第十八章 相似形（单元自测）数学新教材北京版九年级上册

第十八章 相似形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．如图，使成立的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解析】∵，和只有一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故A不符合题意； ∵不是和的对应角相等， ∴和只有与这一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故B不符合题意； ∵，， ∴， 故C符合题意； ∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由，，不能判定和相似， 故D不符合题意， 故选C． 2．如图，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（ ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可. 【解析】， ，即， ， ． 故选. 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键. 3．如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，接着证明，求得与相似比为，然后根据位似图形的周长之比等于相似比即可求解． 【解析】与位似，位似中心是点， ，， ， ， ， 与相似比为， 的周长为8， 则的周长为． 故选A． 4．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等．关键是分析每个选项中的条件是否符合相似三角形的判定规则． 【解析】在和中，为公共角． 选项A：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项B：∵，且， ∴根据两角对应相等，两个三角形相似，； 选项C：∵，即，且， ∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，； 选项D：∵，即，但该比例对应的角不是公共角，不满足相似三角形的判定条件， ∴不能判定． 故选D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【解析】∵与位似，且原点O为位似中心，其位似比，点， ∴其对应点D的坐标为，即． 故选A 6．如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键．根据相似三角形的判定方法解答即可． 【解析】由题意得， A、若添加，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； B、若添加，则，利用有两组角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； C、若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能判定，不符合题意； D、若添加，不能判定与相似，符合题意 故选D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，则的重心坐标是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形重心的性质、相似三角形、位似的变化以及平面直角坐标系中点的特征，求解三角形的重心的坐标是解题的关键． 首先根据相似三角形求解的重心，进而再利用位似存在两种情况以及根据位似比是2求解两种情况重心的坐标． 【解析】∵重心是三角形三条中线的交点， 如图，取边上的中点C，连接，取边上的中点D，连接，，且，交于点G，点G即为的重心， ∵点C是边上的中点，点D是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将放大为原来的2倍，得到， ∴当在第二象限时，； 当在第四象限时，； 故选D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的性质，解题的关键是明确位似中心为原点时，对应点坐标的变化规律． 已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，则位似比为或当位似比为时,的坐标为；当位似比为时,的坐标为 【解析】∵以原点为位似中心，将缩小为原来的， ∴位似比为或． ∵点的坐标为， ∴当位似比为时,的坐标为； 当位似比为时,的坐标为． ∴点的对应点的坐标为或． 故选． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点在x轴上．若点F的坐标为，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以，即可得到点C的坐标. 【解析】点F的坐标为． 正方形与正方形的相似比为， ． 在正方形中，， ， 点C的坐标为． 故答案为. 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为那么位似图形对应点的坐标的比等于或. 10．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ________． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解析】∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为9． 11．如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过________秒后，与相似． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据与相似，分两种情况：（1）当与是对应边时，（2）当与是对应边时，进行计算即可． 【解析】设经过x秒后，与相似， 则，， ∵， ∴（1）当与是对应边时， ，即，解得； （2）当与是对应边时， ，即，解得． 故经过或1秒后，与相似． 故答案为1或． 12．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为12．则的周长为________． 【答案】6 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定相似，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【解析】∵与位似， ∴与相似， ∵相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为12， ∴的周长为6； 故答案为6． 13．如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点________． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【解析】如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为． 14．如图，中，，，，当________时，． 【答案】10 【分析】根据相似三角形的性质得出，即，求出，即可得出答案． 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴当时，．故答案为10． 15．如图，已知，若，，，则的长为________． 【答案】 4 【分析】过点作交于点，交于点，利用平行四边形性质和相似三角形性质求解． 【解析】过点作交于点，交于点， ，， 四边形和四边形均为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ．故答案为4． 16．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，则建筑物的高是________． 【答案】 【分析】直接利用相似三角形的性质列出方程，解方程即可． 【解析】， ， ， ， ， ， ．故答案为$10.5\mathrm{m}$． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（5分）如图，在平面直角坐标系中， （1）画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； （2）在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； （3）与的周长比为________． 【答案】（1） 即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【分析】本题考查了位似图形的画法与位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的作图方法及相似图形的周长比与位似比的关系． （1）以点为位似中心，按位似比确定的位置并画图； （2）以原点为位似中心，在第三象限按位似比确定的位置并画图； （3）利用位似图形的周长比等于位似比计算比值． 【解析】（1）略 （2）略 （3）解：∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为． 18．（5分）在如图的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． （1）点的坐标为________； （2）以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的相似比为． 【答案】（1） （2） 即为所求． 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）分别连接、并延长交于点P，则点P即为所求； （2）根据位似图形的性质作出即可． 【解析】（1）解：连接、并延长交于点P，如图： 则点的坐标为； （2）略 19．（6分）如图，在中，，，分别是边和上的点，且， （1）求证：； （2）求的值 【答案】（1） 证明， ， （2）10 【分析】本题考查相似三角形的证明及性质，能够证得三角形相似是解题关键； （1）根据即可证得三角形相似； （2）根据相似三角形的性质得到，通过变形进而可求解． 【解析】（1）略 （2）解：， ． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； （2）在图②中线段上画一个点，使． 【答案】（1）如图所示： 和即为所求； （2）如图所示： 点即为所求． 【分析】（1）由位似图形的性质求出位似三角形的顶点坐标，连接三个顶点即可； （2）取格点，连接，交于点，连接，此时，由相似三角形的性质即可得到． 【解析】（1）解：与的相似比为，点为位似中心， 分两种情况： 当两个三角形在点同侧时，令要作的位似图形为， 三个顶点的坐标分别是， 取中点，连接得到， ， 与的相似比为； 当两个三角形在点异侧时，令要作的位似图形为， 作关于点的对称点，连接得到， ， 与的相似比为； （2）解：由图可知，，且， ． 21．（6分）如下图，在中，，．若，求的长． 【答案】． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解析】， ． 又， ，， ． 22．（8分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①________；②________； （2）如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】(1)，． （2）①； ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可解答； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②略． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． （1）请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； （2）与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】（1）； （2）与位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【分析】（ ）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （ ）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似的，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． 【解析】（1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的横纵坐标分别为，即； 的横纵坐标分别为，即； 的横纵坐标分别为，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点，即可得到，图略； （2）解：如图，连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比（位似比）为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 24．（8分）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路．已知，，，，，请判断公路与是否平行，并说明理由． 【答案】公路与平行． 理由：，，， ，，，． 【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，由平行线的判定定理即可得到结论． 【解析】公路与平行． 理由： ，，， ， ， ， ． 25．（10分）图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】（1）作图见解答过程 （2） （3）作图见解答过程 【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． 【解析】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：与的位似比等于； （3）解：如图所示，即为所求． 26．（10分）如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．    （1）________； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）连接，当是直角三角形时，求t的值． 【答案】（1）5 （2） （3）或 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解． 【解析】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：如图，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，， ∴， ∴； 如图，当时，    ∵，， ∴， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度，，， ∴， ∴， 综上所述：． （3）解：如图，    当时， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵动点P 的速度为每秒4个单位长度， ∴； 如图，    当时， ∵， ∴， 同理可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到相似三角形、勾股定理等，综合性较强，灵活合理的运用分类讨论思想是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 相似形 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1．如图，使成立的条件是（ ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（ ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在中，为上的一点，下列条件中，不能满足的条件是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，则的重心坐标是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．如图，在平面直角坐标系中，已知，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为(    ) A． B． C．或 D．或 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点在x轴上．若点F的坐标为，则点C的坐标为________． 10．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ________． 11．如图，在中，，，点M从点A开始沿边向点B以1个单位长度/秒的速度移动，点N从点B开始沿C边向点C以2个单位长度/秒的速度移动，如果点M，N分别从点A，B同时出发，经过________秒后，与相似． 12．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为12．则的周长为________． 13．如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点________． 14．如图，中，，，，当________时，． 15．如图，已知，若，，，则的长为________． 16．如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，则建筑物的高是________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 72 分） 17．（5分）如图，在平面直角坐标系中， （1）画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； （2）在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； （3）与的周长比为________． 18．（5分）在如图的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． （1）点的坐标为________； （2）以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的相似比为． 19．（6分）如图，在中，，，分别是边和上的点，且， （1）求证：； （2）求的值 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是． （1）在图①中，以点为位似中心，画出的位似图形，使与其相似比为； （2）在图②中线段上画一个点，使． 21．（6分）如下图，在中，，．若，求的长． 22．（8分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①________；②________； （2）如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． （1）请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； （2）与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 24．（8分）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路．已知，，，，，请判断公路与是否平行，并说明理由． 25．（10分）图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 26．（10分）如图，在中，，，，D是的中点．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过点P作的垂线交或于点Q，连接．设点P的运动时间为t秒．    （1）________； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）连接，当是直角三角形时，求t的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $