专题01 空间向量及其运算（高效培优专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量及其运算 题型归纳 题型一空间向量的线性运算 题型二共线向量 题型三空间向量的数量积、模与夹角 题型四空间向量数量积的几何应用 题型专练 题型一：空间向量的线性运算 1. 已知空间四边形ABCD,G是CD的中点，连接AG,则A花+D+BC)=() A.AG B.CG c.BC 【答案】A 【解析】在△BCD中，：G是CD的中点，.BC=号|防+BC. .AB+BD+BC=AB+BG=AG 2.空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点P,Q分别为OC,AB中点，则PQ等于( ) ++ c- 1 1 2 【答案】C 【分析】应用空间向量加减、数乘的几何意义用OA=ā，OB=b,OC=c表示出PO. 【解折1如图，p0-0+00oi+0i-20元-=号0i+号0i-20C-ā+6- 故选：C 1/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3.在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，M是AC与BD的交点，若AA1=a,AB=b,AD=C,则下列 向量中与D1M相等的向量是() D B D B A.a+6-1c 22 8.a-6-c 2 2 c.-a*五- 0.-- 【答案】C 【解析】由题意可知，在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，AA,=a,AB=b,AD=C。 根据向量加法的三角形法则，可得：D,M=DD+DM, 因为D,D=A1A=-AA1=-Q: 又因为M是平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点， 所以M为BD的中点，则DM=号DB 在△ABD中，DB=AB-AD-i-c,所以DM-6-c-6- 综上所述，D,1=-a+6- 2 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA=a,PB=b,PC=c,则用基 底{a,b,c}表示向量BE为() 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 --- 2 c06 D. 。上b+3 20- 【答案】c 【解析】连接BD, 因为E为PD的中点，所以在△PBD中，1 =師+筋 因为底面ABCD是正方形，所以BD=BA+BC, 所以庇=+函+B心. 又因为BA=PA-PB,BC=PC-PB,且B驴=-PB 所以庇=引-P陀+i-P+p元-P=i-3P+P心. 因为PA=a,PB=b,PC=c, 所u成=顾-3+元号昌师+号p心-a6+ 2 2 5.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，M为A1C1,BD1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c 则向量BM=() B 3/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1a-16-c 02 B. 2a- c号+6- 1→ 1 2 D. _1b+c 2 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算进行求解 【解析】因为在平行六面体ABCD-ABCD1中，M为AC1,BD的交点， AB=ā，AD=b,AA1=c, 所以B脑=B克+BM=AA,+号BD=AA,+B,A,+BC =A+号耳A+号C,=AA+丽+成=A,号丽+号而--+号五 6.在空间四边形OABC中，设OA=a,OB=b,OC=亡，点M是BC的中点，点N是AM的中点，用向 量a,b,c表示ON,则ON=() 2 D.4044 【答案】C 【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用OA=à，OB=b,OC=c表示出ON: 【解析】因为点N是AM的中点，所以ON=号OA+OM, 2 因为点M是BC的中点，所以OM=,OB+,OC 所以owDA+OM--OA+1x1oB+oC3a+2b+ 2 22 C 4 4 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC,P为线段BC1的中点，则直线DP 与BC1所成角的正弦值为() M 5 A.5 B.3 5 2V5 C.3 D. 5 【答案】D 【分析】利用向量法先求得直线DP与BC1所成角的余弦值，再由同角三角函数关系式求得其正弦值 【解折1由题意得，DP=号DB+号DG-号DA+号Dc+号Dc+吃DD,=号DA+Dc+号D0, BC=BC+CC=-DA+DD 在长方体ABCD一A1B1C1D1中， DA·DC=0,DADD1=0,DC·DD1=0, 设AB=BC=1,则DA=1,DD1=AA1=2, 所DPC=-号Dm+号DD,=方2=号 BC=-DA+DD-DA+DD-5 12 所以， 5 所以直线DP与BC1所成角的余弦值为5， 所以直线DP与BC1所成角的正弦值为1- 5 2V5 5 5 方法二：如图所示建立空间直角坐标系， 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设AB=BC=1,则DA=1,DD1=AA1=2, 所以D0.0,01,B1,10,C012则P211 所uDP=2,11,BC=-10,2. 所以， 5 所以直线DP与BC所成角的余弦值为5 所以直线DP与BC1所成角的正弦值为1- 2V5 5 题型二：共线向量 1.下列向量中与à=(0,1,2)共线的是() A.（1,0,2 B.（1,2,3 c.(0,2,4 D.(0,2,-1 【答案】C 【分析】根据b=入a(a≠0)可得a/1b,进行判断. 【解析】因为0,2,4=20,1,2=2ā，所以c选项满足题意： 其他选项不存在入∈R,使入ā写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意 故选：C 2.若向量u1=-3,y,2小u2=6,-2,z小且u111u,则y-z的值是(） A.-3 B.5 C.3 D.-5 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得u,=入u2:列方程求入，y,Z,由此可得结论. 【解析】因为u1/1u)'所以存在实数入，使得u1=入u2 又u1=-3,y,2,u2=(6,-2,z小 所以-3=1·6，y=1(-2),2=z, 解得2=分y=1,2=-4 因此y-z=1-（-4)=5 3.已知向量a=x,3,y小b=0,1,m,若a‖b,则(） A.X=1 B.ym=3 C.y=3m D.m=3y 【答案】c 【解析】因为a=x,3,yb=0,1,m且a‖b, 根据向量平行的充要条件，存在实数入，使得a=入b, X=λ·0 X=0 所以3=入·1 解得 λ=3 y=1·m y=3m 4.己知a=2,-3,1,i=-4,m,nl,且a/b,则m+n=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】由题意可设a=λb,入∈R,即(2，-3,1)=λ(-4，m,n, 2=-4λ s、1 2 所以-3=入m,解得m=6' 1=λn n=-2 所以m+n=4. 5.己知空间向量a=1,-1,y与b=-2,X,4共线，则y+x=() A.0 B.6 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.-4 D.4 【答案】A 【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解x,y的值，即可得y+X的值。 【解析】因为空间向量ā=1，-1，y与b=-2,x,4共线，显然x≠0， 所以之又=羊解得x=2,y=-2,所以y+X=0 1=1=y 故选：A 6.己知e1,,E不共面，若AB=e1+2E2-c,BC=λC+μe2+e,且A,B,C三点共线，则1+μ= () A.-3 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【分析】由题意可得AB=xBC,由此求出入，μ的值，即可得解。 【解析】因为A,B,C三点共线，所以AB=xBC, 即e1+2e2-e3=xe1+μe2+e3=xe1+μxe2+xe3, λx=1 λ=-1 所以 X=2 解得μ=-2 X=-1 X=-1 所以入+μ=-3. 题型三：空间向量的数量积、模与夹角 1.如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2,∠BAC=90°，∠BAD=∠CAD=60°，M,N 分别为BC,AD的中点，则MN=() M A.2V2 B.2 c.2 D.1 8/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得MN-号AD-号AB-AC,结合空间向量数量机的运算律 计算可得MN】 【解析】由题意得，AB=AC=AD=2,(AB,AC=90°，(AB,AD=60°， AC,AD=60°， ∴ABAC=0,ABAD=2×2×2,At-AD=2x2×分2 :MN=AN-AM=A市-2AB+A花=2AD-2AB-A花， MN=}AD号AB-3A花 片aù+A花+号A花-20B-2号D号花+2B号就 =/1+1+1-1-1+0=1. 故选：D 2.在棱长为1的正四面体PABC中，AC=4AE,则PE:BC=() 1 3 A.8 B. 8 1 V3 C.4 D.4 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解。 【解析】因为P吃=pA+子A花=PA+P元-PA子P元+子PA 故选：A 3.若a,6,c为空间两两夹角都是3的三个单位向量，则à+6-2c归 【答案】3 【解析】已知à，6，c为空间两两夹角都是3的三个单位向量， 9/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则a-6=ac=b:c=1x1×cos号克la=l,|=1,=1, a+6-22=a+6-2:a+i-2 =a.a+a.b-2a.c+b.a+b.b-2b.c-2c.a-2c.b+4c.c =a2+6+4c+2àb-4ac-4ic, 代入数值可狗6+6-2f-P+144×142×号4×号4×号-3， 所以a+i-2c=3 4.a、、c是空间向量，其中à16，c与a、的夹角都是60°，且=1,6)=2，=3.则 a+b-2)= 【答案】5 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解 【解析】因为a1b,c与à、b的夹角都是60°，且a=1,=2,|c=3, 则a-6=0,a=3cos=3.6-=2x3x-3 32 2 则a+6-c=a+b+2+2a6-2ac-2b=1+4+9-3-6=5, 所以a+i-c=5, 故答案为：5. 5.已知正四面体P-ABC的棱长为2，点M是棱BC的中点，则PA·PM的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-2 【答案】C 【分析】利用中点向量公式把P应表示为P丽+P元1。再展开数量积，结合正四面体枝向量模长为2， 两两夹角60°，代入数量积公式计算即可. 【解析】如图，作出符合题意的图形， 10116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在棱长为2的正四面体P-ABC中， 得到PA)=PB=PC=2,且PA,PB,PC两两的夹角为60°， 所以A·Pi=i-P吨cos60=2×2×22, i·P元=|i,P心cos60=2×2x号=2， 因为点M是棱BC的中点，所以PM=P丽+PC, 所以应-廊+元商庞*号成×2+×2=2 2 6.如图，二面角&-1-B等于135，A,B是棱l上两点，BD,AC分别在半平面a,B内，AC1L, BD⊥L,且AB=AC=2,BD=V2,则CD=() A.2V3 B.2V2 c.V14 D.4 【答案】C 【分析】依题意，可得DC=DB+BA+AC,再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【解析】由二面角的平面角的定义知BD,AC=135°， 所以BD·AC=BDAC)cos(BD,AC=2×2×cos135=-2, 由AC⊥L,BD11,得AC·BA=0,BD·BA=0, 又因为DC=i+函+AC,所以DC=DB+B4+AC -DB+BA+AC2+2DB-BA+2DB-AC+2BAAC =只V2+22+22-2BD·AC=10-2×-2=14, 所以DC=V14,即CD=V14. 7.如图所示，二面角c-1-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD分别在半平面C,B内，且AC⊥1， BD⊥1，AB=2,AC=3,BD=4,则CD的长 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B二--- 【答案】17 【分析】利用空间向量加法法则将CD表示为CA+AB+BD,通过两边平方结合向量数量积的定义及运 算律求解 【解析】因为AC⊥l,BD⊥L,且A,B在棱上，所以AC·AB=0,BD·AB=0: 又因为二面角a-l-B为60°，ACCa,BDCB,且AC⊥L,BD⊥L,所以向量AC与BD的夹角 为60°， 则向量CA与BD的夹角为180°-60°=120°.由向量加法法则可得CD=CA+AB+BD, 12 所以CD=CA+AB+BD=CA2+AB2+BD2+2CA,AB+2CA·BD+2ABBD =32+2+4+0+2×1 CAIBD1c0s120+0=9+4+16+2×3×4×(-2)=29-12=17, 即CD=V17,所以CD的长为V17 题型四：空间向量数量积的几何应用 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上，且CF=2FD,则EF·AC为 () 5 A.12 B.- 12 1 C.4 【答案】A 【分析】设BC=a,BD=b,BA=c,将题设中的EF和AC分别用a,b,c线性表示，再根据向量数量 积的运算律计算即得。 【解析】 12116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 如图，设BC=a,BD=6,BA=元，依题意===1，a·i=i·c=ca=) 连接BP,因E下=-B正-B亚=BC+C-号BA=BC+CDBA =+号6--6- 又AC=BC-BA=a-c, 则EFAC=(a+261g8g 3a+5b-2c-(a-c -b 12125经三23学2 +2c-6 ·c+5a·b-5b·c 3 3 115121_21_5 X二+二X 32623232121 故选：A 2.在正四面体ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，若AB·EF=1,则BE·BF= 【1月 【分析】利用三角形中位线化简向量，结合正四面体棱长相等、棱夹角为3的特点，先由己知数量积求 出棱长的平方：再借助向量中点公式拆分目标向量，展开数量积运算求值. 【解析】因为E,F分别是AD,CD的中点，由三角形中位线性质得： EF=ED+DF-1AD+IDC-1AC 21 21 π 设正四面体的棱长为Q,正四面体从同一顶点出发的两条棱的夹角为3，因此： AB-EF-AB-(AC)=AB)AC)c0s 3 代入已知A8:E疗=1得：方aa:1→。=4，因为0>0，所以Q=2,即正四面体的按长为2 1 13/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拆分日标向量：BE=时BA+BD.BF-BC+BD.计算点积得 B-BA+DCRD)-BA-BC+BA-8D+RD-BC+RD-8D- 1 2×2c0s +2×2 4 3 D B---- 3.正四面体ABCD的棱长为1，O为底面BCD的中心，则AO·AB= 【容案1号 【解析】因为O为底面的中心，所以AO=AB+AC+AD, 3 A0-AB-3AB+AC+ADAB-AB-AB+ACAB+AD-AB 1+1x1xa+1x1s-号 .π2 4. 已知正四面体ABCD的棱长为2，F,G分别为AD,DC的中点，则FG·BA= 【答案】-1 【解析】因为FG=AC=号BC-BA.所以 FG·BA=BC-BABA=号B元·BA-BA =×2×2×cos60-2×2=-1 5.如图，正四面体ABCD的棱长为1，CE=号CD,则A正·AB= 14/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】20.5 【分析】由图象及已知条件，先用AC与AD来表示A它，再求AC,AD分别与AB的数量积，进而 可得答案 【解析】因为点B是棱cD的中点，所以A正=AC+ADl 又因为正四面体ABCD的长为1，所以AB:A元=AB:AD=1x1×cos60=, 所以A正：AB=AB:Ac+AD=AB-AC+ABAD=月 故答案为：2 6.已知异面直线a,b所成角为60°，直线AA1垂直于直线Q,b且分别与直线a,b交于A、A1两点.点E∈直 线a,点F∈直线b,AE=1,AA1=1,A1F=2,则EF= 【答案】22或2 【分析】利用向量的加法运算可得E下=EA+AA1+A1F,再由向量的模长及数量积运算即可求解. 【解析】EF=EA+AA1+A1F, 所以EF=EA+AA+AP}+2EA·AA1+2AA1·A1F+2EA·AF =1+1+4+2EA·A1F, 由题意得EA与A1F的夹角为60°或120°， 当夹角为60时，EA·A1F=1×2×1, 此时EF}=6+2=8,所以EF=2PV2: 当夹角为120时，EAA下=1×2×(-号=-1， 此时EF}=6-2=4,所以EF=2: 故答案为：22或2， 15116 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.在四面体ABCD中，平面ABD与平面CBD互相垂直，AB⊥AD,AB+AD=10,△BCD为 等腰三角形，且BC=CD=5,BD=8,则异面直线AC与BD夹角的余弦值为 7 【答案】4 【分析】取BD中点构造垂直关系，将向量分解简化运算，结合已知条件求解向量模长与数量积，最终 计算夹角余弦值。 【解析】如图，取BD的中点O,连接OA,OC,则由题易得OC⊥BD,OA=4,OC=3, 又因为平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,OCC平面BCD, 所以OC⊥平面ABD,所以OA⊥OC,所以AC=5. AC·BD=AO+OCBD=AO·BD+OC·BD, 因为o元·BD=0,所以A℃·BD=A0·BD=AD+ABAD-AB, 设AD=m(m>0),AB=n(n>0),由题意得 m+n=10, m2+n2=64, 则2mn=m+n2-m2+n2=36,所以m-n2=m2+n2-2mn=28, 则m-n=±2V7,则AC,BD=±10V7 设AC与BD夹角为a,则cosa=cos AC,BD)= AC·BD_V7 AC BD 4 B 16116可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01空间向量及其运算 题型归纳 题型一空间向量的线性运算 题型二共线向量 题型三空间向量的数量积、模与夹角 题型四空间向量数量积的几何应用 题型专练 题型一：空间向量的线性运算 1.A 2.C 3.C 4.C 5.A 6.C 7.D 题型二：共线向量 1.c 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 题型三：空间向量的数量积、模与夹角 1.D 2.A 3.3 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.5 5.C 6.C 7.9V17 题型四：空间向量数量积的几何应用 1.A 2.2 2 3. 4.-1 1 5.2/0.5 6.2V2或2 V7 1.4 212耐学科网·上好课 www.zxxk.com 专题01空间向量及其运算 题型归纳 题型一空间向量的线性运算 题型二共线向量 题型三空间向量的数量积、模与夹角 题型四空间向量数量积的几何应用 题型专练 题型一：空间向量的线性运算 1.已知空同四边形ABCD,G是CD的中点，连接AG,则花+2励+成 A.AG B.CG C.BC o.nc 2.空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点P,Q分别为OC, c+5- D0-5+ 3.在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，M是AC与BD的交点，若AA1=a, 向量中与D1M相等的向量是() D C B D A. B.a- 116 上好每一堂课 () AB中点，则PQ等于( AB=b,AD=,则下列 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.a+五 o.-a-b- 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA=a,PB=b,PC=c,则用基 底{ā，b,c}表示向量B驼为() ---H A. 3a- 1-11- 2 c B.2a-2b- 、1二36+c 113- c.2a-2 0.20-2b+ c 5.如图，在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，M为A1C1,BD的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c 则向量BM=() B Aa+5+ 2 8.2a-8-c ca+号6- 1 2 6.在空间四边形OABC中，设OA=a,OB=b,OC=c,点M是BC的中点，点N是AM的中点，用向 量a,b,c表示O,则ON=() B. 2a+ 22 a+16+1e p.4 4 4 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC,P为线段BC1的中点，则直线DP 与BC1所成角的正弦值为() 216 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A 5 A.5 B. 2-3 5 25 c.3 D. 5 题型二：共线向量 1.下列向量中与à=(0,1,2)共线的是() A.（1,0,2 B.（1,2,3) c.(0,2,4 D.(0,2,-1 2.若向量u1=-3,y,2,u2=6,-2,z小且u1/1u2则y-Z的值是() A.-3 B.5 C.3 D.-5 3.已知向量a=x,3,yb=0,1,m,若a‖b:则() A.X=1 B.ym=3 C.y=3m D.m=3y 4.已知a=2,-3,1,b=-4,m,nl,且a/b,则m+n=() A.3 B.4 C.5 D.6 5.已知空间向量a=1,-1,y与b=-2,x,4共线，则y+x=() A.0 B.6 C.-4 D.4 6.己知E1,已2，E3不共面，若AB=E1+2E-E3,BC=入E+μe2+E,且A,B,C三点共线，则+μ= () A.-3 B.1 316 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.2 D.3 题型三：空间向量的数量积、模与夹角 1.如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2,∠BAC=90°，∠BAD=∠CAD=60°，M,N 分别为BC,AD的中点，则MN=() A.2/2 B.2 c.2 D.1 2.在棱长为1的正四面体PABC中，AC=4AE,则PE·BC=() 1 V3 A.8 B.8 1 3 C.4 0.4 3.若à，石，c为空间两两夹角都是号的三个单位向量，则6+6-2门 4.a、i、c是空间向量，其中a1i,c与a、b的夹角都是60°，且a=1,)=2,e=3.则 a+b-c)= 5.已知正四面体P-ABC的棱长为2，点M是棱BC的中点，则PA·PM的值为() A.-1 B.1 c.2 D.-2 6.如图，二面角Q-1-B等于135°，A,B是棱1上两点，BD,AC分别在半平面Q,B内，AC⊥1， BD⊥I,且AB=AC=2,BD=V2,则CD=() p >C A.2V/3 B.2V2 416 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.V14 D.4 7.如图所示，二面角Q-1-B为60°，A,B是棱1上的两点，AC,BD分别在半平面Q,B内，且AC⊥1， BD⊥1，AB=2,AC=3,BD=4,则CD的长 D B二1 SC 题型四：空间向量数量积的几何应用 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上，且CF=2FD,则EF·AC为 () 5 A.12 1 C.4 2.在正四面体ABCD中，E,F分别是AD,CD的中点，若AB·EF=1:则BEBF= 3.正四面体ABCD的棱长为1，O为底面BCD的中心，则AO·AB= 4.已知正四面体ABCD的棱长为2，F,G分别为AD,DC的中点，则FG·BA= 5.如图，正四面体ABCD的棱长为1，C龙=CD,则A正·AB= D 6.已知异面直线a,b所成角为60°，直线AA1垂直于直线a,b且分别与直线Q,b交于A、A1两点.点E∈直 线a,点F∈直线b,AE=1,AA1=1,A1F=2,则EF= 7.在四面体ABCD中，平面ABD与平面CBD互相垂直，AB⊥AD,AB+AD=10,△BCD为 等腰三角形，且BC=CD=5,BD=8,则异面直线AC与BD夹角的余弦值为 516 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 616