微专题01空间向量及其运算（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“概念辨析-运算规则-几何应用”为主线，系统整合空间向量核心方法，通过定义梳理、技巧提炼与分层训练，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|例题6+变式9+巩固10|定义对比（相等/相反向量）、几何体向量识别、易错点警示（零向量方向等）|从向量基本属性到空间特性，建立概念网络| |坐标运算|例题10+变式12+巩固10|对称变换口诀、距离公式（点-点/面/轴）、射影坐标规则|坐标表示与空间位置关系的转化| |线性运算|例题10+变式10+巩固10|基底分解法、中点/重心结论、多面体向量转化|向量运算律与几何体结构特征结合| |数量积与求模|例题8+变式8+巩固7|坐标/定义式运算、模长平方技巧、垂直判定|从数量积定义到几何意义（夹角/模长）| |共线共面求参|例题8+变式9+巩固7|共线向量比例、共面定理参数法、四点共面系数关系|向量关系与空间位置的代数表达|

专题01空间向量及其运算 题型一 空间向量的概念及辨析 1 题型二 空间点坐标及两点间距离 6 题型二 空间向量的线性运算 10 题型三 空间向量的数量积与求模 16 题型五 空间共线共面关系求参 19 题型一 空间向量的概念及辨析 1. 准确识记核心定义： (1) 相等向量要求模长相等且方向相同，与起点、终点位置无关； (2) 相反向量要求模长相等、方向相反； (3) 单位向量模长为 1，方向任意； (4) 零向量模长为 0，方向任意，规定零向量与任意向量平行，零向量不能作为直线的方向向量。 2. 辨析共线向量： (1) 空间中共线向量只要求方向相同或相反，向量可以自由平移，共线向量对应的有向线段不一定处在同一条直线上； (2) 向量平行不具备传递性，当中间向量为零向量时，传递关系不成立。 3. 共面向量结论： (1) 空间当中任意两个向量经过平移后一定可以共面； (2) 三个及以上向量才存在是否共面的判断问题。 4. 正方体、平行六面体几何体中识别相等、相反向量： 结合几何体对边平行且相等，平移向量，对比模长与方向做出判断。 5. 概念判断题逐项甄别： (1) 向量只有模可以比较大小，向量本身不能比较大小； (2) 区分 “模相等” 和 “向量相等” 两个不同条件。 易错提醒： (1) 零向量方向是任意的，不是没有方向； (2) 单位向量模一定为 1，但方向不唯一，故单位向量不一定相等； (3) 向量平行传递性成立的前提是中间向量为非零向量。 【例题精讲】 1．（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 2．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 4．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 5．在正方体中，与向量相反的向量是（    ）   A． B． C． D． 6．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【变式训练】 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 2．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 5．在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 7．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 9．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【巩固练习】 1．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 3．（多选）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 5．（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 6．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 7．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 8．空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 9．（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 10．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 空间点坐标及两点间距离 1. 向量与点坐标转化： (1) 若已知起点，终点，则； (2) 已知向量与起点，利用坐标公式反求终点坐标。 2. 空间点对称变换规则：（口诀：关谁谁不变，其它相反数） (1) 关于x轴对称：x不变，取相反数； (2) 关于y轴对称：y不变，取相反数； (3) 关于z轴对称：z不变，取相反数； (4) 关于xOy平面对称：不变，z取相反数； (5) 关于yOz平面对称：不变，x取相反数； (6) 关于xOz平面对称：不变，y取相反数； (7) 关于原点对称：全部取相反数。 3. 射影坐标：点向某坐标平面作射影，垂直该平面的坐标分量改为 0，其余坐标保持不变。 4. 距离公式 (1) 两点距离：； (2) 点到xOy平面距离等于，到yOz平面距离等于，到xOz平面距离等于； (3) 点到x轴距离：；到y轴距离：；到z轴距离：。 易错提醒： (1) 区分点到平面、点到坐标轴距离计算公式，不要混淆坐标分量； (2) 做对称变换时，严格分清哪一个坐标保持不变，其余坐标取相反数。 【例题精讲】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知两点与，则________． 4．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D．3 8．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 9．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 10．（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【变式训练】 1．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 2．已知点，，若，则点的坐标是______. 3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D．3 5．已知空间点和，且，则实数x的值是（    ） A． B． C．或6 D．或2 6．已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 7．空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 9．在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 10．在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 11．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【巩固练习】 1．在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 5．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 10．空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 题型二 空间向量的线性运算 1. 运算法则：遵循三角形法则、平行四边形法则，如：； 2. 几何体向量分解思路： 选定一组从同一点出发的基底向量，把目标向量逐步拆分为基底的加减、数乘组合。 3. 中点结论：若M为线段中点，则； 4. 三角形重心结论：若是重心，则. 5. 复杂多面体：优先看向量起点终点，沿着几何体棱一步步转化；遇到中点、分点，引入中线向量公式和分点向量公式。 6. 坐标形式线性运算：向量相加对应分量相加，数乘向量每个分量同乘实数。 易错提醒：向量减法分清指向终点的向量减去指向起点的向量. 【例题精讲】 1．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①；②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【详解】是的中点，则 7．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 8．如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）   A． B． C． D． 10．（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）   A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．   10．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 2．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 9．平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型三 空间向量的数量积与求模 1. 坐标运算：若， (1) 数量积； (2) 模长公式：。 2. 定义式：； 3. 求夹角：，夹角范围 4. 求向量模长通用手段：，求模先平方做数量积运算，最后再开根号；常用于平行六面体、正四面体求体对角线长度。 5. 几何体中无坐标条件：将目标向量拆解为基底向量，展开数量积，利用已知的基底模长、基底之间夹角代入计算。 6. 垂直判定：。 易错提醒： (1) 数量积结果是实数，不是向量； (2) 向量夹角是两个向量起点重合之后形成的角，几何体中要注意向量方向，不要直接使用几何体内角。 【例题精讲】 2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 3．已知空间向量，，则 _______． 4．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 6．在平行六面体中，，则_____. 7．在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【变式训练】 1．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 2．已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则角的大小为_________. 5．如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）   A． B． C． D． 6．如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 8．三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 2．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（多选）向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为1的正方体中，______． 5．正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 6．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 题型五 空间共线共面关系求参 1. 向量共线（平行）判定 非零向量共线的充要条件：存在实数，使得；对应坐标成比例。 2. 三点共线：等价于向量与共线，即存在实数满足，列方程组求解参数。 3. 向量共面定理：若不共线，则向量与共面的充要条件：存在实数，使得。 4. 四点共面（不共线） ①向量表述：； ②O为空间任意一点，则，充要条件。 5. 解题步骤： (1) 先写出对应向量坐标，根据共线、共面条件列出方程或者方程组， (2) 求解参数； (3) 多参数问题利用对应分量系数相等建立等式。 易错提醒 (1) 四点共面的系数和条件只针对这个形式，公式不能随意套用其他向量表达式； (2) 使用向量共线条件，要注意向量非零前提。 【例题精讲】 1．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．已知向量，且，则________________． 3．已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 4．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 5．已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 7．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 8．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【变式训练】 1．设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 2．已知向量，,则___________． 3．已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 4．在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 5．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 6．已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 7．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 9．在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【巩固练习】 1．已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 4．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 6．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01空间向量及其运算 题型一 空间向量的概念及辨析 1 题型二 空间点坐标及两点间距离 12 题型二 空间向量的线性运算 20 题型三 空间向量的数量积与求模 32 题型五 空间共线共面关系求参 39 题型一 空间向量的概念及辨析 1. 准确识记核心定义： (1) 相等向量要求模长相等且方向相同，与起点、终点位置无关； (2) 相反向量要求模长相等、方向相反； (3) 单位向量模长为 1，方向任意； (4) 零向量模长为 0，方向任意，规定零向量与任意向量平行，零向量不能作为直线的方向向量。 2. 辨析共线向量： (1) 空间中共线向量只要求方向相同或相反，向量可以自由平移，共线向量对应的有向线段不一定处在同一条直线上； (2) 向量平行不具备传递性，当中间向量为零向量时，传递关系不成立。 3. 共面向量结论： (1) 空间当中任意两个向量经过平移后一定可以共面； (2) 三个及以上向量才存在是否共面的判断问题。 4. 正方体、平行六面体几何体中识别相等、相反向量： 结合几何体对边平行且相等，平移向量，对比模长与方向做出判断。 5. 概念判断题逐项甄别： (1) 向量只有模可以比较大小，向量本身不能比较大小； (2) 区分 “模相等” 和 “向量相等” 两个不同条件。 易错提醒： (1) 零向量方向是任意的，不是没有方向； (2) 单位向量模一定为 1，但方向不唯一，故单位向量不一定相等； (3) 向量平行传递性成立的前提是中间向量为非零向量。 【例题精讲】 1．（多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确；对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误；对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量，所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确；对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确.故选：ACD 2．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确；对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误；对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.故选：D 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，所以A错误；对于B，若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误；对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确；对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，所以D错误.故选：C. 4．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确；对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确；对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确.故选：D. 5．在正方体中，与向量相反的向量是（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【来源】四川省成都市新都区润德英才学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以与向量相反的向量是，  故选：A. 6．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【详解】，所以，故A错误； ，故B错误；，故C正确； ，故D错误. 故选：C 【变式训练】 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误；零向量的方向是任意的，故B错误；相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确；由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.故选：C 2．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】河南省商丘市夏邑县第一高级中学2024-2025学年高二上学期月测（一）数学试题 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题；对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题；对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题；对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题.故选B 3．（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误.选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误.选项C：若，则，即，所以，说明反向共线；当共线时，①同向时，，②反向时，，所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确.选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误.故选：ABD. 4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 5．在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】陕西省西安市庆安高级中学2025-2026学年高二上学期月考（一）数学试题 【详解】因为E，F分别是AB，的中点，所以且，，， 所以与向量相反的向量为.故选：C 6．下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 7．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有.故选：A 8．（多选）（多选）下列说法错误的是（    ） A．零向量没有方向 B．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 C．若空间向量满足，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】ABD 【详解】零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故A错误．若两个空间向量相等，方向相同，大小相等即可，起点和终点不需要一定相同，故B错误．根据传递性，选项C显然正确．对于D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故D错误．故选：ABD. 9．（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【来源】广东省广州市广州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 【巩固练习】 1．（多选）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【来源】陕西省汉中市汉台第二中学等校2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 2．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【来源】安徽省合肥锦绣中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 3．（多选）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】福建省福州福清市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有，故选：BD.   4．下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【来源】辽宁省点石联盟2024-2025学年高二上学期10月阶段考试数学试题 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误；对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误；对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误；对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确.故选：D. 5．（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】云南省西双版纳傣族自治州景洪市第三中学2024-2025学年高二下学期开学考数学试题 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有3个，分别是，，． 故选：BC． 6．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 7．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误；空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；所以正确的命题只有个；故选：D. 8．空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 9．（多选）下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】ABC 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题；对于B，由知，，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B是假命题；对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题；对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题．故选：ABC 10．给出下列命题： ①若空间向量满足，则； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则． 其中假命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】对于①，向量相等即模相等和方向相同，故①为假命题； 对于②，如图正方体中，且则得, 故有，,且方向一致，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义可知成立，故③为真命题．故选：B． 题型二 空间点坐标及两点间距离 1. 向量与点坐标转化： (1) 若已知起点，终点，则； (2) 已知向量与起点，利用坐标公式反求终点坐标。 2. 空间点对称变换规则：（口诀：关谁谁不变，其它相反数） (1) 关于x轴对称：x不变，取相反数； (2) 关于y轴对称：y不变，取相反数； (3) 关于z轴对称：z不变，取相反数； (4) 关于xOy平面对称：不变，z取相反数； (5) 关于yOz平面对称：不变，x取相反数； (6) 关于xOz平面对称：不变，y取相反数； (7) 关于原点对称：全部取相反数。 3. 射影坐标：点向某坐标平面作射影，垂直该平面的坐标分量改为 0，其余坐标保持不变。 4. 距离公式 (1) 两点距离：； (2) 点到xOy平面距离等于，到yOz平面距离等于，到xOz平面距离等于； (3) 点到x轴距离：；到y轴距离：；到z轴距离：。 易错提醒： (1) 区分点到平面、点到坐标轴距离计算公式，不要混淆坐标分量； (2) 做对称变换时，严格分清哪一个坐标保持不变，其余坐标取相反数。 【例题精讲】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则. 2．已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，，，所以，，，因此点的坐标为. 3．已知两点与，则________． 【答案】 【详解】根据空间中点到点的距离公式，. 4．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为，因为点M到点与到点的距离相等，所以，两边同时平方，解得，所以点M的坐标为. 5．已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东湛江市港城、海东、崇文三校2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学学科试卷 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0，所以点在平面上的射影坐标为． 6．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则点到平面的距离为． 7．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】点到轴的距离为. 8．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【详解】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是，点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是.所以选项ABD正确，选项C错误. 9．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为： 因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 10．（多选）如图，在长方体中， ，，，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（   ） A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 【答案】ACD 【详解】由图形及已知可得，点的坐标为，A选项正确；点关于点对称的点为，B选项错误；因为，所以四边形为菱形，所以点关于直线对称的点为，C选项正确；点关于平面对称的点为，D选项正确； 【变式训练】 1．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏南通市如东县2025-2026学年第一学期高二学业质量监测数学试题 【详解】设，已知，向量.所以， 解得：，，.所以.故选：A 2．已知点，，若，则点的坐标是______. 【答案】 【来源】广西玉林市2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】由点，，得，则，所以点的坐标是. 故答案为： 3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】甘肃酒泉市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为，因为，所以，所以，所以的坐标为. 4．在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为，，所以.故选：B 5．已知空间点和，且，则实数x的值是（    ） A． B． C．或6 D．或2 【答案】C 【来源】陕西省渭南市杜桥中学2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题 【详解】由，可得，所以，故或.故选C 6．已知点，，M在y轴上，且，则点M的坐标为____________． 【答案】 【来源】四川省广安加德学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题 【详解】设，由知，点M到A、B两点距离相等.由两点之间距离公式可得：，解之得，所以点M的坐标为. 7．空间直角坐标系中，已知线段，其中点，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知点，若点的坐标为，则，故A错误； 若点的坐标为，则，故B正确； 若点的坐标为，则，故C错误； 若点的坐标为，则，故D错误. 8．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为___________． 【答案】 【来源】福建省福州市闽侯县第六中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题 【详解】设点在坐标平面内的射影为，则平面. 根据空间坐标平面中点的坐标定义，易得，故得.故答案为：. 9．在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. 10．在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 【答案】 【来源】安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题 【详解】已知，所以点到轴的距离为；故答案为：. 11．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中：关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确；关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确；关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变，所以关于坐标平面的对称点为，因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反，所以关于轴的对称点为，所以． 【巩固练习】 1．在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设所求点为.由得，解得，因此所求点为. 2．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】天津市滨海新区2025-2026学年度高二第一学期期末检测卷数学试题 【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标是.故选：D. 3．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】因为，则点到平面的距离为． 4．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 【答案】 【来源】河南省南阳地区十校2025-2026学年高二上学期12月阶段联考数学试题 【详解】点到轴的距离为.故答案为： 5．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广西河池市2025-2026学年高二上学期期末学科素养测评数学试题 【详解】在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为，故点关于原点对称的点的坐标为.故选：B 6．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 7．点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数.∴ 点关于平面的对称点坐标为 8．在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则.故选：D 9．在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【来源】河南省周口市重点高中2025-2026学年高二上学期1月测评数学试题 【详解】点与点关于平面对称，故选：D． 10．空间直角坐标系中，已知点关于坐标平面对称的点为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【来源】山东省济宁市任城区2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量检测数学试题 【详解】点关于坐标平面对称的点为，所以.故选：D 题型二 空间向量的线性运算 1. 运算法则：遵循三角形法则、平行四边形法则，如：； 2. 几何体向量分解思路： 选定一组从同一点出发的基底向量，把目标向量逐步拆分为基底的加减、数乘组合。 3. 中点结论：若M为线段中点，则； 4. 三角形重心结论：若是重心，则. 5. 复杂多面体：优先看向量起点终点，沿着几何体棱一步步转化；遇到中点、分点，引入中线向量公式和分点向量公式。 6. 坐标形式线性运算：向量相加对应分量相加，数乘向量每个分量同乘实数。 易错提醒：向量减法分清指向终点的向量减去指向起点的向量. 【例题精讲】 1．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省柯桥中学2026-2027学年高二第一学期回头考数学试题 【详解】由于，故C正确. 2．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在四面体中，为棱的中点，则， 则. 3．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】甘肃白银市靖远县联2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】由题意得，所以. 4．如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①；②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【来源】河南郑州女子高级中学2026-2027学年高二上学期入学测试数学试卷 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 5．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示，∵M为的中点，，，， ． 6．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】云南昭通市市直中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷 【详解】是的中点，则 ． 7．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则，所以. 则根据向量减法的三角形法则可知，得到. 8．如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形；；是的中点，，则，为的中点，四边形为平行四边形， ，. 9．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，为SC的中点，所以，故选：C. 10．（多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】江苏南通市如东县2025-2026学年第一学期高二学业质量监测数学试题 【详解】选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点，，故D正确．故选：ABD． 【变式训练】 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏苏州市吴中区甪直高级中学2025-2026学年下学期第一次模块检测联合考试高二数学试题 【详解】. 2．在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】云南曲靖市富源县2025-2026学年高二上学期1月考试数学试题 【详解】．故选：B. 3．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省郑集高级中学2025-2026学年高二下学期第一次学情调查数学试题 【详解】在四面体中，为棱的中点，则， 则. 4．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 5．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，则. 6．如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东深圳市光明区高级中学2025-2026学年度第一学期高二12月月考数学试题 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 7．如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 8．如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】江苏省震泽中学育英学校2025-2026学年第二学期高二数学3月质量反馈试题 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 9．如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．   【答案】 【来源】云南省迪庆藏族自治州2025-2026学年上学期期末教学质量检测高二数学试题 【详解】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以.故答案为： 10．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】专题1 空间向量及其线性运算（练）【题型分类归纳】2025-2026学年高二数学同步（人教A版） 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 【巩固练习】 1．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省深圳市宝安区2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题 【详解】.故选：B 2．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏淮安市涟水县第一中学2025-2026学年高二第二学期第一次阶段检测数学试卷 【详解】因为是BD的中点，所以，所以. 3．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 4．在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是的中点，可知， 故选：B 5．长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】天津市和平区2025-2026学年高二上学期期末数学试题 【详解】.故选：C 6．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 .故选：D. 7．已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点为线段的中点，所以 因此.故选：B. 8．在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， .故选：A 9．平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】云南省昆明市五华区2025-2026学年高二上学期数学质量监测卷试题 【详解】由图和题意可知，又，故，故选：C 10．如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东省揭阳市揭西县棉湖中学2025-2026学年高二级第一学期期末教学质量自查数学试题 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：.故选：C. 题型三 空间向量的数量积与求模 1. 坐标运算：若， (1) 数量积； (2) 模长公式：。 2. 定义式：； 3. 求夹角：，夹角范围 4. 求向量模长通用手段：，求模先平方做数量积运算，最后再开根号；常用于平行六面体、正四面体求体对角线长度。 5. 几何体中无坐标条件：将目标向量拆解为基底向量，展开数量积，利用已知的基底模长、基底之间夹角代入计算。 6. 垂直判定：。 易错提醒： (1) 数量积结果是实数，不是向量； (2) 向量夹角是两个向量起点重合之后形成的角，几何体中要注意向量方向，不要直接使用几何体内角。 【例题精讲】 2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得，所以. 3．已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【详解】因为空间向量，，所以. 4．已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，.故选：C 5．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为，，所以，，，又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得.故选:B. 6．在平行六面体中，，则_____. 【答案】 【详解】设，则，所以 因为，所以 故答案为： 7．在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，，. 因为，，， ， 所以，即.故选：C 8．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由，得，，. 因为，所以. 所以，．故选：C. 【变式训练】 1．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 2．已知向量，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意，所以. 3．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量，，可得，则， 因为，所以.故选：C. 4．已知，，，则角的大小为_________. 【答案】/ 【详解】由已知，，，则， ，，所以. 因为，所以. 5．如图，已知正四面体的棱长为3，点满足，为的中点，则（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，．由，得，由为的中点，得，所以 ，故选：B. 6．如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】依题意可知,.故选：B 7．如图，在平行六面体中，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【详解】依题意，由， 又因为， 得， 所以．故选：A. 8．三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，，故选：D． 【巩固练习】 1．若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 【答案】C 【详解】因为向量，，所以. 2．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，故选：B 3．（多选）向量，，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，，设，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4．如图，在棱长为1的正方体中，______． 【答案】2 【详解】因为，，所以， ，. 5．正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， 6．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，，故选:C． 7．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由题知，，又因为是平行六面体，则，所以，则 ，∴，即，   故选：A. 题型五 空间共线共面关系求参 1. 向量共线（平行）判定 非零向量共线的充要条件：存在实数，使得；对应坐标成比例。 2. 三点共线：等价于向量与共线，即存在实数满足，列方程组求解参数。 3. 向量共面定理：若不共线，则向量与共面的充要条件：存在实数，使得。 4. 四点共面（不共线） ①向量表述：； ②O为空间任意一点，则，充要条件。 5. 解题步骤： (1) 先写出对应向量坐标，根据共线、共面条件列出方程或者方程组， (2) 求解参数； (3) 多参数问题利用对应分量系数相等建立等式。 易错提醒 (1) 四点共面的系数和条件只针对这个形式，公式不能随意套用其他向量表达式； (2) 使用向量共线条件，要注意向量非零前提。 【例题精讲】 1．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由，得，使得，则， ，解得. 2．已知向量，且，则________________． 【答案】 / 【详解】，解得. 3．已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【详解】因为，所以，即，，所以. 故答案为：. 4．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，即，解得. 5．已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【详解】设向量 ，，由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ，代入得 ，解得 ，所以，解得 ， 因此，.答案：6. 6．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【详解】由题意知，，，，而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，，使得，则应有，解得，，． 7．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且，所以，解得. 8．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，，则，即，因为，，，四点共面，所以，解得. 【变式训练】 1．设m是实数，已知，，若，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【详解】由，设，即． 2．已知向量，,则___________． 【答案】 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得.故答案为：. 3．已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线，显然存在实数使得，即可得.所以可得. 4．在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【详解】由题意知，，因为三点共线，所以，即，解得.故选：A. 5．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线，由向量共线的充要条件得，所以． 6．已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由点四点共面，且，根据共面向量的基本定理，可得，解得． 7．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足，因为为空间任一点，所以，即，因为，所以，解得，因为存在三个不为的实数，使，所以，所以，即，所以.综上，， 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有，由共面条件可得，，即，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立.故选A. 9．在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【答案】 【详解】如图所示：设中点为R，，连接，由P，R，C，Q，S，G共面， 可知与平面的交点即与的交点D.因为，，， 设，则， 设，则， 故，故，解得，代入，可得，即.由重心性质可得，设，又， 则，故，解得，故，则，由D，E，F，G四点共面，可知：（其中）， 所以，则.故答案为：. 【巩固练习】 1．已知，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由，可知，即，得，解得：，.故选：D 2．已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即，所以，解得， 所以. 3．若三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】.因为三点共线，所以，即，解得，则.故选：A. 4．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以，所以，即，，． 5．已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】已知点在平面内，，故，解得，． 6．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面，所以，解得. 7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且，则系数和满足，解得： ,已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得,同理在中，，故，得,展开： 因此结果为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $