 对于D,当mx=my<0时，无法得到Vx=√my,故错误： 故选：B 试卷第1页，共14页 4.如图函数图象的解析式可能是( VA Af)=0-,2 )cosx 1+e Bf)=1-,2 )sin x 1+e* e网=0-22osx 2 .f()=()sinx 2 【答案】B 【详解】设g的=1-2=1+e-2_e-, 其定义域为R, 1+e1+ex1+e a-。 =一g(x),故g(x)是R上的奇函数： 设时=1-，2=1e-2-e--c+1其定义域为(，0u0,o). -1-el-e1-e*e*-l 所以-)=c+!}+c=-h,故h()是(o,0U(0,o)上的奇函数： ex-11-e* 由图可知原函数是R上的偶函数，从定义域上不符合的是C,D选项； A选项是奇函数g(x)与偶函数COsx相乘所得函数f(x)为奇函数，故A不符合： B选项是奇函数g(x)与奇函数sinx相乘所得函数f(x)为偶函数，故B符合 故选：B 5.己知a=log52,b=logo30.2,c=0.5.9,则( A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，寻找中间量（如0.5和1）进行比较.分别估算 a、b、c的大致范围，即可得出大小关系. 试卷第2页，共14页 【详解】因为y=log5x在(0，+∞)上单调递增，且2<√5， 所以a=log,2<g,5=7即a<05 因为y=0.5在R上单调递减，且0.9<1， 所以0.5°>c=0.59>0.5=0.5,即1>c>0.5. 因为y=logo3x在(0，+∞)上单调递减，且0.2<0.3， 所以b=logo30.2>logo30.3=1,即b>1. 综合以上分析，有a<0.5<c<1<b,即a<c<b. 6.已知点P(3,4)在角α的终边上，将α的终边绕原点O逆时针旋转严得到角B的终边， 2 则cosB=() 3 3 B. 5 0 4-5 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 4 4 【详解】依题意得sina&= V32+4平5，又B=a+ 2,所以 π 4 cos B=cos a+ =-sin a=- 2 5 7.设函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R),则“a2>3b”是“f(x)有三个不同的零点” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为f(x)=x3+ax2+bx.所以f'(x)=3x2+2ax+b,x∈(-o,+o) 因为f(x)有三个不同的零点，∴f(x)必有两个极值点， 所以f'(x)=3x2+2ax+b=0有两个不同的根， 试卷第3页，共14页 所以△=4a2-12b>0,所以a2>3b, 又因为f(x)有两个极值点，但f(x)的两个极值不一定异号， 例如a=b=4时，a2>3b,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2,此时f(x)只有两个不同 零点， 所以a2>3b是f(x)有三个不同零点的必要不充分条件； 故选：B x+m x<2 8.已知函数f(x)= [2-2mx+4mx≥2若仅存在一个整数b,使得方程f)=b有4个 不同的实根，则实数m的取值范围是() A.(2,3 B.(2,3) C.（-2,2) D.(1,3) 【答案】A 【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参 数范围即可。 【详解】若方程f(x)=b有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， =Ax 2 当x≥2时，f(x)=x2-2mx+4m, 则由二次函数性质得此时f(x)=b最多有两个不同的实根， 而当x<2时，f(x)=x+m,此时f(x)=b一定有两个不同的实根， 即f(x)=x+m与y=b有两个不同的交点，得到b>0, 当x≥2时，结合题意得f(x)=b有两个不同的实根， 此时f(x)=x2-2mx+4m与y=b有两个不同的交点， 试卷第4页，共14页 且此时f(m)=-m2+4m,f(2)=4, m>2 可得-m2+4m<b,即b∈(-m2+4m,4], b≤4 因为仅存在一个整数b,所以-m2+4m≥3，解得m∈[1,3]， 而m>2,得到m∈(2,3]，故A正确 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是() A.角O终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan0<0 。若某扇形的弧长为号，圆心角为异则该扇形的半径是2 C.经过4小时时针转了120° D.sin210°=2 1 【答案】AB 【分析】由充要条件的定义及角所在象限的正负判断A；由弧长公式，求出半径判断B:由 顺时针旋转的角为负角，判断c:由诱导公式求出sin210°的值，判断D. 【详解】对于A,由角O终边在第二象限或第四象限，可得tanO<0: 由tanO<0,可得角0终边在第二象限或第四象限： 所以角0终边在第二象限或第四象限的充要条件是tan0<0,故A正确： 对于B,因为扇的弧长为空，圆心角为牙设扇形的半径为， 4 所以=工r, 24 解得r=2,故B正确： 对于C,经过4小时时针转了-120°，故C错误； 对于D,sm210=如80+30)=-sm30°=，故D错误 10.下列结论正确的是( A.当0<x<10时，Vx(10-x)的最大值是5 试卷第5页，共14页 B.当x<时，4x-5+,1的最大值是-2 4x-5 C.当x>2时，+1的最小值是2 D.当正实数x,y满足y+2x+y=6时，x+y最小值为4√2-3 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐一判断选项即可. 【详解】A选项，当0<x<10时，Vk00-对s+10-x=5,当且仅当x=5时取等号，A正 2 确： B选项：当x子时，k-5<0,明-6-5列0.-5+5-列+(】5-2。 当且仅当5-4x=,1即x=1时等号成立，B选项正确： 5-4x C选项：x+1 L=x+1≥2，当且仅当x=1时等号成立.C选项错误： P达项：今0k6少出+2+6=6可得：6=合，由b>0可得0<a<3, 则a+b=a+ =a+-2-2a+8 6-2a =a+1+8-324W2-3. a+1 a+1 a+1 此时取等号条件是a+1=g即0=22-1，散D正晚 11.己知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R.记g(x)=f'(x),若f(1-x),g(x 十2)均为偶函数，下列结论正确的是() A.函数f(x)的图像关于直线x=1对称 B.g(2023)=2 C.g'(2)=0 D.若函数g()在[1,2]上单调递减，则g(x)在区间[0,2024)上有1012个零点 【答案】ACD 【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为f(1一)是偶函数， 所以f(1-x)=f1+x),所以函数函数f(x)的图像关于直线=1对称，因此选项A正确： 因为g(x+2)为偶函数，所以有g(x+2)=g(-x+2), 因此函数g(x)关于直线x=2对称， 试卷第6页，共14页 由f(1-x)=f(1+x)→-f'(1-x)=f'(1+x)→-g(1-x)=g1+x), 因此函数g(x)关于点(1,0)对称，由 g(1+x)=-g(1-x)→g(2+x)=-g(-x)→g(2-x)=-g(-x)→g(2+x)=-g(x) g(4+x)=-g(2+x)=g(x),所以函数g(x)的周期为4， 在g(x+2)=g(-x+2)中，令x=1,得g(3)=g(1), 在-g(1-x)=g(1+x)中，令x=0,得g(0)=0, 所以g(2023)=g(505×4+3)=g(3)=g(1)=0,故选项B不正确： 由g(x+2)=g(-x+2)→g'(x+2)=-g(-x+2),令x=0,得g'(2)=0,因此选项C正确： 因为函数g(x)关于点(1,0)对称，且在[1,2]上单调递减， 所以函数g(x)在[0,1)也单调递减，而函数g(x)关于直线x=2对称， 所以函数g(x)在(2,4上单调递增，且g(3)=0, 所以当x∈[0,4]时，函数g(x)有两个零点， 当x∈[0,2024时，由函数g(x)的周期为4， 可知西数的零点的个数为2024x2=1012,所以途明D流法正痛， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.将75°化为弧度是 【答案】 12 【详解】75°=75xπ=5π 18012 1这计）+05-同可-s1+25+4-0— 1og23 试卷第7页，共14页 【答案】22 【详解】原式 31-0+2s5+e2到-2-(+ 1og23 g23+1+2-2 0g,3 4+1+1=22 14.己知实数x,y满足1og2V2y+1=3-y,2+x=7,则x+2y= 【答案】6 【分析】将方程化简整理，构造函数f(a)=2+a-7,从而得到6-2y=x即可求解 【详解】1og2V2y+1+y=3→2y=√2y+1→2-2y=2y+1, 令6-2y=1,则有2=7-t→2+1-7=0,2+x=7=→2+x-7=0, 设函数f(a)=2+a-7,显然该函数为增函数，f(2)f(3)=-1×4=-4<0, 所以函数f(a)=2°+a-7在(2,3)上有唯一的零点， 因此t=x→6-2y=x→x+2y=6, 故答案：6. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分）。 3 15.已知sima=亏，ae0,2 (1)求sin2a和cosa- 4儿 的值： 回若0<B<经mA-7求证：a+B-开 1 【案1癸2沿 10 (2)油(1)知tana=sina-3 cosa 4' 3,1 tana+tanp4'7 十 因为tan(a+B)= 1-tanatanB 1311, Y- 47 因为0a<),0<F<T 2,所以0<a+B<π， 所以a+B-星 试卷第8页，共14页 【分析】(1)根据题意，结合二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式即可求解； (2)根据题意，结合两角和的正切公式即可求解， 且sin2a+cos2a=l, =5,所以sin2a=2 sincosa= 4 24 所以cosa=V1-sin2a= 25 所以cos 2772 a- sina= 2510 16.设集合A B={xx2-(3a-1)x+2a2-2a≤0，aeR} (1)若a=2,求AnB: (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)A∩B={x1<x≤2} (2)1,2] 【分析】(1)将a=2代入后，分别求出集合A和B的范围，再利用交集求解. (2)根据x∈A是x∈B的充分不必要条件，得出集合A是集合B的真子集，再进行分类讨 论比较根的大小，即可求出a的取值范围， 【详解】(1)由2-≥0解得1<x≤2，故A={<x≤2列， x-1 当a=2时，集合B={xx2-5x+4≤0}，由x2-5x+4≤0解得1≤x≤4，故B={xl≤x≤4}， 所以AnB={xl<x≤2} (2)由题得，集合A是集合B的真子集，B=x(x-2a)[x-(a-]s0,aeR, ①当2a=a-1时，即a=-1时，集合B={-2},不满足集合A是集合B的真子集，故a=-1 不成立： ②当2a>a-1时，即a>-1时，集合B={xa-1≤x≤2a,若集合A是集合B的真子集， a-1≤1 则有2a≥2，解得1≤a≤2； a>-1 ③当2a<a-1时，即a<-1时，集合B={x2a≤x≤a-1,若集合A是集合B的真子集， 试卷第9页，共14页 2a≤1 则有{a-1≥2， 此时a无解 a<-1 综上，实数a的取值范围是[l,2] (2)略. 17.己知函数f(x)=m:2+2,其中meR. (1)讨论函数f(x)的奇偶性： (2)当m=1时，若存在x∈(0，+∞)，使得f(x)=1-2+1成立，求实数t的取值范围， 【答案】(1)当m=1时，f(x)为偶函数；当m=-1时，f(x)为奇函数；当m≠±1时，f(x)既 不是奇函数也不是偶函数： 别 【分析】(1)应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断： (2)应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解 【详解】(1)因为f(x)=m2+2的定义域为R,所以f(-x)=m2+2, 当m=1时，f(-x)=2+2=f(x),f(x)为偶函数， 当m=-1时，f(-x)=-2+2=-f(x),f(x)为奇函数， 自ml时，则r0-)-(m+》m+2m-)0. 0+-)-2m+rm+2小m+0=0,从面/e)=0. 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)当m=1时，f(x)=2+2,存在x∈(0，+0)，使得2+2=t2+1成立， 化的可得音会-京·：(-三1在@L有解。 令u= 2,因为x∈(0，+o),所以u∈(0，)，即1=2-u+1在ue(0,1)上有解， 1=-1-(-+经因为e0。 试卷第10页，共14页 所以实数t的取值范围为 18.己知函数f(x)=lnx+acosx,(a∈R) (1)若a=e,求函数f(x)在点P(π，f(π)处的切线方程： (2)设函数g(x)=f(x)-acosx-2ax+1 (1)求函数g(x)的单调区间； (ii)若g(x)有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)y=x-1+h-e 元 (②ia≤0时西数g创@+o)上举词送a:当a>0时，酒数g(n0 上单调递增，在 上单调递减。 02 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义求函数在点P处的切线方程. (2)(1)求导，分类讨论可得函数的单调区间； Inx+1 (ii)问题转化为y=2a与h(x)= 有两个交点设ha(x)=I血r+ ,x>0,分析函数 的单调性和极值，作出函数的大致图象，数形结合，可求a的取值范围. 【小问1详解】 当a=e时，f(π)=lnπ+ecosπ=lnπ-e, 由f)=1-esinx,可得f(m)=1-esin元-」 1 1“ 所以函数f()在点P(π，f》处的切线方程为：y-(血元-c)=(x-),即 y=x-l+nπ-e 【小问2详解】 试卷第11页，共14页 g(x)=Inx+acosx-acosx-2ax+1=Inx-2ax+1,x>0. (i)因为g(x)=1-2a,x>0. 当2a≤0即a≤0时，1-2a>0在(0，+∞)上恒成立，所以函数g(x)在(0，+o)上单调递 增； 当2a>0即a>0时，由}-2a>0今0<x< 1 1 2a庙二-2a<0→x770】 上单调递减。 综上，当a≤0时，函数g(x)在(0，+oo)上单调递增； 当a>0时，圣数g()在02a) 上单调递增，在 上单调递减。 (i)由8(x)=0,x>0可得hx-2ax+1=0→2a=hx+ ,x>0 段)=.x>0.则-仙+少x-a+￥.hx x2 x2 由h'(x)>0→0<x<1:由h'(x)<0→x>1. 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减. 且当x<上时，h)<0:h0=l:当x>1时，h(x)>0, 当x→0时，h(x)→-0；当x→+0时，h(x)→0 作出函数h(x)的大致图象如下： yf(x) y=2a 要使g)有两个零点，需使y=2a与h()=血+有两个交点，由图知0<2a<1,解 得0<a< 1 所以当ae02时， 函数g(x)有两个零点 试卷第12页，共14页 19.如果x=m时，函数f(x)取得极大值或极小值，那么称m为函数f(x)的极值点.已知函 数f)=lnx+2,g()=V,其中a为正实数 x+a (1)若函数f(x)有极值点，求a的取值范围； (②)当x>x>0,x和x的几何平均数为x玉，算术平均数为+ 2 名二与x和x的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明： ①判断n,-lx ②当a≥1时，证明：f(x)≤g(x). 【案】eo @离点货学质：密点学 医正右边，即证h三2六令点=是 ”xx2+为龙+1 即证：m>2-,令g0=r2-.1eL+w）. t+1 t+1 g0-200-8>0 (t+1)2tt+102 则g()在(1，+∞)上单调递增，得g()>g()=0, 所以有lnt> ,测有总兰，得证 t+1 2 压- 再证左边，即证2血号子 区=t,1>1, pT2r<-1.令A0-w--》1) s0-0}-”.0 22 则h()在(1，+∞)上单调递减，h()<h(①)=0， 所以有2-子则≤岛品世 ②证明：a≥l时，令f(x)-g)=lnr+2-m=F(a),则F(a)关于a单调递减， xta 则Fa)sF0)=nc+2-G=H), x+1 试卷第13页，共14页 H)=121 x+2F,令G=1, w- 1 20+1-4r2-+P+2r-2P+2- 2r2(e+ 22(2+1 --1(0-+2+1+2) 2r2(2+1 由t-t+t2+t+2>0,则0<t<1时p(t)>0;t>1时p(t)<0, 所以0<x<1时有H'(x)>0,x>1时H'(x)<0, 则有H(x)在(0,1)上单调递增，在(L,+o)上单调递减，H(x)≤H()=0, 故f(x)-g(x)s0,得f(x)≤g(x) 试卷第14页，共14页 2027届高三第一学期第二次质检数学试卷 命题人：姜鹏飞 审题人：戴彭晴 满分：150分 时间：120分钟 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3． 已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 如图函数图象的解析式可能是（   ） A. B. C. D. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 7. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（   ） A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2 C．经过4小时时针转了 D． 10．下列结论正确的是（ ） A．当时，的最大值是 B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当正实数满足时，最小值为 11．已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（   ） A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称 B．g(2023)＝2 C． D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．将75°化为弧度是 ______. 13．计算______. 14．已知实数x，y满足，，则______. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分）。 15. 已知，. (1)求和的值； (2)若，，求证：. 16.设集合，． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17.已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）设函数 (ⅰ)求函数的单调区间； (ⅱ)若有两个零点，求的取值范围. 19.如果时，函数取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点.已知函数，，其中为正实数. (1)若函数有极值点，求的取值范围； (2)当和的几何平均数为，算术平均数为. ① 判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ② 当时，证明：. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三第一学期第二次质检数学试卷 命题人：姜鹏飞 审题人：戴彭晴 满分：150分 时间：120分钟 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解即可. 【详解】由解析式得 ，解得且，即函数定义域为. 3． 已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 4. 如图函数图象的解析式可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 设，其定义域为， 所以，故是上的奇函数； 由图可知原函数是上的偶函数，从定义域上不符合的是C，D选项； A选项是奇函数与偶函数相乘所得函数为奇函数，故A不符合； B选项是奇函数与奇函数相乘所得函数为偶函数，故B符合 故选：B. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，寻找中间量（如和）进行比较.分别估算、、的大致范围，即可得出大小关系. 【详解】因为在上单调递增，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 因为在上单调递减，且， 所以，即. 综合以上分析，有，即. 6. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以 7. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为所以， 因为有三个不同的零点，必有两个极值点， 所以有两个不同的根， 所以，所以， 又因为有两个极值点，但的两个极值不一定异号， 例如时，，，此时只有两个不同零点， 所以是有三个不同零点的必要不充分条件； 故选：B. 8．已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故A正确. 故选：A 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（   ） A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是 B．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是2 C．经过4小时时针转了 D． 【答案】AB 【分析】由充要条件的定义及角所在象限的正负判断A；由弧长公式，求出半径判断B；由顺时针旋转的角为负角，判断C；由诱导公式求出的值，判断D. 【详解】对于A，由角终边在第二象限或第四象限，可得； 由，可得角终边在第二象限或第四象限； 所以角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确； 对于B，因为扇形的弧长为，圆心角为，设扇形的半径为， 所以， 解得，故B正确； 对于C，经过4小时时针转了，故C错误； 对于D，，故D错误. 10．下列结论正确的是（ ） A．当时，的最大值是 B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当正实数满足时，最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐一判断选项即可. 【详解】A选项，当时，，当且仅当时取等号，A正确； B选项：当时，，则，， 当且仅当即时等号成立，B选项正确； C选项：，当且仅当时等号成立. C选项错误； D选项：令由可得：，由，可得， 则， 此时取等号条件是，即，故D正确. 11．已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（   ） A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称 B．g(2023)＝2 C． D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点 【答案】ACD 【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为f(1－x)是偶函数， 所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确； 因为g(x＋2)为偶函数，所以有， 因此函数关于直线对称， 由， 因此函数关于点对称，由 ，所以函数的周期为4， 在中，令，得， 在中，令，得， 所以，故选项B不正确； 由，令，得，因此选项C正确； 因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减， 所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称， 所以函数在上单调递增，且， 所以当时，函数有两个零点， 当时，由函数的周期为4， 可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．将75°化为弧度是 ______. 【答案】 【详解】. 13．计算_________ 【答案】 【详解】原式 . 14．已知实数x，y满足，，则______. 【答案】6 【分析】将方程化简整理，构造函数，从而得到即可求解. 【详解】， 令，则有，， 设函数，显然该函数为增函数，， 所以函数在上有唯一的零点， 因此， 故答案：6. 四、解答题（本大题有5个小题，共77分）。 15．已知，. (1)求和的值； (2)若，，求证：. 【答案】(1)， (2)由（1）知， 因为， 因为，，所以， 所以. 【分析】（1）根据题意，结合二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式即可求解； （2）根据题意，结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，，且， 所以，所以； 所以. 16．设集合，． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，分别求出集合A和B的范围，再利用交集求解. （2）根据是的充分不必要条件，得出集合A是集合B的真子集，再进行分类讨论比较根的大小，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由解得，故， 当时，集合，由解得，故， 所以. （2）由题得，集合A是集合B的真子集，， ① 当时，即时，集合，不满足集合A是集合B的真子集，故不成立； ② 当时，即时，集合，若集合A是集合B的真子集，则有，解得； ③ 当时，即时，集合，若集合A是集合B的真子集，则有，此时无解. 综上，实数的取值范围是 （2）略. 17．已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； (2) 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）设函数 (ⅰ)求函数的单调区间； (ⅱ)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）(ⅰ)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (ⅱ). 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）(ⅰ)求导，分类讨论可得函数的单调区间； (ⅱ)问题转化为与有两个交点.设，，分析函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，数形结合，可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由，可得. 所以函数在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ，. (ⅰ)因为，. 当即时，在上恒成立，所以函数在上单调递增； 当即时，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (ⅱ)由，可得，. 设，，则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 且当时，；；当时，, 当时，;当时，. 作出函数的大致图象如下： 要使有两个零点，需使与有两个交点，由图知，解得. 所以当时，函数有两个零点. 19.如果时，函数取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点.已知函数，，其中为正实数. (1)若函数有极值点，求的取值范围； (2)当和的几何平均数为，算术平均数为. ① 判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ② 当时，证明：. 【答案】(1) (2)①，证明：， 先证右边，即证，令， 即证：，令，， 则在上单调递增，得， 所以有，则有，得证； 再证左边，即证，令， 即证，令，， ， 则在上单调递减，， 所以有，则有，证毕! ② 证明：时，令，则关于单调递减， 则， ，令， ， 由，则时；时， 所以时有，时， 则有在上单调递增，在上单调递减，， 故，得. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣球▣ 2027届高三第一学期第二次质检数学答题卡 百 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 ■ 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题；911为多选题 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 9[A][B][C][D] 填空题 12 13 14. 解答题 15. I 囚囚■ ■ 16. 17. ▣囚■ 0 ■ 18. I I I 1 I ■ 囚■囚 ■ ㄖ■ㄖ ▣ ■