专题03 空间向量的坐标表示（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03空间向量的坐标表示 题型归纳 题型一点的坐标与向量的坐标运算 题型二共线与共面的坐标表示 题型三垂直与夹角的坐标运算 题型四基底坐标与向量分解 题型五建系求角与立体几何综合 题型专练 题型一：点的坐标与向量的坐标运算 1.已知向量a=2,-3,1,b=2,0,3,c=0,2,-1,则a6+c=() A.-2 B.0 C.1 D.-4 2.若点B是点A1,2,3在平面Oyz内的射影，则OB=() A.0,2,3 B.1,0,0 c.1,0,3 D.1,2,0 3.设点M1,-1,3,A-2,0,4,O0,0,0,若OM=AB,则点B的坐标为() A.1,0,-2 B.-1,-1,7 c.1,0,2 D.3,-2,0 4.在以0为原点，，j,为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点 A0,2,4,B2,3,-1,C0,2,0,若AB=CD,则D点坐标为() A.2,3,-5 B.-2,3,-5 c.2,3,5 D.2,-3,-5 5.在空间直角坐标系0-z中，已知点A1,-2,0和向量ā=-3,4,12，且AB=2a,则点B的坐标为 () A.-7,10,24 B.7,-10,-24 116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.-6,8,24 D.-5,6,24 6.已知A2,2,3,B-1,2,1,则AB=() A.3 B.13 c.V13 D.12 7.已知点A-1,3,1、B-1,3,4,若AP=2PB,则点P的坐标是 题型二：共线与共面的坐标表示 1.已知AB=(1,-2,2,BC=(2,1,-3,CD=(入，3，-5)，且A,B,C,D四点共面，则入的值为 () A.-1 B.2 C.-2 D.1 2.已知空间四点A(2,1,-1),B(1,3,2),C(4,0,1),D(5,-2,m),若A、B、C、D四点共面，则 实数m=() A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.己知向量a=1,2,1,6=3,2,2,且kà+b)‖（ā-2b,则实数k的值为 4.在空间直角坐标系中，向量a=(m,6,2),i=(2,n,1,若a/1i,则m+n=一 5.已知向量à=2，-1,2，b=-1,3,-3,c=13,6,λ，若ā，b,c共面，则1= 6.已知空间三点A1,3,-2,B2,5,1,Cp+1,7,q共线.则p= 7.已知向量a=入+1,1，，b=2,μ-1,1，若à‖i,则入+μ= 题型三：垂直与夹角的坐标运算 1.已知空间向量à=1,2,1，b=-1,3,0,则a与b的夹角的余弦值为() V6 V15 A.6 B.6 5 c.3 V6 D.3 2 2.向量ā=-1,2，-2,6=k,4,5夹角的余弦值为6，则实数k为（） A.3 B.-11 c.-3或11 D.3或-11 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.已知向量à=0，-2,0，i=1,0,1,若kà+1a-,则k=() 1 2 8.2 C.-2 D.2 4.已知a=2,3,1,6=-4,2,x,且a16,则a+6=() A.38 B.37 c.637 D.V35 5.己知i,j,是空间的一个单位正交基底，且AB=-i+j-衣，CD=2i+j+K,则AB与CD夹角的余 弦值为 6.设x,y∈R,向量a=(3,2,1,b=(1,x,1),c=(y,4,2),且ā1b,a/c,则b+c= 7.已知向量à=4,2,4,6=1，-2,2，若a+λ)1a-2b,则入=」 8.已知向量ā=3，-1,4，b=-6,2,m的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 题型四：基底坐标与向量分解 1.如图，在空间四边形OABC中，设OA=à，OB=i,OC=c,且OM=2MA,BN=NC,则MN=( M .1 3 3 29 a-26+2c c.2 a- 3 -C 2 2.如图.M是四面休asc的校BC的中点，点Y在线段oM上，且MN-=0N,AP-AN,则用 OA,OB,OC表示OP正确的是() 316 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ---30 B A0mo+o丽+0元 4 B.OP=0A+oB+0元 c.on-50A+4oB+40元 A 0.op:oa+号oi+oc 3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点.若PA=a,PB=,PC=C, 则用基底a,b,c表示向量BE为() A0-6+ a-6+c 2 2 c.za-36-7e 4.已知正方体ABCD-A1BC1D1中，点E为AC1的中点，若AE=AA1+xAB+yAD,(x, y∈R)则x+y= 5.如图，在四面体O-ABC中，点M满足4OA=5OM,N为BC的中点，若 MN=xOA+yOB+zOC,5x+y+z= M B 6.若p=xa+yb+zc,则称x,y,z为p在基底a,b,c下的坐标，若一向量p在基底ā，b,c下的坐标为 1,2,2,则向量p在基底ā+b,ā-6,2下的坐标为 7.已知向量p在基底（à，b,c}下的坐标为2,3,4），则p在基底（à+b,6+c,c}下的坐标为一 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知向量p以a,b,c为基底时的坐标为(2，-3,2)，则p以ā-2b,a+b,2c为基底时的坐标为 题型五：建系求角与立体几何综合 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D,中，点E为陵BC,上的点，且BE=EC,点P为 AC1与BD的交点，则PE=() D B B A.2 B.3 14 26 C. 3 D. 3 2.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P满足DP=号DD1,则向量AP与DB夹角的余弦值 为( D A B A B 2V30 2V30 A. B. 15 15 30 30 C.15 0.20 3.在正方体ABCD-A,BC1D1中，M为AD的中点，则A1M与DB1所成的角的余弦值为() 只V10 B. 5 15 c.5 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB,M为PC上一动 点，PM=tPC,若∠BMD为钝角，则实数t的值可能为() A.3 2 B. C.1 D.2 5.在正四棱锥P-ABCD中，AP=2,AB=1,过A作平面a,交PB于E,交PC于F,交PD于G, 若5PE=3PB,PC=2PF,则PG= 6.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,∠BAC=120°，SA=AC=2,AB=1,M为 SC的中点，P为BC上靠近C的三等分点，过点M,P的平面与AC交于点N,则当NP⊥BS时， MN- B 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，PB=PD=5,∠PDA=90°， os∠CAD,则该四枝锥的高为，体积为二 D 616可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03空间向量的坐标表示 题型归纳 题型一点的坐标与向量的坐标运算 题型二共线与共面的坐标表示 题型三垂直与夹角的坐标运算 题型四基底坐标与向量分解 题型五建系求角与立体几何综合 题型专练 题型一：点的坐标与向量的坐标运算 1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.c 7.-1,3,3 题型二：共线与共面的坐标表示 1.D 2.A 1 3. 10.5 4.7 5.3 6.24 7.3 题型三：垂直与夹角的坐标运算 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B 2.B 3.B 9 4.A 6.V62 7.2 8.-o,-8U-8,5 题型四：基底坐标与向量分解 1.D 2.A 3.B 4.1 5.-3 7.2,1,3 题型五：建系求角与立体几何综合 1.D 2.A 3.C 4.B 5.3A5 6. 10110 313 512 7.4 25 212面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03空间向量的坐标表示 题型归纳 题型一点的坐标与向量的坐标运算 题型二共线与共面的坐标表示 题型三垂直与夹角的坐标运算 题型四基底坐标与向量分解 题型五建系求角与立体几何综合 题型专练 题型一：点的坐标与向量的坐标运算 1.已知向量a=2,-3,1,b=2,0,3,c=0,2,-1,则a6+c=() A.-2 B.0 C.1 D.-4 【答案】B 【分析】利用向量的加法运算和数量积坐标公式求解 【解析】b=2,0,3,c=0,2,-1,.6+c=2,0,3+0,2,-1=2,2,2, .a6+c=2×2+-3×2+1×2=0 故选：B 2.若点B是点A1,2,3在平面Oyz内的射影，则OB=() A.0,2,3 B.1,0,0 c.1,0,3 D.1,2,0 【答案】A 【分析】根据投影求出B点坐标，再求OB坐标即可 【解析】因为点B是点A1,2,3在平面Oyz内的射影， 所以B0,2,3,所以0B=0,2,3 故选：A 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.设点M1,-1,3,A-2,0,4,O0,0,0,若OM=AB,则点B的坐标为() A.1,0,-2 B.-1,-1,7 c.1,0,2 D.3,-2,0 【答案】B 【分析】设Bx,y,z,根据OM=AB,结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解。 【解析】设Bx,y,z,则AB=x+2,y,z-4,且OM=1,-1,3, x+2=1 因为OM=AB,可得y=-1 解得x=-1,y=-1,z=7,即点B-1,-1,7. z-4=3 故选：B 4.在以0为原点，，j,为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点 A0,2,4,B2,3,-1,C0,2,0,若AB=CD,则D点坐标为() A.(2,3,-5 B.-2,3,-5 c.2,3,5 D.2,-3,-5 【答案】A 【分析】由题意可得OB=2i+3j-,OA=0i+2j+4X,O℃=0i+2j+0(,再根据 OD=OC+AB即可求解， 【解析】由题得OB=2i+3j-k,OA=0i+2j+4k,OC=0i+2j+0k, 故AB=OB-OA=2i+j-5k 又AB=CD=OD-OC 则OD=OC+AB=2i+3j-5k, 故D点坐标为2,3，-5. 故选：A 5.在空间直角坐标系0-xwz中，已知点A1,-2,0和向量ā=-3,4,12，且AB=2à，则点B的坐标为 () A.-7,10,24 B.7,-10,-24 c.-6,8,24 D.-5,6,24 【答案】D 【分析】利用点的坐标表示向量坐标即可求解， 【解析】因为a=-3,4,12,且AB=2a,所以AB=-6,8,24, 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又A1,-2,0,所以点B的坐标是-5,6,24. 故选：D. 6.已知A2,2,3,B-1,2,1,则AB=() A.3 B.13 c.V13 D.V12 【答案】C 【解析】AB=(-3,0,-2),∴.AB=-32+02+(-2=13 7.己知点A-1,3,1、B-1,3,4,若AP=2PB,则点P的坐标是 【答案】-1,3,3 【分析】设PX,y,Z,根据空间向量的坐标运算可得出关于x、y、Z的方程组，即可得出点P的坐标. 【解析】设Px,y,z,由AP=2PB可得x+1,y-3,z-1=2-1-x,3-y,4-z, x+1=2-1-x x=-1 则y-3=23-y 解得y=3 z-1=24-z 2=3 故点P的坐标为-1,3,3. 故答案为：-1,3,3 题型二：共线与共面的坐标表示 1.己知AB=(1,-2,2),BC=(2,1,-3),CD=(,3,-5),且A,B,C,D四点共面，则的值为 () A.-1 B.2 C.-2 D.1 【答案】D 【分析】四点共面等价于对应向量共面，利用共面向量定理建立坐标方程组，解方程组即可求出参数值. 【解析】根据共面向量定理：若三个向量共面，则其中一个向量可由另外两个不共线的向量线性表示， 设CD=xAB+yBC,代入向量坐标得入，3，-5=x1,-2,2+y2,1,-3, 对应坐标相等，列出方程组得飞， 先解后两个方程，得x=-1,y=1,代入第一个方程得入=-1+2×1=1， 因此λ=1 2.已知空间四点A(2,1,-1),B(1,3,2),C(4,0,1),D5,-2,m),若A、B、C、D四点共面，则 3/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 实数m=() A.-2 B.-1 C.0 D.2 【答案】A 【解析】若A、B、C、D四点共面，则向量AB,AC,AD共面，即存在实数入，μ∈R,满足 AD=1AB+μAC 由A(2,1,-1),B(1,3,2),C(4,0,1,D(5,-2,m,得AB=(1-2,3-1,2-(-1)月=(-1,2,3 AC=(4-2,0-1,1-(-1)=(2,-1,2AD=(5-2,-2-1,m-(-1)=3,-3,m+1 所以(3，-3，m+1)=1(-1,2,3)+μ(2，-1,2)=-1+2μ，2入-μ，31+2μ -λ+2μ=3 λ=-1 列方程组 21-μ=-3 解得μ=1 3λ+2μ=m+1 m=-2 因此实数m=-2 3.已知向量ā=1,2,1,6=3,2,2，且kà+b(a-2b,则实数k的值为 【答案】/-0.5 【分析】利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标运算，得到方程即可求解。 【解析】由ā=1,2,1，b=3,2,2,则ka+b=k+3,2k+2,k+2,a-2b=-5,-2,-3, 因为ka+b)I(a-26, 所号-22-号 23,解得k=- 2, 故答案为：一2 4.在空间直角坐标系中，向量à=(m,6,2),6=(2,n,1,若à/1b,则m+n= 【答案】7 【分析】先利用空间向量共线（平行）的坐标条件，建立比例关系求出方程的解即可. m_6_2 【解析】因为à1/石（≠0），则存在实数入，使得ā=入6，则对应坐标成比例，即：2元 m_2 2斤解得m=4, 62 同理， n1' 解得n=3, 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此，m+n=4+3=7. 故答案为：7。 5.已知向量à=2，-1,2，b=-1,3,-3,c=13,6,λ，若a,b,c共面，则入= 【答案】3 【分析】根据题意，由空间向量共面列出方程，代入计算，即可得到结果. 【解析】因为à=2，-1,2，=-1,3，-3，c=13,6,入， 三个向量共面，所以存在唯一实数对x,y,使得à=xb+yc, X三 -x+13y=2 9 所以2，-1,2=x-1,3,-3+y13,6,,所以3x+6y=-1 解得 -3x+yλ=2 y-g λ=3 故答案为：3 6.已知空间三点A1,3,-2,B2,5,1,Cp+1,7,q共线.则p= ,q= 【答案】 24 【解析】由题易得AB=(1,2,3),AC=(p,4,q+2) 因A,B.C三点类线，所AB1AC,故号-专华子。解得0=2，q=4 7.已知向量à=+1,1，入，b=2,μ-1,1，若à‖6，则入+μ=」 【答案】3 【分析】由空间向量的坐标运算求解， 【解析】因为a‖b,所以存在实数k,使得a=kb,即入+1,1，入=k2,μ-1,1， λ+1=2k, 所以1=kμ-1，解得k=入=1，μ=2，所以1+μ=3. λ=k, 故答案为：3 题型三：垂直与夹角的坐标运算 1.己知空间向量a=1,2,1,6=-1,3,0,则a与的夹角的余弦值为() 6 V15 A. 6 B. 6 5 V6 c.3 0.3 5/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】由空间向量的夹角公式计算可得答案， 【解析】因为à=1,2,1，i=-1,3,0 所以cosa,6=a:6 1×-1+2×3+0 V15 la]B /1+22+1×-1P+32+02 6· R2 2.向量à=-1,2，-2,6=k,4,5夹角的余弦值为6，则实数k为() A.3 B.-11 c.-3或11 D.3或-11 【答案】B 【解析】因为a=-1,2,-2,b=k,4,5, 所以à=1+4+4=3,6)=√k2+16+25=Vk2+41, 故cosà，6)=-k+8-10_2 3Vk2+41 ,化简得k2+8k-33=0,解得k=-11或k=3 又-k-2>0,所以k=-11 3.已知向量a=0,-2,0,b=1,0,1,若ka+b1a-b,则k=() 1 A.-2 1 B.2 c.-2 D.2 【答案】B 【解析】由题知ka+b=k0,-2,0+1,0,1=1,-2k,1, a-b=0,-2,0-1,0,1=-1,-2,-1, 由ka+b)1a-b,可得ka+à-)=0， 得到1，-2k,1-1,-2,1=-1+4k-1=0,解得k=号 4.已知a=2,3,1,6=-4,2,x,且a1,则a+6=（) A.38 B.V37 c.637 D.V35 【答案】A 【解析】因为a上b,所以à·b=2×(-4)+3×2+x=X-2=0,解得x=2, 所以b=-4,2,2,a+b=(（-2,5,3), 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得a+6)=-2+52+3=38】 5.已知i,j,是空间的一个单位正交基底，且AB=-i+j-,CD=2i+j+k,则AB与CD夹角的余 弦值为 2 【答案】 3 【分析】根据单位正交基底的特征，结合数量积公式，即可求解. 【解析】由题意可知，AB.CD=-i+j-2i+j+=-2+1-1=-2, A8=-i+j-k=+1+T=3cD=2i+j+k=4+1+i=6 14 所有cos(A B,CD= AB·CD -2-2 AB CD3×V6 3 故答案为：一 2 3 6.设x,y∈R,向量a=(3,2,1),b=(1,x,1),c=(y,4,2,且a1b,a/1c,则b+c= 【答案】V62 【分析】利用空间向量垂直、平行的坐标表示求出x,y的值，再计算b+c的模长即可. 【解析】：a1b,∴.a·b=3×1+2x+1=0,解得x=-2. a1/c,.3=2=1 ∴y42:解得y=6 则b=1,-2,1c=6,4,2b+c=7,2,31. 6+=7+22+3=V62, 7.已知向量à=4,2,4,6=1，-2,2，若ā+161a-26,则1= 【答案】2 【分析】利用向量的坐标计算向量的模的平方与数量积的值，再根据两向量垂直的充要条件为数量积为 0,展开数量积表达式后代入数值求解即可. 【解析】因为à=4,2,4,6=1，-2,2， 所以à=42+22+42=36，b=12+(-2)2+2=9,à·i=4×1+2×(-2)+4×2=8. 因为a+λb1a-2b,所以à+λb:à-2b=0,即a+(1-2)ā：i-2λb=0. 所以36+8（入-2）-181=0，解得入=2 8.已知向量ā=3，-1,4，b=-6,2,m的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 【答案】-o,-8U-8,5 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围 【解析】由两向量夹角为钝角的必要条件，得ā·b<0, a·b=3×-6+-1×2+4m=4m-20<0,解得m<5. 若ā与b共线，则存在实数入满足b=入a, -6=3λ 即2=-λ 解得入=-2，此时m=-8, m=4入 故m≠-8，实数m的取值范围为-∞，-8U-8,5】 题型四：基底坐标与向量分解 1.如图，在空间四边形OABC中，设OA=a,OB=b,OC=c,且OM=2MA,BN=NC,则MN=（ M A A. 3 B. 32 12,1- c.2a-3b1 二b+ 0.-2a+6+号e 3 2 2 【答案】D 【分析】利用线段的分点关系求出OM和ON,再通过向量的减法求MN. 【解析】因为0M=2MA,且M在线段0A上，所以OM=号OA=2ā 3 又因为BN=NC,所以N为BC的中点，BN=号BC=e- 所u0-0n+-b+2-6-+ 8/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因tN-ON-0双=号ā+5+，D正商， 32 2如图，M是四面体O1c的棱C的中点，点N在线段oM上，且MN=0N,AP-子AN,则用 4 OA,OB,OC表示OP正确的是() YP N B A.op=0A+oB+o元 4 B.OP-10A+10B+10C 4 c.OP-T0A+40B+10C 4 0.0m-号oa+号oi+号0d 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算，结合中点公式及共线向量定理，将OP逐步转化为基底向量 OA,OB,OC的线性组合. 【解析】由题意可知，M是BC的中点，根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得 OM-1OB+0C. 因为点N在线段OM上，且MN=ON,即ON=2MN,所以OM=ON+MN=号ON, 放ON=号0M=号×oB+oC吉oB+0 3 32 又因为点P在线段AN上，且AP=子AN,所以AP-是AN, 4 根据向蟹减法的三角后达则。AN-0N-0,所以AP-0N-0A-子0N-子0A。 ÷1， 最后，由向量加法的三角形法则可得：0P=0A+AP=0A+30N-三0A=0A+30N, 4 4 4 4 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将0N=oB+oC入试，得：0P-0a+经号oB+oC-0A+0B+0C, 43 4 故选A 3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点.若PA=ā，PB=b,PC=c, 则用基底{a,b,c表示向量BE为() A五6 .1a-36+ 22 B.28 22 ca-6- 0.+ 【答案】B 【解析】因为ABCD是平行四边形，所以AD=B亡，从而 PD=PA+AD=a+BC=a+(PC-PB)=a+c-b. 又E为PD的中点，所以P庇=PD=a+c-6. 于是正-P吃-pm-a+6-耐-65+ 4.已知正方体ABCD-A1BCD中，点E为A1C1的中点，若AE=AA1+xAB+yAD,(x, y∈R)则x+y= 【答案】1 【分析】通过空间向量的线性运算将AE用AA1,AB,AD表示，对比系数求出X,y的值后计算和. 【解析】如图所示，在正方体ABCD-AB,C1D1中， 由A它=AA1+A它，且E为AC的中点，可得AE=A,C 又A,C-AC=AB+AD,代入上试得：A龙=AA+片引AB+AD)=A本，+号AB+号AD, 因为A正=A+xAB+yAD,所以x方y 园此x+y支1 10120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B 】 5.如图，在四面体O-ABC中，点M满足4OA=5OM,N为BC的中点，若 MN=xOA+yOB+zOC,5x+y+z= B 【答案】-3 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参。 【解析】由慰意知N=0+oN=-号o1+号o8+o元=-号OA+o亚+O元， 因为MN=xOA+yOB+zOC, y2则5x*y+2=-3 所以X三-4，) 故答案为：-3 6.若p=xa+yb+zc,则称x,y,z为p在基底ā，b,c下的坐标，若一向量p在基底a,b,c下的坐标为 1,2,2,则向量p在基底a+b,a-b,2c下的坐标为 【答案】 321 【分析】首先根据坐标写成基底表示的形式，再利用待定系数法，列式求解 【解析】由条件可知，p=a+2b+2c 设向量p在基底à+b,ā-石，2c下的坐标为x,y,z, 所以p=xa+b)+ya-b)+2zc=x+ya+x-yjb+2zc, 11/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+y=1 所以x-y=2 得3 ,y 2,2=1 2z=2 所以向量p在基底ā+b,ā-i,2c下的坐标为 故答案为： 7.已知向量p在基底{à，b,}下的坐标为(2,3,4)，则在基底{ā+i,+c,c}下的坐标为 【答案】2,1,3 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案。 【解析】由题意可得D=2ā+3b+4c,设p=xa+b+y石+c+zc=xa+x+yb+y+zc, X=2 X=2 则x+y=3 解得y=1,所以坐标为2,1,3 (y+z=4 z=3 故答案为：2,1,3 8.已知向量以à，b,c为基底时的坐标为(2，-3,2），则下以ā-2b,ā+b,2c为基底时的坐标为 【答案】 【分析】根据坐标与基底表示向量的关系，即可求解。 【解析】向量p以ā，b,c为基底时的坐标为2，-3,2），所以p=2ā-36+2c, p=x(a-2B)+ya+b+z.2c=(x+yla+(y-2x|B+2zc. 5 X+y=2 即y-2x=-3,解得： 2z=2 2=1 -号a-261+6+41-2元， 所以p以ā-2b,ā+b,2c为基底时的坐标为 故答案为： 511 33 题型五：建系求角与立体几何综合 12120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E为楼BC1上的点，且BE=号EC1,点P为 A1C1与B1D1的交点，则PE=() D C B B A.2 B.3 V14 V26 C. 3 D. 3 【答案】D 【分析】如图建系分别求点的坐标，再应用空间两点间距离公式求解 【解析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，， ZA D D B 点P为AC1与BD的交点，P为A1C1的中点则可得P(1,1,2), 因为BE-号EC:所BEBC:则E号2，号， 所以P=-含-1+2-1+号-2=2 ,2V26 故选D 2.如图，在正方体ABCD-A,BC,D,中，点P满足DP=号DD,则向盘AP与DB夹角的余弦值 为() 13120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B 2V30 2V30 A. 15 B. 15 V30 V30 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 坐标系 设正方体的棱长为3，则A(3,0,0),P(0,0,1),D1（0,0,3),B(3,3,0), 所以AP=-3,0,1),D1B=(3,3,-3), 故Cos(AP,D,B)= AP·D1B -12 APID,B10×27 230 15 所以向量AP与DB夹角的余弦值为-230 15 TD C A B1 卡A B 3.在正方体ABCD-A1BC1D1中，M为AD的中点，则A1M与DB所成的角的余弦值为() 9V10 A.5 B. V15 4 c.5 0. 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 14120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】如图， ZA D C A B D M B 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A12,0,2,D0,0,0,B12,2,2, .M为AD的中点， ∴.M1,0,0, ∴.A1M=1,0,0-2,0,2=-1,0,-2, DB1=2,2,2-0,0,0=2,2,2, cos A M,DB= A1M·DB -1×2+0×2-2×2 A1MDB-1P+|0+-22V22+22+2 -6 V15 5×235, 设异面直线A1M与DB,所成的角为9∈0,2 cos9=cos,Daj小 5 V15 即A1M与DB,所成的角的余弦值为5. 故选：C 4.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB,M为PC上一动 点，PM=tPC,若∠BMD为钝角，则实数t的值可能为() A.3 C.1 D.2 【答案】B 15120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】以A为原点建系，根据0sBM,DM<0得出3t<1即可判断。 【解析】以A为原点，AB,AD,AP所在直线为X轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA=AB=1,则B1,0,0,D0,1,0,C1,1,0,P0,0,1, 因为PM=tPC,所以PM=tPC=t1,l,-1=t,t,-t,则Mt,t,1-t, BM=(t-1,t,1-t),DM=t,t-1,1-t, 数es,DD,t-+t+1 BM:DM-tt-1+tt-1+1-t_32-4t+1 3t-4t+2 3t2-4t+1<0 因为∠BMD为钝角，所以cosBM,DM<0,即32-4+2 又一元二次函数y=3t2-4t+2,△=16-4×3×2<0，所以3t-4t+2>0恒成立， 做3r2-4+1<0,得时<1 故只有B选项满足题意 故选：B 2 5.在正四棱锥P-ABCD中，AP=2,AB=1,过A作平面C,交PB于E,交PC于F,交PD于G, 若5PE=3PB,PC=2PF,则PG= 3 【答案】/1.5 【分析】方法一：根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结 果；方法二：根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果 【解析】（方法一）连接AC,并与BD交于O,以O为原点，以OA,OB,OP的方向分别为x,y,z轴 的正方向建立空间直角坐标系Oxyz, 16120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为P-ABCD方四楼能，且AP-2AB=1,则A0-方AC-方1-要， 则0p=AP-Ao=422, 1_V14 则A 2 2’2 pa浮a亚匠--瓷，m-t孚a 2 4 设G=AD=0 2-4ER). 2 因为A,E,F,G四点共面，所以PA=xPE+yPF+zPG,其中x+y+z=1, 92 所以 V201323V14+-Y二，0，-=+z0,-V2,-V14 2 =x0, +y 10’10 4 4 2y32-2,3证x平y-z 4y, 10x- 2 10x- 4y- 2 Z 9 3 入= 2 32_2 则 10+~ 1z=0 2 解得y 3 乎，9 t=-2 2 2 4 Z= x+y+z=1 3 所以PG=三PD=3 3 4 2 (方法二)设PD=λPG,因为5PE=3PB,PC=2PF, 则PB=PE,P元=2p下， 17120 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则PA=PD+DA=PD+CB=PD+PB-P元=λPG+5P吃-2P市 因为A,E,FG共面，所以+号-2=1，解得A 4 3 所以PG=3PD= 4 2 故答案为：2 6.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,∠BAC=120°，SA=AC=2,AB=1,M为 SC的中点，P为BC上靠近C的三等分点，过点M,P的平面与AC交于点N,则当NP⊥BS时， MN= S B 【答案】 101y10 33 【分析】首先建立空间直角坐标系，根据NP⊥SB,利用空间向量位置关系求出点N的坐标，再代入 两点间距离公式，即可求解。 【解析】以点A为原点，AB,AS为X,z轴的正方向，过点A作y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ZA S A0,0,0B1,0,0S0,0,2C-1,3,0 B$=-1,0,2 B ,则 13, 由于M为SC的中点，可得M 22 设NC=λAC,由于P为BC上靠近C的三等分点， 则NP-NC+Gp=λA元+号cB=-1,R3,0+32,-3,0 18120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为NP1n5,所以D-店=-A号-0，有A号 此时N 33,0/ 1 3 13 2’2,1 所以MN= 3 3 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，PB=PD=5,∠PDA=90°， Cos∠CAD=4 则该四棱锥的高为，体积为 512 【答案】 25 【分析】先利用菱形的性质定理及线面垂直的判定定理得BD⊥平面APC,进而利用面面垂直的判定 定理得平面APC⊥平面ABCD.然后建立空间直角坐标系，设P(x,0,z),利用PB=5和 ∠PDA=90°求得点P坐标即可求解锥体的高，最后利用棱锥的体积公式计算即可. 【解析】连接DB交AC于点O,连接PO.因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC,且O为DB的中点. 因为PB=PD,所以PO⊥BD. 又因为AC,POC平面APC,且ACn PO=O,所以BD⊥平面APC. 而BDC平面ABCD,所以平面APC⊥平面ABCD 故以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 19120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 有写50D=4×32 因为AD=4,c0s∠CAD=号所以A0=4×号5 5-5, 则A50,0,80号，0，号 由题意平面APC即为平面xOz,故设P(x,0,z),z>0 因为PB=5,所以X+4+2=25即X+2=25-144=481 25 25-25 又∠PDA=90°，所以DA⊥DP,所以DA·DP=0, D1-9号0，D-号小9x号号-0，罪翻x=是 16. 55 所以z2= 481 25 95 =16,所以z=4,所以该四棱锥的高为4： 又菱形ABCD的面积为号×AC×BD=号×32×24_384 25525 1×384×4=512 所以该四棱锥的体积为5×25 25 512 故答案为：4：25 20120