四川省成都棠湖外国语学校2026-2027学年高二上学期期中数学模拟训练（二）（提升卷）

成都棠湖外国语学校高2025级高二上期期中模拟训练（二）（提升卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A. B. C. D. 4.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为(    ) A. B. C. D. 5.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则(    ) A. B. C. D. 6.直线，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知正四面体的棱的中点为，且点为空间中一动点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线：，直线：，则下列结论正确的是(    ) A. 在轴上的截距为 B. 过点且可能垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 10.关于空间向量，下列说法正确的是(    ) A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 若对空间内任意一点，都有，则，，，四点共面 11.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，点是椭圆上任意一点与不重合，，则下列命题中，正确的命题是(    ) A. B. 的最大面积为 C. 存在点，使得 D. 的周长最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间中非零向量，且，，，则          ． 13.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点， 设椭圆：的左、右焦点分别为，，若从右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为          ． 14.若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． 求直线与轴交点的坐标； 求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 16.本小题分 已知的斜边为，且，求： 直角顶点的轨迹方程； 直角边的中点的轨迹方程． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 18.本小题分 如图，过椭圆的左、右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将左侧与右侧的椭圆弧删除再分别以，为圆心，线段，的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”夹在，之间的部分称为“椭圆帽”的“帽体段”，左侧与右侧的部分称为“椭圆帽”的“帽檐段”已知左、右两个“帽檐段”所在的圆方程分别为． 求“帽体段”的方程； 过的直线交“帽体段”于点，交“帽檐段”于点，点在轴的上方，设与的面积分别为，， 求的最大值； 求使得取得最小值时的弦长． 19.本小题分 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． 求椭圆的方程． 设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点记的面积为，的面积为证明：为定值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都棠湖外国语学校高2025级高二上期期中模拟训练（二）（提升卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线过点和，且在轴上的截距是，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解法  依题意，设直线的方程为，因为过点，即，解得，所以直线的方程为，将点代入，解得． 解法  依题意，直线过点和，则直线的斜率为，所以直线的方程为又直线过点，所以． 2.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】，，故选D． 3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题． 由题意利用两条直线平行的性质求出，再利用两条平行直线间的距离公式求得结果． 【解答】 解：由题意直线与直线平行， 可得，即， 则直线可化为， 所以两直线之间的距离为， 故选：． 4.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查圆的标准方程的求法，属于基础题． 根据圆的基本性质直接求解即可得圆的标准方程． 【解答】 解：方法一直接法 设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为故选A． 方法二数形结合法 根据点到圆心的距离为，作图易知圆心为，故圆的方程为故选A． 方法三验证法 将点代入四个选项，可排除，，又圆心在轴上，所以排除故选A． 5.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了抛物线的定义，属于基础题． 利用抛物线的概念建立等式，即可求得的值． 【解答】 解：设点的坐标为， 由点到轴的距离为，可得 由点到抛物线的焦点的距离为，可得 解得． 故选C． 6.直线，，若，则实数的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查两直线垂直条件的应用，属于基础题． 根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式计算作答． 【解答】 解：直线，， 若，则， 则或． 故选C． 7.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题． 由题意可得，的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物线的准线联立求出，的一半的表达式，由题意可得，的关系，进而求出双曲线的离心率． 【解答】 解由题意可得抛物线的准线方程为，设，与轴分别交于，， 由，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得， 由题意可得：，即， 可得解得：，所以， 可得：，所以， 所以可得， 可得， 所以， 解得：， 所以双曲线的离心率， 故选：． 8.已知正四面体的棱的中点为，且点为空间中一动点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】取的中点，连接，，如图， 由题意知，， 所以． 又因为，所以， 当且仅当，同向共线时等号成立． 同理，，当且仅当，反向共线时等号成立． 连接，，因为正四面体的棱长为，所以在中，，，， 所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以的最大值为． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线：，直线：，则下列结论正确的是(    ) A. 在轴上的截距为 B. 过点且可能垂直轴 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查两条直线垂直的判定及应用，两条直线平行的判定及应用，属于基础题． 对于，根据直线方程求截距即可；对于，根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于，举反例说明即可；对于，根据直线垂直列式求参即可． 【解答】 解：直线：，直线：， 对于，因为直线：，令，解得， 所以在轴上的截距为，故A正确； 对于，因为直线：的斜率， 即斜率存在，直线不垂直轴，故B错误； 对于，因为，，且，解得，故C错误； 对于，若，则，解得，故D正确． 故选：． 10.关于空间向量，下列说法正确的是(    ) A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 若对空间内任意一点，都有，则，，，四点共面 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查的知识要点：直线的方向向量，向量垂直的充要条件，向量的共面的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 利用直线的方向向量和向量垂直的充要条件，法向量和平面的关系，向量的共面的充要条件，判断、、、即可． 【解答】 解：对于：直线的方向向量为，直线的方向向量为， 故，则，故A正确； 对于：直线的方向向量为，平面的法向量为， 可得；则，故B错误； 对于：平面，的法向量分别为，， 则，所以，故C错误； 对于：若对空间内任意一点，都有， 根据，可知，，，四点共面，故D正确． 故选：． 11.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，点是椭圆上任意一点与不重合，，则下列命题中，正确的命题是(    ) A. B. 的最大面积为 C. 存在点，使得 D. 的周长最大值是 【答案】ABD  【解析】解：对，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对，， 则，C错误； 对，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确． 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知空间中非零向量，且，，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积与模，属于基础题． 将平方，结合数量积以及模的计算，即可求得答案． 【解答】 解：由题意可得， 故， 故答案为：． 13.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点， 设椭圆：的左、右焦点分别为，，若从右焦点发出的光线经过上的点和点反射后，满足，且，则的离心率为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义以及几何性质，求椭圆的离心率，属于中档题． 由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段表示，结合双曲线的定义根据齐次方程的思想，可得答案． 【解答】 解：由题意，连接，，可作图如下： 由题意可知，，三点共线，，，三点共线， 在中，，且， 则 ，， 即， 可设，，， 由， 则，即， ， 在中，， 则． 故答案为：． 14.若曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直线与圆的位置关系，以及函数零点与方程根的关系，利用了数形结合的思想，做出两函数的图象是解本题的关键，属于拔高题． 曲线方程变形知曲线为轴下方的半圆，画出图象，利用图象即可得出的范围． 【解答】解：由可得， 所以曲线为轴下方的半圆， 如图所示， 当直线过， 将，代入得：，即； 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离， 所以，即舍去或， 则曲线与直线有两个不同的交点，得到实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线的斜率为，且在轴上的截距为． 求直线与轴交点的坐标； 求直线与两坐标轴围成的三角形的周长． 【答案】解：由已知可得直线的方程为， 令，可得， 所以直线与轴交点的坐标为； 设坐标原点为，，， 由题意及知直线与两坐标轴围成的三角形为， ， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的周长为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题分 已知的斜边为，且，求： 直角顶点的轨迹方程； 直角边的中点的轨迹方程． 【答案】解方法一设，因为，，三点不共线，所以． 因为，且，斜率均存在，所以， 又，，所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为． 方法二设的中点为，由中点坐标公式得，由直角三角形的性质知由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点． 所以直角顶点的轨迹方程为． 设，，因为，且是线段的中点，所以由中点坐标公式得，，所以，． 由知，点的轨迹方程为， 将，代入得，即． 因此动点的轨迹方程为．   【解析】略 17.本小题分 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． 求证：平面 若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】解：证明：在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则即 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为，由， 得， 解得，即点到平面的距离为．  【解析】本题考查空间点面距离的求解，考查线面平行的判定，面面垂直的性质，属中档题． 证得，即可根据线面平行的判定证得结论； 方法一：证得平面，以为原点建系，利用空间向量法求点面距离； 方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离． 18.本小题分 如图，过椭圆的左、右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将左侧与右侧的椭圆弧删除再分别以，为圆心，线段，的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”夹在，之间的部分称为“椭圆帽”的“帽体段”，左侧与右侧的部分称为“椭圆帽”的“帽檐段”已知左、右两个“帽檐段”所在的圆方程分别为． 求“帽体段”的方程； 过的直线交“帽体段”于点，交“帽檐段”于点，点在轴的上方，设与的面积分别为，， 求的最大值； 求使得取得最小值时的弦长． 【答案】因为“帽体段”所在椭圆的焦点在轴上，所以可设“帽体段”所在椭圆的方程为，由“帽檐段”所在的圆的方程可得，，即，，， 所以“帽体段”的方程为． 第一步：设 ， ，由余弦定理求得 在中，设，，则． 第二步：连接 ，设 ，结合 求得 的取值范围 连接，设，在中，，所以， 因为，所以，即，解得． 第三步：利用三角形的面积公式计算 ，结合基本不等式得最大值 ，， 所以． 因为，当且仅当时，“”成立， 所以，即． 在的基础上计算，令，平方化简并以为整体可求得最小时的值，从而得． 由可得：，令， 则． 令，则由， 所以， 当时，最小，即最小，此时，．   【解析】略 19.本小题分 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． 求椭圆的方程． 设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点记的面积为，的面积为证明：为定值． 【答案】解：由题可知， 解得 故椭圆的方程为； 证明：设，则直线的方程为， 令，得， 直线的方程为， 令，得， 则， ， 所以 ， 由，得， 则 ， 所以为定值．  【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，属于较难题． 根据题意得出，求出，的值，即可求出结果； 设，分别写出直线与的方程，求出，的坐标，表示出，化简求值即可证出结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $