四川省达州市万源市万源中学2026-2027学年高二上学期10月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知事件，满足，且，，则 A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则与向量相等的向量为 A． B． C． D． 3．已知平行四边形的三个顶点分别为，，，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 4．已知事件与事件互斥，若，，则 A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 6．某市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升．已知游客选择百团大战纪念碑的概率为，选择中共创建第一城景区的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为 A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则异面直线与所成的角为 A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是 A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从装有个红球和个白球的盒子中任取个球，则下面事件为互斥且对立的是 A．至少有一个红球；两个都是白球 B．恰有一个红球；恰有一个白球 C．至少有一个红球；至多有一个白球 D．至多有一个红球；两个都是红球 10．已知，，，则 A． B． C． D． 11．已知向量，，，则下列说法正确的是 A．向量，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．向量在向量上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则实数________． 13．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是，，，，，，另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是，，，，，．同时抛掷这两枚骰子，则其朝上的两数字之和为的概率是________． 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，则点到平面的距离是________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的个黑球、个白球，其中黑球的编号分别为，，，白球的编号分别为，．现从盒子里随机取出个小球． （1）记事件为“有放回地依次取到个白球”，求事件发生的概率； （2）记事件为“不放回地依次取出的小球编号之和为”，求事件发生的概率． 16．（15分）已知向量，． （1）求； （2）求向量与向量的夹角； （3）若向量与向量垂直，求实数的值． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）某商场开展促销活动，每消费满元可获得一次抽奖机会．抽奖箱装有个红球、个白球、个蓝球，这些球除颜色外完全相同．抽奖规则为：一次性随机摸出个球，若摸出个红球，则获得一等奖；若摸出个红球和个蓝球，则获得二等奖． （1）若甲在商场消费了元，求甲获得一等奖的概率． （2）为了加大促销的力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖．已知乙在商场消费了元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件． ①求事件发生的概率； ②判断事件与是否相互独立，并说明理由． 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，是棱的中点，是棱上异于端点的一点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求二面角的正弦值； （3）若直线与平面所成角的大小为，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 参考答案及评分意见 1．C 2．A 3．D 4．A 5．D 6．A 7．B 8．D 9．AD 10．AC 11．BCD 12． 13． 14． 15．解：（1）有放回地依次取出2个球，则该试验的样本空间为 ，则． 2分 因为，所以， 4分 所以． 6分 （2）不放回地依次取出2个球，则该试验的样本空间为 ，则． 9分 因为，所以， 11分 所以． 13分 16．解：（1）因为，， 所以． 2分 所以． 4分 （2）因为，， 所以， ． 6分 则． 又因为空间向量夹角的取值范围为，所以向量与向量的夹角为． 9分 （3）因为，， 所以 ，． 11分 因为向量与向量垂直，所以， 即，解得． 14分 因为向量与向量均为非零向量，所以． 15分 17．（1）证明：因为底面为矩形，所以． 因为平面，平面，所以． 2分 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 5分 （2）解：由（1）得，，两两互相垂直． 6分 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 8分 所以，，． 9分 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以． 12分 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为． 15分 18．解：（1）记个红球分别为，，，个白球分别为，，蓝球为， 则该试验的样本空间 ，共有个样本点． 2分 其中获得一等奖的样本点为，，，共个， 3分 所以甲获得一等奖的概率为． 4分 （2）由题意，乙在商场消费了元，共获得次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为． ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，． 6分 因为乙两次抽奖均未获得一等奖的概率为， 所以． 8分 ②事件与不相互独立． 9分 理由如下：由题意，得摸出红球蓝球的概率为；摸出白球蓝球的概率为； 未摸到蓝球的概率为． 10分 事件包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸到蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸到蓝球；两次均摸出白球蓝球（仅获得额外个二等奖）， 则． 12分 记事件为“至少获得个一等奖，且恰好获得个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况： 第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 则． 14分 因为， 15分 所以，即， 所以事件与不相互独立． 17分 19．（1）证明：如图，取的中点，连接，． 因为为的中点，所以且． 1分 又因为，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 2分 因为平面，平面，所以平面． 3分 （2）解：如图，取的中点，连接，． 因为为等边三角形，所以． 4分 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面．因为平面，所以． 5分 因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以． 又因为，所以． 6分 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，． 因为是的中点，所以． 所以，，． 8分 设平面的法向量为，则． 令，则，，所以． 9分 设平面的法向量为，则． 令，则，，所以． 10分 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为． 12分 （3）解：设，其中． 因为，，所以，故． 又因为，所以． 13分 设平面的法向量为，由于，， 则． 令，则，，所以． 15分 因为直线与平面所成的角为，所以， 即， 解得或（不合题意，舍去）． 16分 又因为， 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $