专题01 比例的性质、平行线分线段成比例问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级下册

专题01 比例的性质、平行线分线段成比例问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用比例的性质进行求解 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 题型三、由平行判断成比例的线段 题型四、由平行截线求相关线段的长 题型五、由平行截线求相关线段的比值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - **题型特征**：涉及比例基本性质、合分比与等比性质，以及平行线截三角形两边（或延长线）所得对应线段成比例。 - **解题方法**：比例式化乘积式（内项积=外项积）；等比性质设比值为 \(k\)；平行线分线段成比例抓“对应线段”成比例；常结合相似三角形导比例。 - **易错提醒**：对应线段找错（未按同一截线顺序）；合分比性质符号处理错误；平行线前提缺失；等比性质忽略分母和不为零。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用比例的性质进行求解 典例1（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）若，则______． 【答案】 【分析】由已知比例关系得到的值，再将所求分式拆分为计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：已知比例式或等比关系，求未知量，需运用比例的基本性质（内项积等于外项积）。 2.方法：将比例式转化为等积式，或设比值为k代入，列方程求解未知量并检验。 变式1-1（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如果，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例性质交叉相乘，可得，等式两边同时除以即可求出． 【详解】解： ， 交叉相乘得：， 即 ， 整理得：， ． 故答案为：． 变式1-2（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)，， (2)线段的长为 【分析】（1）设连等式的比值为，用含的代数式表示，代入求解即可； （2）根据比例中项的定义列出等式，结合线段的长度为正数求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， 代入得：， 解得：， ． （2）解：线段是线段，的比例中项， ，即， ， ， 线段的长度为正数， ． 变式1-3（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设，表示出a，b，c，然后代入求解； （2）根据的周长求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴，，． 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 典例2（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，且，则_____． 【答案】 【分析】根据已知的相等比例关系，将各分子用对应分母表示后代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ，且， ∴，，， ∴， ∴ ． 题型模版 1.特征：多个比相等（等比式），求代数式的值或证明，需用等比性质。 2.方法：设公比为k，将各量用k表示代入所求式；或利用等比性质（分子和/分母和等于原比）整体求解。 变式2-1（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）已知，则_________． 【答案】或 【分析】设，再整理，分和两种情况进行作答． 【详解】解：设， 则①， ②， ③， 得，， 当时，原式， 当时，，则， 原式． 故答案为：或． 变式2-2（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 变式2-3（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知，求一次函数的图象与坐标轴围成的面积． 【答案】一次函数图象与坐标轴围成的面积为或 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积． 【详解】解：， ，，， ， 当时，，解得， 一次函数解析式为； 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时，即， ， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与轴的交点为， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 题型三、由平行判断成比例的线段 典例3（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，直线，直线分别交于点，，，直线分别交于点，，，与相交于点．若直线之间的距离相等，，则下列比例式中，不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，结合已知条件直线之间的距离相等，逐一分析每个选项是否成立． 【详解】解：，且之间的距离相等， ． ， ，故选项正确； ，， ， ，故选项正确； ， 选项错误； ， ， , ， ，故选项正确． 题型模版 1.特征：平行线截两条直线，所得对应线段成比例，用于求线段长或证明比例式。 2.方法：由平行得“A”型或“8”型，找对应线段列比例式，代入已知长度解方程求未知线段。 变式3-1（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 变式3-2（2026·云南大理·模拟预测）如图，四边形中，P为对角线上一点，过点P作，交于点E，过点P作，交于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意，A选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，不符合题意． 变式3-3（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，，与相交于点，则下列结论中正确的个数是（     ） ①；②；③；④；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴正确的结论有①、②、③、⑤，共4个． 题型四、由平行截线求相关线段的长 典例4（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，已知，分别求出和的值． 【答案】 【分析】根据即可求，根据结合可得，，进而求解． 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 题型模版 1.特征：已知平行线截直线所得部分线段长，求另一条截线上未知线段长度。 2.方法：利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段列比例式，代入已知长度解方程求未知量。 变式4-1（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知直线、、，分别交直线于点、、，交直线，于点，且． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式4-2（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 变式4-3（25-26八年级下·山东烟台·期中）认知基础：如图：，直线与平行线交于、、、、、，则，，……，即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： (1)如图1，，直线，交于点，与，分别交于、、、，若，，则的长度为_____； (2)如图2，中，，，，，，求的长； (3)如图3，中，，点在上，且，，，求的长度； (4)如图4，矩形中，，，点是对角线上一点，且，延长交于点，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】（1）首先由得到，然后根据平行线分线段成比例求解； （2）根据平行线分线段成比例求解； （3）首先得到，然后证明出，然后利用相似三角形的性质求解； （4）由矩形得到，，，证明出，求出，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即 ∴ ∵ ∴，即 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴； （4）解：∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． 题型五、由平行截线求相关线段的比值 典例5（25-26九年级上·辽宁锦州·阶段检测）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【详解】（1）略 ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：已知平行线截两条直线，求对应线段长度之比，无需具体长度。 2.方法：利用平行线分线段成比例定理，写出对应线段的比，再由已知比或设k代入，化简求比值。 变式5-1（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 变式5-2（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 变式5-3（2026·河南驻马店·三模）在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为，的度数为． (1)[问题解决]如图1，若，则的度数为________，的值为_________； (2)[问题探究]如图2，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； (3)[拓展延伸]若，中有一锐角的正切值为，请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)解：的值不变化 ，理由如下： 延长，交于点， ∵， ∴， 又，， ∴ ∴，即是的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴，即； (3)1或4 【分析】（1）由三角形内角和定理可得结论；过点作于点，求出，可求出； （2）的值不变化 ，延长，交于点，证明是的中位线，可得结论； （3）分和两种情况，分别求出以及的长，再由勾股定理求出的长，根据和求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点， ∵平分，， ∴， 在中，， 设,则，，,, ∴， 在中，， ∴， ∴, ∴， ∴ （2）略 （3）解：当时， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：，（舍去） 延长，交于点， 由（2）知，， ∴， 又， ∴， ∴由勾股定理得， ∴； 当时，延长，交于点， 同理可得，， ∴由勾股定理得， ∴； 综上，的长为1或4． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）已知，下列变形错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴选项变形正确，选项变形错误． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如果（a，b，c，d，e，f均为正数），那么下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知多个比值相等，可设参数k表示各量，代入各选项验证． 【详解】解：∵， ∴设，，，，，（均为正数）， ∵，，， ∴选项 A，B，C中结论均正确，不符合题意， ∵， ∴ 选项D中结论错误，符合题意． 3．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，分别在和中建立与、与的关系，通过中间比进行等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即选项C正确，符合题意． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a，b，c为的三边，且，则的形状为（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】设，转化为整式关系推导三边相等即可． 【详解】解：设，则，，， 三式相加得，即， ∵，，为的三边， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形． 5．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，D，E分别是上的点，连接交于点，已知是的中点且，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 是的中点， ，则， ， ， ， ． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质得到，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 可得对应线段成比例，即 ，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 8．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 利用比例的性质，设公共比值为，得到，，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设公共比值为， 则，，， ∴． 故答案为：． 9．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 【答案】 10 【分析】根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）已知 ，则k的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 先理解题意，得都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， ∴， 当时，则 ∴ 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，求； （2）已知，求证：． 【答案】（1）2； （2）证明：设，则，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题． （1）设，且，然后代入计算即可． （2）设，则，，然后代入计算即可得证． 【详解】（1）解：设，且， ∴； （2）略 12．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)， ， 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． （1）根据题干信息，假设，，，代入即可得出结果； （2）由（1）中，列方程，解出的值，再分别求出a、b、c的值． 【详解】（1）解：∵， 令，，， 则． （2）解：∵的周长为， ∴， 解得， ∴，，， 故， ，． 13．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，． (1)填空：的值为___________，的值为___________； (2)若，求和的长． 【答案】(1) (2)的长分别为 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，比例的性质． （1）根据平行线分线段成比例得到进而根据计算即可； （2）先求出，再根据计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ， ． 故的长分别为． 14．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，． (1)求证： (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)10 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． （1）由，求得，由求得，据此即可得到； （2）设，，求得，，再根据可求得，再根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的长为10． 15．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 16．（25-26九年级下·河北·单元测试）如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N. 【问题引入】 (1)若点O是AC的中点，，求的值； 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G. 【探索研究】 (2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：； 【拓展应用】 (3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） . 【分析】(1)作AG∥MN交BN延长线于点G,证△ABG∽△MBN得, 即,同理可证△ACG∽△OCN得,结合AO=CO,得NG=CN,从而由进行求解, (2)由,可知:, (3)由(2)可知,在△ABD中有, 在△ACD中有, 从而,因此可得:. 【详解】(1)过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G. ∴∠G=∠BNM， 又∠B=∠B， ∴△ABG∽△MBN， ∴， ∴， ∴， 即， 同理，△ACG∽△OCN，∴， ∴， 又∵AO=CO， ∴NG=CN， ∴； (2)证明：由(1)可知，，∴＝1； (3)在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得， 在△ACD中，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相交于点E，B. 由(2)可得， ∴， ∴. 17．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值． 小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为__________． 参考小吴思考问题的方法，解决问题： （1）如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值； （2）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为__________． 【答案】阅读材料：；（1）1；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质： 阅读材料：如图2，过点C作，交的延长线于点F，可证，根据全等三角形的性质可得，再由，可得，由相似三角形的性质可得，由此即可求得的值． （1）如图3，过A作，交延长线于点F，可得，根据相似三角形的性质可得，设，由可得，可得，再证明，即可； （2）如图4，过C作交于F，可得，根据相似三角形的性质可得，设，再证明，可得，可得，即可． 【详解】解：阅读材料：如图2，过点C作，交的延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （1）如图3，过A作，交延长线于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ， ∵， ， ； （2）如图4，过C作交于F， ∴， ∴， 设， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01比例的性质、平行线分线段成比例问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用比例的性质进行求解 题型二、利用比例中的等比性质进行求解 题型三、由平行判断成比例的线段 题型四、由平行截线求相关线段的长 题型五、由平行截线求相关线段的比值 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 ·*题型特征**：涉及比例基本性质、合分比与等比性质，以及平行线截三角形两边（或延长线）所得对 应线段成比例。 ~*解题方法**：比例式化乘积式（内项积=外项积）；等比性质设比值为k);平行线分线段成比例抓 “对应线段”成比例；常结合相似三角形导比例。 ·*易错提醒*：对应线段找错（未按同一截线顺序）；合分比性质符号处理错误；平行线前提缺失；等 比性质忽略分母和不为零。 ◆● 刁题型归纳—精讲典型题法，奔夫解题根基 题型一、 利用比例的性质进行求解 a b a+b 典例1(26-27九年级上广东佛山阶段检测)若23，则6- 题型模版 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：己知比例式或等比关系，求未知量，需运用比例的基本性质（内项积等于外项积）。 2方法：将比例式转化为等积式，或设比值为k代入，列方程求解未知量并检验。 a=2 a 变式1-1(25-26九年级上·安徽宿州：期末)如果a+65,则6 a+2_b_c+5 变式1-2(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)己知线段a,b,c满足3=46，且 2a-b+3c=21」 (1)求a,b,c的值； (②)若线段x是线段a,b的比例中项，求线段x的长. a+l_b-2=S+0 变式1-3(26-27九年级上辽宁丹东阶段检测)已知a,b,c是。4BC的三边长，且5=46 2a+b (1)求3c的值： (2)若△ABC的周长为91，求各边的长. 题型二、 利用比例中的等比性质进行求解 a-c=e-2 a+3c+5e 典例2(26-27九年级上四川成都阶段检测)若6af5,且b+3d+5f≠0，则6+3d+5f 题型模版 1.特征：多个比相等（等比式），求代数式的值或证明，需用等比性质。 2方法：设公比为k,将各量用k表示代入所求式；或利用等比性质（分子和/分母和等于原比）整体求解。 b+c-a_c+a-ba+b-c 变式2-1(26-27九年级上广东深圳自主招生)已知4 b c一，则 (a+b)(b+c)(a+c)」 abc 变式2-2(25-26九年级上湖北黄冈阶段检测)已知k=m+”-卫=m-n+卫_”+p-m n m ，则k的值为 a=办=b=k,求一次函数y=+k的图 变式23(26-27九年级上·上海浦东新阶段检测)已知b+ca+ca+b 象与坐标轴围成的面积. 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、由平行判断成比例的线段 典例3(26-27九年级下全国单元复习)如图，直线 ,直线分别安6于点4，F,B,直 钱D 4,2, 分别交 于点C,E,D,B与CD相交于点O.若直 线山山之间的距离相等， EO=OC 则下列比例式中，不成立的是() AC 1 0C1 OC -1 EF 1 A DB 3 B. DC4 C.D0-0C3 D.AC+DB 4 题型模版 1.特征：平行线截两条直线，所得对应线段成比例，用于求线段长或证明比例式。 2方法：由平行得“A”型或“8”型，找对应线段列比例式，代入已知长度解方程求未知线段。 变式3-1(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE/BC BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是() AD AE B.FB"EC FDAE AD DE FD FE A.AB AC C.DB BC D.FBFC 变式3-2(2026云南大理模拟预测)如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PE∥AB 交AD于点E,过点P作PF∥CD,交BC于点F,则下列所给的结论中，不一定正确的是() 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE PF AE BF A. AB CD B.DECF PFAE C.CDAD PE PF=1 D.AB CD 变式33(26-27九年级下全国课后作业)如图，AB川CDEF,AF与BE相交于点O,则下列结论中正 确的个数是() 、A B AD BC CE DF BC=AD CE AD AF BE ①DF=CE:②BE=AF:③BE=AF:④EF=AB:⑤FOEO A.2 B.3 C.4 D.5 题型四、由平行截线求相关线段的长 典例4(26-27九年级上·上海杨浦阶段检测)如图，已知 DE /AF /BC,AD =2cm,AB=6cm,FD=1.5cm,AE =1.2cm DC EC ,分别求出和的值。 B 题型模版 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：已知平行线截直线所得部分线段长，求另一条截线上未知线段长度。 2方法：利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段列比例式，代入已知长度解方程求未知量。 变式41(2627九年级上全国单元测试)如图.已知直线、久、5，分别交直线于点4、B、C,交 1 直线，于 DE、F。4I☑Ig D A B 1 E ()若AB=6,BC=9,DE=12,求EF的长： (2)若DE:EF=3:4,AC=28,求BC的长. 变式4-2(26-27九年级上全国课后作业)如图，直线ab‖C,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于 点D,E,F m n A B (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长： AB_2 (②)若BC=3,DE=6,求DF的长。 变式43(25-26八年级下山东烟台期中)认知基础：如图：a∥b∥c,直线m,n与平行线交于A、B、 AB DE AB DE C、D、E、F,则BCEF,AC=DF,…,即：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成 比例. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E -b m 请依据“认知基础”的理解，解决下列问题： D 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，a∥b,直线m,n交于点O,与a,b分别交于A、B、C、D,若OA:OB=2:3,CD=10, 则OC的长度为一： (2)如图2，△ABC中，DE∥BC,EF∥CD,AF=6,AD=10,AE=9,求AB的长； (3)如图3，△ABC中，BC=12,点D在AB上，且AD=2BD,DE∥BC,EF IAB,求DE的长度： (4)如图4，矩形ABCD中，AB=8,BC=10,点E是对角线BD上一点，且DE=2BE,延长CE交AB于 点F,求CF的长 题型五、由平行截线求相关线段的比值 典例5(25-26九年级上·辽宁锦州阶段检测)在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE 交于点F. E B D B D 图1 图2 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE 1 (I)如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DG∥BE交AC于点G,求证： AC3: EC (②)如图2，若BD:DC=1:4AF:FD=3:2,求AC的值. 题型模版 1.特征：已知平行线截两条直线，求对应线段长度之比，无需具体长度。 2方法：利用平行线分线段成比例定理，写出对应线段的比，再由已知比或设k代入，化简求比值。 变式5-1(25-26九年级上·四川成都阶段检测)△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接 BF并延长交AC于点E. D B D 图1 图2 备用图 AE 1 (I)如图1，点D是BC中点，点F是AD中点，DGBE交AC于点G,求证：EC2: (2)如图2，若BD:DC=1:4,AF:FD=3:2,求AE:EC的值； BD AE 3)若F为4D的中点，设BC=m,AC=m,请求出m、n之间的等量关系。 变式5-2(25-26八年级下·吉林长春期末)综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的 应用. 图1 图2 【初步探记】在A1BC中，D:E分别为BC、AC的动点，若D=DC,4E-C,连接AD:B贴 2 文于6.如图1，若过D作DF,交4C于，则F与压 的比值为 AG与MD的比 值为 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC 分别交于点G、M,若CF=DF,△BEG的面积为3，则ABCD的面积为. 变式5-3(2026河南驻马店·三模)在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线BD平分∠ABC,且 BD LAD,过点A作AM⊥BC,垂足为M,∠ABC的度数为&. M 图 图2 备用图 DC (1)儿问题解决]如图1，若a=60,则∠BAD的度数为 AM的值为」 DC (2[问题探究]如图2，若60°<a<90°，判断4M的值是否发生变化，并说明理由： (3)[拓展延伸若AB=5,RtABCD中有一锐角的正切值为2，请直接写出线段CM的长。 夙压轴挑战 攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 a b 1.(25-26九年级上甘肃天水期中)已知23a≠0,6≠0，下列变形错误的是() A.63 B.a= 2 C.a:2=b:3 D.3a=2b a ce I 2.(26-27九年级上~全国课后作业)如果6a了2(a,b,c,d,e,f均为正数)，那么下列结论 中错误的是() a+c 1 a+c+e 1 a+cc+e A.b+d2 B.b+d+f2 C.b+dd+f D. a+b_1 b2 3. (2026浙江杭州一模)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC,点G在边 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC上（不与点B,C重合），连接AG交DE于点F,则下列比例式一定正确的是(). D DF EF DF EF BD FG A. GC BG B. AF AE C.BGCG D.FGCE a-b b-c_c-a 4.(26-27九年级上全国课后作业)已知a,b,c为AABC的三边，且a=b=C,则△ABC的 形状为() A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 5.(2026安徽阜阳·二模)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,BC上的点，连接AE,CD交于点F, BD 已知F是CD的中点且BE=5CE,则AD的值为() A D B A.3 B.4 c.5 D.6 二、填空题 a+b 3 a-b 6.(25-26九年级上·上海宝山期末)已知2a-6-5,则2b= 7.(26-27九年级上·上海闵行阶段检测)如图，已知ABICDI‖EF,，AD=6,BC=7,CE=10,则DF的 长为 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a c e 5 a-c+2e 8.(25-26九年级上河南平顶山期末)若6ā了6，(6-d+2f≠0)，则b-d+2f 9.(26-27九年级上河南南阳阶段检测)如图，口ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E的直线MN 分别交边AB,BC于点F,G,交射线DA,DC于点M,N.若MF=3,EF=2,则EG·EN的值为 入 10,(25-26九年级上四川成都阶段检测)已知k=a+有-c=a-h+c_b+c-8 b a一，则k的值为 三、解答题 a 3 4a-3b 11.(25-26九年级上浙江杭州期中)(1)已知方2，求a: a c a_a-c(b-d≠0) (2)已知6a,求证：66-d a b c 12,(25-26九年级上河南开封阶段检测)己知a、b、c是a4BC的三边长，且357，求： 3b-2a ()c的值： (2)若△ABC的周长为30，求a、b、c的值. 1∥12∥1，AB=2,BC=3 13.(25-26九年级上·安徽毫州阶段检测)如图， 10/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E DE EF ()填空：EF的值为 FD的值为」 (2)若DF=12,求DE和EF的长， 14.(25-26九年级上：湖南怀化期中)如图，在△ABC中，EF∥CD,DE∥BC AF AD (I)求证：FDDB (2)已知AB=45,AD:DB=2:1,求FD的长 15.(25-26九年级上·上海宝山阶段检测)如图，己知：AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC与 BD交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F, EFEF (①)求证：ABCD (2)连接AF、DF,求证：EF平分∠AFD, 16.(25-26九年级下河北单元测试)如图①所示，在△ABC中，点0是AC上一点，过点0的直线与 AB,BC的延长线分别相交于点M,N. 【问题引入】 AM 1 CN (I)若点O是AC的中点，BM=3,求BN的值： 11/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G. 【探索研究】 AM BN.CO=1 (2)②若点O是AC上任意一点（不与A,C重合），求证：MB NCOA: 【拓展应用】 (3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,E,F若 AF1 BD1 AE BF=3,CD2,求CE的值. A C G D 图① 图② 17.(25-26九年级上：江苏盐城期末)阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE DB 2 AP 是AC边上的中线，点D在BC边上，BC了AD与BB相交于点P,求PD的值. F D 图1 图2 图3 图4 小吴发现，过点C作CF∥AD,交BE的延长线于点F,通过构造△CEF,经过推理和计算能够使问题得 到解决（如图2). AP 请回答：PD的值为 参考小吴思考问题的方法，解决问题： DB 3 AE3 AP (1)如图3，在A4BC中，点D在BC的延长线上，BC2,点E在AC上，且EC2·求PD的值： DB 3 AE 7 P (2)如图4，在A4BC中，点D在BC的延长线上，BC2,点E在AC上，且EC2,直接写出P 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值为 13/13