第三十章 二次函数（单元自测）2026-2027学年数学新教材冀教版九年级下册

第三十章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系以及二次函数图象的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用函数图象的性质来确定系数的取值和关系，根据函数的图象以及顶点坐标判断一元二次方程根的情况． 【解析】①根据图象开口向下可知，与轴交点坐标位于轴正半轴可知， ， 故①正确； ②根据顶点坐标可知，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点在和之间， 则另一交点在和之间， 当时，代入得：，观察图象可知，即， 故②正确； ③根据顶点坐标公式可得，，整理得， 故③正确； ④一元二次方程，可看作抛物线与直线相交情况，经过观察图象可知抛物线和这条直线无交点， ∴一元二次方程没有实根， 故④正确． 故选D． 2．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小． 【解析】点和点都在抛物线上， 将代入解析式得； 将代入解析式得； ， ． 故选． 3．已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称性，利用对称性求出对称轴，然后解出a的值，代入解题即可． 【解析】∵二次函数的图象经过和， ∴抛物线的对称轴为，即， 解得：，（不符合题意的根舍去） ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， 故选B． 4．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据抛物线开口方向以及与y轴的交点可以对A进行判断；观察图象，根据对称轴的位置，可对B C D进行判断． 【解析】A、抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 故A正确，本选项不符合题意； B、观察图象，当时，y随x的增大而增大．故B正确，本选项不符合题意； C、观察图象，二次函数图象与x轴有两个交点，故C正确，本选项不符合题意； D、观察图象，二次函数的最大值为n，故D错误，本选项符合题意． 故选D． 5．已知反比例函数（ ）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（ ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与二次函数图象的交点问题，把代入，求出的值，待定系数法求出k的值即可． 【解析】把代入，得：， 把，代入，得； 故选B． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【解析】∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 7．已知点，，在同一函数图象上，则这个函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象．由点，关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，，可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，从而排除选项D． 【解析】由，在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由，，可知在y轴的左侧，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意，选项A符合题意； 故选A． 8．在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（ ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与一次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线与一次函数的图像与性质是解题的关键．根据抛物线与一次函数的图像与性质进行判断即可． 【解析】A．因为抛物线的顶点横坐标是1，故A错误； B．方程的解是或． 当时，，故B错误； C．关于的方程在的范围内有两个整数解，即是整数，所以可以等于．所以满足条件的的值有3个．C正确； D．时两个函数图象在第一象限也有公共点，故D错误． 故选C． 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是．故选C． 10．老师给出了二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是方程的一个根； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的是（ ） A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，判断①，得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，判断③，根据时，，判定④，根据抛物线的开口向上，反例“若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则”，判定⑤，综合得出答案即可． 【解析】∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为，则为最低点，故②错误， ∴抛物线的开口向上，故①正确， ∵， ∴的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确， ∵时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确， ∵抛物线的开口向上， ∴若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则，故⑤错误， 综上所述，正确的是①③④， 故选A． 11．关于的函数，当时，．若，则（ ） A． B． C．1 D．1 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的图象性质，一次函数图象性质，根据交点确定不等式的解集，数形结合思想的应用是解题的关键． 先根据解析式得抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，再得出直线、都经过定点根据当时，，求得，从而得出，抛物线与直线的交点坐标为，求得抛物线与直线的另一交点横坐标为，根据，利用数形结合思想即可求解． 【解析】∵ ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 把代入，得， ∴直线经过定点， ∵当时，． ∴抛物线与直线的交点横坐标为m， 设抛物线与直线的交点坐标为， 把代入，得 解得：或（舍去）， ∴ ∴ 把代入，得 ∴经过定点， 设抛物线与直线的交点坐标为， 把代入，得 化简得：， 解得：或 ∴抛物线与直线的另一交点横坐标为， ∵， ∴． 故选C． 12．已知二次函数，的图象经过点图象上有三个，若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ） A． B．时，有最大值 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象上的y值与点离对称轴距离与开口方向的关系是解题的关键．由时，均有可知抛物线开口向上，由抛物线开口向上，可知时，y有最小值可判定B选项；再结合抛物线对称轴即可判定A选项；当有，可判定C选项；根据二次函数的性质可判定D选项． 【解析】∵当时，均有， ∴该抛物线的开口方向向上，即， ∴，有最小值，故B错误； ∵二次函数的图象经过点、， ∴对称轴为直线， ∴，则， ∴，故A错误； ∵二次函数的图象经过点、，对称轴为直线， ∴， ∴，C错误； ∵时，均有， ∴点与对称轴直线的对称点为距离大于点与对称轴直线的距离， ∴， ∴或， ∴或， ∴时，符合当时，均有，即D正确． 故选D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义可得二次项系数不为0，且x的最高次数为2，据此列方程与不等式求解即可得到k的值． 【解析】根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此．故答案为0． 14．二次函数的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数图象的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则是解答的关键．先将原二次函数解析式化为顶点式，再根据函数图象的平移规则“上加下减”求得平移后的函数解析式，进而可得顶点坐标． 【解析】将二次函数的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数的解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故答案为． 15．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是________． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于抛物线与x轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点得到，则可对③进行判断；同时得到，加上，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离与点到直线的距离的大小可对④进行判断；利用时，函数值最大以及可对⑤进行判断． 【解析】抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与y轴的交点在x轴上方， ， ，所以①正确； 抛物线经过点， ，所以③正确； ， ，所以②正确； 点到直线的距离比点到直线的距离大， ；所以④正确； 抛物线的对称轴为直线 当时，函数值最大， ， ， 即，所以⑤正确． 故答案为①②③④⑤． 16．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得点的横坐标，计算即可求解． 【解析】抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过，两点， ， ， 抛物线的解析式为， 抛物线与轴有交点， ， ， ， ， ，， ， 故答案为． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（6分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）略 18．（6分）一个物体从地面竖直向上抛，满足（不计空气阻力），其中（单位：）是物体距离地面的高度，（单位：）是初速度，是重力加速度（取），（单位：）是抛出物体后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛． （1）求小球能达到的最大高度； （2）若在小球抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为米，求两次抛球的时间差． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及根据题意找出等量关系是解决问题的关键． （1）根据题意得出关于的二次函数关系式，再利用其性质即可得出最值，即可求解； （2）把代入函数解析式得到关于的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求． 【解析】（1）解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即小球能达到的最大高度为； （2）解：由题意得， ∴， 解得：，， ， 答：两次抛球的时间差为. 19．（8分）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动________．（填序号即可，） ①；    ②；    ③． 【答案】(1)，此次射门在不受干扰的情况下能进球 （2）小明至少后退才可能防守住这次射门 （3）② 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数的平移，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）根据题意设抛物线为．将代入解析式得到，令，得到，即可解题； （2）根据小明的最大起跳高度是，代入解析式求解，即可解题； （3）根据题意设小华带球向正前方移动b m，得到移动后的解析式为．将B代入求解，即可解题． 【解析】（1）解：由题意，抛物线的顶点为， 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． 所求抛物线为． 又令， ． 此次射门在不受干扰的情况下能进球． （2）解：由题意，结合（1）， 抛物线的解析为， 又小明的最大起跳高度是， ． 或． 小明需要站在抛物线左侧防守， ， m,即小明至少后退才可能防守住这次射门． （3）解：由题意，设小华带球向正前方移动b m， 移动后的解析式为． 又B为， ． 或2.4（，舍去）． 小华最多可以向球门移动约． 故答案为②． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为． （1）求c，b（可用含t的代数式表示）； （2）当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值； （3）在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）不变， （3） 【分析】（1）由抛物线经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b； （2）当时，，求得M的坐标，则可求得的度数； （3）根据图形，即可直接求得答案． 【解析】（1）解：把代入，得， 再把代入，得， ∵， ∴； （2）解：不变． ∵抛物线的解析式为：，且M的横坐标为1， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有， 即， ，， 解得； ③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t的取值范围是：． 【点睛】此题考查了二次函数与点的关系，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用． 21．（10分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）16 （3）存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【解析】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 22．（10分）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， （1）求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 （2）设，则可以通过将抛物线________得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为________ （3）求解[问题背景] 【答案】(1)，，，顶点坐标 （2）x轴下部分沿x轴翻折，4 （3）当时，方程无实数根；当时或时，方程有2个实数根；当，方程有3个实数根，当时，方程有4个实数根． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图像和性质求解即可． （1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与y轴的交点坐标，令，可求出函数与x轴的交点坐标． （2）画出函数图像可求解． （3）根据函数图像可求解． 【解析】（1）解：， ∴该函数的顶点坐标为：， 令，则， ∴该函数与y轴的交点坐标为：， 令，则， 即， 解得：，， ∴该函数与x轴的交点坐标为：，． （2）∵，则可以通过将抛物线 x轴下部分沿x轴翻折得到该函数，如下图： 由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，4个不同根的和为4． （3）由（2）可知，顶点坐标变成， 令，根据函数与x坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图像可知： 当时，方程无实数根； 当时或时，方程有2个实数根； 当，方程有3个实数根． 当时，方程有4个实数根． 23．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若点A是抛物线L的顶点，求点A的坐标； （2）将抛物线L向左平移a个单位长度后，与直线l相交于两点，求平移后的抛物线的解析式； （3）若均在抛物线L上，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或． 【分析】（1）先根据抛物线解析式求出抛物线的顶点坐标为：，再根据点是抛物线L的顶点，得出，求出，然后再求出点A的坐标即可； （2）根据平移特点得出，得出抛物线的解析式为直线，根据抛物线与直线l相交于两点，得出，求出，即可得出答案； （3）根据，得出，根据点在抛物线L上，求出，得出，解不等式得出或；根据点在抛物线L上，得出，求出或，综合得出答案即可． 【解析】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵点是抛物线L的顶点， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：将抛物线L向左平移a个单位长度后抛物线的解析式为： ， ∴抛物线对称轴的解析式为直线， ∵抛物线与直线l相交于两点， ∴， 解得：， ∴平移后的抛物线的解析式为： ． （3）解：∵， ∴， ∵点在抛物线L上， ∴， 解得：， ∴， 当时，，因此不成立； 当，即时，， 解得：或； ∵点在抛物线L上， ∴， 解得：， ∴， 当时，，因此不可能成立， 当，即时，， 解得：或， 综上分析可知：m的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 24．（12分）已知抛物线的图象过点． （1）求b与a的关系式； （2）当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值； （3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【分析】（1）把点A坐标代入即可得到答案； （2）根据和该抛物线的顶点到x轴的距离是1得到，解方程后根据即可得到答案； （3）根据题意可知抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度．则平移后的抛物线解析式为．把代入解得．当时，；当时，（不合题意，舍去）；得到平移后的抛物线解析式为．即顶点为，设，即．根据二次函数的性质即可得到答案． 【解析】（1）解：∵抛物线的图象过点． ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵该抛物线的顶点到x轴的距离是1， ∴， 解得或或， ∵ ∴或 （3）由平移前的抛物线， 即， 因为平移后的对应点为 可知，抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度． 则平移后的抛物线解析式为． 把代入，得． ． ， 所以． 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 因为，所以． 所以平移后的抛物线解析式为． 即顶点为， 设，即． 因为，所以当时，随a的增大而减小， 所以当时，取最大值为， 此时，平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数的点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，也考查二次函数的性质． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 二次函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 3．已知二次函数（a为常数且）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（ ） A． B．当时，y随x的增大而增大 C．二次函数图象与x轴有两个交点 D．二次函数的最小值为n 5．已知反比例函数（ ）与二次函数的图象有一个交点的横坐标为1，则k的值为（ ） A． B．1 C． D．3 6．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知点，，在同一函数图象上，则这个函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，关于抛物线与直线，下列说法正确的是（ ） A．两个函数图象有唯一公共点时，抛物线的顶点坐标是 B．无论取何值，两个函数图象公共点的横坐标一定小于2 C．若关于的方程在的范围内有两个整数解，则满足条件的的值有3个 D．若两个函数图象在第一象限有公共点，则 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（ ） A．或 B．或 C． D． 10．老师给出了二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是方程的一个根； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的是（ ） A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤ 11．关于的函数，当时，．若，则（ ） A． B． C．1 D．1 12．已知二次函数，的图象经过点图象上有三个，若当时，均有，则下列说法中正确的是（ ） A． B．时，有最大值 C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如果函数是关于x的二次函数，则________． 14．二次函数的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数图象的顶点坐标是________． 15．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点 ．以下说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是________． 16．经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17．（6分）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 18．（6分）一个物体从地面竖直向上抛，满足（不计空气阻力），其中（单位：）是物体距离地面的高度，（单位：）是初速度，是重力加速度（取），（单位：）是抛出物体后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛． （1）求小球能达到的最大高度； （2）若在小球抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为米，求两次抛球的时间差． 19．（8分）一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高OB为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球； （2）若防守队员小明跳起后能摸到的最大高度为2.25米，他此时站在离球门3米远的位置，求小明至少后退多少米才能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动________．（填序号即可，） ①；    ②；    ③． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动秒，抛物线经过点O和点P．已知矩形的三个顶点为． （1）求c，b（可用含t的代数式表示）； （2）当时，抛物线与线段交于点M．在点P的运动过程中，你认为的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值； （3）在矩形的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． 21．（10分）已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）求点A、B、C三点的坐标； （2）过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）[问题背景]解方程：； [解决方法]建立函数， （1）求：该函数与坐标轴的交点及其顶点坐标 （2）设，则可以通过将抛物线________得到该函数，由图像可知，当问题方程有4个不同根的时候，所有根的和为________ （3）求解[问题背景] 23．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若点A是抛物线L的顶点，求点A的坐标； （2）将抛物线L向左平移a个单位长度后，与直线l相交于两点，求平移后的抛物线的解析式； （3）若均在抛物线L上，且，求m的取值范围． 24．（12分）已知抛物线的图象过点． （1）求b与a的关系式； （2）当时，若该抛物线的顶点到x轴的距离是1，求a的值； （3）将抛物线进行平移，若平移后的抛物线仍过点，点A的对应点为点，当时，求平移后的抛物线顶点纵坐标的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $