精品解析：江苏省南通市海门区东洲国际学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

江苏省南通市海门区东洲国际学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 2. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 4. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，由扇形的面积的公式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，圆锥展开图为扇形，扇形的半径为，圆锥底面圆的直径为， ∴圆锥底面圆的周长，即展开图扇形的弧长为， ∴展开图扇形的面积为， 故选：C ． 5. 将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率．根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的结果有2种， ∴两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率为， 故选：A． 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，添括号的应用，解题的关键是先求出，然后整体代入即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 7. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 8. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求． 【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB=2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm． ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD=3mm． 在Rt△AOD中，∵mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm 故选D 【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键． 9. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 10. 已知实数、满足，则代数式的最小值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题易得，代入要求的式子，利用二次函数最值求解，需要注意的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式， 即的最小值为7， 故选：D． 二、填空题（11-12每题3分，13-16每题4分，共计22分） 11. 二次函数的最小值是______． 【答案】-5. 【解析】 【分析】由二次函数的定顶点式可得当时，y取得最小值-5． 【详解】解：∵， ∴当时，y取得最小值， 故答案为-5． 【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 12. 已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：． 13. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，解得r=． 考点：弧长的计算． 14. 如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 15. 如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，正确表示出A、B、C的坐标是解题的关键． 设，则，再利用待定系数法求得直线的解析式，与函数联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标，然后代入三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴， 将代入，则， ∴ 则， 设直线， 则， 解得 ∴直线为， 由，解得或（舍） ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，点A，B的坐标分别为， ，C为坐标平面内一点，，M为线段的中点． （1）若，点M的坐标为__________ ； （2）连接当取最大值时，点M的坐标为__________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线定理、点圆最值问题、坐标与图形性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合长度及度数和点B坐标，求出点C坐标，再结合点M为线段的中点及点A坐标即可求出点M的坐标； （2）根据题意，得出点C在以B为圆心，为半径的圆上，作点A关于原点的对称点D，结合中位线的性质得出，求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，过C作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，M为中点， ∴M坐标为； 故答案为：； （2）如图，∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴C， 当最大时，即最大，而D，B，C三点共线时，当C在的延长线上时，最大， ∵， ∴， ∴， ∴C坐标为， ∵，M为中点， ∴M坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分98分） 17. 计算： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，解一元二次方程，掌握相关计算方法是解题的关键． （1）先利用完全平方公式对分母进行因式分解，再约分，最后进行分式的减法即可； （2）先对方程左边利用提公因式法进行因式分解，进而求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可； （2）先求得二次函数的顶点坐标，则可得当时，y取最小值，再结合 自变量m的范围，进而根据二次函数图像的性质求解即可； 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 根据题意得，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，y取最小值， 当时，；当时，， ∴当时，n的取值范围是． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接BC． （1）若∠CAD＝35°，求∠B的度数； （2）若CD＝5，DE＝2，求⊙O的半径． 【答案】（1）∠B＝55° （2）⊙O的半径为 【解析】 【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥PE，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠DAC=∠OAC； （2）过O点作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r，利用垂径定理得到AH=EH，再证明四边形OHDC为矩形得到DH=OC=r，OH=CD=5，则AH=HE=r-2，接着利用勾股定理得到（r-2）2+52=r2，然后解方程即可． 【小问1详解】 连接OC，如图， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠CAD＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠CAD＝∠OAC＝35°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OAC+∠B＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°； 【小问2详解】 过O点作OH⊥AD于H，如图，设⊙O的半径为r， ∵OH⊥AE， ∴AH＝EH， ∵∠OHD＝∠ADC＝∠OCD＝90°， ∴四边形OHDC为矩形， ∴DH＝OC＝r，OH＝CD＝5， ∵DH＝HE+DE＝HE+2， ∴HE+2＝r，即HE＝r﹣2， ∴AH＝r﹣2， 在Rt△OAH中，（r﹣2）2+52＝r2， 解得r＝， 即⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理． 20. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合题型，掌握待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据解析式求点坐标是解题的关键． （1）将代入中，即可求出m的值，再代入即可求得n的值； （2）观察函数图象，即可得出的解集； （3）采用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求出，根据即可求出的面积． 【小问1详解】 解：将代入中， 得： 解得： 将代入， 得： 解得：． 【小问2详解】 解：根据图象可得，的解集为：或． 【小问3详解】 解：将、代入 得： 解得： ∴直线的解析式为： 将代入得 ∴，即， 连接， ∴． 22. 2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数y（人）随时间x（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，为最高点，段与x轴重合，对应）．请根据图像回答： （1）时，等待安检的球迷有多少人； （2）当时，求等待人数y与x的函数关系式； （3）从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 【答案】（1）65人 （2） （3）从时，球迷可以随到随检 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）观察图象，可得当时间为0时，即可得时等待检票的游客； （2）根据抛物线的顶点坐标设y与x的函数关系式为，把代入即可得； （3）根据题意，当时，即，解方程即可得． 【小问1详解】 解：观察图象得，时等待检票的居民有65人； 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设y与x的函数关系式为， 把代入得，， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 【小问3详解】 解：由（2）知，抛物线的解析式为， 当时，即， 解得：，（不合题意舍去）， ∴开始65分钟后，即从时，球迷可以随到随检． 23. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键． （1）分和两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式； （2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出的函数最大值和的函数最大值，比较得出结果． 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， ∴w与x的函数关系式， 故答案为：； 【小问2详解】 当时， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1216； 当时，， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∵， ∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元． 24. 如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． （1）若，则 ； （2）过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2）； ②结论：． 证明：如图 ，过点作于点． ， ， 在中，，， ， ， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）证明，求出，再利用等腰三角形的性质求解； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点，利用旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明，得到，再证明，得到，利用等腰直角三角形的性质求得即可；过点作于点，证明，再证明垂直平分，得到，，最后利用等腰直角三角形的性质结合线段的等量代换即可得证． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， 旋转角为，即， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图中，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形， ， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ． ， ， ，， ． ，°， ． 在和中， ， ， ， ； 略 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 已知二次函数其中a为实数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标 ；（用含有的a式子表示） （2）当，时，求的最小值； （3）当时，二次函数的最大值为，最小值为，令，求的取值范围． 【答案】（1） （2）y的最小值为3 （3）S的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）化成顶点式即可求解； （2）由（1）可知二次函数图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质可知在内，时有最小值，最小值为，结合，即可求得的最小值； （3）分4种情况讨论，利用二次函数的性质得到关于的函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数， 抛物线经的顶点坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 在内，时有最小值，最小值为， ∴当时，随的增大而增大， 时，最小， 故的最小值为3； 【小问3详解】 解：当时，二次函数的最大值为，最小值为， ①当时，则，， ， ， ； ②当时，则，， ， ， ； ③当时，则，， ， ， ； ④当时，则，， ， ， ； 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市海门区东洲国际学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共计30分） 1. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 将分别标有“惟”、“楚”、“有”、“才”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“楚才”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 18 7. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 8. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 10. 已知实数、满足，则代数式的最小值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 二、填空题（11-12每题3分，13-16每题4分，共计22分） 11. 二次函数的最小值是______． 12. 已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为__________． 13. 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 14. 如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 15. 如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，且轴，连接与反比例函数的图象交于点C，连接，则的面积为 __________________ ． 16. 如图，点A，B的坐标分别为， ，C为坐标平面内一点，，M为线段的中点． （1）若，点M的坐标为__________ ； （2）连接当取最大值时，点M的坐标为__________ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分98分） 17. 计算： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 已知一个二次函数的图像经过，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是这个函数图像上的一点，当时，求n的取值范围． 19. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接BC． （1）若∠CAD＝35°，求∠B的度数； （2）若CD＝5，DE＝2，求⊙O的半径． 20. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 ，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； （3）连接，求的面积． 22. 2025赛季中乙联赛南通海门珂缔缘主场首战，将于本周六在海门体育中心举行．俱乐部首次启用“极速安检电子票秒过”智慧通道，让球迷可以“随到随进”，如图记录的是周六下午通道开放后，等待安检的球迷数y（人）随时间x（分钟）变化的图象（图象段为抛物线，为最高点，段与x轴重合，对应）．请根据图像回答： （1）时，等待安检的球迷有多少人； （2）当时，求等待人数y与x的函数关系式； （3）从几点几分开始，球迷可以“随到随检、随检随入”，基本无需排队？ 23. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表： 时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数） 日销售价（元/件） 36 日销售量（件） 设该商品的日销售利润为w元． （1）求出w与x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 24. 如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． （1）若，则 ； （2）过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长； 在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 25. 已知二次函数其中a为实数． （1）直接写出抛物线的顶点坐标 ；（用含有的a式子表示） （2）当，时，求的最小值； （3）当时，二次函数的最大值为，最小值为，令，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $