精品解析：安徽安庆市第二中学2026-2027学年高三上学期10月学情检测数学试题

安庆二中2027届高三上学期10月学情检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解出绝对值不等式与分式不等式得到集合、后，由并集定义即可得. 【详解】由，得，即，则， 由，即，得或，即或， 则或. 故选：D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数对应点的坐标进行判断即可. 【详解】因为， 所以复数对应的点坐标为，它在第四象限， 故选：D 3. 已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长、面积、周长公式求解即可. 【详解】记扇形的弧长、半径、圆心角分别为，，，， 则扇形的面积为，解得，则弧长为， 所以扇形的周长为． 故选：D 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集概念求解即可. 【详解】因为， 所以，即. 故选：C. 5. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 7. 在中，的平分线交BC于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由三角形的角平分线定理求得，在中，由余弦定理建立方程，求解即得. 【详解】如图， 设，由AD是的角平分线，可得，则， 由，可知， 由余弦定理得，解得或， 当时，，则，因，产生矛盾，故. 故选：D 8. 下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造函数，利用单调性比较大小，判断A，B选项正确；再构造，求出最大值，代入特殊值分别检验C和D，得到错误不等式为选项C． 【详解】设，则， 当时，，在上单调递增， 所以，即，即， 所以，．选项A，选项B正确； 设，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以，． 取，则，即；选项C错误； 取，则，即．选项D正确． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数单调性结论即可判断A；根据对数型复合函数单调性即可判断B；根据指数函数与对勾函数复合即可判断C；根据函数定义域即可判断D. 【详解】对于A，因为函数和在上均单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，，根据复合函数单调性知其在上单调递减，故B错误； 对于C，当时，令，又在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，故D错误． 故选：AC． 10. 下面关于数列，的相关结论正确的有（ ） A. 已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足，则是等差数列且公差为 B. 若是一个无穷等比数列取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列 C. 等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则前20项的和为 D. 记为数列的前项和，为数列的前项积，当时，为等差数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据等差数列的定义即可判断，对于B根据等比数列的定义即可判断，对于C设数列的公差为，解出，利用等差数列前项和公式即可判断，对于D由得，由于为数列的前项积，得，进而得，即可判断. 【详解】对于A，因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 又因为， 故， 而，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A不正确； 对于B，设等比数列的公比为，则，所以， 所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，数列的首项，设公差为，则由，，成等比数列可得， 所以，即， 整理可得，因为，所以，所以,故C正确； 对于D，由已知得，且，， 取，由得，由于为数列的前项积， 所以，所以， 所以，由于所以，即，其中 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由圆的弦长公式求解；B.先求出点A，B的坐标，利用切线的性质，在直角三角形中，再分别利用三角形的等面积法求出的一半的大小，从而得到的大小；C.利用二倍角的正切公式求解；D.假设存在一条直线截三个圆所得的弦长相等，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等，从而利用点到直线的距离公式求解方程. 【详解】选项 A,, , 两式相减得公共弦直线方程,即， ，半径，圆心到直线距离是, 所以，A 正确； 选项 B，联立与，解得；, 不妨设， 设与交于点， 因为，，，所以， 所以，故, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， 设与交于点，同理可知, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， , B错误； 选项 C, , 则 ，， ,, 在：，, , 所以, 因为，所以 ，C 正确； 选项 D，三个圆的半径都是1，若存在一条直线截三个圆所得的弦长相等， 由弦长公式，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等， 设存在直线，满足， 等价于 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②：， 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②： ， 联立与，得舍去， 联立与，令，则， 代入，直线的方程为：， 所以存在直线截三个圆所得的弦长相等，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 13. 设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】作出函数草图如图， 当时，；当时，． 由有两个不相等的实数根得函数的图象与直线有两个交点， 所以． 14. 已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，则______. 【答案】8100 【解析】 【分析】由是偶函数得，再由和，得到和，通过这两个等式求得，从而得到的周期，求出，，，最后利用周期求出的值. 【详解】是偶函数，， ，，， ，将换为，， 将和这两个等式相加，得， 将换为，得，则有， 得，将换为，得，的周期为4， ，，， ，，， 的周期为4，，，， ，，， 将和两个式子相加，得， . 故答案为：8100. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为π． （1）求的单调递减区间； （2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间； （2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围． 【小问1详解】 因为的最小正周期为，所以， 所以． 令，，得，， 故的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由题可知将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 得函数，再将所得图象向左平移个单位长度， 得到函数， 令， 令，，则， 因为， 所以当时，取得最大值， 所以，解得或， 故实数m的取值范围为． 16. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为2,公差为2的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）先得到，再把两侧同时取倒数并利用等差数列的定义证明即可. （2）先结合题意得到，再结合裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 得到 . 17. 已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. （1）求的值； （2）若在区间上的最大值为20，求的值； （3）若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义和建立关于的方程组，解之即可求解； （2）由（1），令、，解不等式，得出函数的单调性，进而求解； （3）由（2），求出函数的极值，则，解之即可求解. 【小问1详解】 由，得， 由题意得，， 得，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 则在区间上的最大值为，解得. 【小问3详解】 由（2）知，在和上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， 当时，取得极大值. 要使函数的图象与轴恰有三个交点，则， 解得，即的取值范围是. 18. （1）已知，求关于的不等式的解集； （2）已知集合，若，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】 （1）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）通过判别式求得二次方程的根，比较根的大小后分情况得到不等式的解集； （2）先求解集合并得到其补集，再结合的不同形式，分析与补集的交集非空的条件，进而确定参数范围. 【详解】（1）由题意知，即， 方程的根为，. 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. （2）解不等式，移项通分得，等价于且， 解得，故. “使得”等价于. 当时，，需满足且，解得； 当时，，，不满足； 当时，，，故，不满足. 综合可得a的取值范围为.. 19. 已知，函数，曲线在点处的切线为. （1）证明：过定点； （2）证明：除点外，曲线都在的下方； （3）若，当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题意得， 则，且， 所以的方程为，即. 故过定点. （2） 原命题等价于，即； 设，则. 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，仅当时等号成立，即原命题成立. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，即可得解； （2）原命题等价于，即，利用导数求函数最大值即可得证； （3）分离参数后，利用导数求函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，可转化为. 设，则. 当时，，由（2）可知在上单调递减， 又， 所以在内存在唯一的零点， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以. 又，所以， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆二中2027届高三上学期10月学情检测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位. 2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知扇形的面积为，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在中，的平分线交BC于点，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面关于数列，的相关结论正确的有（ ） A. 已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足，则是等差数列且公差为 B. 若是一个无穷等比数列取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列 C. 等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则前20项的和为 D. 记为数列的前项和，为数列的前项积，当时，为等差数列 11. 已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 13. 设函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________． 14. 已知函数和的定义域均为，且，若是偶函数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为π． （1）求的单调递减区间； （2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 16. 已知数列中，，． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和． 17. 已知函数的图象在点处的切线与轴垂直，且. （1）求的值； （2）若在区间上的最大值为20，求的值； （3）若函数的图象与轴恰有三个交点，求的取值范围. 18. （1）已知，求关于的不等式的解集； （2）已知集合，若，使得能成立，求实数的取值范围． 19. 已知，函数，曲线在点处的切线为. （1）证明：过定点； （2）证明：除点外，曲线都在的下方； （3）若，当时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $