精品解析：广东上进联考2026-2027学年高三上学期10月供题训练数学试题

高三年级10月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由抛物线方程，可以得到， 焦点到准线的距离为. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 则. 3. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 故，. 4. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】若，由不等式性质，得，与 矛盾，故充分性不成立； 由，得，即 与 同号. 则 且，即或； 且，即 . 故必要性也不成立. 综上，“”是 “” 的既不充分也不必要条件. 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为为奇函数，所以，从而． 故． 由，得，所以． 因此． 6. 已知公差不为0的等差数列满足，若，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由得，化简得， 所以， 前项和：， 由得，化简得，且， 故. 7. 当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】参变分离可得，构造函数，换元，求导，得到函数单调性，得到函数的值域，从而可得，求出答案 【详解】时，，两边取对数得， 故，令， 令，，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 其中，由于，故，， 故在上的值域为，则， 所以，故的取值范围是. 8. 已知函数若方程有4个不同实根，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别研究方程在两段定义域上的根数，利用二次方程根的和与正弦方程两根之和表示四根之和，再由四根条件确定参数范围并求目标式的值域． 【详解】当时，方程等价于． 该方程有两个不同的负根，当且仅当且，即． 当时，令，则，且． 结合，在该区间内有两个根当且仅当，即． 当或时，根的歌数均为3，故方程有4个不同实根的充要条件是． 设为负根，则由韦达定理得． 由于，由正弦函数的对称性可得 于是． 在上，递减，且， 则的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则（ ） A. 点在上 B. 的渐近线方程为 C. 的焦距为 D. 的实轴长为 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以点在双曲线上，故A正确； 由双曲线，可得，所以，， 所以的渐近线方程为，故B错误； 由，可得的焦距为，故C正确； 由，可得的实轴长为，故D正确. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. 当时，面积的最大值为 D. 当时，为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而计算可判断A；利用余弦定理计算可判断B；利用基本不等式可求得，可求三角形面积的最大值判断C；利用正弦定理可得，利用余弦定理可判断D. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，所以，又，所以. 由所给条件无法确定，故A错误； 当时，由余弦定理可得，故B正确； 当时，可得， 所以， 所以，故C错误； 由，结合正弦定理可得，（为外接圆的半径）， 由，可得，所以 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以，所以为钝角三角形，故D正确. 11. 已知四面体的所有棱长均为，点是棱上的动点，点到点，，，的距离相等，则下列说法正确的有（） A. 周长的最小值为 B. 当时，直线与平面交于点，则 C. 当球表面与四面体表面没有公共点时，球表面积的取值范围为 D. 当四面体内有个半径为的球时，的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将与沿棱展开到同一平面，利用两点距离最短即可；对于B，利用等比例得到，再利用比例即可求；对于C，利用球的半径比四面体内切球半径小或比外接球半径大即可；对于D，利用四个小球球心构成的小正四面体与大正四面体相似，同外接球球心即可. 【详解】由题设可得该四面体为正四面体，棱长为，外接球与内切球球心为. 设底面中心为. 则，外接球半径， 内切球半径. 对于选项A，周长， 将与沿棱展开到同一平面， 如图，则两点的距离就是的最小值. 在展开图中. 所以周长的最小值为，故A正确； 对于选项B，当时，如图，延长交于点，则为中点. 则，又，所以，所以，即. 在中，，所以，故B正确； 对于选项C，当球表面与四面体表面没有公共点时， 则该球半径比四面体内切球半径小或比外接球半径大， 设该球半径为，即或. 则该球表面积或. 即球表面积的取值范围为，故C错误； 对于选项D，四个小球，每个球贴近一个面，四个球心构成一个小正四面体， 设四个球心分别为，棱长为， 小球球心到原四面体对应面距离为， 小球球心组成的小正四面体和原四面体同向相似. 设小球球心构成的小正四面体的内切球半径. 原四面体外接球球心到每个面距离为， 则，解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中项的系数为_______． 【答案】5 【解析】 【详解】由二项式展开式的通项公式可得. 令，解得，代入解得系数为. 13. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【详解】∵， ∴在方向上的投影向量为 . 14. 某宠物店对光顾其门店的顾客进行调研，得到如下数据：顾客中养猫者占比为，养猫顾客中购买猫罐头者占比为，购买猫罐头的顾客中养猫者占比为，则该宠物店顾客中购买猫罐头者占比为_______． 【答案】 【解析】 【详解】设A表示养猫顾客，B表示购买猫罐头顾客，已知 ，，， 由乘法公式可得 ， 由条件概率公式可知 ，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知分式变形求出公比q，再求出首项，代入等比数列通项公式得到； （2）由列出前n项和，使用错位相减法，两式相减后借助等比求和公式化简求解． 【小问1详解】 设的公比为， 则，所以， ，所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以，， 以上两式相减得 ， 所以． 16. 情绪经济是以情感共鸣、心理慰藉、自我认同为核心价值的消费模式，消费者不仅仅为产品付费，还是为一段情绪体验买单．已知2022~2027年中国情绪经济市场规模（其中2026年、2027年为市场预测规模）（单位：万亿元）及同比增长率如下表． 年份 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 2027年 市场规模 1.63 1.95 2.31 2.72 3.17 3.65 同比增长率 — 0.196 0.185 0.177 0.165 0.151 （1）求2023~2027年同比增长率的极差及20%分位数； （2）记2022~2027年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，根据2022~2026年的数据求得市场规模与年份的回归方程为，求的值及利用该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值． 【答案】（1）0.045，0.158 （2）1.201，0.139万亿元． 【解析】 【分析】（1）根据极差和百分位数的定义求解； （2）求出回归方程中的值，再代入6求解. 【小问1详解】 2023~2027年同比增长率按照从小到大排列为0.151，0.165，0.177，0.185，0.196， 所以极差为， 因为， 所以20%分位数是第1个数与第2个数的平均数． 【小问2详解】 ，， 因为点在回归直线上， 所以， 当时，， 所以该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值为万亿元． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，是正三角形，，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）已知，点在棱上，且满足，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为是正三角形，且点为的中点， 所以， 因为四边形为菱形，且， 连接，则是正三角形，所以， 因为，，平面，所以平面， 在菱形中， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用正三角形三线合一得到AD垂直平面OCP内的两条相交直线，结合菱形对边平行推出BC垂直平面OCP，最终由面面垂直判定定理完成证明； （2）先通过勾股逆定理证明三线两两垂直以建立空间直角坐标系，求出平面法向量与M点坐标，再代入点到平面的距离公式计算结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为与都是边长为3的正三角形，所以， 因为，所以， 所以， 所以，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 连接，则，，， 设，由得， 故，得，得， 所以，，， 设平面的法向量， 则即 取，得， 设点到平面的距离为， 则． 所以点到平面的距离为 18. 已知椭圆经过点，且离心率为． （1）若，求的方程； （2）若，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，，分别是的左、右顶点，，直线，分别与交于点，，证明：当变动时，直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）解法一：证明：由（1）得，，设，， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与联立，得，恒成立， 因为，是该方程的两个根，所以， 所以，，即， 同理可得直线的方程为，， 由椭圆的对称性可知，若直线过定点，则该定点必在轴上，设其坐标为， 则， 整理得，所以， 即直线过定点． 解法二：由（1）得，，设，， 则直线的斜率，直线的斜率， 故． 因为点在椭圆上，所以，即， 所以． 又，，代入， 得， 所以． 由题意直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，得，， 所以，， 所以 ， 解得， 所以直线过定点． 解法三：同解法二，得， 将椭圆向左平移2个单位长度， 则椭圆方程为，即． 设平移后直线对应的直线的方程为， 所以， 展开整理得， 当时，两边同除以得， 设平移之后，，，则，， 所以， 解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）利用离心率得到关系式，再将已知点代入椭圆方程联立求解，写出椭圆方程； （2）将点坐标代入椭圆得到等式，结合转化为关于离心率e的表达式，根据e范围求出a的取值范围； （3）解法一：求出直线方程，分别联立椭圆求出坐标，利用定点在x轴上，由三点共线斜率相等求出定点； 解法二：利用椭圆上的点与左右顶点斜率乘积的结论，推导出为定值，设直线与椭圆联立，结合韦达定理代入斜率乘积等式求出n，得到定点； 解法三：同样得到为定值，平移椭圆后用齐次化处理，由斜率乘积条件求出直线参数，平移还原得到定点． 【小问1详解】 由，得， 所以， 由点在上，可得，即， 解得，所以， 故的方程为． 【小问2详解】 由（1）得，即， 设，则， 两边同时除以，整理得， 因为，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 略 19. 如果函数与的图象在处有公共点，且，则称的图象与的图象在处相切，其中称为与的“点”． （1）若与有“点”，求的值； （2）证明：对任意的，，与的“点”个数最多为1； （3）若的图象与的图象相切，且存在实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：设是与的“点”， 由，得， 又，， 由，得，， 若，则，矛盾，所以， 把代入， 得，设， 假设，是与的两个不同的“点”， 则，是方程的2个不同实根， 所以，，且， 于是， 因为，所以， 所以，方程的判别式，与矛盾， 所以对于任意的，，与的“点”个数最多为1． （3） 【解析】 【分析】（1）求导，由导数相等求出切点横坐标，再代入函数，求出的值； （2）利用反证法，假设存在两个不同点，联立条件消参，结合韦达定理推出矛盾； （3）联立相切条件解出参数，求函数的单调性与最小值，得到值域，根据存在实数，使得解不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 解：与有“点”，即直线与的图象相切， 因为，令，得，， 所以切点坐标为， 代入，得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为，， 所以，． 若的图象与的图象相切，设“点”为， 则即 因为不满足方程，所以，， 代入，得， 所以问题转化为关于的方程有实根， 若，代入得，矛盾，所以， 所以，整理得， 所以，， 代入，得，所以． 所以，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 由，且时，， 可得的值域是． 若存在实数，使得，则，所以， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级10月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知公差不为0的等差数列满足，若，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若方程有4个不同实根，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则（ ） A. 点在上 B. 的渐近线方程为 C. 的焦距为 D. 的实轴长为 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. 当时，面积的最大值为 D. 当时，为钝角三角形 11. 已知四面体的所有棱长均为，点是棱上的动点，点到点，，，的距离相等，则下列说法正确的有（） A. 周长的最小值为 B. 当时，直线与平面交于点，则 C. 当球表面与四面体表面没有公共点时，球表面积的取值范围为 D. 当四面体内有个半径为的球时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中项的系数为_______． 13. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量的坐标为_______． 14. 某宠物店对光顾其门店的顾客进行调研，得到如下数据：顾客中养猫者占比为，养猫顾客中购买猫罐头者占比为，购买猫罐头的顾客中养猫者占比为，则该宠物店顾客中购买猫罐头者占比为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）设，求的前项和． 16. 情绪经济是以情感共鸣、心理慰藉、自我认同为核心价值的消费模式，消费者不仅仅为产品付费，还是为一段情绪体验买单．已知2022~2027年中国情绪经济市场规模（其中2026年、2027年为市场预测规模）（单位：万亿元）及同比增长率如下表． 年份 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 2027年 市场规模 1.63 1.95 2.31 2.72 3.17 3.65 同比增长率 — 0.196 0.185 0.177 0.165 0.151 （1）求2023~2027年同比增长率的极差及20%分位数； （2）记2022~2027年的年份代码依次为1，2，3，4，5，6，根据2022~2026年的数据求得市场规模与年份的回归方程为，求的值及利用该方程求得的2027年市场规模预测数据与表中2027年市场规模的差的绝对值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，是正三角形，，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）已知，点在棱上，且满足，求点到平面的距离． 18. 已知椭圆经过点，且离心率为． （1）若，求的方程； （2）若，求的取值范围； （3）在（1）的条件下，，分别是的左、右顶点，，直线，分别与交于点，，证明：当变动时，直线过定点． 19. 如果函数与的图象在处有公共点，且，则称的图象与的图象在处相切，其中称为与的“点”． （1）若与有“点”，求的值； （2）证明：对任意的，，与的“点”个数最多为1； （3）若的图象与的图象相切，且存在实数，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $