专题01 相似形17大题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材北京版

专题01 相似形（17大题型） 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例线段 考点二 比例的基本性质 考点三 比例中项 考点四 相似形 考点五 相似多边形 考点六 平行线分线段成比例 考点七 相似三角形的判定 考点八 相似三角形的性质 考点九 相似三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 比例线段 题型二 黄金分割 题型三 平行线分线段成比例 题型四 位似图形 题型五 相似多边形及其性质 题型六 相似三角形的判定 题型七 相似三角形的性质 题型八 相似三角形的动点问题 题型九 相似三角形的判定与性质 题型十 网格中的相似三角形问题 题型十一 重心的有关性质 题型十二 相似三角形的模型问题 题型十三 相似三角形的实际应用 题型十四 相似三角形的其他应用 题型十五 相似三角形的新定义问题 题型十六 相似三角形与函数结合 题型十七 相似三角形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 分值占比 相似形是北京版初中数学重点内容，期中、期末试卷分值一般在 12 至 18 分，占全卷 15% 左右。多和三角形、平行线、勾股定理综合出题，单独基础题分值较少，常作为几何大题核心载体，是拉开分数差距的重要板块，复习不可忽视。 题型特点 题型覆盖选择、填空、解答证明。选择填空侧重相似判定、相似比、周长面积比；解答题以证明三角形相似、线段求值为主，常结合 A 字型、8 字型、母子相似模型，也会融入动点、折叠，条件隐蔽，需要自主找相等角构造相似关系。 难度分布 基础题占该板块六成，考查相似基本判定定理、相似图形性质；中档题占三成，需要识别基础模型，进行线段转化计算；难题约一成，多为综合压轴，融合多个几何模型、动点探究，对识图、辅助线构造和逻辑推理能力要求较高。 备考方向 熟记相似判定定理与性质，重点梳理 A 字、8 字、射影定理等经典模型；规范证明书写步骤，训练从复杂图形中分离相似三角形；多练线段比例转化、面积换算，重视动点综合题，总结找等角、作平行线构造相似的辅助线思路。 识记 熟记比例线段、黄金分割、相似图形概念；牢记相似三角形三条判定定理、相似三角形对应边成比例、对应角相等，周长、面积比的性质。分清相似与全等的区别，记住相似比顺序，能准确说出 A 字型、8 字型等基础相似模型。 理解 理解线段成比例的意义，理解相似判定定理的推导逻辑；理解相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；明白对应关系的重要性，能结合图形分清对应顶点、对应边，看懂模型中边角传递关系。 应用 能根据条件选择合适判定证明三角形相似，利用相似求线段长、周长与面积；会从复杂图中分离基础相似模型，能将等积式转化为比例式，注意分类讨论多解情况，规范证明步骤，规避对应边找错的常见失误。 考点一 比例线段 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有； （3）线段的比，最终要化成 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段； 考点二 比例的基本性质 比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 考点三 比例中项 比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B，点B为线段AC的，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 考点四 相似形 相似形 形状相同的图形是. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的、无关，与和也无关. 考点五 相似多边形 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的，称为. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做. 1.相似多边形的三个条件：①；②；③； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 考点六 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 考点七 相似三角形的判定 相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 考点八 相似三角形的性质 相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 考点九 相似三角形的实际应用 相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 题型一 比例线段 典例1（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若，则的值为________； 2．（25-26九年级上·安徽·期中）已知线段a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，求a，b，c的值． 题型二 黄金分割 典例2（2026·山西吕梁·二模）音乐课上，老师带领同学们动手制作音乐瓶，发现玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．通过多次实验得到：当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则水面高度约为___________． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 题型三 平行线分线段成比例 典例3（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 题型四 位似图形 典例4（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型五 相似多边形及其性质 典例5（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 迁移应用 1．（2026·广西贵港·一模）如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 45．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 题型六 相似三角形的判定 典例6（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，矩形中，点为边上一动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 迁移应用 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 2．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 题型七 相似三角形的性质 典例7（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，D是边上一点，． (1)求证： (2)若，求的长． 迁移应用 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，点是的边上的一点．有下列三个说法： ①若，则可证； ②若，则可证； ③若，则可证． (1)上述三个说法正确的是：________（填序号）： (2)选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明； (3)若，且，，则的长为________． 题型八 相似三角形的动点问题 典例8（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 迁移应用 1．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 2．（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 题型九 相似三角形的判定与性质 典例9（26-27九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 迁移应用 1．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接． (1)求证: (2)如果， 求证： ． (3)如果 ， ， 直接写出线段的长． 2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形面积． 题型十 网格中的相似三角形问题 典例10（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 迁移应用 1．（2022·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点，，请在所给的网格区域按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个，使得点的横、纵坐标之和等于5，且点在它的内部． (2)在图2中画一个，使得与相似． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． (1)在图1中画出格点，使得，相似比为； (2)在图2中画出格点，使得，面积比为． 题型十一 重心的有关性质 典例11（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，若四边形的面积为10，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 迁移应用 1．（24-25九年级上·上海·期中）在中，点G为重心，若边上的高为6，则点G到边的距离为_________． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 题型十二 相似三角形的模型问题 典例12（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________． 迁移应用 1．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，为的中点，连接与对角线交于点．若，则的面积为_________． 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，为边的中点，连接，的延长线和的延长线相交于点． (1)求证：． (2)连接，，两线相交于点．若的面积为，求的面积． 题型十三 相似三角形的实际应用 典例13（2026九年级上·上海·专题练习）如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 迁移应用 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小亮在点处竖立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上，点，，也在一条直线上．已知小明的身高，“标杆”． (1)大楼的高度为多少米（垂直于地面）? (2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标杆”，用同样的方法测得楼上点的高度，那么相对于第一次测量，“标杆”应该向大楼方向移动______． 题型十四 相似三角形的其他应用 典例14（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距的长为__________厘米． 迁移应用 1．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如表： 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线传播方向不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 【项目任务】 (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①___________，②___________，③___________； (2)任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高为， ①当为时，的值为___________； ②以为自变量，为因变量；写出与的关系式：___________； ③当时，随的增大而___________（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分） 题型十五 相似三角形的新定义问题 典例15（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． (1)下面的图形中是“N字平行四边形”的有：______； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是4的平行四边形 (2)在“N字平行四边形”中，，，则______； (3)如图1，在“N字平行四边形”中，，，点F是边上一点，过F作交延长线于点G，若为“N字平行四边形”，求的值； (4)如图2，在矩形中，点E、F分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”，若，求的值． 迁移应用 1．（2026·广西南宁·一模）【对等角六边形】定义：在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． (1)如图1，对等角六边形的对边，的位置关系是_____； (2)如图2，六边形是对等角六边形，若，求证：． (3)如图3，在对等角六边形中，对角线交于点，已知，求四边形的面积． 2．（2026·河南许昌·一模）定义：在平行四边形中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．如图，在矩形中，点分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”．若，则的值为________． 题型十六 相似三角形与函数结合 典例16（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，若，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，关于的函数图象，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． (1)直接写出两个函数的解析式： (2)当且时，的取值范围是______； (3)设点的横坐标为2， ①第一象限内，以原点为位似中心，将按位似比放大，则点的对应点的坐标是______： ②求的面积． 2．（2024·江苏镇江·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表： m … 0 1 2 3 … … 0 1 2 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 题型十七 相似三角形的存在性问题 典例17（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 迁移应用 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 2．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在矩形中，，，为对角线．点为线段上一动点，点从点出发，向点匀速运动，速度为；点为上一动点，过点作的垂线，交于点，交于点，点从点向点运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动；设运动时间为． (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 2．（2026·北京西城·一模）如下图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·北京·期中）已知两个相似三角形相似比为，其中较小的三角形的面积为12，则另一个三角形的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D．24 4．（25-26九年级上·北京·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2已知最上层与中间层的垂直距离为，中间层与最下层的垂直距离为，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 7．（2026·北京·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是________． 8．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为______． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知，求． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，线段与相交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 15．（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 18．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（     ） A． B． C． D． 19．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 20．（2026·广东深圳·一模）如图所示，正方形中，点为边上靠近点的三等分点，连接，将沿翻折得到，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 21．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，，，，当________时，． 22．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 23．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，平行四边形中，点、分别是边、上的点，若是中点，是中点，连接交于点，则的值为_____． 24．（25-26九年级下·山东聊城·开学考试）如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 25．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 26．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 27．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． (1)比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 29．（2025九年级下·北京·专题练习）在中，它的边，高． (1)如图1，正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．问正方形的边长是多少？ (2)如图2，点F、G分别在上，且，点P为上一点，连接、，则当 时,的面积最大值 ． 30．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似形（17大题型） 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 比例线段 考点二 比例的基本性质 考点三 比例中项 考点四 相似形 考点五 相似多边形 考点六 平行线分线段成比例 考点七 相似三角形的判定 考点八 相似三角形的性质 考点九 相似三角形的实际应用 05 重难题型突破 题型一 比例线段 题型二 黄金分割 题型三 平行线分线段成比例 题型四 位似图形 题型五 相似多边形及其性质 题型六 相似三角形的判定 题型七 相似三角形的性质 题型八 相似三角形的动点问题 题型九 相似三角形的判定与性质 题型十 网格中的相似三角形问题 题型十一 重心的有关性质 题型十二 相似三角形的模型问题 题型十三 相似三角形的实际应用 题型十四 相似三角形的其他应用 题型十五 相似三角形的新定义问题 题型十六 相似三角形与函数结合 题型十七 相似三角形的存在性问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 分值占比 相似形是北京版初中数学重点内容，期中、期末试卷分值一般在 12 至 18 分，占全卷 15% 左右。多和三角形、平行线、勾股定理综合出题，单独基础题分值较少，常作为几何大题核心载体，是拉开分数差距的重要板块，复习不可忽视。 题型特点 题型覆盖选择、填空、解答证明。选择填空侧重相似判定、相似比、周长面积比；解答题以证明三角形相似、线段求值为主，常结合 A 字型、8 字型、母子相似模型，也会融入动点、折叠，条件隐蔽，需要自主找相等角构造相似关系。 难度分布 基础题占该板块六成，考查相似基本判定定理、相似图形性质；中档题占三成，需要识别基础模型，进行线段转化计算；难题约一成，多为综合压轴，融合多个几何模型、动点探究，对识图、辅助线构造和逻辑推理能力要求较高。 备考方向 熟记相似判定定理与性质，重点梳理 A 字、8 字、射影定理等经典模型；规范证明书写步骤，训练从复杂图形中分离相似三角形；多练线段比例转化、面积换算，重视动点综合题，总结找等角、作平行线构造相似的辅助线思路。 识记 熟记比例线段、黄金分割、相似图形概念；牢记相似三角形三条判定定理、相似三角形对应边成比例、对应角相等，周长、面积比的性质。分清相似与全等的区别，记住相似比顺序，能准确说出 A 字型、8 字型等基础相似模型。 理解 理解线段成比例的意义，理解相似判定定理的推导逻辑；理解相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；明白对应关系的重要性，能结合图形分清对应顶点、对应边，看懂模型中边角传递关系。 应用 能根据条件选择合适判定证明三角形相似，利用相似求线段长、周长与面积；会从复杂图中分离基础相似模型，能将等积式转化为比例式，注意分类讨论多解情况，规范证明步骤，规避对应边找错的常见失误。 考点一 比例线段 比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有； （3）线段的比，最终要化成 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段； 考点二 比例的基本性质 比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 考点三 比例中项 比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B，点B为线段AC的，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 考点四 相似形 相似形 形状相同的图形是. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的、无关，与和也无关. 考点五 相似多边形 相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的，称为. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做. 1.相似多边形的三个条件：①；②；③； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 考点六 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 考点七 相似三角形的判定 相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 ，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 的两个三角形相似，如图所示： 考点八 相似三角形的性质 相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 考点九 相似三角形的实际应用 相似三角形的实际应用 相似三角形核心原理是对应角相等、对应边成比例，常用来解决生活中无法直接测量的长度、高度、距离问题，应用十分广泛。 第一，测量物体高度。借助太阳光、标杆、镜面反射构造相似三角形，通过测量可获取的地面距离、标杆高度，利用比例计算出大树、高楼、旗杆等高大物体的高度，规避直接测量的困难。 第二，测量不可跨越距离。可用于测算河宽、两建筑物间距等无法直接丈量的距离，通过在平地构造相似直角三角形，依托已知边长，精准推算出未知距离。 第三，生活与工程缩放应用。用于图纸绘制、摄影投影、灯光投影等场景，利用相似图形形状不变、比例恒定的特点，实现图形精准缩放，同时可解决影子、视野盲区等实际计算问题。 题型一 比例线段 典例1（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若，则的值为________； 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质， 由比例关系设参数，代入表达式化简即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·安徽·期中）已知线段a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值： （1）设，易得，结合题意进行求解即可； （2）结合，利用设参数法进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴； （2）设， ∴， ∴，解得； ∴． 题型二 黄金分割 典例2（2026·山西吕梁·二模）音乐课上，老师带领同学们动手制作音乐瓶，发现玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．通过多次实验得到：当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则水面高度约为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， 解得． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； (3)如图所示，即为所求． 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）略 （3）略 题型三 平行线分线段成比例 典例3（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 题型四 位似图形 典例4（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 迁移应用 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 2．（25-26八年级下·山东威海·期末）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 题型五 相似多边形及其性质 典例5（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 迁移应用 1．（2026·广西贵港·一模）如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查矩形的相似，掌握相似图形的性质是解题的关键． ，根据中点，得根据矩形与矩形相似，得，代入求解即可． 【详解】解：设， 矩形和矩形，为矩形的边的中点，， ，， 矩形与矩形相似， ，即，解得， ， ． 故选：B． 45．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 题型六 相似三角形的判定 典例6（26-27九年级上·北京顺义·阶段检测）如图，矩形中，点为边上一动点，交于点． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，证明，运用相似三角形的性质可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 迁移应用 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 2．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 题型七 相似三角形的性质 典例7（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，D是边上一点，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵（公共角） ∴（两角分别相等的两个三角形相似） (2) 【分析】（1）首先找到两个三角形的公共角，结合已知条件，因为两角分别相等的两个三角形相似，所以可证明． （2）如果已经证明两个三角形相似，那么根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的边长即可求解的长度． 【详解】（1）略 （2）解：由， 得对应边成比例：， 将代入， 得， ∴， ∴的长为． 迁移应用 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，垂直平分对角线，交边，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由矩形和垂直平分线得到，，即可证明； （2）由矩形得到，，，再证明，得到，接着根据得到，代入解得，最后得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，点是的边上的一点．有下列三个说法： ①若，则可证； ②若，则可证； ③若，则可证． (1)上述三个说法正确的是：________（填序号）： (2)选择①，②，③中一种正确的说法，进行证明； (3)若，且，，则的长为________． 【答案】(1)①② (2)证明：选择①：∵，， ∴， 选择②：∵，， ∴； (3) 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①②正确；③错误； （2）略 （3）解：， ， 又，， ， 解得或（负值舍去）． 题型八 相似三角形的动点问题 典例8（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由点A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，点P停止时Q随之停止运动，连接．设运动的时间为．若与相似，此时________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出的长，用含的代数式表示和，分和 两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得： ． 由题意得： ，， ． ， 分两种情况讨论： 当时， 即， 解得； 当 时， 即， 解得． 综上所述，当为或时，与相似． 迁移应用 1．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)或秒 (2)或秒 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； （2）解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 2．（26-27九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动． (1)经过几秒时，的面积为？ (2)经过几秒时，由三点组成的三角形与相似？ 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】由矩形性质可得，由勾股定理得，设秒后的面积为，首先表示出线段和线段，然后利用其面积为列出有关的方程求解即可； 分两种情况，或，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设秒后的面积为， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴经过或秒时，的面积为； （2）解：经过秒时，由三点组成的三角形与相似， 由得，，， 当时， ∴， ∴，解得； 当时， ∴， ∴，解得； 综上可知经过或秒时，由三点组成的三角形与相似． 题型九 相似三角形的判定与性质 典例9（26-27九年级上·甘肃白银·期中）如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据同角的余角相等证明，然后再结合一组相等的直角即可证明； （2）先证明，再证明和，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ∴， ， 如图，设交于， 四边形是矩形， ，， ∴ ， ， ， ∴， ， ， ∴， ． 迁移应用 1．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接． (1)求证: (2)如果， 求证： ． (3)如果 ， ， 直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质，即可证明； （2）由（1）得，变形为：，根据三角形的判定和性质，可得，得到，再根据相似三角形的判定，得到，推出，式子变形，即可证明； （3）设，推出，根据勾股定理分别求出，，得到，设，求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴； ∵ ， ∴； ∴， 设， ∴， 整理可得：， 解得： ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，是的角平分线，过点D作，交于点E，在上取一点F，连接，使得． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，，求的长度和四边形面积． 【答案】(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形， 是的角平分线， ． 又， ． ． ， 四边形是菱形； (2)，四边形面积为 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得，求得，得到，根据菱形的判定定理得出结论即可； （2）根据菱形的性质得到，设菱形的边长为x，则，，根据相似三角形的性质得到，连接，交于点O，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点O，如图： 四边形是菱形， ， 设菱形的边长为x，则，， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， ∴菱形的边长为， 在菱形中，，， ， ， ． 题型十 网格中的相似三角形问题 典例10（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： 则即为所求； (2)解：根据题意，画图如下： 则点F，点即为所求． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，画图即可； （2）根据三角形相似的判定，解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 迁移应用 1．（2022·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点，，请在所给的网格区域按要求画整点三角形． (1)在图1中画一个，使得点的横、纵坐标之和等于5，且点在它的内部． (2)在图2中画一个，使得与相似． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析 【分析】（1）先根据“横、纵坐标之和为5”列举所有整点，再筛选出能使位于内部的点，最后连接三点构成三角形． （2）先计算的各边长度，再根据相似三角形三边成比例的判定定理，寻找满足条件的整点，使得与的三边对应成比例． 【详解】（1）解：∵点的横、纵坐标之和等于5，且为整点， ∴的坐标可以为、、、、、． 如图所示，满足条件的点或即为所求(取其中一个即可)． （2）解：∵，，， ∴，，． 取整点， 此时，，， ∴， ∴，符合题目要求． 如图所示，即为所求． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形． (1)在图1中画出格点，使得，相似比为； (2)在图2中画出格点，使得，面积比为． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求， (2) 解：如图所示，即为所求， 【分析】（1）本题考查了相似三角形的性质． （1）根据相似三角形对应边成比例的性质，将原三角形各边扩大到原来的2倍来画出相似三角形； （2）先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再据此画出相似三角形． 【详解】（1）略 （2）略 题型十一 重心的有关性质 典例11（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，若四边形的面积为10，则的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，，则点三点共线，，，在的延长线上取一点，使，连接，则，得到四边形是平行四边形，进而得到，，则，，设，则，证明，得，由此解出，则，然后根据即可得出的面积． 【详解】解：连接交于点，连接，， 点是的重心，点是边的中点， 点三点共线， ， 在的延长线上取一点，使，连接，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设， 四边形的面积为10， ， ， ， ，即 解得：， ， 的面积为：． 迁移应用 1．（24-25九年级上·上海·期中）在中，点G为重心，若边上的高为6，则点G到边的距离为_________． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．连接并延长交于E，过点G作于H，根据三角形的重心的性质可得，证明，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于E，过点G作于H， ∵点G为的重心， ∴， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 即点G到边的距离为2． 故答案为：2． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，掌握重心的性质是解题关键． 连接并延长交于点，利用重心的性质，结合、判定四边形为平行四边形，再通过证明、，分别得出、，最后结合​，计算得． 【详解】解：如图，连接并延长交于点． 为重心， 为中点，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型十二 相似三角形的模型问题 典例12（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，，，四边形是由两个并排放置的正方形所组成的矩形，则矩形的面积为________． 【答案】1152 【分析】设正方形边长为x，则，，证明，利用相似三角形的性质求出，得到，然后利用矩形面积公式求解． 【详解】解：设正方形边长为x，则，， ∵ ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴矩形面积． 迁移应用 1．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，中，为的中点，连接与对角线交于点．若，则的面积为_________． 【答案】12 【分析】先根据平行四边形的性质和对顶角相等证明，从而推出和 ，结合已知条件即可求出，再利用等高时，边长比等于面积比即可求出，从而求出，即可求出面积． 【详解】解：在中，为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 2．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，在中，为边的中点，连接，的延长线和的延长线相交于点． (1)求证：． (2)连接，，两线相交于点．若的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， , 为的中点， ． 在和中， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合为边的中点，通过证明，推出； （2）由平行四边形的性质以及为的中点条件，推出，从而得到和的面积比为，进而得到的面积，由与等高，推出的面积，相加得到的面积，从而求得的面积． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形，为边的中点， ，， ，， ， ． 的面积为， ． ， ， ， ， ． 题型十三 相似三角形的实际应用 典例13（2026九年级上·上海·专题练习）如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 _______ ． 【答案】 【分析】过作于，交于，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 迁移应用 1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）为响应国家“乡村振兴”与节能减排号召，某乡镇在乡村旅游道路上，安装一批太阳能路灯，既方便村民夜间出行，也助力乡村夜景打造．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的D处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程是多少米． 【答案】(1) (2)他行走的路程米 【分析】（1）根据题意得，得到，代入计算即可； （2）根据题意得，得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得（米）； （2）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴小明沿着走至F处时，头顶的影子刚好落到墙脚O处，则他行走的路程米． 2．（26-27九年级下·全国·课后作业）学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小亮在点处竖立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上，点，，也在一条直线上．已知小明的身高，“标杆”． (1)大楼的高度为多少米（垂直于地面）? (2)小明站在原来的位置，小亮通过移动“标杆”，用同样的方法测得楼上点的高度，那么相对于第一次测量，“标杆”应该向大楼方向移动______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的判定和性质，分别求出，，根据相似三角形的判定和性质，可得，根据相似比，求出，根据，即可； （2）连接，过点作，交于点，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质，得到，求出，再根据，即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形都是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴大楼的高度为． （2）解：如图，连接，过点作，交于点，过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， ∴“标杆”应该向大楼方向移动． 题型十四 相似三角形的其他应用 典例14（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点与经过凸透镜中心的光线交于点，其中四边形是矩形，，． (1)将长为15厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，则凸透镜焦距的长为__________厘米． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明即可求解； （2）证明即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 则； 答：的长度为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 迁移应用 1．（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）综合与实践——视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．    素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．    (1)探究图中与之间的关系，请说明理由； (2)若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． (3)美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ，即； (2) (3)镜长至少为 【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （3）延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且，，， ， ， ②号“E”的测量距离为； （3）解：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则，， ，， ， 由题意得：，， ， ， ， 镜长至少为． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如表： 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线传播方向不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 【项目任务】 (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①___________，②___________，③___________； (2)任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高为， ①当为时，的值为___________； ②以为自变量，为因变量；写出与的关系式：___________； ③当时，随的增大而___________（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分） 【答案】(1)，， (2)①；②；③减小 【分析】（1）先由求出，再由求出，最后代入数值算出； （2）①结合和列式计算即可；②结合和，将、代入建立等式，化简得到函数关系式；③把函数看成平移后的反比例函数，根据反比例函数性质，判断范围内的增减性． 【详解】（1）解：据图可知，，，， 则四边形为矩形， 可知，， 可得， ， ， ， ， ， ，， ， ，即，， 解得，， ， ． （2）①解：当，即， 由（1）可知，，即， 解得， 可得， 由（1）可知， 则，即， 解得； ②解：当， 由（1）可知，，即， 解得， 可得， 同（1）可知， 则，即， 解得； ③解：已知， 可以看成向右平移个单位， ， 则当，随的增大而减小． 题型十五 相似三角形的新定义问题 典例15（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”． (1)下面的图形中是“N字平行四边形”的有：______； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是4的平行四边形 (2)在“N字平行四边形”中，，，则______； (3)如图1，在“N字平行四边形”中，，，点F是边上一点，过F作交延长线于点G，若为“N字平行四边形”，求的值； (4)如图2，在矩形中，点E、F分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”，若，求的值． 【答案】(1)C (2) (3) (4)1或 【分析】（1）根据定义逐一判断即可； （2）当时，可分两种情况：，和，讨论求解即可； （3）连接，可证明，由大角对大边可得，，再分两种情况：①当时， ②当时，讨论求解即可； （4）过点E作于点M，过点F作于点N，证明四边形是矩形，得到；根据，，可分两种情况：①当时，②当时，讨论求解即可． 【详解】（1）解：矩形的一条对角线与其相邻的两边组成一个直角三角形，且对角线是斜边，故矩形的对角线长一定大于其任意一边的长，故矩形不是“N字平行四边形”， 正方形的一条对角线与其相邻的两边组成一个直角三角形，且对角线是斜边，故正方形的对角线长一定大于其边长，故正方形不是“N字平行四边形”， 菱形的一组邻边相等，若有一个角是，那么该角所对的对角线与一组邻边可构成等边三角形，故有一个角是的菱形是“N字平行四边形”； 有一个角是的平行四边形和有一个角是的平行四边形都不一定是“N字平行四边形”； （2）解：当时，如图，平行四边形是“N字平行四边形”， 若，则， ∴， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴，这与矛盾，故此种情况不存在； 若，则， ∴， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴ ∴； （3）解：连接， ∵在中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由大角对大边可得，， 若为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况： ①当时，， 过点F作于点H，则，， ∴， ∴， ∴； ②当时，，此时，则此时点在的延长线上，不符合题意； 综上，若为“N字平行四边形”，则； （4）解：如图，过点E作于点M，过点F作于点N， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴． ∵四边形为“N字平行四边形”， 又∵，， ∴分两种情况讨论如下： ①当时， ∵， ∴． 在矩形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由可得：． ∴， ∴． 综上所述，或． 迁移应用 1．（2026·广西南宁·一模）【对等角六边形】定义：在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． (1)如图1，对等角六边形的对边，的位置关系是_____； (2)如图2，六边形是对等角六边形，若，求证：． (3)如图3，在对等角六边形中，对角线交于点，已知，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 连接、，如图， 由（1）知，， 同理，， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∴. ∵. ∴. ∵， ∴, ∴. (3)7.5 【分析】（1）过点F作， 得，由，，得，得，得，即得答案； （2）连接、， 可得四边形是平行四边形，得，可得，即得答案； （3）由六边形相对的边平行，得相对的两个三角形相似，得，得，得，同理，，得点O是六边形的对称中心，即得 【详解】（1）解：如图，过点F作， 则， ∵六边形是对等角六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）略 （3）解：∵对等角六边形的对角线交于点， ∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形， 由（1）同理可得，六边形其余相对的边平行， ∴相对的两个三角形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴点O是六边形的对称中心， ∵， ∴ 故四边形的面积为7.5． 2．（2026·河南许昌·一模）定义：在平行四边形中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．如图，在矩形中，点分别是边和边上的点，四边形为“N字平行四边形”．若，则的值为________． 【答案】或/或 【分析】过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，即， ∵四边形为字平行四边形， 又∵， ∴有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴为的中点， ∴， 在矩形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴为的中点， ∴， 设， 则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，可得， ∴， ∴， 综上，的值为或． 题型十六 相似三角形与函数结合 典例16（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，若，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，关于的函数图象，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、动点的函数图象，从函数图象获取必要的信息是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，由图象得，当时，，再代入数据即可求出的长． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由图象得，当时，， 此时， ∴， 解得， 故选：A． 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，一次函数与反比例函数为的图象交于，两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点． (1)直接写出两个函数的解析式： (2)当且时，的取值范围是______； (3)设点的横坐标为2， ①第一象限内，以原点为位似中心，将按位似比放大，则点的对应点的坐标是______： ②求的面积． 【答案】(1) (2) (3)；3 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用（解析式求解、函数值大小比较、位似变换、三角形面积计算），解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，并结合函数图象与几何性质分析问题． (1)将点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得的坐标，再将两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式； (2)由题意即求的的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的的取值范围； (3)①根据位似三角形的性质即可求得； ②先求得点的坐标，然后根据三角形面积公式得到解得即可． 【详解】（1）解： 反比例函数为的图象经过点， ， 反比例函数解析式为． 把代入，得． 点坐标为， 一次函数解析式图象经过，， ， ， 故一次函数解析式为：． （2）由图象可得，当且时，的取值范围是． 故答案为：； （3）把代入得，， ， ①以原点为位似中心，将按位似比放大，则点的对应点的坐标是， 故答案为：； ②把代入得，， ， ， ． 2．（2024·江苏镇江·一模）已知，点在平面直角坐标系中，小明给了一些m的取值，列出了下表： m … 0 1 2 3 … … 0 1 2 … … 2 3 2 … 他在直角坐标系中描出这些点后，猜想点M在以点为顶点的抛物线上． (1)求该抛物线相应的函数表达式，并说明无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2)设（1）中的抛物线与x轴的交点分别为点B、C（点B在点C的左侧），点D在该抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点P、Q、M）．若与的相似比是，求m的值． 【答案】(1) 证明：∵点M在以点为顶点的抛物线上， ∴设该抛物线的解析式为， 将点代入可得 ∴， ∴， 当时，， ∴无论m取何实数值，点M都在此抛物线上； (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入点，求出a的值，再令，整理可得，即可证明； （2）先求出点B和点C的坐标，可证明是等边三角形，可知点D、P在抛物线的对称轴上，根据位似图形的定义可得，抛物线的对称轴垂直平分，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）略； （2）令，得， 解得：， ∴，，，抛物线的对称轴垂直平分， ∵， ∴是等边三角形， ∵点D在抛物线的对称轴上，是以点D为位似中心的位似图形 ∴点P在抛物线的对称轴上， ∵与的相似比是， ∴，， ∴，抛物线的对称轴垂直平分， ∴点Q与点M关于对称轴对称， 当点M在对称轴左侧时，，解得 当点M在对称轴右侧时，，解得 综上，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的解析式，位似图形的性质和等边三角形的判定与性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 题型十七 相似三角形的存在性问题 典例17（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，，．如果点P由A出发沿方向向点C匀速运动，同时点Q由B出发沿方向向点A匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）．解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)的面积记为S，请用含有t的代数式表示出S． (3)是否存在某时刻t，使得平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）首先利用勾股定理求出，根据题意得，则，然后分两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式求解； （2）过点Q作于点H，证明，得到，表示出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）连接，过点P作于点E，利用角平分线的性质得到，证明，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 根据题意得，，则， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，当或时，与相似； （2）解：如图，过点Q作于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点P作于点E， ∵，则， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 迁移应用 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案； （2）作轴，作轴，再根据平行线分线段成比例得，然后代入求出点B的横坐标，最后代入关系式求出纵坐标可得答案； （3）先求出点，作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后求出直线的关系式为，最后令求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为； （2）解：过点A作轴，于点E，过点B作轴，于点D， ∵， ∴ 设点B的横坐标为a，根据题意，得则， ∴， 解得， 当时，， ∴点； （3）解：∵点，轴， ∴点， 作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P， ∴， 根据两点之间线段最短可得， ∴的最小值为． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点． 2．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在矩形中，，，为对角线．点为线段上一动点，点从点出发，向点匀速运动，速度为；点为上一动点，过点作的垂线，交于点，交于点，点从点向点运动，速度为，当点停止运动时，点也停止运动；设运动时间为． (1)当为何值时，？ (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，图形面积的分割计算，函数表达式的确定，熟练运用平行线的性质判定三角形的相似，正确进行图形面积的分割是解题的关键． （1）当时，，则，即可求出答案； （2）证明，则，即，解得，证明，则，解得，利用四边形的面积为梯形的面积的面积即可求出答案； （3）假设存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的，则，即，方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，， ∴，即， 解得， ∴当为时，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴四边形的面积为梯形的面积的面积 ， 即与之间的函数关系式为. （3）解：假设存在某一时刻，使四边形的面积是矩形面积的， 则，即， 解得或 （舍去）， ∴存在，使四边形的面积是矩形面积的. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 2．（2026·北京西城·一模）如下图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到．若的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由题意可得，且相似比为，再由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到， ∴，且相似比为， ∴， ∵的面积为1.5， ∴的面积为． 3．（25-26九年级上·北京·期中）已知两个相似三角形相似比为，其中较小的三角形的面积为12，则另一个三角形的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D．24 【答案】C 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件即可计算出另一个三角形的面积． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴两个三角形的面积比为 设另一个三角形的面积为， ∵较小三角形的面积为， ∴， 解得， 即另一个三角形的面积为27． 4．（25-26九年级上·北京·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式化简求值，熟练掌握比例的基本性质，是解题的关键．将所求分式拆分为已知比例与1的差，直接代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5．（25-26九年级上·北京海淀·期中）如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2已知最上层与中间层的垂直距离为，中间层与最下层的垂直距离为，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选D． 6．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 【答案】 【分析】若线段a，b，c，d满足，称线段a，b，c，d为成比例的线段，根据定义计算判断即可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义，准确计算是解题的关键． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，其中，，， ∴； ∴； 解得， 故答案为：． 7．（2026·北京·一模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质得到，且对应点到位似中心的距离之比等于相似比．结合图形确定与的数量关系，求出相似比，进而计算面积比． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，且与的相似比等于． ， 设，（）， ． 与的相似比为． ． 与的面积之比是． 8．（2026·安徽滁州·一模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是一组平行线，与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若，则的长为______． 【答案】18 【分析】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键．根据，设，则，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，求解即可． 【详解】解：， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C是线段的黄金分割点，且，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键． 根据黄金分割可得，即，由此求出即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴，即， ∴，， ∴． 故答案为：1． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知，求． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．设，代入分式进行计算，即可解题． 【详解】解：∵， ∴设， ∴＝＝＝． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)； 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，线段与相交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，再由，即可证明； （2）根据相似三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 又因为， 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 15．（2025·广东阳江·一模）综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【答案】（1）米，（2） 【分析】根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； 首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 【详解】解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 综合进阶练（限时：20分钟） 16．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 18．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据正方形性质和等腰直角三角形判定求出、的长，利用角平分线性质求出的长，进而得到正方形边长和对角线长，最后利用相似三角形性质求出的长． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 19．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 20．（2026·广东深圳·一模）如图所示，正方形中，点为边上靠近点的三等分点，连接，将沿翻折得到，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作分别交于点，证明，得出，设，则，根据得出，进而根据三角形的面积公式求得、，再求比值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作分别交于点， 设正方形的边长为， ∵点为边上靠近点的三等分点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 21．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，，，，当________时，． 【答案】10 【分析】根据相似三角形的性质得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴当时，． 22．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 23．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，平行四边形中，点、分别是边、上的点，若是中点，是中点，连接交于点，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定及性质，延长，，交于点，容易证得，进而求得，结合，可得，进而得到． 【详解】 如图所示，延长，，交于点． 因为四边形为平行四边形， 所以，． 所以，． 因为是中点， 所以． 所以． 所以，． 因为是中点， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以，． 所以． 所以． 所以． 故答案为： 24．（25-26九年级下·山东聊城·开学考试）如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 25．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得，且，即可求出 ，进而得出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 26．（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以O为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 证明：小正方形边长为1， ，，，， ，， ，，， ， ． 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据位似图形的性质，结合位似中心和位似比画出即可； （2）利用勾股定理求出和的边长，根据两个三角形三组对应边的比例相等，证明和相似即可． 【详解】（1）略 （2）略 27．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在中，，是中点，点在线段上，以点为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，． (1)比较与大小，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) ；， 证明：， ， 由旋转的性质得、， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 点是中点， ， ； (2) ， 证明：过点E作，交于点H， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 、， ， ， ． 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质易证得，进而得到、，结合中点M的性质，从而得到，； （2）过点E作，交于点H，结合（1）中的结论易证得，进而得到，再证得，最后利用平行线分线段成比例的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 28．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)9 【分析】（1）由题意得，利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）设，证明，得到，据此求解即可； （3）作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵N是的中点， ∴设， ∵矩形， ∴，，， 同理，得， ∴， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； （3）解：作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 29．（2025九年级下·北京·专题练习）在中，它的边，高． (1)如图1，正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．问正方形的边长是多少？ (2)如图2，点F、G分别在上，且，点P为上一点，连接、，则当 时,的面积最大值 ． 【答案】(1)正方形的边长是48 (2)60，1200 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值应用，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，以及通过设变量将面积问题转化为二次函数求最值． （1）设正方形边长为，由得，对应高的比为，相似比为，列方程求解； （2）设，由得，求出的高为，面积，利用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设正方形的边长为x， ∵， ∴， 解得：， ∴正方形的边长是； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时,有最大值为， 故答案为：． 30．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $