专题03 相似三角形的经典模型15大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 以15类经典相似模型为核心，通过题型分类构建从基础识别到综合应用的方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|15题型（约60题）|模型识别（如A字/8字）、性质应用（比例线段）、变换转化（旋转/折叠）|从静态模型（A字/母子型）到动态综合（动态相似/关系型），形成"模型特征-判定方法-应用场景"逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|18道综合题|多模型融合、辅助线构造、分类讨论|整合多个相似模型，强化知识迁移与复杂问题解决能力|

专题03 相似三角形的经典模型 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 题型一、A字型相似 题型二、8字型相似 题型三、AX字型相似 题型四、母子型相似 题型五、三角形内接矩形相似 题型六、射影定理相似 题型七、旋转相似 题型八、折叠相似 题型九、一线三等角型相似 题型十、手拉手型相似 题型十一、动态相似 题型十二、k字型相似 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 题型十四、角平分线型相似 题型十五、重心相关相似 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 ◆题型一、A字型相似 1．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 2．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 3．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， 即， 解得：． 4．如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ◆题型二、8字型相似 5．如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长，证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 7．如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E为边中点， ∴， ∵在和中， ， ∴； (2)10 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由中点的定义可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． ◆题型三、AX字型相似 9．如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 【答案】B 【分析】先由平行四边形得到，然后得到，然后利用，得到，，从而得到的长，最后得到平行四边形的周长． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ，， ，， ， 的周长． 10．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 【答案】/ 【分析】先根据已知得到，则，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则． 11．如图，已知点D、E分别是边、上的两点，，，，和相交于点O，且，求与的面积． 【答案】， 【分析】先通过相似三角形的判定和性质得出，则，即可求出的面积；进一步求出的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∴． 12．如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由中位线定理可得，，再证明，所以，则，然后证明，则有，故，所以，最后通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵中线，相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵，是中线， ∴，即的长为． ◆题型四、母子型相似 13．如图，在中，，，，O是斜边的中点，D是边上的一点．若，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，从而，由得到，即有，从而可得，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵在中，O是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即， ∴， ∴， ∴． 14．如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【分析】根据图形发现，代入已知条件得的值，再根据条件，，结合三角形相似判定定理可证明，根据相似三角形的性质求出的长，再根据，代入数据计算即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4. 15．已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 16．如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】由题意得，即可证明，得和，即有，进一步得，有，则有，即当最短时，最短、最长，当时，即可求得最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，． ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即当最短时，最短、最长， ∵当时，最短、最长，此时， ∴， 则， 故答案为∶． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及线段最短，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． ◆题型五、三角形内接矩形相似 17．如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、解一元二次方程，熟练掌握性质定理是解题的关键． 设，则 ． 根据矩形的性质易证，再根据相似三角形的性质得出，然后将值代入化简，求出一元二次方程的解即可得出答案． 【详解】解：设，则 ． ， ． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 即， 即， 解得或 （负值舍去）， ∴，， ∴矩形 的面积为． 故选 C． 18．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点P、N分别在边上，点Q、M在上，那么矩形的周长为________． 【答案】20 【分析】证明，根据相似三角形的性质得出和的关系，再求周长即可． 【详解】解：如图，设与交于点E， ∵矩形内接于中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 矩形的周长为． 19．题目： 已知：如图，． 求作：矩形，使顶点分别在，，顶点都在边上，且（用直尺和圆规作图，写出必要的文字说明．） (1)小明对上述题目的解答如图①所示（隐去了弧），他写的文字说明是：是高，，．求证：矩形即为所求． (2)如图②，小丽只会作矩形，除了顶点不在AC边上外，其他都已经满足了题目的要求，她想通过图形的变换将矩形变化为要求作的矩形．请按小丽的思路完成作图，并描述从矩形到矩形的变换过程． 【答案】(1) 证明：， ， 如图，过点作交于， ，则，， ， ，即， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 由①②③得， ， 矩形即为所作； (2) 如图，连接并延长交于，作于，交于，作于，则四边形为所作， ，证明：四边形符合， 由作图得， ， ， ， ， ， ， ， 矩形即为所作． 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作交于，证明得出，证明得出，证明四边形为平行四边形得出，由①②③解得，即可得证； （2）连接并延长交于，作于，交于，作于，则四边形为所作． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 ◆题型六、射影定理相似 21．如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的性质和余角的性质可证，然后利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴与的面积之比， 故选：D． 22．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为． 结论：①；②；③． 下面是对结论①的证明： 是斜边上的高， ， ，， ， （依据）， ，即． 任务： (1)材料中的依据是指______． (2)证明结论②：． (3)运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 【答案】(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2) 证明：，， ， ， ， ， ． (3)2 【分析】本题重点考查了相似三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质和判定，读懂题意并熟练掌握相似三角形、全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）相似三角形的判定，两角分别相等的两个三角形相似． （2）证明直角三角形与直角三角形相似，即可得到，进而完成证明． （3）延长至点，使，连接，证明，得到，并设，得到，，利用第二步的结论，代入即可求得的值，进而完成求解． 【详解】（1）解：两角分别相等的两个三角形相似． （2）略 （3）解：如图，延长至点，使，连接， 又，， ， ， ， ，即， 设，则， 由（2）可知，， ，， 即，整理得， 解得，（负值舍去）， 的长为． 23．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用三角形相似证明结论； （2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设长为x，则， 根据射影定理可知， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 又∵， ∴． 24．如图，在中，，是边上的高线． (1)若，，求的长． (2)求证：．（直接使用“射影定理”不得分） 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 由题意，得， ∴， ∴， ∴ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）勾股定理求出，再利用直角三角形的面积公式求解即可； （2）利用等角的余角相等，证明，进而可得，再利用相似三角形的性质即可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． 由题意，得， ∴， ∴， ∴． （2）略 ◆题型七、旋转相似 25．如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 根据以及直角三角形的性质可得，，然后结合等边三角形的性质可得，可证，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A 26．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一次函数，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能构造出相似三角形是解题的关键． 连接，证明， 得，设，，可得，得，即可得结论． 【详解】解：连接， ， ， 又， ， ， 设，， ， 得， 同除得， 解得（舍负）．即 故答案为：． 27．（1）如图1，已知正方形与正方形，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求证：，且； （2）如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A顺时针方向旋转，连接，，在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值． 【答案】 （1）如图，延长交于，交于， 四边形与四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ； （2）65 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等； （1）延长交于，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，，即可得证； （2）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得 ，，，，即可求解； 掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． 【详解】解：（1） 略 （2）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 28．综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． ◆题型八、折叠相似 29．如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（     ） A．1 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据翻折的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，即可解答． 【详解】解：将沿翻折后，点A落在点处， ，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 30．如图所示，正方形中，点为边上靠近点的三等分点，连接，将沿翻折得到，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作分别交于点，证明，得出，设，则，根据得出，进而根据三角形的面积公式求得、，再求比值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作分别交于点， 设正方形的边长为， ∵点为边上靠近点的三等分点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 31．如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 【答案】 【分析】如图，过点F作交于点M，交于点N，设，则，证明出，表示出，然后利用勾股定理求出，进一步利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点F作交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴， ∵E是中点 ∴ 设，则 由折叠得，，， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴或（舍去） ∴， ∴． 32．综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 【答案】(1) 证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； (2)． 【分析】（）利用证明即可； （）延长，交于点，设，根据勾股定理求出，证明，设，则，然后对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）如图，延长，交于点，    设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿翻折到处， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． ◆题型九、一线三等角型相似 33．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ． (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 34．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 35．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴；            （2）3；（3）4或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 36．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 ◆题型十、手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），证明见解析（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 38．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)如图1，正方形中，，分别交于点分别交于点则_____；（填“>”“=”或“<”） (2)如图2，矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先过点作，交于，过点作，交于，交于，然后根据正方形的性质以及的判定与性质，即可得出； （2）首先过点作，交于，过点作，交于，然后根据矩形的性质以及的判定与性质，即可得出； （3）首先过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，判定平行四边形是矩形，由（1）结论得出，然后判定，运用其性质和勾股定理构建方程，求解即可. 【详解】（1）解：如图1中，点作，交于，过点作，交于，交于， ∵四边形是正方形， , ∴四边形、四边形都是平行四边形， ． 又， ， ， . 在和中， ， ， ， . 故答案为：． （2）证明：过点作，交于，过点作，交于，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ． 又， ， ． ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∴， ∴； （3）解：过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3， 则四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ． ， ∴由（1）中的结论可得， 设，则． ， ， ， ， ∴， ． 在中， ， ， 整理得， 解得或（不符合题意舍去）， ，， . 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．解题关键是作好辅助线，找出等量关系． 39．综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)①不成立，理由如下：如图2，    延长交的延长线于点． ，， ，． ， ， ； ②成立，理由如下： ， ， ． ； (3)或 【分析】（1）设直线交直线于点．由等边三角形的性质可得出，，． 进而可求出，即可证，从而得出结论．再根据，即得出答案； （2）由题意得出，，进而可证，得出．由（1）同理可证； （3）分类讨论：当点D落在线段上时和当点E落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①如图1，设直线交直线于点．     和都是等边三角形， ，，． ． 在△BCD 和△ACE 中， , ． ； ②， ， ， ； 故答案为：；； （2）略 （3）①如图3，当点落在线段上时．   ，，， ∴，． ∴，． ∴．， ∴； ②如图4，当点落在线段上时，    同理可得，． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键． 40．综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； 【答案】(1)， (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； (3)或； 【分析】（1 ）根据等边三角形的性质可得，则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2 ）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3 ）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点B在以点A为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2 ）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． ◆题型十一、动态相似 41．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，的面积为 (2)当或时，以为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的几何应用、相似三角形的性质等知识，熟练掌握一元二次方程的几何应用和相似三角形的性质是解题关键． （1）先求出，再求出的长，然后利用直角三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）分两种请：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ，， 由题意可知，，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ，， ∵的面积为， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当时，的面积为． （2）解：①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意， 综上，当或时，以为顶点的三角形与相似． 42．如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）如图，过点M作于点D．根据勾股定理求出．证明，根据相似三角形的性质求出，再根据列方程求解即可． （2）分两种情况讨论：①当时，，②当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点M作于点D． 在中，，，， 根据勾股定理，得． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． ∵， 解得：， ∴t的值为3． （2）解：分两种情况讨论： ①当时，， 此时，即， 解得：； ②当时，， 此时，即， 解得：． 综上所述，t的值为或． 43．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)根据题意知：______，______；（用含的代数式表示） (2)当与相似时，求的值； (3)连接、，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据，，，，代入计算即可； （3）过作于点，，交于点，则有，，，根据，得出，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，， 故答案为：；； （2）解：，，， ； 分两种情况讨论： ①当时，， ，，，， ， 解得， ②当时，， ， 解得，； ∴当与相似时，或； （3）解：如图，过作于点，，交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得（经检验是原方程的解）． 44．如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定； （1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度； （2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解. 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. ◆题型十二、k字型相似 45．四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，，进而证明进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 46．如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由向点运动，若点运动时间为． (1)若四边形是平行四边形，则 ， ； (2)若，求与相似时的值． 【答案】(1)2；3 (2)或 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，证明，推出，则可得到，解之即可得到答案； （2）分两种情况：当时，则，当时，则，分别代入建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由题意得，， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∵点为的中点， ∴； ∵， ∴； 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得（已检验，符合题意）或（舍去）； 综上所述，与相似时的值为或． 47．如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 48．【教材呈现】 (1)如图1，E是正方形边上一点（不与点B，C重合），是等腰三角形，且，，交于点G，连接，探究与之间的数量关系． 爱动脑筋的小鼎同学通过思考，给出如下解题过程，请补充完整． 解：在边上取点H，使得，则，∴． ∵四边形是正方形，∴，． ∵，∴． ∵，，∴___________． ∵，∴___________．∴． ∴．∴． (2)【类比迁移】如图2，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，连接，判断与之间的数量关系，并证明． (3)【拓展应用】在（2）的条件下，若，，点G是的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)， 证明：如下图，在上截取，使，连接， 在菱形中，， 则． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即 (3)或 【分析】（1）在边上取点H，使得，证明．得到，求出，即可得到结论； （2）在上截取，使，连接，则．证明．则．进一步求出，即可得到结论； （3）过点A作的垂线交的延长线于点P，证明．分两种情况讨论：①，②，分别进行解答即即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知， 过点A作的垂线交的延长线于点P， 如图2，3，则． ∴． 分两种情况讨论：①若，如图2，则，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ②若，如图3，则，． 同①，得． 综上所述，的长为或． ◆题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 49．在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点． 【基础研究】 若正方形的面积为，若是的中点， (1)如图1，请直接写出__________； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，求证： 【推广及应用】 (3)若正方形的边长为，设试探究是否为定值，若为定值，用、表示；若不是，请说明理由； (4)若将“正方形”改为“矩形”，且与的交点仍满足，设，，你还能得到③中的结论吗？若能，请直接写出__________；（用、、表示）； 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长交于点，连接 设 ∵中，，是斜边的中点， ∴，则 ∵点是的中点 ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ， ∴ (3)是定值，； (4)能， 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，结合是的中点可得与的关系；根据直角三角形斜边中线的性质得出，；通过证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入计算即可求解． （2）设，延长交于点，连接，证明得出，进而证明，得出，证明，进而证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质可得，结合，得出，证明得出，等量代换，即可得出结论； （3）由（1）可得，代入，即可求解； （4）同（1）的方法，得出，代入，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，面积为 ，， 是的中点 ，是斜边 的中点 ，即 ， ． （2）略 （3）解：由（1）可得 ∵， ∴， ∵ （4）解：同（1）可得 ∵ ∴， ∵ 50．矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） 【类比探究】（2）如图（2），当时，求________； 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，________． 【答案】 （1）证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ； （2）2； （3） 【分析】（1）证明即可； （2）在上截取，连接．证明，即可求解； （3）以A为旋转中心，绕A点旋转到，设，则，连接，延长交于点M，连接，证明，可得四边形是正方形，再证明，由（2）得，过点P作交于K，进而证明四边形是矩形，则有，即可求出BC的长． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取，连接． ∵， ∴， ， ∵平分， ∴ ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∵，E是边的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：以A为旋转中心，绕A点旋转到， ∵， ∴， 设，则， ∵， ， 连接，延长交于点M，连接， ∵， ， ∵E是的中点， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵ ， 过点P作交于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键． 51．如图，在中，点在边上，且满足，连接，，． (1)若，求边的长； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由已知可得，再证明，根据相似三角形的性质解答即可求解； （）取的中点，连接，由已知得，，点是的中点，即得是的中位线，得到，，即得到，同理（）得，得到，设，则，利用勾股定理可得，求出的值进而即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； （2）解：如图，取的中点，连接， ∵，， ∴，，点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 52．在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． 【答案】(1) ①∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①首先证明出，得到，，即可证明； ②首先得到，是等腰直角三角形，然后由得到，求出，然后等量代换得到， 利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）如图所示，连接，首先由得到，，同（1）可得，，得到，设，则，勾股定理得到，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）①略 ②∵当时， ∴ ∴， ∵ ∴，是等腰直角三角形 ∵ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，连接， ∵ ∴， ∵ ∴， 同（1）可得， ∴ ∴设，则 同（1）可得， ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． ◆题型十四、角平分线型相似 53．如图，在中，，平分，平分，相交于点F，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作EG⊥AF，FH⊥AC，连接CF，由角平分线的性质可得到，求出EG，再由可得，从而可求AC； 【详解】解：如图，作EG⊥AF，FH⊥AC，连接CF ∵ ∵平分，平分 ∵EG⊥AF，FH⊥AC ∴ ∵ ∴ ∵F是的内心 ∴HF平分 故选：D 【点睛】本题主要考查直角三角形、勾股定理、角平分线的性质、三角形的相似，正确做出辅助线是解题的关键． 54．如图，在中，，平分交于，平分交于，交于．若，，则的长度为 _______． 【答案】 【分析】过点作于，于，于，过点作于点，先证明四边形是正方形，设，，再利用三角形的面积公式求出，则，证明和相似，得，，，再证明和全等得，然后证明和相似得，则 ，由此解出，进而得，，，最后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作于，于，于，过点作于点，如图所示： ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴设，， ∵，， 又∵，， ∴， 又∵的边上的高与的边上的高相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，得：， ∴，， 由，得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，理解角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 55．如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】过E作交是延长线于G，根据平行线的性质和角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：过E作交是延长线于G， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，为边上的中线，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，经检验，符合题意． 56．【感知】如图①所示，在等边中，平分，过点D的直线于点E，交延长线于点F易得，（不需要证明） (1)【探究】如图②所示，聪聪将图①的等边改为任意，平分，他通过观察、测量，猜想仍然成立．为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法： 方法1：过点D分别作于点，于点F，利用与的面积比证明结论． 方法2：过点B作交延长线于点E，利用与相似证明结论． 请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法，帮助聪聪完成证明． (2)【应用】如图③所示，在中，，，，平分．若点E在边上，，交于点F，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法1：过点D分别作于点，于点F，过点作于点，由角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果；方法2：过点B作交延长线于点E，证明，即可得证； （2）过点作交于点，由勾股定理可得，由【探究】的结论可得，求出，再结合相似三角形的判定与性质计算即可得出结果． 【详解】（1）方法1：如图，过点D分别作于点，于点F，过点作于点， ∵平分，于点，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法2：过点B作交延长线于点E，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交于点， 在中，，，， ∴， 由【探究】的结论可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． ◆题型十五、重心相关相似 57．如图，在中，点O是的重心，，则四边形的面积是（     ） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】C 【分析】根据重心的性质可得，分别为的中点，再根据比例关系得到面积间的关系即可． 【详解】解：点O是的重心， ，分别为的中点， ， ， ， ， ． 58．如图，在直角三角形中，，G是的重心，延长交斜边于点M，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，理解三角形的重心的定义，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键．连接并延长交于，连接，在的延长线上取一点，使，则，先由勾股定理求出，根据三角形重心定义得，，证明四边形是平行四边形得，进而得是△的中位线，则，继而得，据此即可得出的长． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，在的延长线上取一点，使，如图所示： ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 点是△的重心， ，是△的中线， ，， 又， 四边形是平行四边形， ， 即， ， 是△的中位线， ， ， ． 故答案为：． 59．如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 【答案】 8 【分析】连接并延长交于点D，过点E作于点F，根据等腰三角形三线合一性质及重心定义可得且，结合证得四边形为矩形，利用角角边证明与全等，得到点O为的中点，再计算直角梯形的面积，最后求和即可． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点E作于点F，如图， ，点是的重心， ，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ，， 在与中， ， ， ， 点O为的中点， 点D为的中点， 为的中位线， ， ，即， ， ， ． 60．【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图①中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题；并完成相关拓展应用． 【解决问题】 任务1：的三条中线，，交于O点，若的面积为m，则的面积为 ． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 （1）如图②，在中，点O是的重心．连接，并延长，分别交，于点D，E．若，，，求四边形的面积． （2）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 【答案】解决问题 任务1：m；任务2：2 拓展应用 （1）；（2） 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，重心的有关性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 任务1：根据重心的意义求解； 任务2：由题意可知，从而可得，于是就有，从而可得，于是可推得与同高，从而可得； 拓展应用：根据点O是的重心，类比任务1，任务2可知，，从而可得，，于是可得，从而可求得； （2）根据中线的意义，可得出，F是的重心，从而可求得，于是可得，从而可得当时，求得最大值，从而可求得的最大值，进而求得的最大值，再求得的最大值． 【详解】解：解决问题 任务1：∵点O为的重心， ∴D，E，F分别是，，边上的中点， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：m； 任务2：由题意可知，， ， ∴与同高， ； 拓展应用 ∵点O是的重心， 类比任务1，任务2可知，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴； （2）∵的中线，， ∴，F是的重心， ∴，， ∴， 作于点H， 则， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据矩形的性质证明，得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴在中，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明 求得，进而求得，根据角平分线的定义可得，结合平行线的性质可得，根据等角对等边，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ． ， ． ∵， ． 平分， ． ∵， ． ． ． 3．如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 4．在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，先证得到相似比为，，即，再证可得，求得，则，进而求得． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ， ； ∵， ∴的面积为20， ∵， ∴，即， ∴的值为． 5．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质结合角平分线容易证明，则，．容易证明，则，计算得，从而得到．由可判定，从而计算出，最后计算的面积即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 6．如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，与分别交于点M，N．已知，则的长为_____． 【答案】 【分析】延长交于Q，延长和，交于W，根据勾股定理求出，根据矩形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出比例式，求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图1，四边形是矩形，，延长交于Q， ∴， ∵F为中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 如图2，延长和，交于W， 同理， ∵， ∴， ∴ ∴ 解得：（经检验，是分式方程的根，且符合题意）， ∴． 7．如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质说明，可得，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 所以正方形的边长为． 8．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 9．如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 【答案】 【分析】由可得，由菱形的性质可得，，即得，进而得到，则，，，由勾股定理求出，再证明和，分别求出和，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵，交的延长线于点E， ∴， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，，为的中线，平分交于点E，连接，则的长为______． 【答案】/ 【分析】过点作于点，作于点，过点作交延长线于点，由勾股定理可得，由为的中线，可得，可得，则，证明，可得，可求得，，即可求得的长． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，过点作交延长线于点， ∵在中，，，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． 11．如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接并延长，交于点．若，，则的长为____． 【答案】 【分析】解：过作于，交于，根据矩形可得四边形是矩形，，，由折叠可得，，，即可证明，得到，设，则，，，，，根据列方程解得，即可得到，，再由证明，得到，代值解得，最后根据求解即可． 【详解】解：过作于，交于， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 12．问题背景 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： (1)小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2． ①的度数为________； ②若，点是的中点，，则的长度为________； (2)迁移应用 如图3，在中，将边绕点顺时针旋转，得到，延长到点，使，连接，求证：； (3)联系拓展 如图4，在四边形中，，，点为的中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)①；②9； (2)证明：如图，过点D作交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． (3) 【分析】（1）①根据折叠的性质以及邻补角的性质即可解答；②由矩形的性质以及相关已知条件证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）如图，过点D作交的延长线于点H．先证明可得，再证明，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （3）如图，连接，根据等腰三角形的性质可得；如图：将绕点B逆时针旋转得到，连接，则，再证明可得易得，然后证明，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①由折叠的性质可得： ， ∴，即． ②∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点F是的中点， ∴， ∴，解得：． （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，点E为的中点， ∴， 如图：将绕点B逆时针旋转得到，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴在中， ． ∴． 【点睛】这道题的解题关键在于巧妙运用几何变换与图形性质的结合： 1．折叠问题：紧扣折叠前后的全等性质，利用对应角相等和邻补角关系确定垂直． 2．构造全等：通过作垂线构造“一线三等角”模型，证明三角形全等，将分散的线段集中到直角三角形中求解． 3．旋转变换：利用旋转构造全等三角形，结合中点性质证明相似，最终构建直角三角形利用勾股定理求解． 13．如图1，在矩形中，P为边上一点（），．将沿翻折得到的延长线交边于点M，过点B作交于点N． (1)求证：； (2)请判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，连接，分别交于点E，F．若，求的值． 【答案】(1)证明：过点作于点，则四边形和四边形是矩形，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， 即； (2)解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴四边形是菱形； (3)． 【分析】（1）过点作于点，易知四边形，四边形是矩形，所以，易证，所以，即； （2），所以，由题意可知：，所以，由于，即，从而可知，又易证四边形是平行四边形，所以四边形是菱形； （3）若，设，由（1）可知：，从而求出，由于，从而可证，从而可得，，结合表示，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由于，设， 由（1）可知：， ， ∴， ，， ， ， ， ， 同理可得：， ∵四边形是菱形， ， 在中，， 解得：， ， ∴， ， ， ， ， ． 14．【操作发现】 (1)如图1，和是等边三角形，连接，交于点． ①的值为________；②的度数为________； (2)【类比探究】如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点．求的值及的度数； (3)【实际应用】在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长． 【答案】(1)①；② (2)的值为，的度数为 (3) 【分析】（1）根据证明，可得进而得到，再根据求得； （2）根据，证得，得到，再根据得到； （3）分两种情况讨论，可知点、重合时均为直角三角形，用勾股定理求出，再用（2）的相似比例算出． 【详解】（1）解：如图， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． （2）解：如图， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）解：如图，当点与重合时，， ∴， 由（2）知； 如图，当点与重合时，， 则， 同理可得， 综上，． 15．如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． (2) (3)证明：如图，在线段上取点P，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明，进而利用相似三角形的性质解答即可； （3）在线段上取点P，使得，证明，得出，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴，即． 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴． （3）略 16．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 17．探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，即可得解． （2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解． （3）根据，，可证，可得 ，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：∵和都是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴或． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设，， 在中，根据勾股定理得， 设，， 在中，根据勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 18．基础学习 (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，交于点G，求证：． 尝试应用 (2)如图2，已知D、E为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交和于点P、Q和M，求的值． 拓展提高 (3)如图3，矩形中 (a为常数），点E是矩形边上的一个动点，延长至点F，使，连接，，与相交于点G，连接，求的最小值（用a的代数式表示）． 【答案】(1)证明：， ，， ，， ， ； (2)； (3) 【分析】（1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， ∴由（1）中结论可得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， 由矩形的性质可得，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点H为定点，点G在线段上运动， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形的经典模型 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 题型一、A字型相似 题型二、8字型相似 题型三、AX字型相似 题型四、母子型相似 题型五、三角形内接矩形相似 题型六、射影定理相似 题型七、旋转相似 题型八、折叠相似 题型九、一线三等角型相似 题型十、手拉手型相似 题型十一、动态相似 题型十二、k字型相似 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 题型十四、角平分线型相似 题型十五、重心相关相似 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的经典模型 ◆题型一、A字型相似 1．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 2．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 3．如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 4．如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：∽； (2)若求的长． ◆题型二、8字型相似 5．如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（     ） A． B． C． D． 6．如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 7．如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 8．完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． ◆题型三、AX字型相似 9．如图，点在平行四边形的边上，，与的延长线交于点，若，则平行四边形的周长为（     ） A．21 B．34 C．28 D．42 10．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 11．如图，已知点D、E分别是边、上的两点，，，，和相交于点O，且，求与的面积． 12．如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．则的长为______． ◆题型四、母子型相似 13．如图，在中，，，，O是斜边的中点，D是边上的一点．若，则的值为（     ）    A． B． C． D． 14．如图，，，，，则的长为_______． 15．已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 16．如图，在中，，以为边在的另一侧作，点为边（不含端点）上的任意一点，在射线上截取，连接． 设与交于点，则线段的最大值为_________． ◆题型五、三角形内接矩形相似 17．如图，在 中，，矩形 的顶点D，G 分别在边、上，E，F在边上．若 ，则矩形 的面积为（   ） A．16 B．24 C．32 D．36 18．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点P、N分别在边上，点Q、M在上，那么矩形的周长为________． 19．题目： 已知：如图，． 求作：矩形，使顶点分别在，，顶点都在边上，且（用直尺和圆规作图，写出必要的文字说明．） (1)小明对上述题目的解答如图①所示（隐去了弧），他写的文字说明是：是高，，．求证：矩形即为所求． (2)如图②，小丽只会作矩形，除了顶点不在AC边上外，其他都已经满足了题目的要求，她想通过图形的变换将矩形变化为要求作的矩形．请按小丽的思路完成作图，并描述从矩形到矩形的变换过程． 20．如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． ◆题型六、射影定理相似 21．如图，是的斜边上的高，，，那么与的面积之比是（   ）    A． B． C． D． 22．阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为． 结论：①；②；③． 下面是对结论①的证明： 是斜边上的高， ， ，， ， （依据）， ，即． 任务： (1)材料中的依据是指______． (2)证明结论②：． (3)运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 23．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 24．如图，在中，，是边上的高线． (1)若，，求的长． (2)求证：．（直接使用“射影定理”不得分） ◆题型七、旋转相似 25．如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（   ） A．2 B．1 C． D．3 26．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在x轴负半轴上，作直线PA交y轴于点C；以点A为旋转心把直线逆时针旋转得直线，直线交x轴于点B，交y轴于点，当时，的值为_______． 27．（1）如图1，已知正方形与正方形，将正方形绕点A按逆时针方向旋转，求证：，且； （2）如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点A顺时针方向旋转，连接，，在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值． 28．综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． ◆题型八、折叠相似 29．如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（     ） A．1 B．6 C．4 D．2 30．如图所示，正方形中，点为边上靠近点的三等分点，连接，将沿翻折得到，连接，，则的值为（   ） A． B． C． D． 31．如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 32．综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． ◆题型九、一线三等角型相似 33．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 34．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 35．（1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 36．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： ◆题型十、手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 38．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)如图1，正方形中，，分别交于点分别交于点则_____；（填“>”“=”或“<”） (2)如图2，矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值． 39．综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 40．综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； ◆题型十一、动态相似 41．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 42．如图，在中，，，．动点N从点C出发，以每秒的速度沿向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止运动．连接，设移动时间为t（单位：秒）． (1)当的面积为时，求t的值． (2)若以B，M，N为顶点的三角形与相似，求t的值． 43．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)根据题意知：______，______；（用含的代数式表示） (2)当与相似时，求的值； (3)连接、，当时，求的值． 44．如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． ◆题型十二、k字型相似 45．四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 46．如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由向点运动，若点运动时间为． (1)若四边形是平行四边形，则 ， ； (2)若，求与相似时的值． 47．如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 48．【教材呈现】 (1)如图1，E是正方形边上一点（不与点B，C重合），是等腰三角形，且，，交于点G，连接，探究与之间的数量关系． 爱动脑筋的小鼎同学通过思考，给出如下解题过程，请补充完整． 解：在边上取点H，使得，则，∴． ∵四边形是正方形，∴，． ∵，∴． ∵，，∴___________． ∵，∴___________．∴． ∴．∴． (2)【类比迁移】如图2，E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点G，连接，判断与之间的数量关系，并证明． (3)【拓展应用】在（2）的条件下，若，，点G是的三等分点，请直接写出的长． ◆题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 49．在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点． 【基础研究】 若正方形的面积为，若是的中点， (1)如图1，请直接写出__________； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点，求证： 【推广及应用】 (3)若正方形的边长为，设试探究是否为定值，若为定值，用、表示；若不是，请说明理由； (4)若将“正方形”改为“矩形”，且与的交点仍满足，设，，你还能得到③中的结论吗？若能，请直接写出__________；（用、、表示）； 50．矩形中，，点E是边的中点，连接，过点E作的垂线，与矩形的外角平分线交于点F． 【特例证明】（1）如图（1），当时，求证：； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在上截取，连接． ， ． ，， ， ． 平分，， ． ． （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） 【类比探究】（2）如图（2），当时，求________； 【拓展运用】（3）如图（3），当时，P为边上一点，连接，，，________． 51．如图，在中，点在边上，且满足，连接，，． (1)若，求边的长； (2)若，且，求线段的长． 52．在和中，，，点在内，，平分． (1)如图（1），当时，连接． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图（2），当时，直接写出的值． ◆题型十四、角平分线型相似 53．如图，在中，，平分，平分，相交于点F，且，，则的长为（    ） A． B． C． D． 54．如图，在中，，平分交于，平分交于，交于．若，，则的长度为 _______． 55．如图，在中，，为边上的中线，平分与相交于点，已知，则线段的长为___________． 56．【感知】如图①所示，在等边中，平分，过点D的直线于点E，交延长线于点F易得，（不需要证明） (1)【探究】如图②所示，聪聪将图①的等边改为任意，平分，他通过观察、测量，猜想仍然成立．为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法： 方法1：过点D分别作于点，于点F，利用与的面积比证明结论． 方法2：过点B作交延长线于点E，利用与相似证明结论． 请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法，帮助聪聪完成证明． (2)【应用】如图③所示，在中，，，，平分．若点E在边上，，交于点F，则________． ◆题型十五、重心相关相似 57．如图，在中，点O是的重心，，则四边形的面积是（     ） A．24 B．18 C．12 D．9 58．如图，在直角三角形中，，G是的重心，延长交斜边于点M，若，，则的长是________． 59．如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 60．【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图①中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题；并完成相关拓展应用． 【解决问题】 任务1：的三条中线，，交于O点，若的面积为m，则的面积为 ． 任务2：在任务1的条件下，求的值． 【拓展应用】 （1）如图②，在中，点O是的重心．连接，并延长，分别交，于点D，E．若，，，求四边形的面积． （2）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 2．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 4．在中，分别为边上的点，与相交于点D．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，矩形中，点在线段上，连接，平分交于点 ，过点 作，垂足为点，交于点．若，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，与分别交于点M，N．已知，则的长为_____． 7．如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 8．如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 9．如图，菱形的边长为6，，过点B作，交的延长线于点E，连接分别交，于点F，G，则的长为__________． 10．如图，在中，，，，为的中线，平分交于点E，连接，则的长为______． 11．如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为，连接并延长，交于点．若，，则的长为____． 12．问题背景 在学习“相交线与平行线”时，课本上有这样一个问题：你能用矩形纸片通过折纸的方法折出互相垂直的直线吗？小唯的折法如图1所示： (1)小花将第三步得到的图形标上字母，得到图2． ①的度数为________； ②若，点是的中点，，则的长度为________； (2)迁移应用 如图3，在中，将边绕点顺时针旋转，得到，延长到点，使，连接，求证：； (3)联系拓展 如图4，在四边形中，，，点为的中点，连接，若，，，求的长． 13．如图1，在矩形中，P为边上一点（），．将沿翻折得到的延长线交边于点M，过点B作交于点N． (1)求证：； (2)请判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，连接，分别交于点E，F．若，求的值． 14．【操作发现】 (1)如图1，和是等边三角形，连接，交于点． ①的值为________；②的度数为________； (2)【类比探究】如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点．求的值及的度数； (3)【实际应用】在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长． 15．如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 16．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 18．基础学习 (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，交于点G，求证：． 尝试应用 (2)如图2，已知D、E为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交和于点P、Q和M，求的值． 拓展提高 (3)如图3，矩形中 (a为常数），点E是矩形边上的一个动点，延长至点F，使，连接，，与相交于点G，连接，求的最小值（用a的代数式表示）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $