北京市朝阳区北京中学2026-2027学年八年级上学期数学期中试题

初二年级数学学科试卷 满分100分 考试时间90分钟 学校： 班级： 姓名： 准考证号： 1.本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟。 考 生 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号。 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 知 4,在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共24分，每题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有，个。 1.小篆，是在茶始皇统一六国后，推行“书同文，车同轨”，统一度量衡的政策，在大篆籀文的基础上，进 行化简，创制了统一文字的汉字书写形式.下列小篆汉字图形最接近轴对称图形的是() 与不”廣←門義 之尸已弓己卫子也女 A.尸 B.己 C.也 D.女 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.5,5,11 B.5,6,11 C.3,6,10 D.3,5,7 3.平面直角坐标系中.点A(-3,-)关于x轴的对称点的坐标是() A.(3,-) B.(3,1) C.（-3,-1) D.（-3,1) 4如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线OA重合，另一把直尺的边与射线OB重合，两把直 尺的另一边在∠AOB的内部交于点P,作射线OP,若∠AOB=50°，则∠AOP的度数为（) A.50 B.40° C.30° D.25° 5.画△ABC中边AC上的高，正确的是（) A. B. C. D 6.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于() A.20 B.20或16 C.16 D.20或18 7.已知△MBC的三边长分别是a,b,c,化简2a+2b-cb-a-c的结果是（) A.-3a-b B.at3b-2c C.3a+2b D.-a-3b+2c 第1页共9页 8.如图，把△MBC的三边BA,CB和AC分别向外延长一怅，将相到的点'，B,C烦次连接成△'BC, 若△ABC的面积是10cm2,则△M'B'C的面积是（) A.30cm2 B.40cm2 C.60cm2 B D.70cm' 二、填空题（共24分，每题3分） 9如图所示，建高楼常彩要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这里应用的数学原理是： D 高楼 塔吊 E (第9题图) (第10题图) (第11题图) 10.如图，已知∠ABC=∠DCB,要用“边角边(SAS)”判定△ABC2△DCB,还希添加一个条件，这个 条件是 (只器添加一个条件，不添加辅助线) 11.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长为8， AC-BC=2,则AB=,BC= 12.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任 意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定， OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠O=25°，则∠ODE的度数是 B (第12题图) (第13题图) 13.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EF,EG为折痕，EA与EB'所在的直线重合， ∠AEF=∠BEG+50°，则∠BEG=°. 第2页共9页 14我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知AB∥N∥P2, 如果∠2=100°，∠3=130°，那么∠1= D M证 (第14题图) (第16题图) 15.已知，在△ABC中，∠ABC=30,过线段AB的中点P作AB的垂线交直线BC于点2，若P2=C2=1, 则BC= 16.如图，已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=a,点P以每秒2个单位长度的速度， 沿着C→A→B路径运动.同时，点2以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到 达终点后另一个点随即停止运动，它们的运动时间为t秒， ①若x=1,则点P运动略程始终是点2运动略程的2倍： ②当P,2两点同时到达A点时，x=6: ③若a=90°，1=5，x=】时，△ACP2△BP2: ④若A4巴与△BP2全等，则x=0,8或1， 以上选项，正确的是 三、解答题（共52分，第17-18题，每题4分，第19-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第27 题7分) 17.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(-4,4),C(-2,1). (1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△ABC,: (2)写出点A,B,C的坐标. -4-3-21 2345 18.如图，AB与CD交于点E,点E分别是线段AB,CD的中点，连接AC,BD,则△ACE与△BDE全等 马？请说明理由. D 19.如下图，在△ABC中，CD,BB分别为边AB,AC上的商，∠BCD=∠CBE=30°.求证！△ABC是 等边三角形、 20.小北在物理课上学到平面镜成像的规律是物与像关于镜面对称，随后他利用家中带脚搂的无边棍平面试 衣铲（如图)展开观察，记试衣镜镜面长为W,小北身高为AB,为确定像的位置，他调节脚继，使镜面 MW与地面1垂直，然后直立在试衣镜的正前方. M B 图1 小北的作法：如图1， ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交直线1于点D和点E: ②分别以点D和点E为圆心，大于立DB的长为半径作弧，两弧相交于点厅 ③作直线BF,以点B为圆心，BA的长为半径作弧交直线BF于点A',则线段A'B就是所求像的位置. (1)使用直尺和圆规，依据小北的作法确定像A的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）： (2)完成下面的证明： 证明：BE= DF= ∴，直线B'F是线段DE的垂直平分线( (填推理的依据)， 线段AB与线段A'B关于饿面MN对称， ..A'B'=AB. 即线段AB就是所求的像的位置. 21如图，在△ABC中，AD是商，AE,BF是角平分线，它们相交于点0，∠C=70°， (I)若∠ABC=60°，求∠DAB的度数： (2)求∠BOB的度数. ED 22.乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千.乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置OA与地面垂直，两 脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她，妈妈用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈 与爸爸到秋千起始位避OA的水平距离BF,CG分别为2m和2.4m,∠BOC=90°. G --B 7777777 nn地面 图1 图2 (I)△COG与△OBF全等吗？请说明理由： (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 23.【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”， 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在△ABC中，∠ABC>∠ACB.求证：AC>AB. 证明：以B为顶点作∠DBC=∠ACB， :∠DBC=∠ACB,÷DB=DC,(理由1) 在△ADB中，：AD+DB>AB,(理由2) .AD+DC>AB.即AC>AB B (1)请你填写证明中的两处理由： 理由1： 理由2： 【拓展应用】 第5页共9页 (2)博你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在△ABC中，AB=AC,乙A-a>60°，求证，BC>AB. B 24.综合与实践 对于均质答厚搏板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则 图形（如矩形、三角形、圆形答），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组 合图形的重心，以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务， 在使用分割法前， 醑先举捏以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 素材1 若三个顶点坐标为()(3，y2),(,乃) 三角形 三条中线的交点 则重心坐标为 五+五+为，++为） -3 3 圆 几何中心 圆心 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1.建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述， 比如让对称轴与坐标轴重合等. 2,分削图形：若将平面组合图形分制成两个简单平面图形，确定每个简单图形的面积分别为 紫材2 S1,S2 3.确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标为(x1,y),(x2,y2). 4.代入公式计算：组合图形重心坐标（名y),其中 y=、 S1+S2 为+。 Ry1±s+S,2,x=8心 X2 S1+S2S1+S2 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负 面积”，重心公式调整为(：，)，其中 素材3 元=丝体整体一2空92些，万=Y整体整休一y2空2空 丝休一挖空 S壁体一92空 (1)务一：如图，在平面直角坐标系中，A,B,C各点坐标分别为(-2,5)，（6,1)，（0,3)，则三角形的 重心坐标为 第6页共9页 6 B 5 (2)任务二：求阴影部分图形的重心坐标： 6 5 4 2 L123456x (3)任务三：求阴影部分图形的重心坐标（结果保留π）. 6 5 4 2 123456x 25.如图所示，在钝角△ABC中，∠BAC=a(90°<a<180°)，在BC上方取一点D,使∠BCD=180-a, 连接AD. (I)直接写出∠ABC与∠ACD的数量关系： (2)若BC=CD,过点C作CH⊥AB交BA的延长线于点H,点M是线段BH上一点，且M是BG的中 点，连接CG ①补全图形： ②猜想线段AC与HM有何数量关系时AD=CG,并证明， 第7页共9页 B B (备用图) 26.在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于直线h对称，点P1和点P2关于直线2对称，则称点P2 为点P的“(h,h)联合点”. 已知点A(1,3). 6 1 0 6 10 -x 3 图1 备用图 (1如图1，若直线h为x轴，直线2为y轴，则点A的“(1,2)联合点”坐标为 (2)若直线h为y轴，直线2为过(n,0)且与y轴平行的直线. ①若点A2(-3,3)是点A的“(11,2)联合点”，则n的值为 ②已知点B(-1,-1),C(-4,3),D(-21),若线段AB上存在点M,使得点M的“(11,2)联合点”M2恰 好能落在线段CD上，直接写出n的取值范围： (3)已知E(2m2),F(2m,1),G(2m+1,1),H2m+1,2),若直线h为x轴，直线h为过(0m)且与一、三象 限角平分线平行的直线.若对于四边形EFGH上的任意一点P,坐标轴上都不存在点P的“(，2)联 合点”，请直接写出m的取值范围： 第8页共9页 附加题(10分)：台球中蕴含着推理与预判，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中 目标球，击球者需根据稀要作出不同的设计，确定击球方向.下图为母球A撞击边DE反射后撞击目标球G 的过程.因此，台球既复杂又有趣，台球运动成为智慧和技能的较量 C A B.G E (1)如图①，当母球P在AB边上（不包括点A,B),先撞击BC边，反射到CD边，再反射到AD边，最后 回到出发点，问：母球P的初始路线PP1应该满足什么条件？ (P) P B. ● B P B P,C 图① 图② (2)如图@，给出一张长、宽分别为a,b(=”,且m和n为互质正整数)的台球桌，母球P从桌的 b n 一个角落，以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球袋.问：球落入球袋前， 在桌子边缘回弹多少次？ 初二年级数学学科期中调研试卷参考答案及评分标准 一、 选择题（共24分，每题3分） 题号 2 5 6 答案 C D D D D B D 二、填空题（共24分，每题3分） 题号 9 10 11 12 答案 三角形具有稳定性 AB-DC 5,3 105° 题号 13 14 15 16 答案 20 50 1或3 ①②④ 三、解答题（共52分，17-18题，每题4分，19-23题，每题各5分，24-25题，每题各6 分，26题7分) 17.(1)如图： B 2345x …分 (②)A(0,-3),B(-4,4),C（-2,-1…4分 18.证明： ,点E分别是线段AB、CD的中点 ∴.CE=DE,AE=BE …………2分 ,∠DEB=∠CEA …………3分 ∴.△ACE≌aBDE(SAS). …4分 19.证明： CD,BE分别为边AB,AC上的高， .CD⊥AB,BE⊥AC, .∠BDC=∠BEC=90° …2分 :∠BCD=∠CBE=30°， .·.∠ABC=∠ACB=60°， …4分 1 △ABC是等边三角形 …5分 20.(1)解：如图1，AB即为所求作.…2分 A B 777777八7 图1 D ◇ (②)BD,FE,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上…5分 21.解： (1)AD是高，∠C=70°， ∴.∠DAC=90°-70°=20°， ∠ABC=60°， ∴.∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70°-60°=50°， :AE是∠BAC的平分线， 2B4C=B4C-x50=25. ∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5°；…3分 (2)∠C=70°， ∴.∠ABC+∠BAC=180°-70°=110°， AE、BF是角平分线， ·∠BAE+∠ABF=(LABC+∠BAC=x1I0°=55°， :∠BOE是△AOB的外角， ∴.∠BOE=∠BAE+∠ABF=55°. …5分 22.解： (1)△OBF≌aCOG,理由如下： .·∠BOC=90°， .∠COG+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°， ∴.∠COG=∠OBF: .∠CFO=∠BFO=90°，OB=OC, .△OBF2ACOG(AAS);…2分 2 (2):'△OBF≌ACOG, ∴.CG=OF,OG=BF: .BF,CG分别为2m和2.4m, ∴.CG=2.4m,0G=2m, ∴.GF=0F-0G=2.4-2=0.4(m): ,妈妈在距地面1.2m高的B处，且1.2+0.4=1.6(m), .爸爸在距离地面1.6m高的地方接住乐乐。…5分 23.(1)等角对等边：三角形两边之和大于第三边： …2分 (2)证明：：AB=AC,∠A=a>60°， ∠C=180°-a=900-1 , .a>60°， 30 ∠C=90° 2<600, .∠A>∠C, .BC>AB …5分 2( …2分 (2)解：如图：矩形OABC的重心G(2,3),面积s,=24,矩形CDEF的重心H(5,2),面积S2=8, 6 5 G 2 1 23456x x=的+为= S +s2 32 4少=3x24+2×81 2×24+5×811- S,+S2 32 4 重心坐标为 1111 4’4月 …4分 (3)解：由任务二可知：整体重心坐标为 1111 44 整体面积S整体=32， 挖空部分重心坐标为(1,1)，整体面积5挖空=π， 3 6 543 天=X整体心整体一挖空挖空=4 ×32-1×π 88-π 2 S整休一S挖空 32-π 32-π 1 9123456x 丁=Y体整体一挖空空=4 ×32-1×π 88-π S整休一S挖空 32-π 32-π 重心坐标为 88-π88-π ………6分 、32-π’32-π 25.（1)∠B=∠ACD…1分 (2)①如图：点M与点G位置不固定，画对即可 A B …2分 ②当AC=2HM时，AD=CG …3分 证明： 在BH的延长线上取一点N使BH=NH,连接CN .∠BAC=a D ∴.∠B+∠ACB=180-a .∠BCD=180-a ∴.∠ACD+∠ACB=180-a ∴.∠ACD=∠B ,CH⊥AB,BH=NH ∴.CH是线段BN的垂直平分线 ∴.BC=CN B '.∠B=∠CNG ..∠ACD=∠CNG …4分 .BC=CD ∴.CD=CN ,M是BG的中点 ..BG=2BM .BN-2BH ..GN=BN-BG=2BH-2BM=2 (BH-BM)=2HM .∵AC=2HM .∴.GN=AC …5分 :∠ACD=∠CNG,CD=CN ∴.△ACD≌△GNC ∴.AD=CG ……6分 26.(1)(-1,-3) …1分 (2)①-2 …2分 ②SK-1 …4分 (3)m<-2或-1<m<一 1或>0. …7分 附加题： (1)PP1∥AC; 3分 （2)(m+-2)次. 6分 5