专题07 相似三角形中的动点问题（专项训练）数学新教材人教版九年级下册

专题07 相似三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 题型1 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题（难） 题型4 相似三角形中的动点问题与函数图像问题（高频） 题型5 相似三角形中的动点与几何图形探究问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 【答案】或 【分析】设运动时间为，用表示、的长度；为公共角，分两组相似对应情况列比例方程求解． 【详解】解：设运动时间为． 由题意得，， 则． 是公共角，分两种情况讨论： ①当时， 解得． ②当时， ， ， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 2．（2026·甘肃白银·二模）已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动，当再运动到点A时静止．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和相似． 【答案】或 【分析】分当在上时， 当在上时，不符合题意，当在上时，当在上时，不符合题意，再进一步分析求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在长方形中，，， ∴，，， ∵， ∴， 当在上时，， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 当在上时，如图， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 综上：t的值为或． 3．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，已知四边形中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)是否存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为或 (2)不存在；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 若将四边形分成面积相等的两部分，则四边形的面积为梯形面积的一半， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分； (3)存在；或 【分析】（1）过点D作于点F，则易得四边形是矩形，再由勾股定理求得，求得的值，再分两种情况考虑相似即可； （2）若将四边形分成面积相等的两部分，则四边形的面积为梯形面积的一半，用含t的代数式表示出四边形的面积，解关于t的方程，根据t的值是否存在即可作出判断； （3）证明，利用比例式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点F， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵，， ∴， 解得； 若，则， ∴， 解得； 综上，当为或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：不存在；理由略； （3）解：存在； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴当或时，． 4．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为的中点，点是边上一动点，连结，将线段绕点顺时针旋转至，以、为边构造正方形，已知． (1)线段的长为______，用含的代数式表示线段的长为______； (2)当正方形与重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围； (3)当边的中点落在的边上时，求的值． (4)当点不与点重合时，作点关于直线的对称点．当与的一边垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)10； (2) (3)或6 (4)4或或1或7 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）分别求出当点M落在上时；当点M落在上时，t的值，即可求解； （3）分两种情况：当的中点F落在边上时，当的中点F落在边上时，即可求解； （4）分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：10；； （2）解：当点M落在上时，正方形与重叠部分图形是正方形， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M落在上时，正方形与重叠部分图形是正方形，过点Q作于点G，过点P作于点K， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ， ∴四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴当重叠部分图形是正方形时，t的取值范围为； （3）解：当的中点F落在边上时，如图，过点Q作于点G，过点Q作于点E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵F是的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当的中点落在边上时，如图，过点Q作于点E，过点N作于点T，过点M作，交的延长线于点R，交的延长线于点H，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或6； （4）解：当时，点在上，此时，点M落在上， 由（2）得：； 当时，与的交点为O，过点Q作于点E， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴， ∵， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 如图，当时，过点Q作于点E，则，， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点Q作于点E，延长至点K，则，， ∵点C关于直线PQ的对称点为点， ∴所在的直线平分， 即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为4或或1或7． ◆题型2 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 5．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）在矩形中，，，点为边上一动点，将沿折叠，点的对应点为．当点落在矩形的对角线上时，的长为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，点分别落在矩形对角线和对角线上，利用折叠的性质，结合勾股定理或相似三角形的判定与性质求解的长度即可． 【详解】解：①点恰好在矩形的对角线上，如图1所示： 在中，，，由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，，， ，， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， 的长为3； ②点恰好在矩形的对角线上，如图2所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ． 综上所述：的长为3或4.5． 6．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中，，，，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点B的对应点始终落在边AC上，若与相似，则BM的长为_____． 【答案】或 【分析】根据折叠的性质，分两种情况讨论与相似，当时，点与点重合，点是的中点，可直接求得的长；当时，由相似可以得到是等腰直角三角形，设，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：情况一：如图，当时，，此时，点与点重合， ，， 是等腰直角三角形， 又， 点是的中点， ． 情况二：如图，当时，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 由勾股定理，， ， 解得，（舍去） 综上所述，的长为或． 7．（2026·河南南阳·二模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与长方形顶点重合），则的长为___． 【答案】或 【分析】矩形对角线有两条：、，分落在对角线上，在边上以及落在对角线上，在上两种情况讨论算出长度． 【详解】解：矩形， ，，， ， ①落在对角线上，在边上， 由折叠性质：，，，，， 由是中点，得， ， ， ， ， ， ； ②落在对角线上，在上， 设交于点，连接， 由折叠性质：，， 又， ， ， 又， ， ， ， 的长为或． 8．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的动点，将沿着翻折，点落在点处，连接，．若是等腰三角形，则线段的长是______． 【答案】或或 【分析】当时，可知是的垂直平分线，由折叠的性质可知；以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，，可知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，由折叠的性质可知，根据是等腰三角形，再分和两种情况求解． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 是等腰三角形， 如下图所示，当时，过点作， 则点在的垂直平分线上， 点是的中点， 点在的垂直平分线上， 点、、三点共线， ， ， 由折叠可知，， 四边形是正方形， ； 如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，， ，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则点的坐标为， 由折叠可知， 设点的坐标为， 则有， 整理得：， 当时， 可得：， 整理得：， ， 整理可得：， 把代入， 可得：， 解得：， ， 点的坐标为， ，， ， 又， 四边形为矩形， ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， ； 当时， 可得：， 整理可得：， ， 代入可得：， 整理可得：， 把代入， 可得：， 解得：， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ； 综上所述，或或. ◆题型3 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 9．（2026·江苏连云港·二模）如图，矩形中，，，、分别为、上动点，，沿直线进行翻折，对应边在原平面内，连接．在、的运动过程中，的最小值是________． 【答案】 【分析】连接交于点，连接 ．证明 ，确定点为上的定点．由折叠的性质得 ，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动．当点 三点共线时，最小，最小值为 ．通过构造直角三角形，利用勾股定理分别求出和的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴点是上的定点，且 ． 过点作 于点，交于点，则 ， ． ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ． 四边形是矩形， ∴， ∴ ． 在 中， ． 由折叠的性质得： ， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动． 当点 三点共线时，最小，最小值为． 在 中，． ∴的最小值 ． 10．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，，，点、是对角线上的动点，点在点的下方，，连接、，当最小时，的长为________． 【答案】10 【分析】连接交于点，过点F作，过点A作，且与交于点G，连接，交于点，证明四边形是平行四边形，则，当G、、C三点共线时，有最小值，证明，则，进而求出是的中位线，则，根据勾股定理求出长，利用求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点F作，过点A作，且与交于点G，连接，交于点， 、， 四边形是平行四边形， 、， ， 当G、、C三点共线时，有最小值，最小值为，此时点运动到点，即， 四边形是矩形， 、、、， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 即当最小时，的长为10． 11．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形、轴对称下的线段最值问题以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 根据题意中的，得出其它角度的等量关系，可证，可得，同理由角度等量关系，证，得线段比例关系，即，又可证，得角度等量关系，证得，即得到关键信息，确定出点E的运动轨迹，又经过证明了解到，故最值判断类似“将军饮马”模型，所以点B关于的对称点，连接，即的最小值为的长度，过点A作，由求边长，最终由勾股定理求得长度，得到得最小值． 【详解】解：连接，令，相交于点M，如下图所示： 在直角三角形中，∵，， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴， ∴，即， 所以点E在过点且垂直的射线上移动； ∵， ∴， 故求出的最小值即可， 作点B关于的对称点，连接， 即的最小值为的长度，过点A作，交于点F，如下图所示： 根据对称的性质，， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 12．（25-26九年级下·广西防城港·期中）【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一个热点问题．两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线段”（简称逆等线）．它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且它们分别到各自对应定点的距离始终相等．以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问题”． 【方法研究】 (1)如图1，在等腰直角中，，，，分别是线段，上的两个动点．若，连接，，试求的最小值．我们往往使用构造等腰三角形的方法，过点作，且，连接，易证，所以，由此我们可以得出结论：当，，三点________时，的值最小，即取得最小值． 【问题解决】 (2)如图2，在矩形中，，，是边上的一个动点，是射线上的一个动点，且，连接，，求的最小值（提示：在图2中，延长至点，使，连接）． 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形中，，．若，分别是，上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1)共线 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系作答即可； （2）仿照1得到当三点共线时，最小，等于的长度，根据勾股定理计算即可； （3）根据菱形的性质得到，，在上方构造线段，且，连接，根据相似三角形的判定和性质得到，即的最小值为，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据三角形三边关系可知， ∴当，，三点共线时，的值最小，即取得最小值． （2）解：在图2中，延长至点，使，连接， 矩形中，， 又，， ∴， 得． 因此， 可知当三点共线时，最小，等于的长度． 由勾股定理得， 因此的最小值为． （3）解：菱形中，，， ∴， ∴， 如图，在上方构造线段，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴． ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题 13．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，为边上一点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），的值为．在动点运动的过程中，与的函数图像如图所示．则图像最低点的纵坐标_____． 【答案】 【分析】先根据动点速度与函数图像，确定斜边，再结合时的最低点信息，得到此时且，利用勾股定理算出；接着通过证明 ，求出；最后根据“垂线段最短”，得出点在上运动时，的最小值为，因此函数图像最低点的纵坐标． 【详解】解：∵动点速度为单位/秒，由图可知：从到共用时秒， ∴斜边； 当时，，此时，且该点是在段的最低点， ∴此时，得， 在中，由勾股定理得：， 又，， ∴，得比例关系： ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，即， 根据垂线段最短，在上运动时，的最小值为， ∴的最小值（即图像最低点纵坐标）：． 14．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图1，在正方形中，E，F分别为边上的动点，直线交于点G，且．设的长为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则（1）正方形的边长______，（2）当时，则______． 【答案】 6 【分析】（1）根据当时，，则当E与B重合时，F与A重合，即的面积等于18，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）设，则，根据求出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，． ∵当时，， ∴当E与B重合时，F与A重合，即的面积等于18， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， （2），， ∴． 设，则， ∵当时，， ∵， ∴， 解得， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图（1），在中，，，动点从点出发沿折线运动，速度为2个单位/秒，动点从点出发向点运动，速度为1个单位/秒，、两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．若线段为，与运动时间(单位：)的关系如图（2）所示．（1）__（2）__． 【答案】 【分析】（1）根据动点运动路径，当运动到点时对应函数图象的转折点，结合的运动速度可直接求出的长度； （2）当运动到最长时间时，到达点停止，此时在上，通过构造相似三角形求出到的垂线段长度和水平距离，再利用勾股定理计算的值，即的值． 【详解】解：当动点在上运动时，，，结合函数图象的转折点可知，当时到达点，此时． ∵的速度为2个单位/秒， ∴． 当时，动点运动到点，停止运动；此时动点运动的总路程为． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴． 过作于点，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，． ∵，且， ∴， 即． 16．（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图1所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点D，E，F分别在，，上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图1所示，．设，矩形的面积为y（单位：）． 剪裁并得出以下数据： x/cm … 1 2 3 4 … … 4 6 6 4 … 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论…… 问题解决： (1)博学小组剪布料问题中，当______cm时，能够使剪出的矩形的面积最大，y关于x的函数表达式为______（不要求写x的取值范围） (2)选择一块特殊废料如图3所示，，，．当的长为多少时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)2.5， (2)当的长为时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，判断出用自变量表示出的长度是解题的关键． (1)根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当长为多少时，矩形的面积最大，根据，根据等腰直角三角形和矩形的性质得到的长度，即可得出y与x的关系式； (2)设，则，得到用k表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当k的值为多少时，矩形的面积最大，即可得到此时的值． 【详解】（1）解：由题意得y是x的二次函数，二次函数的开口向下， ∵二次函数过，， ∴当时，y最大，当时，能够使剪出的矩形的面积最大， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为2.5，． （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， 设，，则， ∴， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，， ∴当的长为时，能够使剪出的矩形的面积最大，最大面积是． ◆题型5 相似三角形中的动点与几何图形探究问题 17．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F．         (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】(1) ，理由如下： 由旋转得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ； (2) (3) 【分析】（1）证明即可得证； （2）先由勾股定理求解，然后根据等腰直角三角形求解，再证明得到即可； （3）证明即可得到，则，从而得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ∴ ∴， 在 中， ， ∴， ∴， 同理可求 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 解得； （3）解：由（1）可得， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 18．（2026·江苏南通·三模）如图，矩形中，点E在边上，，，点P为边上一动点，作，交射线于点F，连接、，点M是的中点． (1)求证：点M在的中垂线上； (2)若点M恰好在边上，且，求的长； (3)连接，若，求线段长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形的性质求得，即可得到点在的中垂线上； （2）证明，求得，设，利用勾股定理列式求解即可； （3）点始终在线段的垂直平分线上，设路径为线段，当与重合时，长取最大值，当与垂直时，长取最小值，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， 在矩形中，， 与均为直角三角形， 是中点， ， 点在的中垂线上； （2）解：如图2，连接，， 点在的中垂线上， ， 在矩形中， ， ∴， 又是的中点， ， ， ． 设， ， ， 在中，， 在中，， ， ， （负值舍去）； （3）解：， ，矩形是正方形， ∴， 由（1）可得，点始终在线段的垂直平分线上，设路径为线段， 如图3，当与重合时，长取最大值， 在中，， ， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 在中，， ， 长的最大值为； 当与垂直时，长取最小值， 延长交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ， ． 长的最小值为． 长的取值范围是． 19．（2026·江苏泰州·一模）【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图，作， 是的角平分线， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． (2)①；② 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点P分别作，的垂线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．②借鉴第①问的方法，过点P作的平行线，构造相似三角形求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图所示，,过点P分别作，的垂线，交于点H，交于点N， 在平行四边形中，， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ； ②如图，作，作， ， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ． 20．（2026·湖南邵阳·一模）探究以下问题： (1)[问题发现]如图，在正方形中，点是对角线上一动点（不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)[类比探究]如图，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，请探究此时与的数量关系． (3)[拓展延伸]在矩形中，仍有，若，点为射线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)解：， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； (2)； (3)或． 【分析】由四边形是正方形，得，，又线段绕点逆时针旋转得到线段，所以，，再证明，再由全等三角形的性质即可求证； 由四边形是矩形，则，，证明，所以，即，可得，即，再证明，然后由相似三角形的性质即可求解； 由，设，，由勾股定理得，所以，，由知，所以，，然后得出是直角三角形，又为等腰三角形，则只能是直角边相等，即，设，由，得，然后分当点在线段上，当点在的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由，设，， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴，解得， ∴，， 由知， ∴，， ∵在矩形中，， ∴，即， ∴是直角三角形， 若为等腰三角形，则只能是直角边相等，即， 设，由，得， 如图，当点在线段上， 此时， 由得， 解得， ∴； 如图，当点在的延长线上， 此时， 由，得， 解得， ∴， 综上可得：的长为或． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（   ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A．4或6 B．5 C．6或 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故选：C． 2．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点，动点，动点（t为实数），则的最小值是（     ） A．24 B．26 C．28 D．以上答案都不正确 【答案】D 【分析】此题考查一定点两动点最小值问题，需要构建模型作把转化为，从而的值是，则根据两点之间，线段最短，当A、B、N三点共线时，最短，因为动点是沿运动，经过计算当A、B、N三点共线时，此时正好垂直于轴，最短，所以的最小值就是当A、B、N三点共线时． 【详解】 设定点，动点可看作由沿x轴向右平移t个单位得到，因此； 作轴于点，则垂足， 即点由沿x轴向右平移个单位得到， 由此可得， ． 在x轴上方构造（相似比为），且保证轴． 由相似三角形的性质可得：， 已知，得， 因此点为定点．且． 原式可转化为： 当A、B、N三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度． 由可知，点纵坐标恒为6，其轨迹为平行于x轴的定直线； 根据直线外一点到直线的连线中，垂线段最短， 当时，最小，此时． 将代入坐标解析式，得，对应动点，该位置恰好满足A、B、N三点共线，且值最小． 将代入，则计算各段线段长度： ， ， 则， ， 因此，的最小值为：． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形 ，则下列结论错误的是（   ） A．若交对角线于点，则 B．若点 在边上时， C．若射线经过点，则线段、互相平分 D．若， ，点、两点间距离最小为 【答案】D 【分析】根据点、的运动速度可知，根据矩形的性质可以判断，根据相似三角形的性质可得；若点在边上时，四边形 为矩形，根据点、的运动速度可知；若射线经过点，可知，，，可证，根据全等三角形对应边相等可证、互相平分；连接交于点，连接，作于点，可得点 在以为圆心，以为半径的圆弧上，当垂直平分时，点、两点间距离最小为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知， 又， ， ， 故A选项正确； 如下图所示，若点在边上时，四边形 为矩形， ， ， 故B选项正确； 如下图所示， 若射线经过点， 则， ， 设 ，则， ，   ， 又， ， ，    ， ，， 、互相平分， 故C选项正确； 如下图所示，连接交于点，连接，作于点， ，， ，，， ， ， ， ， 点 在以为圆心，以为半径的圆弧上， ， ， 垂直平分， 即， 点、两点间距离最小为， 故D选项错误． 4．（2026·河南三门峡·三模）如图1，四边形为菱形，动点P从点A出发，以的速度沿线段运动到点D处停止，与此同时，动点Q以的速度沿折线运动到点D处停止．设点P运动的时间为x（s），的面积为y（），图2为点P，Q运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】.结合函数图象可得当时，点Q运动到点B处，当时，此时点Q在的中点处，分别计算即可解答． 【详解】解：由题意，可知当时，点Q运动到点B处， 此时，， 过点B作于点H，如解图1， 则，解得． 当时，点Q运动的路程为， ， 所以此时点Q在的中点处，此时． 过点Q作交的延长线于点M，如解图2， ， ， ， ． ． 的值为． 二、填空题 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一动点，点Q是上一动点，连接、，若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】通过四边形内角和求出是解题的关键，构造“一线三直角”模型证明三角形相似，证明，利用垂线段最短求最小值即可． 【详解】解：过点作于点，于点， 四边形是矩形， ，，， 在四边形中，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， 点在对角线上， ， ， 当时，的值最小，此时的值最小， 在中，， ， ， 的最小值为． 6．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，正方形的边长为4，，那么当______时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·河南信阳·期末）将矩形如图所示放置在平面直角坐标系中，点，直线交于点E，F，动点P从点F出发以每秒2个单位速度沿方向向点O运动；同时，动点Q从点E出发以每秒1个单位速度沿方向向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止，与相交于点M，连接，则线段的长为________；过点A作，垂足为点H，连接，则线段长度的最小值为________． 【答案】 / 【分析】证明，设运动时间为t，则，可得，再在中，由勾股定理即可求出的长度；然后连接，取中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有，此时有最小值，过I点作于N，连接，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设运动时间为t，则， ∴， ∵点，直线交于点E，F， ∴，， ∴， 在中，， 如图所示，连接，取中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有，此时有最小值，过I点作于N，连接， ∵，且I是的中点， ∴，即N为的中点， ∴是梯形的中位线，， ∴， 在中，由勾股定理：， 在中， 在中，I是的中点， ∴， ∴当C、H、I三点共线时，有最小值为， 故答案为：；． 三、解答题 9．（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)，，， (2)为，可使 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； （3）解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 10．（2025·宁夏吴忠·一模）综合与实践 【问题提出】 （1）如图1，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，正方形中，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交于点H．若，点H为的中点，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在矩形中，，，点E是边上的动点，连接．过点A作于点F，过点C作于点G，射线交直线于点H．当时，求的长 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ∴； （2）， （3）的长 【分析】（1）正方形的性质得，结合垂直得，可得，即可证明； （2）根据直角三角形的性质得，则有，结合正方形的性质得，有，即可得，则，设，则，利用勾股定理得，即可求得； （3）可证明，则，设，则，当时，由（2）得，得，利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 点H为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ； （3）∵四边形为矩形形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， ， ∵，， ∴， 设，则， 如图（3），当时， 则由（2）得， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， 则； 11．（2026·重庆黔江·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： (1)问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空： ① ； ②的度数为 ． (2)拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 【答案】(1)①1；②； (2)，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； (3)或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可得出结果； （2）先证明，得出，再证明，得出，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）过点作于点，分两种情况：当点在上时，当点在的延长线上时，分别结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ②由①可得； （2）略； （3）解：过点作于点，当点在上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在的延长线上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 12．（25-26九年级下·广西防城港·期中）【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一个热点问题．两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线段”（简称逆等线）．它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且它们分别到各自对应定点的距离始终相等．以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问题”． 【方法研究】 (1)如图1，在等腰直角中，，，，分别是线段，上的两个动点．若，连接，，试求的最小值．我们往往使用构造等腰三角形的方法，过点作，且，连接，易证，所以，由此我们可以得出结论：当，，三点________时，的值最小，即取得最小值． 【问题解决】 (2)如图2，在矩形中，，，是边上的一个动点，是射线上的一个动点，且，连接，，求的最小值（提示：在图2中，延长至点，使，连接）． 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形中，，．若，分别是，上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1)共线 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系作答即可； （2）仿照1得到当三点共线时，最小，等于的长度，根据勾股定理计算即可； （3）根据菱形的性质得到，，在上方构造线段，且，连接，根据相似三角形的判定和性质得到，即的最小值为，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据三角形三边关系可知， ∴当，，三点共线时，的值最小，即取得最小值． （2）解：在图2中，延长至点，使，连接， 矩形中，， 又，， ∴， 得． 因此， 可知当三点共线时，最小，等于的长度． 由勾股定理得， 因此的最小值为． （3）解：菱形中，，， ∴， ∴， 如图，在上方构造线段，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似三角形中的动点问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题（难） 题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题（高频） 题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1.(26-27九年级上河北张家口·阶段检测)如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为lcm/s,点E的运动速度为2cms.若 D,E两点同时出发，则当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 D 2.(2026甘肃白银二模)已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6,AD=8,延长BC到点E,使 CE=4,连接DE,动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿A-B-C-D-A运动，当再运动到点A 时静止.设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，△BCP和△DCE相似. D 3. (25-26八年级下·上海青浦期中)如图，已知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，AD=1cm」 AB=BC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为4cm/s；同时，动点Q从点C出发， 沿CD方向匀速运动，速度为5cm/s,QE⊥BC于点E.设运动时间为s(0<1<),解答下列问题： 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)当t为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与△CQE相似？ (②)是否存在某一时刻t,使P№将四边形ABCD分成面积相等的两部分？若存在，求出的值：若不存在， 请说明理由； (③)是否存在某一时刻t,使DP⊥PE？?若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由. 4.(25-26九年级上'吉林长春开学考试)如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,9为4B 的中点，点P是AC边上一动点，连结PQ,将线段PO绕点P顺时针旋转90°至PM,以PQ、PM为边构 造正方形PMNQ,已知AP=t. (I)线段AB的长为一，用含t的代数式表示线段CP的长为一： (2)当正方形PMN吧与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围： (3)当边MN的中点落在△ABC的边上时，求t的值 (4当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'.当PC'与△ABC的一边垂直时，直接写出t 的值. ◆题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 5.(25-26八年级下四川绵阳期中)在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为边BC上一动点，将 △ABE沿AE折叠，点B的对应点为B'.当点B落在矩形ABCD的对角线上时，BE的长为 6.(26-27九年级上河南南阳阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BC=V2,点 M,N分别是边BC,AB上的动点，沿N所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B始终落在边AC上，若 △MB'C与△ABC相似，则BM的长为一 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 7.(2026河南南阳·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,点E为线段CD的中点，动点F从 点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C',当点C'恰 好落在矩形的对角线上时（不与长方形顶点重合），则C℉的长为一· D B 8. (25-26九年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测)如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=2√2，点M是AB边 上的中点，点E是边BC上的动点，将△MBE沿着ME翻折，点B落在点F处，连接FD,FC.若△FCD 是等腰三角形，则线段BE的长是一 A ◆题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 9.(2026江苏连云港二模)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=9,E、F分别为AD、BC上动点， CF=2AE,沿直线EF进行翻折，AB对应边AB在原平面内，连接DB.在E、F的运动过程中，DB 的最小值是 A B 10.(2026陕西宝鸡·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=18,AD=24,点E、F是对角线BD上的动 点，点E在点F的下方，EF=I0,连接AE、CF,当AE+CF最小时，BE的长为 3/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 11.(25-26九年级上四川宜宾期中)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1,BC=V10,点D是BC边 上的动点.连接AD作R△ADE如图所示，∠DAB=90°，∠BDC=∠BAD:连接BE·则D+3BE的 最小值是 12.(25-26九年级下·广西防城港期中)【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一个热点问题. 两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线段”（简称逆等 线)·它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且它们分别到各自对应 定点的距离始终相等.以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问题”· D D B B 图1 图2 图3 【方法研究】 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,D,E分别是线段AC,BC上的两个动点. 若CD=BE,连接BD,AE,试求BD+AE的最小值.我们往往使用构造等腰三角形的方法，过点B作 BF∥AC,且BF=BC,连接EF,易证△BDC≌△FEB,所以DB=EF,由此我们可以得出结论：当A, E,F三点 时，EF+AE的值最小，即BD+AE取得最小值. 【问题解决】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是边AB上的一个动点，F是射线BC上的一个动点， 且BF=AE,连接AF,CE,求AF+CE的最小值（提示：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB,连 接EG). 【拓展应用】 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2.若E,F分别是AD,BD上的两个动点，且 BF-)DE,连接A·CB:求2HAF+CE的最小值. 21 ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题 13.(2026江苏泰州一模)如图1，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上一点.动点E以每秒1个单位 长度的速度从点B出发，沿折线BA-AC匀速运动，到达点C后停止，连接DE.设点E的运动时间为x (单位：秒)，DE的值为y,在动点E运动的过程中，y与x的函数图像如图2所示.则图像最低点的 纵坐标a= 9 a- E 048 图1 图2 14.(2026湖北襄阳模拟预测)如图1，在正方形ABCD中，E,F分别为边AB,AD上的动点，直线 FE,BC交于点G,且∠ECF=45°.设BE的长为x,△ECF的面积为y,y与x的函数关系图象如图2所 示，则(1)正方形的边长AB=一，(2)当x=2时，则BG= F E GB 15.(25-26九年级上·湖北襄阳·期末)如图(1)，在R△ABC中，∠C=90°，AC=3,动点从点C出 发沿折线C-B-A运动，速度为2个单位/秒，动点P从点A出发向点C运动，速度为1个单位/秒，P、 卫两点同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.若线段P为y,y与运动时间1（单位： s)的关系如图(2)所示.(1)BC=一(2)n=- 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y (3,n) 23 图(1) 图(2) 16.(25-26九年级上山西大同期末)综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料， 综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究. 剪法：三角形废料△ABC如图1所示，∠C=90°，用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中点D,E,F分别 在AC,AB,BC上，使能够剪出的矩形CDEF的面积最大. 特例探究： 博学小组：如图1所示，AC=BC=5cm.设DE=xcm,矩形CDEF的面积为y(单位：cm2). E 0 B 图1 剪裁并得出以下数据： x/cm 1 3 4 y/cm2 … 4 6 6 4 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析（如图2），得出了一些结论… 个y/cm 7 6 5 3 O1234567x/cm 图2 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 问题解决： (I)博学小组剪布料问题中，当DE=cm时，能够使剪出的矩形CDEF的面积最大，y关于x的函数 表达式为 (不要求写x的取值范围) (2)选择一块特殊废料如图3所示，AC=4cm,BC=3cm,∠C=90°.当AE的长为多少时，能够使剪出 的矩形CDEF的面积最大，最大面积是多少？ E D F B 图3 ◆题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题 17.(2026四川眉山中考真题)【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质. 己知，如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=10,点D是BC边上的动点（不与点B,C 重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转9O°得到线段AE,连接DE,CE,DE与AC交于点F. 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由， (2)【深入探究】如图2，当点D运动到CD=4时，求EF的长。 ⊙【托民延神】如图3.点w为D延长线上一点，月满足MC-r·当C->),求架的 MD 值（用含k的式子表示） 18.(2026江苏南通三模)如图，矩形ABCD中，点E在边AD上，AE=2,DE=4,点P为AB边上 一动点，作∠PEF=90°，交射线BC于点F,连接PF、BE,点M是PF的中点. 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M FC B (I)求证：点M在BE的中垂线上： (2)若点M恰好在边CD上，且CM=2,求AP的长； (3)连接DM,若AB=6,求线段DM长的取值范围. 19.(2026江苏泰州一模)【课本再现】 D 图1 图2 图3 (I)如图1，BD是∠ABC的角平分线，Rt△PG犯的直角顶点P在BD上，两条直角边分别交AB、BC于E、 F,∠ABC=90°，求证：PE=PF. 【深度探究】 (②)在平行四边形ABCD中，BC=4,点P为AC上一动点(P不与A,C重合)，AB=m,AP=nPC, 点E为直线AB上一动点，连结PE,将射线PE绕点P逆时针旋转a度(O°<a<I8O°)交直线BC于点F PE ①如图2，若∠BAD=a=90,m=3,n=2:求PF的值： PE ②如图3，若∠B4D=a,求PF的值（用含有m,n的代数式表示）· 20.(2026·湖南邵阳·一模)探究以下问题： D B 图1 图2 备用图 (I[问题发现]如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点（不与B,D重合），连接AE,将 线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF,连接DF.请写出BE与DF的数量关系，并给出证明过程. (2[类比探究]如图2，在矩形ABCD中，AB:BC=3:4,点E为对角线BD上一动点（不与B,D重合）， 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AE,作AE的垂线AF，使∠AFE=∠ADB,连接EF,请探究此时BE与DF的数量关系. (3)[拓展延伸]在矩形ABCD中，仍有AB:BC=3:4,若BD=5,点E为射线DB上一动点（不与B,D重 合)，连接AE,作AE的垂线AF,使∠AFE=∠ADB,连接EF,当△DEF为等腰三角形时，求BE的长. 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(25-26九年级上：广西来宾阶段检测)如图，在△ABC中，AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A 开始沿AB边向点B匀速运动，运动速度为lCm/S，,动点Q从点B开始沿BC边向点C匀速运动，运动速度 为2cms,点P和点同时出发，则运动()s时，以点B、P、2为顶点的三角形与△ABC相似 D B .12 A.4或6 B.5 C.6或5 D.3 2.(2026浙江绍兴二模)如图，已知固定点A(0,-6),动点B(-12+1,0),动点C(-12+3,6)(t为实 数)，则4B+AC+2BC的最小值是() 0 A.24 B.26 C.28 D.以上答案都不正确 3.(2026:安徽合肥·一模)如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以lm/s的速度沿着DA向A点 运动，同时动点Q从B点出发以2Cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也 同时停止.将四边形PDCQ以直线P为轴进行翻折，得到四边形PD'C,则下列结论错误的是() 9114 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.若PO交对角线BD于点E,则QE=2PE B.若点D'在AD边上时， BO=2CO C.若射线QC'经过点A,则线段AP、C'D'互相平分 D.若AB=3cm,BC=32cm,点A、C两点间距离最小为(N5-lcm 4.(2026河南三门峡三模)如图1，四边形ABCD为菱形，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段 AD运动到点D处停止，与此同时，动点Q以3cm/s的速度沿折线AB-BC-CD运动到点D处停止.设点 P运动的时间为x(s),△APp的面积为y(cm2),图2为点P,Q运动时y随x变化的关系图象，则m 的值为() Ay/cm2 B m D 2 图1 图2 A 25 C.6 D.35 二、填空题 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AD=6,AB=8,点P是对角线BD上一动点， 点Q是AB上一动点，连接CP、PO,若∠POB+∠BCP=I80°，则P№的最小值是 6.(25-26九年级上·江苏徐州阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4，AE=MN=2,那么当CM= 时，Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点，N为CD边上的动点) 10/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 7.(25-26九年级上：安徽合肥期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,现有动点P从 点A出发，沿AC向点C方向运动，动点？从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度 是2cm/s,点Q的速度是lcms，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时 间为t秒 (1)求运动时间为多少 秒时，P、Q两点之间的距离为2W5cm. (2)当t为， 时，以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似. 8.(25-26九年级上·河南信阳·期末)将矩形0ABC如图所示放置在平面直角坐标系xO中，点B(4,3), 直线x=2交BC,OA于点E,F,动点P从点F出发以每秒2个单位速度沿A0方向向点O运动；同时，动 点Q从点E出发以每秒1个单位速度沿CB方向向点B运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止， PO与EF相交于点M,连接AM,则线段AM的长为 一：过点A作AH上P吧，垂足为点H,连接 CH,则线段CH长度的最小值为， B OP F 三、解答题 9.(25-26九年级上·天津河北期末)如图，在△ABC中，∠B=90,AB=6cm,BC=8cm,动点P从点 A出发沿边AB向点B以lCms的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B出发沿边B-C-A向点A以 2Cm/s的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动.如果点P,Q分别从点A,B 同时出发，设运动的时间为s,当t=1时，点P,Q位置如图所示，回答下列问题： 11/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ▣ BO (1)填空：当0<t<4时，AP= BP= BO= CO- (用含有t的代数式作答) (2)当1<1<4时，t为何值时，可使AP=C0: (3)当t为何值时，△BPp的面积为5cm2, 10.(2025宁夏吴忠·一模)综合与实践 【问题提出】 (I)如图1，正方形ABCD中，点E是BC边上的动点，连接DE.过点A作AF⊥DE于点F,过点C作 CG⊥DE于点G,求证：△ADF≌aDCG: 【类比探究】 (2)如图2，正方形ABCD中，点E是BC边上的动点，连接DE.过点A作AF⊥DE于点F,过点C作 CG⊥DE于点G,射线AG交BC于点H.若AB=4,点H为EC的中点，求CH的长： 【拓展延伸】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AD=6,AB=4,点E是边BC上的动点，连接DE,过点A作AF⊥DE 于点F,过点C作CG L DE于点G,射线AG交直线BC于点H当EH=HC时，求GF的长 G E C EH C B EHC 图1 图2 图3 11.(2026重庆黔江模拟预测)探究不同情境，解决下面问题： 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 AB (①向题发现：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90,CL,点p是边BC上一动点（不与点B重合）， ∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,填空： PB ①cD-: ②∠ACD的度数为_： (②)拓展探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90, 把=，月p是地C上一功点（不与点B点含） ∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,请判断PB与CD之间的数量关系以及∠ACD与∠B的数量关系，并 说明理由， (3)解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4V2,BC=4+214,P是边BC上一动点（不与点 B重合)，∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长， 12.(25-26九年级下·广西防城港·期中)【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一个热点问题. 两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线段”（简称逆等 线)·它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且它们分别到各自对应 定点的距离始终相等.以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问题” D E 图1 图2 图3 【方法研究】 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,D,E分别是线段AC,BC上的两个动点. 若CD=BE,连接BD,AE,试求BD+AE的最小值.我们往往使用构造等腰三角形的方法，过点B作 BF∥AC,且BF=BC,连接EF,易证△BDC≌△FEB,所以DB=EF,由此我们可以得出结论：当A, E,F三点时，EF+AE的值最小，即BD+AE取得最小值. 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是边AB上的一个动点，F是射线BC上的一个动点， 且BF=AE,连接AF,CE,求AF+CE的最小值（提示：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB,连 接EG). 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2.若E,F分别是AD,BD上的两个动点，且 BPDE,连接A·CB:求2A+CE的最小值. 14/14函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似三角形中的动点问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）（高频） 题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题（难） 题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题（高频） 题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想） 1.3或4.8 之有政9 3. 3 1 【答案】（四，为16或 (2)不存在；理由如下： QEIIDF .aCQE∽aCDF DF QE 4 CD CO 5' .Co=5tem ∴.QE=4icm 由勾股定理得CE=VCQ-QE2=3tcm, 若P№将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则四边形PBCO的面积为梯形面积的一半， :S#形0m=21+4)×4=10(cem）, 1/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S边形0n=2S梯形CD=5cm, .PB=AB-AP=(4-41)cm,BE=BC-CE=(4-31)cm, ∴.S四边形PB=S梯形PE0+S.COE=5cm2, 即2+4-404-30+×3×4=5， 整理得22-21+1=0， .△=（-22-4×2×1=-4<0， 方程无实数根， ∴，不存在某一时刻，使PQ将四边形ABCD分成面积相等的两部分； (③存在：1=19+V105 19-V105 32 或 32 OE 【分析】(I)过点D作DF⊥BC于点P,则易得四边形ABFD是矩形，再由勾股定理求得CD,求得CE 的值，再分两种情况考虑相似即可： (2)若P№将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则四边形PBC9的面积为梯形面积的一半，用含t的 代数式表示出四边形PBCQ的面积，解关于t的方程，根据t的值是否存在即可作出判断： (3)证明△APD△BEP,利用比例式建立方程即可求解. 【详解】(I)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F, 则∠BAD=∠ABC=∠DFB=90°， .四边形ABFD是矩形， .BF AD Icm,DF AB=4cm, .CF =BC-BF=3cm. 在RtADFC中，CD=VDF2+CF2=5cm, :QE⊥BC,DF⊥BC, ..OEIIDF ∴aCQE∽aCDF DF OE 4 CF CE 3' AD OE 4 若AAPDPAECO,则AP=CE-3, 2/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP 4tcm,AD=1cm, 14 .4t3 3 解得=16： D P E C APOE4 若AADPPAECO,则ADCE3' 4t4 13 1 解得=3： 3 1 综上，当：为16或S时，以A:D'P为顶点的三角形与aCQE相似： (2)解：不存在；理由略； (3)解：存在： 当DP⊥PE时，∠DPA+∠EPB=90°， .∠DPA+∠PDA=90°， ∴.∠EPB=∠PDA, .∠A=∠B=90°， .△APDABEP, AP AD BE PB 41 4-3t4-4M 整理得16t2-191+4=0, 解得5=19+V05 32 2,5=19-105 32 “当1=19+Vi05 19-V105】 32 一$或 32 S时，DP⊥PE 3/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)10：8-t (2)4≤1≤5 5 ()2或6 5 (44或2或1或7 【分析】(1)根据勾股定理解答即可： (2)分别求出当点M落在AC上时；当点M落在BC上时，t的值，即可求解； (3)分两种情况：当MN的中点F落在AC边上时，当MW的中点F落在BC边上时，即可求解： (4)分四种情况解答即可. 【详解】(1)解：，∠ACB=90°，AC=8,BC=6, .AB=VAC2+BC2=V6+82=10: .AP=t, .'PC AC-AP =8-t: 故答案为：10；8-1： (2)解：当点M落在AC上时，正方形PMN№与△ABC重叠部分图形是正方形， 4 .为AB的中点， A0=B0, :四边形PMN№是正方形， .PQ⊥AC」 ,∠ACB=90°，即BC⊥AC, .PQ∥CB. APA0=1. .PC OB 4/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AP=Pe=号4C=4, t=4: 当点M落在BC上时，正方形PMN吧与△ABC重叠部分图形是正方形，过点Q作QG⊥BC于点G,过点P 作PK1QG于点K, CM G .∠C=∠CGM=∠GKP=90°， ∴.四边形PCGK是矩形， .∠CPK=90°， :四边形PMNQ是正方形， .PM=PQ,∠MPQ=∠CPK=90°， .∠QPK=∠MPC. ∴△QPK≌aMPC, ..PK=PC, ∴四边形PCGK是正方形， ∴.PC=CG, :QG⊥BC,AC⊥BC, .QG∥AC, AQ BG ·OBGC' AO=OB ÷CG=GB=BC=3, .PC=3, .AP=5 .t=5, ,当重叠部分图形是正方形时，t的取值范围为4≤1≤5； 5133 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：当MW的中点F落在AC边上时，如图，过点Q作G⊥BC于点G,过点Q作E⊥AC于点 E, .∠C=∠CGQ=∠QEC=90°. .四边形QGCE是矩形， ..QE=CG :QG⊥BC,AC⊥BC. :OG∥AC, 42BG-1, ·QBGC ac=m=c=3, ..QE 3,AE EC =G0 1AC=4, 2 :四边形PONM是正方形， ∠MPQ=∠MPC+∠EPQ=90°，PM=MN, .∠EPQ+∠PQE=90°， ∴.∠MPC=∠EOP ∴.∠M=∠PEQ=90°、 .△PYPM∽aQPE」 FM PM FM。PE ·PE=B0,即Pm=m F是MN的中点， 1 1 .F=5MW=。PM, 2 2 PE 1 PE 1 “0=2,即3=2 6133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE=3 ·MP=AC-CE-PE=5 5 :1=29 当MN的中点落在BC边上时，如图，过点？作E⊥AC于点E,过点N作NR⊥BC于点T,过点M作 m∥C,交灯的延长线于点见，交pC的延长线于点以，则E=号C=3, CT B H M .∠TCH=∠CTR=∠TRH=90°， ∴.四边形CRT是矩形， ∴.∠H=∠R=90°，CH=TR, :四边形PMNQ是正方形， .PM=MW,∠PMW=90° .∠PMH+∠WMMR=90°， ,∠PMH+∠MPH=90°， ∴.∠WMR=∠MPH, ∴.△PIM≌△MRN. 同理△PIIM≌△QEP .EQ PH MR =3,PE IM NR. :BC∥IR, MG_NT=1. ·GNTR 灯m-号烟-名 :M=m=号E, PE AP-AE t-4,PC=8-t. 7/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CH=PH-PC=3-(8-)=t-5, -5-- 解得：1=6： 5 综上所述，t的值为2或6： (4)解：当PC⊥BC时，点C在AC上，此时P№⊥AC,点M落在AC上， N 由(2)得：t=4: 当PC'⊥AB时，与AB的交点为O,过点Q作OE⊥AC于点E, ,点C关于直线PQ的对称点为点C, .∠QPE=∠QP0, :EQ⊥AC .PE=PO. 由(3)得：B=E=号4C=4, ∴OP=PE=AE-AP=4-t, .∠A=∠A,∠AOP=∠ACB=90° .△A0P∽△ACB、 OP AP 4-t t BC=AB,即6=10： 8/33 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 解得：1 2: 如图，当PC⊥AC时，过点Q作OE⊥AC于点E,则QE=3,AE=4, C' E中- C B ,点C关于直线PQ的对称点为点C', 1 .∠QPE=∠QPC'=5×90°=45°， ·.△PEO是等腰直角三角形， .PE =QB =3, ∴.AP=AE-PE=1, ..t=l: 如图，当PC⊥AC时，过点Q作E1AC于点E,延长QP至点K,则QE=3,AE=4, ,点C关于直线PQ的对称点为点C, ∴PO所在的直线平分∠CPC, 即∠Cm=∠Cm=号x90°=45， .∠EPQ=∠CPK=45°， :.△PEQ是等腰直角三角形， .PE=E=3, ∴.AP=AE+PE=7, 9133 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t=7: 综上所述，t的值为4或2或1或7. ◆题型2相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想） 5.3或4.5 6. 2-V5或2 7.1或v5 85戏盟 ◆题型3相似三角形动点中求线段及线段和最值问题 9.2√10-5 10.10 万 11. 12. 【答案】(1)共线 (2)2V13 (3)25 【分析】(1)根据三角形三边关系作答即可： (2)仿照1得到当C,E,G三点共线时，GE+CE最小，等于CG的长度，根据勾股定理计算即可： (3)根据菱形的性质得到∠ADC=60°，∠ADB=∠ABD=30°，在AD上方构造线段DG=2AB=4,且 ∠GDE=30°，连接GE,GC,根据相似三角形的判定和性质得到GE=2AF,即2AF+CE的最小值为CG, 根据勾股定理计算即可. 【详解】(1)解：如图，连接AF, 10/33 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 根据三角形三边关系可知EF+AE之AF, ∴.当A,E,F三点共线时，EF+AE的值最小，即BD+AE取得最小值. (2)解：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB,连接EG, 图2 矩形ABCD中，∠GAE=∠ABF=90°， 又AE=BF,AG=AB, .△GAE≌△ABF(SAS) 得GE=AF 因此AF+CE=GE+CE≥CG, 可知当C,E,G三点共线时，GE+CE最小，等于CG的长度. 由勾股定理得CG=V4+(2+4)2=V16+36=2√13， 因此AF+CE的最小值为2W3 (3)解：菱形ABCD中，AB=AD=CD=2,∠ABC=60°， ∴.∠ABD=30°，∠ADC=60° .∠ADB=∠ABD=30° 如图，在AD上方构造线段DG=2AB=4,且∠GDE=30°，连接GE,GC, 11/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D B 图3 BF-IDE ∴.DE=2BF, △ABF∽△GDE. GE DE ·AFBF =2, 即GE=2AF, ∴.2AF+CE=GE+CE≥CG, 2AF+CE的最小值为CG, ,∠ADC=60°，∠GDE=30°， ∴.∠GDC=90° .CG=V22+42=25」 ◆题型4相似三角形中的动点问题与函数图像问题 49 13.25 14.6 2 36 15.4 5 16. 【答案】(1)2.5，y=-x2+5x 5 (②当4E的长为2cm时，能够使剪出的矩形CDEF的面积最大，最大面积是3 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，判断出用自变量表示出EF的长度是解题的关键 (I)根据表格中的数据可得抛物线的对称轴，根据函数图象可得抛物线的开口方向，那么可得当DE长为多 12/33 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 少时，矩形CDEF的面积最大，根据DE=xCm,根据等腰直角三角形和矩形的性质得到EF的长度，即可 得出y与x的关系式： (2)设DE=3kcm,则AD=4kcm,得到用k表示的矩形的面积，进而根据二次函数的性质可得当k的值为 多少时，矩形CDEF的面积最大，即可得到此时AE的值. 【详解】(1)解：由题意得y是x的二次函数，二次函数的开口向下， ·二次函数过(2,6)，(3,6)， 当x=2+35 2=2cm时，y最大，当DE=2.5cm时，能够使剪出的矩形CDEF的面积最大， ,四边形CDEF是矩形， .CF=DE=xcm,∠CFE=90°， .∠EFB=90°， ..BC=5cm. 、.BF=BC-CF=(5-x)cm, .AC=BC,∠C=90° .∠B=45° .EF=BF =(5-x)cm y=x(5-x)=-x2+5x 故答案为2.5，y=-x2+5x」 (2)解：，AC=4cm,BC=3cm,∠C=90° .'BA=5cm, ,四边形CDEF是矩形， .DE∥BC, DE AD DE BC 3 ∴BC=AC,即AD=AC=4, 设DE=3kcm,AD=4kcm,则AE=VAD2+DE2=5k(cm), .'CD=(4-4k)cm ∴.S矩形Cr=3k(4-4k)=-12k2+12k 抛物线的开口向下，对将轴为直线女-日 13/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当k= 2时，矩形CDEF的面积最大，S=-12x{+12×)-3+6=3, 2 5 当AE的长为2cm时，能够使剪出的矩形CDEF的面积最大，最大面积是3： ◆题型5相似三角形中的动点与几何图形探究问题 17. 【答案】(I)CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE .'∠BAC=90° .∠DAE=∠BAC ∴.∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD ∴.∠CAE=∠BAD .AB=AC ·.△ABD≌AACE(SAS) .CE=BD ag而 1 3k1 【分析】(1)证明△ABD≌aACE(SAS)即可得证； EF AE (2)先由勾股定理求解DE,然后根据等腰直角三角形求解AE,AB,再证明。AEF∽AABD得到BDAB 即可； DM DC DC 1 DM DM 1 (3)证明MCDAMEC即可得到CM-CE=BDk,则FM=CMk,从而得解. 【详解】(1)略 (2)解：：BC=10,CD=4, .BD=BC-CD=6, .AB=AC,∠BAC=90° ∴.∠B=∠ACB=45° .·△ABD≌AACE 14/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°， :.∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° .DE=VDC2+CE2=V42+6=2V13, 在RI△ADE中，AD=AE, ∴.DE=VAD2+AE2=2AD,∠AED=∠ADE=45° 4D=4b=2DE-5x2B=N26. 2 同理可求B=AC=5BC-2x10=52 2 2 :∠AEF=LB=45°，∠EAF=∠BAD=90°-∠DAF ∴.△AEFAABD .EF AE ·BDAB :乐26 ·65V2 解得F-各正， (3)解：由(1)可得，△ABD≌△ACE ∴.∠ECA=∠B=450 .MC=MF. .∠MCF=∠MFC, ∴.∠FCD+∠MCD=∠ECF+∠FEC .∠DCF=∠ECF=45° ∴.∠MCD=∠MEC .∠M=∠M ∴.△MCD∽aMEC DM DC_DC CMCE BD DC =k(k>) DM DC DC1 ·CM-CE-BDK ..CM=FM 15/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DMDM 1 ·FMCM-k DM1 ·FDk-1 18. 【答案】(1)见解析 (2)AP=26-2 3)7i ≤DM≤213 5 【分析】()利用直角三角形的性质求符ME=MBPF,即可得到点M在BE的中重线上： (2)证明△FCM∽△FBP，求得CM=2,设AP=x,利用勾股定理列式求解即可； (3)点M始终在线段BE的垂直平分线上，设路径为线段MM2,当M与M2重合时，DM长取最大值， 当DM与MM2垂直时，DM长取最小值，据此求解即可. 【详解】(1)证明：如图1，连接ME,MB, D M 图1 ·.·∠PEF=90° 在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∴△PEF与△PBF均为直角三角形， M是PF中点， :.ME=MB=1PF 2 点M在BE的中垂线上： (2)解：如图2，连接ME,MB, D M 点在 的中垂线上， C 图2 .·MBE 16/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.ME=MB, 在矩形ABCD中， .CD∥AB,∠BCD=∠D=90°，BC=AD=6, ∴.△FCM∽△FBP, 又：M是PF的中点， ..CM_FM I BP PF 2' :CM=2, BP=4. 设AP=x, :.CD=AB=x+4, .DM=x+2, 在Rt△BCM中，BC2+CM2=BM2, 在Rt△DEM中，DE2+DMP=EM2, ..BC2+CM2=DE2+DM2. 6+22=42+(x+22, :.AP=x=2√6-2（负值舍去）； (3)解：AB=6,AD=6. AB=AD,矩形ABCD是正方形， ,AD∥BC, 由(1)可得，点M始终在线段BE的垂直平分线上，设路径为线段M,M2, 如图3，当M与M2重合时，DM长取最大值， AE O M M B HC M 图3 在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2, AE=2,AB=6. ∴.BE=2V10 17/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BM1=V10, .AD∥BC, 、.∠AEB=∠M2BM1, .∠A=∠BM,M2=90°」 ..RtAABERtAM M2B. :AE、BE BM M,B, .BM2=10」 .CM2=4, 在Rt△CDM2中，CD2+CM=DM .DM2=213 .DM长的最大值为2V13: 当DM与MM2垂直时，DM长取最小值， 延长DM交BC于点H, :AD∥BC,BE⊥M,M2,DM⊥M,M2, BE∥DH, ∴.四边形BEDH是平行四边形， ..BH=ED=4,CH=2,DH=BE=210. MH I M B. .△M2MH∽aMM,B, :MH_M,H M1BM2B’ MH 6 “√1010： ..MH =310 5 DM=210-3107W10 5 5 7W10 :DM长的最小值为S. 18/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DyK的位施用是70≤DM≤2，E, 19 【答案】(I)证明：如图，作PH⊥AB,PW⊥BC 是 的角平分线， ·BD∠ABC .PH=PN PH⊥AB,PN⊥BC,∠ABC=90°， ∴四边形HPNB是矩形， .∠HPN=90°=∠GPg. .∠HPN-∠GPN=∠GPQ-∠GPN 即∠HPE=∠NPF, 在△HPE与△NPF中， [∠HPE=∠NPF PH=PN ∠PHE=∠PNF :.△HPE≌aNPF(ASA), .PE=PF. 84n (②03：②m 【分析】(1)利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案. (2)①利用矩形的性质过点P分别作AB,BC的垂线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解. ②借鉴第①问的方法，过点P作BC的平行线，构造相似三角形求解. 【详解】(1)略 (2)解：①如图所示，，过点P分别作AB,BC的垂线，交AB于点H,交BC于点N, 19/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H中 在平行四边形 中， E B NF C.; ABCD ∠BAD=90° ∴.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90°， PH⊥AB, ∴.∠AHP=90°=∠ABC, 又∠HAP=∠BAC, ∴.△HAP∽△BAC. AH AP HP .AB AC BC, m=3,n=2, ∴.AB=3,AP=2PC, 2 AP= AC 3 2 AC AH 3 HP 3=AC=4 2 .PN=BH=AB-AH=3-2=1, :∠HPN=90°=∠EPF .∴.∠HPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN, .∠HPE=∠NPF、 又∠PHE=∠PNF=90°， .△HPE∽△NPF, .PE PH 8 PF PN 3 ②如图，作PH∥BC,作∠PNF=a, 20133 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D H B NFC ·PH∥BC ∴.∠AHP=∠ABC,∠APH=∠ACB, ∴.△AHP∽△ABC. .AH_HP AP AB BC AC' .AB=m,BC=4,AP=nPC, AH HP nPC n .m 4 (n+1)PC n+1, .AH mn ，HP=4n n+1 n+1’ ·BH=AB-AH=m-mn m n+1n+1? ·∠BAD=a,∠PNF=a, .∠B=∠PNB=180°-a, 又PH∥BC. ∴.四边形BHPN是等腰梯形， :.BH=PN= n+1, :∠PNF=∠PHE=∠BAD=a, .∠HPE=∠NPF, △HPE∽△NPF, PE PH 4n n+1 4n ‘PF-PNn+1mm 20, 【答案】(I)解：BE=DF, 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=90° ,线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF, .AE=AF,∠EAF=90°， .∠BAD=∠EAF, 21/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD,即∠BAE=∠DAF, 在△BAE和△DAF中， AB=AD ∠BAE=∠DAF AE=AF .aBAE≌aDAF(SAS). .BE=DF: BE 3 (②)DF-4 15 (3)7或15· 【分析】()由四边形ABCD是正方形，得AB=AD,∠BAD=90°，又线段AE绕点A逆时针旋转90°得到 线段AF,所以AE=A,∠EAF=90°，再证明△BAE≌aDAF(SMS),再由全等三角形的性质即可求证： AB AD (2)由四边形ABCD是矩形，则∠BAD=90°，AD=BC,证明AEAF△BAD:所以AE-AF,即 AF AD AD 4 AF 4 AEAB,可得AB3,即AE3,再证明△BAB∽△DAF,然后由相似三角形的性质即可求解： (3)由AB:BC=3:4,设AB=3k,BC=4k,由勾股定理得BD=VAB2+BC2=5k=5,所以AB=3, BE AB3 AD=BC=4:由(2)知△BAE∽△DAF,所以∠ADF=∠ABE'DF=AD4,然后得出ADEF是直角 BE 3 三角形，又ADEF为等腰三角形，则只能是直角边相等，即DE=DF,设BE=3x,由DF=4:得 DF=4x,然后分①当点E在线段BD上，②当点E在DB的延长线上，两种情况求解即可. 【详解】(1)略； (2)解：四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°，AD=BC, AF⊥AE, ∴.∠EAF=90° .∠BAD=∠EAF, ∴.∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD,即∠BAE=∠DAF, .∠AFE=∠ADB,∠EAF=∠BAD=90°， .△EAF∽△BAD, 22/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AD AF AD 六AE=AF,即AEAB, .AB:BC=3:4,BC=AD, AD 4 AF 4 ·AB3,即AE=3, 又，∠BAE=∠DAF, ∴.△BAE∽△DAF, BE AB 3 ·DFAD4 (3)解：由AB:BC=3:4,设AB=3k,BC=4k, ,四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°， 由勾股定理得BD=√AB2+BC2=5k, .BD=5, .5k=5,解得k=1, .AB=3,AD=BC=4, 由(2)知△BAEn△DAF, BE AB 3 六∠ADF=∠ABE'DFAD4' ,在矩形ABCD中，∠ABE+∠ADB=90°， .∠ADF+∠ADB=90°，即∠FDE=90°， .△DEF是直角三角形， 若△DEF为等腰三角形，则只能是直角边相等，即DE=DF, BE 3 设BE=3x'由DF=4,得DF=4x' ①如图，当点E在线段BD上， B 23/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时DE=BD-BE=5-3x, 由DE=DF得5-3x=4x, 解月 515 .BE=3x=3×2= 77: ②如图，当点E在DB的延长线上， E 此时DE=BD+BE=5+3x, 由DE=DF,得5+3x=4x, 解得x=5, .BE=3x=3×5=15. 15 综上可得：BE的长为7或15 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.C 2.D 3.D 4.B 二、填空题 18 5.5 625康45 5或5 24133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32 7.2秒 2.4s或173 8.2V2 √13-√2/-V2+√3 三、解答题 9. 【答案】(1)tcm,(6-t)cm,2cm,(8-2r)cm 8 (2),为35，可使AP=CQ ,=l6或=15-4 2 【详解】(1)解：由题意可知，当0<t<4时，AP=tcm,BP=(6-t)cm,BQ=2cm,Cg=(8-2I)cm, 故答案为：tcm,(6-t)cm,2tcm,(8-2)cm: (2)解：当1<t<4时，AP=tcm,C0=(8-2i)cm ..AP=Co. .t=8-2t, 8 解得=3， 8 ∴为35，可使AP=CQ: (3)解：：△BPO的面积为5cm2, 0当0<1<4时，S0Bp80, ..BP=(6-t)cm,BO=2tcm, ÷6-)21=5,整理符-6+5=0 解得4=1,42=5， .0<t<4, ..t=ls; ②当4≤1≤6时，如图所示，过点作QD1AB,交AB于点D, .∠ADQ=90° .∠ABC=90°， .∠ADQ=∠ABC, 25/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DOll BC, .△ADQ∽△ABC. .D≌=4 ·BCAC, A 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm, .AC=V62+82=10cm, QD_18-2t .8=10 解得QD=72-8r 5, D5cm BP-(6-t)em 6-小2=5，理符4-6侧+191=0 解得=15二34、62=15+34 2 .4≤t≤6， t=5-54 2$, 统上可知，当，-6或1-5 2 s时，△BPg的面积为5cm2· 10. 【答案】(1I)证明：：四边形ABCD为正方形， .AD=CD,∠ADC=90° .∠ADF+∠CDG=90°， AF⊥DE,CG⊥DE. ∴.∠AFD=∠DGC=90°， 则∠ADF+∠DAF=90°， 26133 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAF=∠CDG, .△ADF≌aDCG: (2)CH=1, 3V10 (3)Gr的长5 【详解】(1)略 (2)解：CG⊥DE, .∠CGE=90°， ~点H为EC的中点， :GH=EC=CH=EH, ∴.∠HGE=∠HEG. ,四边形ABCD为正方形， .ADII BC, .∠ADG=∠HEG ,∠HGE=∠AGD, ∴.∠ADG=∠AGD. AB=4, .AG=AD=4. 设GH=CH=x,则BH=4-x,AH=4+x, .AB2+BH2=AH2, .42+(4-x)2=(4+x)2, 解得x=1, :.CH=1; (3),四边形ABCD为矩形形， .∠ADC=90 ∴.∠ADF+∠CDG=90°， ,AF⊥DE,CG⊥DE .∠AFD=∠DGC=90°， 则∠ADF+∠DAF=90°， .∠DAF=∠CDG, 27/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △DCG∽△ADF, :AD=6,AB=4, CG DG CD 4 2 DFAF-DA63' 设CG=4k,则DF=6k, 如图(3)，当EH=HC时， D B EHC (图3) 则由(2)得AG=AD, AF⊥DE, ..GF=DF=6k, .CG2+DG2 =CD2, 2k+(4=4,解得=0 10 则GF=6x 103v10 10=5 11. 【答案】(1)①1；②45°： Bk、ACDE乙B,理由如园 CD :∠BAC=∠PAD=90°，∠APD=∠B, .△ABCP△APD, AB AP ·ACAD k, .∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， .∠BAP=∠CAD, .△ABP△ACD. PB_AB=k 六∠ACD=∠B,CDAC 28/33 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 321 (3)2或2 AB 【详解】(1)解：①∠BAC=90,AC =1, .'AB=AC, .∠B=45°， ,∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°， ∴.AP=AD,∠PAD-∠CAP=∠BAC-∠CAP,即∠BAP=∠CAD, 在△BAP和△CAD中， AB=AC ∠BAP=∠CAD AP=AD .△BAP≌aCAD(SAS) .PB=CD,∠ACD=∠B=45°， PB =1: ·C ②由①可得∠ACD=∠B=45°： (2)略： (3)解：过点A作AH⊥BC于点H,当点P在BH上时，如图： H B A 图3 .LB=45°， .△ABH为等腰直角三角形， :AB=4V2, .AH BH= V2 AB=4, 2 .BC=4+2V14, .CH=214, 29/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=CH2+AH2=62,PH=PAP-AH2=3, ∴.PB=BH-PH=1, ∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, .△ABC∽△APD. AB AC AB AP ·APAD,即ACAD: ,∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD, .∠BAP=∠CAD, .△ABPP△ACD. AB PB AC CD' 421 62CD' 当点P在BH的延长线上时，如图： H 图4 D .∠B=45°， ∴.△ABH为等腰直角三角形， :AB=42, .:AH BH= 2 AB=4, 2 :BC=4+24, .CH=214, ∴.AC=VCH+AH=62,PH=√PAP-AΠ=3， .PB=BH+PH=7. .∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B, .△ABC∽AAPD, 30/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AP ·ACAD' :∠PAD=∠BAC,即∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD, .∠BAP=∠CAD .△ABP∽AACD AB PB ·ACCD' 4V27 ·6N2CD' CD=21 2 321 综上所述， CD的长为2或2， 12. 【答案】(1)共线 (2)2V13 (3)25 【详解】(1)解：如图，连接AF, D E 图1 根据三角形三边关系可知EF+AE≥AF, ∴当A,E,F三点共线时，EF+AE的值最小，即BD+AE取得最小值. (2)解：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB,连接EG, 31/33 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B G 图2 矩形ABCD中，∠GAE=∠ABF=90°， 又AE=BF,AG=AB, △GAE≌△ABF(SAS), 得GE=AF 因此AF+CE=GE+CE≥CG, 可知当C,E,G三点共线时，GE+CE最小，等于CG的长度. 由勾股定理得CG=√42+(2+4)}=16+36=2V3, 因此AF+CE的最小值为2W13 (3)解：菱形ABCD中，AB=AD=CD=2,∠ABC=60°， ,∠ABD=30°，∠ADC=60° .∠ADB=∠ABD=30°， 如图，在AD上方构造线段DG=2AB=4,且∠GDE=30°，连接GE,GC, G5: D B 图3 BF-IDE 2 ∴.DE=2BF, .△ABF∽△GDE, 32/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GE DE 小F部=2， 即GE=2AF, ∴2AF+CE=GE+CE≥CG, .2AF+CE的最小值为CG, .∠ADC=60°，∠GDE=30°， .∠GDC=90° .CG=V22+42=2W5」 33/33