2026-2027学年 苏科版九年级上学期 期中测评数学 押题卷（四）

2026-2027学年苏科版九年级上学期 期中测评数学押题卷（四）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■☐]错误【-[√][×)] 准考证号 一， 选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C]D] 3.[A][B][C][D] 5.[A][B][C[D] 2.[A]B][CD] 4.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 10. 13 1 16 三.解答题（共8小题，满分58分）（请在各试题的答题区内作答） 17.答： 18.答： 1 19.答： 20.答： × 21.答： 22.答： X 23.答： X 24.答： X 2 25.答： X :易97 ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2026-2027学年 苏科版九年级上学期 期中测评数学 押题卷（四） 考试范围：第1~3章；考试时间：120分钟；满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 2．（2分）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（2分）下列说法正确的个数是（　　） ①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④任意三点确定一个圆． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2分）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．3x2+2x﹣1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 5．（2分）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）一个反比例函数的图象经过A（m，4），B（3m﹣2，n），C（﹣4，﹣n）三点（n≠0），则该反比例函数的表达式为____________________ ． 8．（2分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则a2﹣4a+b的值为_____ ． 9．（2分）若反比例函数的图象在x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是________ ． 10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为________ ． 11．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，a＝±3； （2）方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； （3）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0，（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； （4）若q＝2p，则关于x的方程px2﹣q＝0（p≠0）是倍根方程． 其中正确的结论有 ___________ ．（写出所有正确说法的序号） 12．（2分）把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2+n＝0形式，则n＝________ ． 13．（2分）“祈年殿”是一座三重檐圆形大殿（如图）．步行祈年殿的一周大约长________ m． 14．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是____________ ． 15．（2分）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为_____ ． 16．（2分）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在⊙O的内部交于点C，外部交于点D，画直线DC交⊙O于点E，连接AE，点F是劣弧AB上一点，连接AF，BF，若∠AED＝32°，则∠AFB的度数是_________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共10小题，满分88分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程． （1）4x2﹣9＝0； （2）x2+2x+2＝0． 18．（6分）已知y﹣1与3x成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x＝﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2024的值． 20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定点O，使得以O为圆心，OB为半径的半圆与边AD相切于点E，与边CD交于点F，与BC的延长线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求由线段CF，CG和围成的图形面积． 21．（8分）“激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 22．（8分）科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V），部分数据如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，回答下列问题： （1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为________ ； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为________ V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到_______ klx（结果保留整数）． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，∠C＝50°，在AB上取一点E，使AE＝AD，延长DE交⊙O于点F，连接OF． （1）求∠F的度数． （2）若DF＝4，求⊙O的半径． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣1，4），在第四象限交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 25．（12分）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 _______ ； ①6x2﹣5x+1＝0 ②3x2+8x+4＝0 ③x2﹣4x＝0 （2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 试卷第2页，总2页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版九年级上学期 期中测评数学押题卷（四）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][] 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二. 填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 试卷第1页，总6页 7. 8 9. 0 12 13. 14. 1 16 三.解答题（共8小题，满分58分）（请在各试题的答题区内作 答) 17.答： 18.答： 试卷第2页，总6页 19.答： 20.答： × 21.答： 22.答： × 试卷第3页，总6页 23.答： X 24.答： X 试卷第4页，总6页 25.答： 试卷第5页，总6页 26.答： X 试卷第6页，总6页 2026-2027学年 苏科版九年级上学期 期中测评数学 押题卷（四） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C D A C 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可得3﹣a≠0，再解即可． 【解答】解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程， ∴3﹣a≠0， 解得a≠3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 2．（2分）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【解答】解：由条件可知2a2﹣a﹣4＝0， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2分）下列说法正确的个数是（　　） ①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④任意三点确定一个圆． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据确定圆的条件，圆的认识对各小题进行判断即可． 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②半圆是弧，正确，符合题意； ③同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，原说法错误，不符合题意； ④不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是确定圆的条件，圆的认识，熟知以上知识是解题的关键． 4．（2分）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．3x2+2x﹣1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答． 【解答】解：若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2分）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 【答案】A 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：n（n﹣1）＝136． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B，设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d），设反比例函数图象对应的函数关系式为y（k为常数，且k≠0），位于反比例函数图象上的点总价均为k，根据坐标，比较甲的总价与A的总价、丙的总价与B的总价，从而将四件商品的总价排序即可得出结论． 【解答】解：如图，过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B． 设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d）， 设反比例函数图象对应的函数关系式为y（k为常数，且k≠0）， ∴乙，丁的总价均为k， ∵ab＝k，x甲＜a， ∴x甲b＜ab＝k， ∴甲的总价小于k， ∵cd＝k，x丙＞c， ∴x丙d＞cd＝k， ∴丙的总价大于k， ∴四件商品中，总价的大小关系为丙＞乙＝丁＞甲， ∴总价最多的是丙． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函图象的特点是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）一个反比例函数的图象经过A（m，4），B（3m﹣2，n），C（﹣4，﹣n）三点（n≠0），则该反比例函数的表达式为y　 ． 【答案】y． 【分析】设反比例函数解析式为y（k≠0），再把A（m，4），B（3m﹣2，n），C（﹣4，﹣n）分别代入即可得出结论． 【解答】解：设反比例函数解析式为y（k≠0），则k＝xy， 所以． 解得或． 所以k＝4m＝0（舍去）或k＝4m＝8． 故该反比例函数的表达式为y． 故答案为：y． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解决问题的关键是掌握函数图象上的点的坐标必须满足函数解析式． 8．（2分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则a2﹣4a+b的值为　7　 ． 【答案】7． 【分析】根据题意，得到a+b＝5，a2＝5a+2，整体代入代数式求值即可． 【解答】解：由题意可得：a+b＝5，a2﹣5a﹣2＝0， ∴a2＝5a+2， ∴a2﹣4a+b ＝5a+2﹣4a+b ＝（a+b）+2 ＝5+2 ＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．（2分）若反比例函数的图象在x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是k＞3　 ． 【答案】k＞3． 【分析】根据题意得出k﹣3＞0，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的图象在x＜0时，y随x的增大而减小， 所以k﹣3＞0， 解得k＞3． 故答案为：k＞3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　0或8　 ． 【答案】0或8． 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝m，再根据可得x1＝x2或x1＝﹣x2，分两种情况：①x1＝x2和②x1＝﹣x2，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝m， ∵， ∴， ∴x1＝x2或x1＝﹣x2， ①当x1＝x2时，这个方程有两个相等的实数根， Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2m＝m2﹣8m＝0， 解得m＝0或m＝8； ②当x1＝﹣x2时，则m＝x1+x2＝0，符合题意； 综上，m的值为0或8， 故答案为：0或8． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． 11．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，a＝±3； （2）方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； （3）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0，（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； （4）若q＝2p，则关于x的方程px2﹣q＝0（p≠0）是倍根方程． 其中正确的结论有 　（1）（3）　 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3）． 【分析】（1）把a＝±3代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程x2+2x﹣8＝0的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由（x﹣2）（mx+n）＝0，解得x1＝2，，由方程（x﹣2）（mx+n）＝0是“倍根方程”，得到m+n＝0，4m+n＝0，即可求解； （4）把q＝2p代入原方程中，求解即可判断． 【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为x2+3x+2＝0， ∴x1＝2，x2＝1， ∴x2+3x+2＝0是“倍根方程”， 当a＝﹣3时，x2﹣3x+2＝0， ∴x1＝2，x2＝1， ∴x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程x2+2x﹣8＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝2， ∴方程x2+2x﹣8＝0不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）解方程得x1＝2，， ∴或， ∴m+n＝0，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，故（3）符合题意； （4）∵q＝2p，p≠0， ∴方程px2﹣q＝px2﹣2p＝0， ∴x2＝2， ∴，， ∴px2﹣q＝0不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 【点评】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． 12．（2分）把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2+n＝0形式，则n＝　﹣14　 ． 【答案】﹣14． 【分析】通过配方法将一元二次方程化为平方形式，然后比较常数项即可． 【解答】解：原方程移项得x2+6x＝5， 两边加上一次项系数一半的平方（即9）得x2+6x+9＝14， ∴（x+3）2﹣14＝0， 与形式（x+m）2+n＝0比较，得n＝﹣14． 故答案为：﹣14． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 13．（2分）“祈年殿”是一座三重檐圆形大殿（如图）．步行祈年殿的一周大约长　32π　 m． 【答案】32π． 【分析】利用C圆＝πd进行计算即可． 【解答】解：由图得，圆的直径约32m， ∴步行祈年殿的一周大约长2πr＝πd＝32π（m）， 故答案为：32π． 【点评】本题考查的是圆的认识，熟记圆的周长公式是解题的关键． 14．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是k＝0或k＝﹣4　 ． 【答案】k＝0或k＝﹣4． 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和与两根之积，再将已知条件展开变形，代入求解k的值． 【解答】解：已知一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0，两根x1，x2， 根据韦达定理，得： x1+x2＝4k， x1x2＝﹣（k2+1）， （x1﹣1）（x2﹣1）＝0， x1x2﹣（x1+x2）+1＝0， 将韦达定理结果代入上式： ﹣（k2+1）﹣4k+1＝0， ﹣k2﹣4k＝0， k2+4k＝0， k（k+4）＝0， 解得k＝0或k＝﹣4． 故答案为：k＝0或k＝﹣4． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，熟练掌握韦达定理公式及代数式变形是解题的关键． 15．（2分）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据直线AB的解析式∠ABE＝45°，B（3，0），由AB即可求得AE＝BE＝1，求得A（4，1），利用待定系数法求得反比例函数为y，根据平移的性质以及，即可求得C（1，1+b），代入反比例函数解析式即可求得b的值． 【解答】解：作AE⊥x轴于E， ∵直线y＝x﹣3与x轴交于点B， ∴B（3，0）， 由直线y＝x﹣3可知∠ABE＝45°， ∴AE＝BE， ∵AB， ∴AE＝BE＝1， ∴A（4，1）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k1＝4×1＝4， ∴反比例函数为y， ∵将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，， ∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD， ∴C（1，b+1）， 把C点的坐标代入y，得b+1＝4， 解得b＝3， 故答案为：3． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键． 16．（2分）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在⊙O的内部交于点C，外部交于点D，画直线DC交⊙O于点E，连接AE，点F是劣弧AB上一点，连接AF，BF，若∠AED＝32°，则∠AFB的度数是　116°　 ． 【答案】116°． 【分析】连接BE，由作图得CD垂直平分AB，交⊙O于点E，则AE＝BE，由等腰三角形的“三线合一”得∠BED＝∠AED＝32°，则∠AEB＝2∠AED＝64°，求得∠AFB＝180°﹣∠AEB＝116°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE， 由作图得CD垂直平分AB，交⊙O于点E， ∴AE＝BE， ∴∠BED＝∠AED＝32°， ∴∠AEB＝2∠AED＝64°， ∵∠AFB+∠AEB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠AEB＝116°， 故答案为：116°． 【点评】此题重点考查尺规作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分88分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程． （1）4x2﹣9＝0； （2）x2+2x+2＝0． 【答案】（1），； （2）此方程没有实数根． 【分析】（1）利用直接开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可． 【解答】解：（1）4x2﹣9＝0， x2， 则x， 所以； （2）x2+2x+2＝0， x2+2x+1＝﹣2+1， （x+1）2＝﹣1， 因为﹣1＜0， 所以此方程没有实数根． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣配方法，熟知解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18．（6分）已知y﹣1与3x成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x＝﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 【答案】（1）y＝x+1； （2）y＝0； （3）x的取值范围为﹣4＜x＜4． 【分析】（1）根据题意设y﹣1＝k•3x，将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式； （2）将x＝﹣1代入y与x关系式求出y的值即可； （3）把y＝﹣3，y＝5代入y与x关系式，即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得：y﹣1＝k•3x， 将x＝3，y＝4代入得：4﹣1＝9k，即k， 则y＝x+1； （2）将x＝﹣1代入得：y＝0； （3）当y＝﹣3时，即﹣3＝x+1， ∴x＝﹣4， 当y＝5时，即5＝x+1， ∴x＝4， ∴x的取值范围为﹣4＜x＜4． 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2024的值． 【答案】（1）且k≠0；（2）2028． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定k＝1，方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入法计算α3+β2+β+2024的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0， 解得：且k≠0， ∴k的取值范围是且k≠0； （2）∵k取满足（1）中条件的最小整数， ∴k＝1， 此时方程变为x2﹣x﹣1＝0， ∴α+β＝1，α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0， ∴α2＝α+1，β2＝β+1， ∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1， 原式＝2α+1+β+1+β+2024 ＝2（α+β）+2026 ＝2×1+2026 ＝2028， ∴代数式α3+β2+β+2024的值为2028． 【点评】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则，；②式子Δ＝b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，Δ＞0⇔方程有两个不等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程无实数根． 20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定点O，使得以O为圆心，OB为半径的半圆与边AD相切于点E，与边CD交于点F，与BC的延长线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求由线段CF，CG和围成的图形面积． 【答案】（1） （2）． 【分析】（1）以B为圆心BA为半径画弧交BC于点O，以点O为圆心OB为半径画半圆交BC的延长线于点G，则半圆O即为所求； （2）连接OF，求出OC＝1，∠FOC＝60°，，而由线段CF，CG和围成的图形面积＝S扇形FOG﹣S△FOC，据此解答即可． 【解答】解：（1）如图，半圆O即为所求； （2）∵BC＝3，OB＝2， ∴OC＝BC﹣OB＝1， 连接OF，则OF＝2， ∴， 又， ∴∠FOC＝60°， ∴由线段CF，CG和围成的图形面积＝S扇形FOG﹣S△FOC ． 【点评】本题主要考查用尺规作图，勾股定理，求扇形的面积；正确作图是解答本题的关键． 21．（8分）“激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 【答案】（1）20%； （2）12元． 【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，利用经过两次涨价后的价格＝原价×（1+每次上涨的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每套摆件降价y元，则每套的销售利润为（72﹣y﹣30）元，每天可卖出（100+5y）套，利用总利润＝每套的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要使销量最大化，即可确定结论． 【解答】解：（1）设每次上涨的百分率为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为20%； （2）设每套摆件降价y元，则每套的销售利润为（72﹣y﹣30）元，每天可卖出（100+5y）套， 根据题意得：（72﹣y﹣30）（100+5y）＝4800， 整理得：y2﹣22y+120＝0， 解得：y1＝10，y2＝12， 又∵要使销量最大化， ∴y＝12． 答：每套摆件应降价12元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（8分）科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V），部分数据如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，回答下列问题： （1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为　2.4　 ； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为　2.3　 V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到　31　 klx（结果保留整数）． 【答案】（1）①2.4． ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 × （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象如下： （3）①2.3； ②31． 【分析】（1）①设y1＝k1x（k1≠0），利用待定系数法求出y1＝0.06x，再将x＝40代入计算即可得； ②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得； （2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得； （3）①根据表格和函数图象求出当x＝50时，y1，y2的值，由此即可得； ②根据表格和函数图象求出当x＝31时，y1，y2的值，再根据y1，y2都是随x的增大而增大即可得． 【解答】解：（1）①由题意，设y1＝k1x（k1≠0）， 将点（10，0.6）代入得：10k1＝0.6， 解得k1＝0.06， 则y1＝0.06x， 当x＝40时，m＝0.06×40＝2.4， 故答案为：2.4． ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 × （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象如下： （3）①当x＝50时，y1＝0.06×50＝3.0， 由表格和函数图象可知，当x＝50时，y2≈5.2+5， 则y2﹣y1≈2.3， 即当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为2.3V， 故答案为：2.3； ②由表格数据可知，当x＝30时，y1+y2＝1.8+4.6＝6.4， 当x＝31时，y1＝0.06×31＝1.86，y2≈4.64.64， ∴当x＝31时，y1+y2≈6.5， ∵y1，y2都是随x的增大而增大， ∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到31klx， 故答案为：31． 【点评】本题考查了反比例函数和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，∠C＝50°，在AB上取一点E，使AE＝AD，延长DE交⊙O于点F，连接OF． （1）求∠F的度数． （2）若DF＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）30度； （2）． 【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质和圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）过点O作OG⊥FD于点G，根据勾股定理和解直角三角形求解即可． 【解答】解：（1）AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，如图，连接OD． 由题意可得：∠ABC＝90°． ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝40°， ∴∠BOD＝2∠BAC＝80°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝70°， ∴∠ODE＝180°﹣∠AED﹣∠BOD＝30°， ∵OF＝OD， ∴∠F＝∠ODE＝30°． （2）如图，过点O作OG⊥FD于点G． ∵OF＝OD，DF＝4， ∴FG＝DG＝2， ∵∠F＝30°， ∴， ∴， 即⊙O的半径为． 【点评】本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣1，4），在第四象限交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y1＝﹣2x+2； （2）3； （3）不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞2． 【分析】（1）根据点A（﹣1，4）在反比例函数（k2≠0）的图象上求出k2的值，再根据点B（2，m）在反比例函数（k2≠0）的图象上，求出m，再根据待定系数法求出一次函数的解析式； （2）求得B的坐标，根据三角形面积公式解答即可； （3）直接根据两函数的图象即可得出不等式的解集． 【解答】解：（1）∵的图象过点A（﹣1，4）， ∴k2＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点B（2，m）， ∴， ∴B（2，﹣2）， ∵直线y1＝k1x+b的图象经过点A（﹣1，4），B（2，﹣2）， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为y1＝﹣2x+2； （2）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D， ∵BC⊥x轴，B（2，﹣2）， ∴BC＝2，C（2，0）， ∵A（﹣1，4）， ∴AD＝2﹣（﹣1）＝3， ∴； （3）∵A（﹣1，4），B（2，﹣2）， 由函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞2． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意分别求出点A、B的坐标是解答此题的关键． 25．（12分）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 　①②　 ； ①6x2﹣5x+1＝0 ②3x2+8x+4＝0 ③x2﹣4x＝0 （2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】（1）①②．（2）m或﹣2，（3）b2﹣4ac＝c2． 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得x1，x2；根据新定义列出方程即可求解． 【解答】解：（1）①6x2﹣5x+1＝0， 即（2x﹣1）（3x﹣1）＝0，2 解得 x1，x2， ∵||＝||， ∴6x2﹣5x+1＝0是差积方程； ②3x2+8x+4＝0， 即（3x+2）（x+2）＝0， 解得 x1＝﹣2，x2， ∵|﹣2|＝|（﹣2）×（）|， ∴3x2+8x+4＝0是差积方程； ③x2﹣4x＝0， 即x（x﹣4）＝0， 解得x1＝0，x2＝4， ∵|0﹣4|≠|0×4|， ∴x2﹣4x＝0不是差积方程； 故答案为：①②． （2）解得方程的解为：x1＝2，x2＝m， ∵x2﹣（m+2）x+2m＝0是差积方程， ∴|2﹣m|＝|2m|， 即：2﹣m＝2m或2﹣m＝﹣2m． 解得：m或﹣2， （3）∵ax2+bx+c＝0 （a≠0）， 解得x1，x2， ∵ax2+bx+c＝0 （a≠0）是差积方程， ∴|x1﹣x2|＝|x1•x2|， 即||＝||， 即b2﹣4ac＝c2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【答案】（1）y1x﹣1，y2； （2）C（3，2）或（，）； （3）点D的坐标为（，21）或（9，33）或（9，33）． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数的表达式，再求得点A的坐标，再利用待定系数法即可求得直线AB的表达式； （2）设C（n，），过点C作y轴的平行线交直线AB于E，设直线AB交y轴于点F，根据S△ABC＝2S△ABO，建立方程求解即可求得答案； （3）分三种情况：当BC为对角线，AB⊥BC时，当BC为对角线，AC⊥BC时，当AC为对角线，AC⊥BC时，分别求出点D的坐标即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数y2经过点B（6，1）， ∴1， ∴k2＝6， ∴反比例函数的表达式为y2， ∵点A（m，﹣2）在反比例函数y2的图象上， ∴﹣2m＝6， 解得：m＝﹣3， ∴A（﹣3，﹣2）， 把A（﹣3，﹣2），B（6，1）代入y1＝k1x+b，得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为y1x﹣1； （2）设C（n，），过点C作y轴的平行线交直线AB于E，如图1，设直线AB交y轴于点F，则E（n，n﹣1），F（0，﹣1）， ∴OF＝1，CE＝|（n﹣1）|＝|n+1|， ∵S△ABC＝2S△ABO， ∴CE×[（xB﹣n）+（n﹣xA）]＝2OF×（xB﹣xA）， 即|n+1|×（6+3）＝21×（6+3）， 整理得：n2+3n﹣18＝0或n2﹣9n﹣18＝0， n＝﹣6或n＝3或n， ∵点C在第一象限， ∴n＝3或， ∴C（3，2）或（，）； （3）当BC为对角线，AB⊥BC时，如图2， ∵直线AB的表达式为yx﹣1， ∴设直线BC的表达式为y＝﹣3x+e，把B（6，1）代入得：1＝﹣18+e， 解得：e＝19， ∴直线BC的表达式为y＝﹣3x+19， 联立得：， 解得：（舍去），， ∴C（，18）， ∵四边形ABDC是平行四边形，A（﹣3，﹣2），B（6，1）， ∴AB∥CD，AB＝CD， 由平移规律得：6﹣（﹣3），18+1﹣（﹣2）＝21， ∴D（，21）； 当BC为对角线，AC⊥BC时，如图3，设C（t，），过点C作EF∥x轴，过点A、B分别作y轴的平行线交EF于E、F， 则∠E＝∠F＝∠ACB＝90°，AE2，CE＝t+3，CF＝6﹣t，BF1， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， ∴△ACE∽△CBF， ∴，即， 解得：t＝﹣3）（舍去）或t（舍去）或t， ∴C（，3）， ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 由平移规律得：6﹣（﹣3）＝9，31﹣（﹣2）＝33， ∴D（9，33）； 当AC为对角线，AC⊥BC时，如图4， 同理可得：C（，3）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， 由平移规律得：[6﹣（﹣3）]9，3[1﹣（﹣2）]＝33， ∴D（9，33）； 综上所述，点D的坐标为（，21）或（9，33）或（9，33）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，三角形面积，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键． 试卷第1页，总1页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年 苏科版九年级上学期 期中测评数学 押题卷（四） 考试范围：第1~3章；考试时间：120分钟；满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 2．（2分）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（2分）下列说法正确的个数是（　　） ①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④任意三点确定一个圆． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2分）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．3x2+2x﹣1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 5．（2分）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）一个反比例函数的图象经过A（m，4），B（3m﹣2，n），C（﹣4，﹣n）三点（n≠0），则该反比例函数的表达式为____________________ ． 8．（2分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则a2﹣4a+b的值为_____ ． 9．（2分）若反比例函数的图象在x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是________ ． 10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为________ ． 11．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，a＝±3； （2）方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； （3）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0，（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； （4）若q＝2p，则关于x的方程px2﹣q＝0（p≠0）是倍根方程． 其中正确的结论有 ___________ ．（写出所有正确说法的序号） 12．（2分）把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2+n＝0形式，则n＝________ ． 13．（2分）“祈年殿”是一座三重檐圆形大殿（如图）．步行祈年殿的一周大约长________ m． 14．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是____________ ． 15．（2分）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为_____ ． 16．（2分）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在⊙O的内部交于点C，外部交于点D，画直线DC交⊙O于点E，连接AE，点F是劣弧AB上一点，连接AF，BF，若∠AED＝32°，则∠AFB的度数是_________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共10小题，满分88分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程． （1）4x2﹣9＝0； （2）x2+2x+2＝0． 18．（6分）已知y﹣1与3x成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x＝﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2024的值． 20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定点O，使得以O为圆心，OB为半径的半圆与边AD相切于点E，与边CD交于点F，与BC的延长线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求由线段CF，CG和围成的图形面积． 21．（8分）“激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 22．（8分）科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V），部分数据如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，回答下列问题： （1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为________ ； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为________ V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到_______ klx（结果保留整数）． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，∠C＝50°，在AB上取一点E，使AE＝AD，延长DE交⊙O于点F，连接OF． （1）求∠F的度数． （2）若DF＝4，求⊙O的半径． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣1，4），在第四象限交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 25．（12分）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 _______ ； ①6x2﹣5x+1＝0 ②3x2+8x+4＝0 ③x2﹣4x＝0 （2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 试卷第2页，总2页 学科网（北京）股份有限公司 $本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 2026-2027学年 苏科版九年级上学期 期中测评数学 押题卷（四） 考试范围：第1~3章；考试时间：120分钟；满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 2．（2分）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（2分）下列说法正确的个数是（　　） ①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④任意三点确定一个圆． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2分）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．3x2+2x﹣1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 5．（2分）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）一个反比例函数的图象经过A（m，4），B（3m﹣2，n），C（﹣4，﹣n）三点（n≠0），则该反比例函数的表达式为____________________ ． 8．（2分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则a2﹣4a+b的值为_____ ． 9．（2分）若反比例函数的图象在x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是________ ． 10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为________ ． 11．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，a＝±3； （2）方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； （3）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0，（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； （4）若q＝2p，则关于x的方程px2﹣q＝0（p≠0）是倍根方程． 其中正确的结论有 ___________ ．（写出所有正确说法的序号） 12．（2分）把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2+n＝0形式，则n＝________ ． 13．（2分）“祈年殿”是一座三重檐圆形大殿（如图）．步行祈年殿的一周大约长________ m． 14．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是____________ ． 15．（2分）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为_____ ． 16．（2分）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在⊙O的内部交于点C，外部交于点D，画直线DC交⊙O于点E，连接AE，点F是劣弧AB上一点，连接AF，BF，若∠AED＝32°，则∠AFB的度数是_________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共10小题，满分88分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程． （1）4x2﹣9＝0； （2）x2+2x+2＝0． 18．（6分）已知y﹣1与3x成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x＝﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2024的值． 20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定点O，使得以O为圆心，OB为半径的半圆与边AD相切于点E，与边CD交于点F，与BC的延长线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求由线段CF，CG和围成的图形面积． 21．（8分）“激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 22．（8分）科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V），部分数据如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，回答下列问题： （1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为________ ； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为________ V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到_______ klx（结果保留整数）． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，∠C＝50°，在AB上取一点E，使AE＝AD，延长DE交⊙O于点F，连接OF． （1）求∠F的度数． （2）若DF＝4，求⊙O的半径． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣1，4），在第四象限交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 25．（12分）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 _______ ； ①6x2﹣5x+1＝0 ②3x2+8x+4＝0 ③x2﹣4x＝0 （2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ________ 班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 试卷第2页，总2页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年 苏科版九年级上学期 期中测评数学 押题卷（四） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C D A C 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可得3﹣a≠0，再解即可． 【解答】解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程， ∴3﹣a≠0， 解得a≠3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 2．（2分）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【解答】解：由条件可知2a2﹣a﹣4＝0， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 3．（2分）下列说法正确的个数是（　　） ①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④任意三点确定一个圆． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据确定圆的条件，圆的认识对各小题进行判断即可． 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②半圆是弧，正确，符合题意； ③同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，原说法错误，不符合题意； ④不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是确定圆的条件，圆的认识，熟知以上知识是解题的关键． 4．（2分）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（　　） A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．3x2+2x﹣1＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答． 【解答】解：若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2分）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（　　） A．n（n﹣1）＝136 B．n（n﹣1）＝136 C．n（n+1）＝136 D．n（n+1）＝136 【答案】A 【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：n（n﹣1）＝136． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B，设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d），设反比例函数图象对应的函数关系式为y（k为常数，且k≠0），位于反比例函数图象上的点总价均为k，根据坐标，比较甲的总价与A的总价、丙的总价与B的总价，从而将四件商品的总价排序即可得出结论． 【解答】解：如图，过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B． 设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d）， 设反比例函数图象对应的函数关系式为y（k为常数，且k≠0）， ∴乙，丁的总价均为k， ∵ab＝k，x甲＜a， ∴x甲b＜ab＝k， ∴甲的总价小于k， ∵cd＝k，x丙＞c， ∴x丙d＞cd＝k， ∴丙的总价大于k， ∴四件商品中，总价的大小关系为丙＞乙＝丁＞甲， ∴总价最多的是丙． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函图象的特点是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）一个反比例函数的图象经过A（m，4），B（3m﹣2，n），C（﹣4，﹣n）三点（n≠0），则该反比例函数的表达式为y　 ． 【答案】y． 【分析】设反比例函数解析式为y（k≠0），再把A（m，4），B（3m﹣2，n），C（﹣4，﹣n）分别代入即可得出结论． 【解答】解：设反比例函数解析式为y（k≠0），则k＝xy， 所以． 解得或． 所以k＝4m＝0（舍去）或k＝4m＝8． 故该反比例函数的表达式为y． 故答案为：y． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，解决问题的关键是掌握函数图象上的点的坐标必须满足函数解析式． 8．（2分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则a2﹣4a+b的值为　7　 ． 【答案】7． 【分析】根据题意，得到a+b＝5，a2＝5a+2，整体代入代数式求值即可． 【解答】解：由题意可得：a+b＝5，a2﹣5a﹣2＝0， ∴a2＝5a+2， ∴a2﹣4a+b ＝5a+2﹣4a+b ＝（a+b）+2 ＝5+2 ＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9．（2分）若反比例函数的图象在x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是k＞3　 ． 【答案】k＞3． 【分析】根据题意得出k﹣3＞0，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的图象在x＜0时，y随x的增大而减小， 所以k﹣3＞0， 解得k＞3． 故答案为：k＞3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m＝0的两实数根为x1，x2，且满足，则m的值为　0或8　 ． 【答案】0或8． 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝m，再根据可得x1＝x2或x1＝﹣x2，分两种情况：①x1＝x2和②x1＝﹣x2，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝m， ∵， ∴， ∴x1＝x2或x1＝﹣x2， ①当x1＝x2时，这个方程有两个相等的实数根， Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2m＝m2﹣8m＝0， 解得m＝0或m＝8； ②当x1＝﹣x2时，则m＝x1+x2＝0，符合题意； 综上，m的值为0或8， 故答案为：0或8． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键． 11．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，a＝±3； （2）方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； （3）若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0，（m≠0）是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； （4）若q＝2p，则关于x的方程px2﹣q＝0（p≠0）是倍根方程． 其中正确的结论有 　（1）（3）　 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3）． 【分析】（1）把a＝±3代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程x2+2x﹣8＝0的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由（x﹣2）（mx+n）＝0，解得x1＝2，，由方程（x﹣2）（mx+n）＝0是“倍根方程”，得到m+n＝0，4m+n＝0，即可求解； （4）把q＝2p代入原方程中，求解即可判断． 【解答】解：（1）当a＝3时，原方程为x2+3x+2＝0， ∴x1＝2，x2＝1， ∴x2+3x+2＝0是“倍根方程”， 当a＝﹣3时，x2﹣3x+2＝0， ∴x1＝2，x2＝1， ∴x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程x2+2x﹣8＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝2， ∴方程x2+2x﹣8＝0不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）解方程得x1＝2，， ∴或， ∴m+n＝0，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，故（3）符合题意； （4）∵q＝2p，p≠0， ∴方程px2﹣q＝px2﹣2p＝0， ∴x2＝2， ∴，， ∴px2﹣q＝0不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 【点评】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． 12．（2分）把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2+n＝0形式，则n＝　﹣14　 ． 【答案】﹣14． 【分析】通过配方法将一元二次方程化为平方形式，然后比较常数项即可． 【解答】解：原方程移项得x2+6x＝5， 两边加上一次项系数一半的平方（即9）得x2+6x+9＝14， ∴（x+3）2﹣14＝0， 与形式（x+m）2+n＝0比较，得n＝﹣14． 故答案为：﹣14． 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 13．（2分）“祈年殿”是一座三重檐圆形大殿（如图）．步行祈年殿的一周大约长　32π　 m． 【答案】32π． 【分析】利用C圆＝πd进行计算即可． 【解答】解：由图得，圆的直径约32m， ∴步行祈年殿的一周大约长2πr＝πd＝32π（m）， 故答案为：32π． 【点评】本题考查的是圆的认识，熟记圆的周长公式是解题的关键． 14．（2分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0．设该方程的两个根为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，求k的值是k＝0或k＝4　 ． 【答案】k＝0或k＝﹣4． 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和与两根之积，再将已知条件展开变形，代入求解k的值． 【解答】解：已知一元二次方程x2﹣4kx﹣（k2+1）＝0，两根x1，x2， 根据韦达定理，得： x1+x2＝4k， x1x2＝﹣（k2+1）， （x1﹣1）（x2﹣1）＝0， x1x2﹣（x1+x2）+1＝0， 将韦达定理结果代入上式： ﹣（k2+1）﹣4k+1＝0， ﹣k2﹣4k＝0， k2+4k＝0， k（k+4）＝0， 解得k＝0或k＝﹣4． 故答案为：k＝0或k＝﹣4． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，熟练掌握韦达定理公式及代数式变形是解题的关键． 15．（2分）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据直线AB的解析式∠ABE＝45°，B（3，0），由AB即可求得AE＝BE＝1，求得A（4，1），利用待定系数法求得反比例函数为y，根据平移的性质以及，即可求得C（1，1+b），代入反比例函数解析式即可求得b的值． 【解答】解：作AE⊥x轴于E， ∵直线y＝x﹣3与x轴交于点B， ∴B（3，0）， 由直线y＝x﹣3可知∠ABE＝45°， ∴AE＝BE， ∵AB， ∴AE＝BE＝1， ∴A（4，1）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k1＝4×1＝4， ∴反比例函数为y， ∵将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，， ∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD， ∴C（1，b+1）， 把C点的坐标代入y，得b+1＝4， 解得b＝3， 故答案为：3． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键． 16．（2分）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在⊙O的内部交于点C，外部交于点D，画直线DC交⊙O于点E，连接AE，点F是劣弧AB上一点，连接AF，BF，若∠AED＝32°，则∠AFB的度数是　116°　 ． 【答案】116°． 【分析】连接BE，由作图得CD垂直平分AB，交⊙O于点E，则AE＝BE，由等腰三角形的“三线合一”得∠BED＝∠AED＝32°，则∠AEB＝2∠AED＝64°，求得∠AFB＝180°﹣∠AEB＝116°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE， 由作图得CD垂直平分AB，交⊙O于点E， ∴AE＝BE， ∴∠BED＝∠AED＝32°， ∴∠AEB＝2∠AED＝64°， ∵∠AFB+∠AEB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠AEB＝116°， 故答案为：116°． 【点评】此题重点考查尺规作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分88分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程． （1）4x2﹣9＝0； （2）x2+2x+2＝0． 【答案】（1），； （2）此方程没有实数根． 【分析】（1）利用直接开平方法进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可． 【解答】解：（1）4x2﹣9＝0， x2， 则x， 所以； （2）x2+2x+2＝0， x2+2x+1＝﹣2+1， （x+1）2＝﹣1， 因为﹣1＜0， 所以此方程没有实数根． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法及解一元二次方程﹣配方法，熟知解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18．（6分）已知y﹣1与3x成正比例，且当x＝3时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x＝﹣1时，求y的值； （3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围． 【答案】（1）y＝x+1； （2）y＝0； （3）x的取值范围为﹣4＜x＜4． 【分析】（1）根据题意设y﹣1＝k•3x，将x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x关系式； （2）将x＝﹣1代入y与x关系式求出y的值即可； （3）把y＝﹣3，y＝5代入y与x关系式，即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得：y﹣1＝k•3x， 将x＝3，y＝4代入得：4﹣1＝9k，即k， 则y＝x+1； （2）将x＝﹣1代入得：y＝0； （3）当y＝﹣3时，即﹣3＝x+1， ∴x＝﹣4， 当y＝5时，即5＝x+1， ∴x＝4， ∴x的取值范围为﹣4＜x＜4． 【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 19．（6分）已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2024的值． 【答案】（1）且k≠0；（2）2028． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定k＝1，方程变为x2﹣x﹣1＝0，利用根与系数的关系得到α+β＝1，αβ＝﹣1，利用一元二次方程的定义得到α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，则β2＝β+1，α3＝2α+1，然后利用整体代入法计算α3+β2+β+2024的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0， 解得：且k≠0， ∴k的取值范围是且k≠0； （2）∵k取满足（1）中条件的最小整数， ∴k＝1， 此时方程变为x2﹣x﹣1＝0， ∴α+β＝1，α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0， ∴α2＝α+1，β2＝β+1， ∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1， 原式＝2α+1+β+1+β+2024 ＝2（α+β）+2026 ＝2×1+2026 ＝2028， ∴代数式α3+β2+β+2024的值为2028． 【点评】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则，；②式子Δ＝b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式，Δ＞0⇔方程有两个不等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程无实数根． 20．（6分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在边BC上确定点O，使得以O为圆心，OB为半径的半圆与边AD相切于点E，与边CD交于点F，与BC的延长线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求由线段CF，CG和围成的图形面积． 【答案】（1） （2）． 【分析】（1）以B为圆心BA为半径画弧交BC于点O，以点O为圆心OB为半径画半圆交BC的延长线于点G，则半圆O即为所求； （2）连接OF，求出OC＝1，∠FOC＝60°，，而由线段CF，CG和围成的图形面积＝S扇形FOG﹣S△FOC，据此解答即可． 【解答】解：（1）如图，半圆O即为所求； （2）∵BC＝3，OB＝2， ∴OC＝BC﹣OB＝1， 连接OF，则OF＝2， ∴， 又， ∴∠FOC＝60°， ∴由线段CF，CG和围成的图形面积＝S扇形FOG﹣S△FOC ． 【点评】本题主要考查用尺规作图，勾股定理，求扇形的面积；正确作图是解答本题的关键． 21．（8分）“激情全运会，活力大湾区”，2025年全运会期间，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”组成的一套精美摆件深受人们喜爱．某网店以每套30元的价格购进了一批该摆件．由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套50元上涨到每套72元，此时每天可售出100套． （1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率； （2）为了使销量最大化，网店开展降价活动．市场调查发现：销售单价每降价1元，每天可多卖出5套．若网店希望每天的销售利润能够达到4800元，则每套摆件应降价多少元？ 【答案】（1）20%； （2）12元． 【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，利用经过两次涨价后的价格＝原价×（1+每次上涨的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每套摆件降价y元，则每套的销售利润为（72﹣y﹣30）元，每天可卖出（100+5y）套，利用总利润＝每套的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要使销量最大化，即可确定结论． 【解答】解：（1）设每次上涨的百分率为x， 根据题意得：50（1+x）2＝72， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：每次上涨的百分率为20%； （2）设每套摆件降价y元，则每套的销售利润为（72﹣y﹣30）元，每天可卖出（100+5y）套， 根据题意得：（72﹣y﹣30）（100+5y）＝4800， 整理得：y2﹣22y+120＝0， 解得：y1＝10，y2＝12， 又∵要使销量最大化， ∴y＝12． 答：每套摆件应降价12元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（8分）科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V），部分数据如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x，y2与x之间的关系，回答下列问题： （1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为　2.4　 ； ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”； （2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为　2.3　 V（结果保留小数点后一位）； ②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到　31　 klx（结果保留整数）． 【答案】（1）①2.4． ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 × （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象如下： （3）①2.3； ②31． 【分析】（1）①设y1＝k1x（k1≠0），利用待定系数法求出y1＝0.06x，再将x＝40代入计算即可得； ②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得； （2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得； （3）①根据表格和函数图象求出当x＝50时，y1，y2的值，由此即可得； ②根据表格和函数图象求出当x＝31时，y1，y2的值，再根据y1，y2都是随x的增大而增大即可得． 【解答】解：（1）①由题意，设y1＝k1x（k1≠0）， 将点（10，0.6）代入得：10k1＝0.6， 解得k1＝0.06， 则y1＝0.06x， 当x＝40时，m＝0.06×40＝2.4， 故答案为：2.4． ②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”如下： x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0 y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0 × （2）在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象如下： （3）①当x＝50时，y1＝0.06×50＝3.0， 由表格和函数图象可知，当x＝50时，y2≈5.2+5， 则y2﹣y1≈2.3， 即当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为2.3V， 故答案为：2.3； ②由表格数据可知，当x＝30时，y1+y2＝1.8+4.6＝6.4， 当x＝31时，y1＝0.06×31＝1.86，y2≈4.64.64， ∴当x＝31时，y1+y2≈6.5， ∵y1，y2都是随x的增大而增大， ∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到31klx， 故答案为：31． 【点评】本题考查了反比例函数和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键． 23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，∠C＝50°，在AB上取一点E，使AE＝AD，延长DE交⊙O于点F，连接OF． （1）求∠F的度数． （2）若DF＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）30度； （2）． 【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质和圆周角定理求出∠BOD的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）过点O作OG⊥FD于点G，根据勾股定理和解直角三角形求解即可． 【解答】解：（1）AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，如图，连接OD． 由题意可得：∠ABC＝90°． ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝40°， ∴∠BOD＝2∠BAC＝80°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝70°， ∴∠ODE＝180°﹣∠AED﹣∠BOD＝30°， ∵OF＝OD， ∴∠F＝∠ODE＝30°． （2）如图，过点O作OG⊥FD于点G． ∵OF＝OD，DF＝4， ∴FG＝DG＝2， ∵∠F＝30°， ∴， ∴， 即⊙O的半径为． 【点评】本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数（k2≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣1，4），在第四象限交于点B（2，m），过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求△ABC的面积． （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y1＝﹣2x+2； （2）3； （3）不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞2． 【分析】（1）根据点A（﹣1，4）在反比例函数（k2≠0）的图象上求出k2的值，再根据点B（2，m）在反比例函数（k2≠0）的图象上，求出m，再根据待定系数法求出一次函数的解析式； （2）求得B的坐标，根据三角形面积公式解答即可； （3）直接根据两函数的图象即可得出不等式的解集． 【解答】解：（1）∵的图象过点A（﹣1，4）， ∴k2＝﹣1×4＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点B（2，m）， ∴， ∴B（2，﹣2）， ∵直线y1＝k1x+b的图象经过点A（﹣1，4），B（2，﹣2）， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为y1＝﹣2x+2； （2）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D， ∵BC⊥x轴，B（2，﹣2）， ∴BC＝2，C（2，0）， ∵A（﹣1，4）， ∴AD＝2﹣（﹣1）＝3， ∴； （3）∵A（﹣1，4），B（2，﹣2）， 由函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞2． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意分别求出点A、B的坐标是解答此题的关键． 25．（12分）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝|x1•x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． （1）下列方程是“差积方程”的是 　①②　 ； ①6x2﹣5x+1＝0 ②3x2+8x+4＝0 ③x2﹣4x＝0 （2）若方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“差积方程”，直接写出m的值； （3）当方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明． 【答案】（1）①②．（2）m或﹣2，（3）b2﹣4ac＝c2． 【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得x1，x2；根据新定义列出方程即可求解． 【解答】解：（1）①6x2﹣5x+1＝0， 即（2x﹣1）（3x﹣1）＝0，2 解得 x1，x2， ∵||＝||， ∴6x2﹣5x+1＝0是差积方程； ②3x2+8x+4＝0， 即（3x+2）（x+2）＝0， 解得 x1＝﹣2，x2， ∵|﹣2|＝|（﹣2）×（）|， ∴3x2+8x+4＝0是差积方程； ③x2﹣4x＝0， 即x（x﹣4）＝0， 解得x1＝0，x2＝4， ∵|0﹣4|≠|0×4|， ∴x2﹣4x＝0不是差积方程； 故答案为：①②． （2）解得方程的解为：x1＝2，x2＝m， ∵x2﹣（m+2）x+2m＝0是差积方程， ∴|2﹣m|＝|2m|， 即：2﹣m＝2m或2﹣m＝﹣2m． 解得：m或﹣2， （3）∵ax2+bx+c＝0 （a≠0）， 解得x1，x2， ∵ax2+bx+c＝0 （a≠0）是差积方程， ∴|x1﹣x2|＝|x1•x2|， 即||＝||， 即b2﹣4ac＝c2． 【点评】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于A（m，﹣2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若S△ABC＝2S△ABO时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【答案】（1）y1x﹣1，y2； （2）C（3，2）或（，）； （3）点D的坐标为（，21）或（9，33）或（9，33）． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数的表达式，再求得点A的坐标，再利用待定系数法即可求得直线AB的表达式； （2）设C（n，），过点C作y轴的平行线交直线AB于E，设直线AB交y轴于点F，根据S△ABC＝2S△ABO，建立方程求解即可求得答案； （3）分三种情况：当BC为对角线，AB⊥BC时，当BC为对角线，AC⊥BC时，当AC为对角线，AC⊥BC时，分别求出点D的坐标即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数y2经过点B（6，1）， ∴1， ∴k2＝6， ∴反比例函数的表达式为y2， ∵点A（m，﹣2）在反比例函数y2的图象上， ∴﹣2m＝6， 解得：m＝﹣3， ∴A（﹣3，﹣2）， 把A（﹣3，﹣2），B（6，1）代入y1＝k1x+b，得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为y1x﹣1； （2）设C（n，），过点C作y轴的平行线交直线AB于E，如图1，设直线AB交y轴于点F，则E（n，n﹣1），F（0，﹣1）， ∴OF＝1，CE＝|（n﹣1）|＝|n+1|， ∵S△ABC＝2S△ABO， ∴CE×[（xB﹣n）+（n﹣xA）]＝2OF×（xB﹣xA）， 即|n+1|×（6+3）＝21×（6+3）， 整理得：n2+3n﹣18＝0或n2﹣9n﹣18＝0， n＝﹣6或n＝3或n， ∵点C在第一象限， ∴n＝3或， ∴C（3，2）或（，）； （3）当BC为对角线，AB⊥BC时，如图2， ∵直线AB的表达式为yx﹣1， ∴设直线BC的表达式为y＝﹣3x+e，把B（6，1）代入得：1＝﹣18+e， 解得：e＝19， ∴直线BC的表达式为y＝﹣3x+19， 联立得：， 解得：（舍去），， ∴C（，18）， ∵四边形ABDC是平行四边形，A（﹣3，﹣2），B（6，1）， ∴AB∥CD，AB＝CD， 由平移规律得：6﹣（﹣3），18+1﹣（﹣2）＝21， ∴D（，21）； 当BC为对角线，AC⊥BC时，如图3，设C（t，），过点C作EF∥x轴，过点A、B分别作y轴的平行线交EF于E、F， 则∠E＝∠F＝∠ACB＝90°，AE2，CE＝t+3，CF＝6﹣t，BF1， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， ∴△ACE∽△CBF， ∴，即， 解得：t＝﹣3）（舍去）或t（舍去）或t， ∴C（，3）， ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， 由平移规律得：6﹣（﹣3）＝9，31﹣（﹣2）＝33， ∴D（9，33）； 当AC为对角线，AC⊥BC时，如图4， 同理可得：C（，3）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， 由平移规律得：[6﹣（﹣3）]9，3[1﹣（﹣2）]＝33， ∴D（9，33）； 综上所述，点D的坐标为（，21）或（9，33）或（9，33）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，三角形面积，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/30 12:50:22；用户：叶子啊；邮箱：18121039359；学号：68211650 APP 公众号 小程序 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $