广东上进联考2026-2027学年高三上学期9月供题训练数学试题

数学 序号 题号 试题形式 题型 分值 知识模块 知识板块 知识点 认知水平 考查能力 预计难度 1 1 客观题 选择题 5 集合与常用逻辑用语 常用逻辑用语 命题的否定 掌握 运算求解能力 0.88 2 2 客观题 选择题 5 三角函数与解三角形 三角函数 运用诱导公式化简求值 理解 运算求解能力 0.82 3 3 客观题 选择题 5 复数 数系的扩充与复数的概念 复数的有关概念 掌握 运算求解能力 0.73 4 4 客观题 选择题 5 导数 导数及其应用 导数的几何意义 应用 应用意识能力 0.65 5 5 客观题 选择题 5 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的概念及其性质 函数单调性的性质 掌握 运算求解能力 0.56 6 6 客观题 选择题 5 数列 等差数列 等差数列的性质 理解 运算求解能力 0.45 7 7 客观题 选择题 5 不等式 基本不等式 基本不等式求最值 掌握 推理论证能力 0.39 8 8 客观题 选择题 5 三角函数与解三角形 解三角形 解三角形与平面向量的综合问题 掌握 运算求解能力 0.24 9 9 客观题 选择题 6 平面解析几何 圆锥曲线 双曲线的简单性质 掌握 运算求解能力 0.64 10 10 客观题 选择题 6 集合与常用逻辑用语 集合 交、并、补集的混合运算 应用 运算求解能力 0.49 11 11 客观题 选择题 6 计数原理与概率统计 概率 全概率公式 应用 应用意识能力 0.29 12 12-14 主观题 填空题 15 综合 综合 综合 掌握 运算求解能力 0.45 13 15 主观题 解答题 13 平面解析几何 圆锥曲线 直线与抛物线的位置关系 应用 运算求解能力 0.74 14 16 主观题 解答题 15 计数原理与概率统计 离散型随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列 应用 运算求解能力 0.61 15 17 主观题 解答题 15 空间向量与立体几何 空间向量及立体几何 用空间向量求平面间的夹角 掌握 空间想象能力 0.52 16 18 主观题 解答题 17 数列 数列的综合应用 an与Sn的关系 掌握 应用意识能力 0.36 17 19 主观题 解答题 17 导数 导数及其应用 导数的综合问题 应用 推理论证能力 0.24 $ 高三年级9月供题训练 数 学 试 卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“∃n∈{1,2,3},n2能被4整除”的否定是 A.∃n∈{1,2,3},n2不能被4整除 B.∃n∉{1,2,3},n2能被4整除 C.∀n∈{1,2,3},n2不能被4整除 D.∀n∉{1,2,3},n2不能被4整除 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定是全称量词命题,可知“∃n∈{1,2,3},n2能被4整除”的否定是“∀n∈{1,2,3},n2不能被4整 除”.故选C. 2. sin tan = A. B. - C. D. - 【答案】C 【解析】 sin tan = sin tan = = × = .故选C. 3. 已知z为纯虚数,且(2-z)(z＋i)的实部为- ,则z= A. i B. - i C. i D. i 【答案】B 【解析】设z=bi(b∈R,且b≠0),则(2-z)(z＋i)=(2-bi)(b＋1)i=b2＋b＋(2b＋2)i,所以b2＋b=- ,解得b= - ,则z=- i.故选B. 4. 函数f(x)=x-x4的图象在x=-1处的切线方程为 A. 5x-y＋7=0 B. 5x-y＋3=0 C. 3x＋y＋5=0 D. 5x-y=0 【答案】B 【解析】因为f(x)=x-x4,所以f ′(x)=1-4x3,所以f(-1)=-2,f ′(-1)=5,所以f(x)的图象在x=-1处的切线方程为y＋2=5(x＋1),即5x-y＋3=0.故选B. 5. 已知a=ln ,b=0.320.23,c=log0.320.23,则 A. c＜a＜b B. b＜c＜a C. b＜a＜c D. a＜b＜c 【答案】D 【解析】a=ln ＜ln 1=0,0＜0.320.23＜0.320=1,c=log0.320.23＞log0.320.32 =1,所以a＜b＜c.故选D. 6. 若Sn为等差数列{an}的前n项和,且a3＋a8＞0,S9＜0,则Sn的最 小值为 A. S4 B. S5 C. S6 D. S7 【答案】B 【解析】由S9= =9a5＜0,得a5＜0.又a5＋a6=a3＋a8＞0,所以a6＞0.因此公差d=a6-a5＞0,数列单调递增,前n项和Sn在n=5时取得最小值.故选B. 7. 若对任意a,b∈(0,＋ ),a＋ ≤ 恒成立,则x有 A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】A 【解析】因为a＋ ≤a＋ = ,所以 ≤ ,当且仅当a=3b时取等号,由已知得 ≥ 恒成立,所以 ≥ ,0＜x≤ .故选A. 8. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a＋b):(a＋c):(b＋c)=4:5:6,且 =2 ,则 = A. B. C. D. 【解析】因为(a＋b):(a＋c):(b＋c)=4:5:6,设a＋b=8t,则 解得a=3t,b=5t,c=7t,所以 cos C= =- ,因为 =2 ,所以 = ,所以 = = ＋ = ＋ = .故选D. 【答案】D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知双曲线C: - =1的两个焦点分别为F1,F2,则 A. =4 B. F1,F2在y轴上 C. C的离心率为2 D. 直线y= x与C没有公共点 【解析】双曲线C中a= ,b= ,c=2 , =2c=4 ,故A正确;F1,F2在x轴上,故B错误;离心率e= =2,故C正确;y= x是C的渐近线,与C没有公共点,故D正确.故选ACD. 【答案】ACD(每选对1个得2分) 10. 已知集合A={1,-2,3,-4},则 A. 满足B⋃{-4}=A的B有8个 B. 集合{x|x= ,m∈A,n∈A}中有5个元素 C. 当B={y|y= - }时,A⋂B={1} D. “m∈{m|A⋂{x|m＜x＜m＋1}=}”是“m∈［-4,-3］⋃［1,2］”的必要不充分条件 【解析】B={1,-2,3}或B={1,-2,3,-4},有2个,故A错误;该集合中的元素有0,2,3,5,7,共5个,故B正确;因为 - = ∈(0, ］,所以A⋂B={1},故C正确;当A⋂{x|m＜x＜m＋1}= 时,m的取值范围是 (- ,-5］⋃［-4,-3］⋃［-2,0］⋃［1,2］⋃［3,＋ ),所以“m∈{m|A⋂{x|m＜x＜m＋1}= }”是“m∈［-4,-3］⋃［1,2］”的必要不充分条件,故D正确.故选BCD. 【答案】BCD(每选对1个得2分) 11. 某校有甲、乙两个数学社团，甲社团有3名高一学生、2名高二学 生，乙社团有2名高一学生、3名高二学生，某次甲社团举行活动，乙 社团随机派2人参加甲社团的活动，现从参加活动的7人随机抽取1人 主持活动，记事件Ai（i=0，1，2）为乙社团选派的2人中高一学生 人数有i个，事件B为从7名学生中随机抽取的1人为高一学生，则 A． P（B）= B． P（B|A2）＋P（ |A2）=1 C． A1＋A2与B不相互独立 D． ＜ 【答案】BC（每选对1个得3分） 【解析】P（A0）= = ，P（A1）= = ，P（A2）= = ，P（B|A0）= ，P（B|A1）= ，P（B|A2）= ，P（B） =P（A0）P（B|A0）＋P（A1）P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2） = × ＋ × ＋ × = ，故A错误；P（B|A2）＋P（ |A2） =1，故B正确； P（A1＋A2）= = ，P（A1＋A2）P（B）= × = ， P（（A1＋A2）B）=P（A1）P（B|A1）＋P（A2）•P（B|A2） = ，P（（A1＋A2）B）≠P（A1＋A2）P（B），故C正确； = = ，P（B| ）= = = = ， = =1， ＞1，故D错误．故选BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知甲、乙两组变量的相关系数分别为r，r＋1.2，若乙组变量 的相关性比甲组变量的相关性强，则r的一个值可以为 　　　　． 【答案】－0.5（答案不唯一，（－0.6，－0.2］范围内的任意一个值 都正确） 【解析】由相关系数的范围是［－1，1］，可得r＜0，所以0＜－r ＜r＋1.2≤1，所以－0.6＜r≤－0.2，所以r的一个值为－0.5. 13. 已知椭圆C： ＋ =1及点A（2，0），B（2，3），点P是C 上与A，B不共线的动点，则△PAB周长的最大值为 　　　　． 【答案】18 【解析】在椭圆C中，a2=25，b2=21，则c= =2.设左、右焦 点分别为F1（－2，0），F2（2，0），故A就是右焦点．由椭圆定 义得 ＋ =2a=10，即 =10－ ．又 =3，则 △PAB的周长L= ＋ ＋ =10－ ＋ ＋3=13＋ （ － ）≤13＋ =18，当P为BF1的延长线与C的交点 时取等号，故△PAB周长的最大值为18. 14. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=5，点P是该正方体棱上一 点，且满足AP＋PC1=3＋3 ，记符合条件的点P的个数为k，则 k= 　　　　；在所有符合条件的点P中任选不共面的4点，则由这 4个点所确定球的表面积的取值集合为 　　　　．（第一空2分， 第二空3分） 【答案】6　{51π}（第一空2分，第二空3分） 【解析】当点P在棱AB上时，设AP=x，则AP＋PC1=AP＋ =x＋ =3＋3 ，解得x=3，同理可得在棱AD，AA1都存在符合条件的点P，由对称性，在棱C1C，C1B1，C1D1上也都存在符合条件的点P． 当点P在BB1上时，将平面ABB1A1沿BB1翻折至与平面BCC1B1共面，AP＋PC1≥AC1= = ＞ ＞ =3＋3 ，所以棱BB1上不存在符合条件的点P，同理棱B1A1，A1D1，BC，DC，DD1上都不存在符合条件的点P，所以k=6.如图，记这6个点分别为P1，P2，P3，P4，P5，P6，连接AC1， 取A1C1的中点O，则O到点P1，P2，P3，P4，P5，P6的距离相等， 符合条件的球只有一个球O，球O的半径R=OP1= = ，所以球O的表面积为4πR2=51π． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (13分)已知抛物线C:y2=2px(p＞0)经过点P(2,-4). (1)求C的方程; (1)解:因为C经过点P(2,-4),所以(-4)2=2p•2,(2分) 解得p=4,故C的方程为y2=8x.(5分) (2)若C的焦点为F,O为坐标原点,直线PF与C交于另一点Q,直线PO与C的准线交于点R,证明:直线QR⊥y轴. (2)证明:由已知及(1)知P(2,-4),F(2,0), 直线PF⊥x轴,所以Q(2,4),(8分) 设R(-2,y0),由P,O,R共线得 = , 所以y0=4,(11分) 所以直线QR的斜率为0,即直线QR⊥y轴.(13分) 16. (15分)具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统,是新知生产力发展的重要驱动力.已知2018~2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模(单位:千亿元)如下表(数据经过加工处理). 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 机器人市场规模 0.89 1.23 1.70 2.36 2.90 3.30 3.83 4.50 自动驾驶市场规模 2.03 2.07 2.35 3.08 3.65 4.18 4.80 5.23 (1)求2018~2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场 规模的60%分位数; 解:(1)这两组数据都是按照从小到大排列的, 所以2018~2025年中国机器人市场规模的中位数为 =2.63.(3分) 因为60%×8=4.8, 所以自动驾驶市场规模的60%分位数是第5个数3.65.(6分) (2)从2018~2025年中任取3个年份,记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上的年份个数为X,求X的分布列与期望. 解:(2)2018~2025年中自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上的年份有2018年、2019年、2023年、2024年共4个年份,(7分) 所以X的可能取值分别为0,1,2,3,(8分) P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = ,P(X=3)= = ,(12分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ (13分) E(X)=0× ＋1× ＋2× ＋3× = .(15分) 17. (15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边 形,三棱锥P-ABD是底面边长为2 的正三棱锥. (1)证明:如图1,取AB的中点E,连接DE,PE, 由三棱锥P-ABD是正三棱锥,可得DA=DB,PA=PB, 所以DE⊥AB,PE⊥AB,(2分) 因为DE⋂PE=E,DE,PE⊂平面PDE, 所以AB⊥平面PDE,(3分) 因为PD⊂平面PDE,所以PD⊥AB,(5分) 因为在平行四边形ABCD中AB∥DC, 所以PD⊥DC. (7分) (1)证明:PD⊥DC; (2)解:解法一:在线段DE上取点O,使得DO=2OE,连接OP,则OP为三棱锥P-ABD的高,以O为原点,直线OE为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,直线OP为z轴建立如图1所示的空间直角坐标系.(8分) 因为△ABD是边长为2 的正三角形,所以 =1, =2,设 =h, (2)若平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为 ,求PA. 则B(1, ,0),C(-2,2 ,0),D(-2,0,0),P(0,0,h),(9分) 所以 =(1, ,-h), =(-2,2 ,-h), =(-2,0,-h),(10分) 设平面PBC的法向量m=(x1,y1,z1), 则 即 取x1=1,得m= ,(11分) 设平面PDC的法向量n=(x2,y2,z2), 则 即 取x2=1,得n= ,(12分) 设平面PBC与平面PDC的夹角为θ, 则 cos θ= = = ,(13分) 解得h2=5或14,(14分) 所以 = = =3或 =3 .(15分) 解法二:由(1)得PD⊥DC, 由已知可得△PBC≌△PDC, 如图2,作DF⊥PC于F,连接BF,则BF⊥PC,(9分) 所以∠BFD或其补角为平面PBC与平面PDC的夹角,(10分) 设PA=a,在△PCD中,PD=a,CD=2 , 所以PC= = ,(11分) 所以BF=DF= = ,(12分) 因为BD=2 , 所以 cos ∠BFD= = = =± .(14分) 解得a=3或3 .(15分) 18. (17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an＋1= Sn. (1)证明:数列{ }是等比数列; (1)证明:因为an＋1= Sn, 所以Sn＋1=Sn＋an＋1= Sn,(2分) 所以 =2• ,(4分) 又 = =1,(5分) 所以数列{ }是首项为1、公比为2的等比数列.(6分) (2)若bn= ,求数列{bn}的最大值; (2)解:由(1)得 =1×2n-1=2n-1,Sn=n(n＋1)•2n-1, 所以bn=n(n＋1)• ,(7分) 则bn＋1-bn=(n＋1)(n＋2)• -n(n＋1)• =(n＋1)• • ,(8分) 所以当n≤3时,bn＋1-bn＞0,bn＋1＞bn,当n=4时,b5=b4,当n≥5时,bn＋1-bn＜0, bn＋1＜bn, 所以b1＜b2＜b3＜b4=b5＞b6＞b7＞…,(11分) 所以数列{bn}的最大值为b4=b5= .(12分) (3)设cn=(n＋5)Sn,求数列{cn}的前n项和Tn. (3)解:因为Sn=n(n＋1)2n-1, 所以cn=n(n＋1)(n＋5)2n-1=n(n＋1)［2(n＋2)-(n-1)］2n-1 =n(n＋1)(n＋2)2n-(n-1)n(n＋1)2n-1,(14分) 所以Tn=1×2×3×2-0＋2×3×4×22-1×2×3×2＋…＋n(n＋1)(n＋2)2n-(n-1)n(n＋1)2n-1=n(n＋1)(n＋2)2n.(17分) 19. (17分)已知函数f(x)的定义域为R,导函数为f ′(x),定义集合Am={x|f ′(x)≥f ′(m)}. (1)若f(x)为偶函数,证明:∁RA-m⊆{x|-x∈Am}; (1)证明:因为定义域为R的f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 两边求导得-f ′(-x)=f ′(x),所以f ′(-x)=-f ′(x),(2分) 所以∁RA-m={x|f ′(x)＜f ′(-m)}={x|-f ′(x)＞-f ′(-m)} ={x|f ′(-x)＞f ′(m)}⊆{x|f ′(-x)≥f ′(m)}={x|-x∈Am}.(4分) (2)解:由f(x)=(x-2k)3-3(x-2k),x∈［2k-1,2k＋1),k∈Z, 得f ′(x)=3(x-2k)2-3,x∈［2k-1,2k＋1),k∈Z,(5分) f ′(x)是偶函数,且是周期为2的周期函数,且x∈［-1,1)时,f ′(x)=3x2-3,(7分) 因为f ′ =f ′ , 所以由函数f ′(x)的单调性及对称性可得m的取值范围是 ,k∈Z. (9分) (2)若f(x)=(x-2k)3-3(x-2k),x∈［2k-1,2k＋1),k∈Z,且 ∈Am,求m的取值范围(结果用k表示); (3)若f(x)=axlogaen＋1logaen＋2-axn＋2(a＞0,且a≠1,n为正奇数),且对任意m1,m2,当m1＜m2时,有Am2⊆Am1,求a的取值范围(结果用n表示). (3)解:对任意m1,m2,当m1＜m2时,有Am2⊆Am1, 即m1＜m2时,f ′(m2)≥f ′(m1), 所以f ′(x)在任一区间上都不单调递减,(11分) 设g(x)=f ′(x),则g′(x)≥0. 因为f(x)=axlogaen＋1logaen＋2-axn＋2,所以f ′(x)=(n＋2)(axlogaen＋1-axn＋1), 所以g′(x)=(n＋1)(n＋2)(ax-axn)≥0,(12分) 当x≤0时,恒有g′(x)＞0,(13分) 当x＞0时,由g′(x)≥0得ax≥axn,即xln a≥ln a＋nln x, 即xln a-nln x-ln a≥0,(14分) 设h(x)=xln a-nln x-ln a,则当0＜a＜1时,h(2)=ln a-nln 2＜0,不满足题意,(15分) 当a＞1时,h′(x)=ln a- , 当x∈ 时,h′(x)＜0,h(x)单调递减,当x∈ 时,h′(x)＞0,h(x)单调递增, 所以h(x)≥h ≥0,又h(1)=0,(16分) 所以 =1,a=en, 所以a的取值范围是{en}(n为正奇数).(17分) 感谢观看 THANK YOU FOR YOUR WATCHING $绝密★启用前 高三年级9月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.命题“3n∈{1,2,3}，n2能被4整除”的否定是 A.3n∈{1,2,3}，n2不能被4整除 B.3n{1,2,3},n2能被4整除 C.Hne{1,2,3},n2不能被4整除 D.Hn庄{1,2,3，n2不能被4整除 11m11T 2.sin 6 tan 3 3 3 2 D.- 2 3已知：为纯虚数，且(2-：)(：+)的实部为子，则： C.1+ -i 2 4.函数f代x)=x一x4的图象在x=-1处的切线方程为 A.5x-y+7=0 B.5x-y+3=0 C.3x+y+5=0 D.5x-y=0 5.已知a=ln3b=03208,c=lg0.23,则 A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 广东·高三数学第1页（共4页） 6.若Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3+as>0,Sg<0,则Sn的最小值为 A.S4 B.Ss C.S D.S7 7.若对任意a,be(0,+o),a+√3ab≤t也 恒成立，则x有 A鼓大值时 2 B.最大值了 C,最小值 D.最小号 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a+b):(a+c):(b+c)=4:5:6,且AD=2Di, 则面·花 AB 4.265 B.163 c别 0.94 1 294 294 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 ).已知双商线c号。1的两个焦点分别为上，5，则 A.FF2=42 B.F,F2在y轴上 C.C的离心率为2 D.直线y=√3x与C没有公共点 10.已知集合A={1,-2,3,-4},则 A.满足BU{-4}=A的B有8个 B.集合{xlx=m-n,m∈A,n∈A中有5个元素 C.当B={yly=Vx-√Jx-3}时，A∩B={1} D.“A∩{xlm<x<m+1}=⑦”是“m∈[-4，-3]U[1,2]”的必要不充分条件 11.某校有甲、乙两个数学社团，甲社团有3名高一学生、2名高二学生，乙社团有2名高一学生、3名 高二学生，某次甲社团举行活动，乙社团随机派2人参加甲社团的活动，现从参加活动的7人随 机抽取1人主持活动，记事件A:(i=0,1,2)为乙社团选派的2人中高一学生人数有i个，事件B 为从7名学生中随机抽取的1人为高一学生，则 A.P(B)=70 29 B.P(BIA2)+P(BIA,)=1 P(BIA)P(BIA) C.A+A2与B不相互独立 D. P(BIA)P(BIA) 广东·高三数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知甲、乙两组变量的相关系数分别为r,r+1.2,若乙组变量的相关性比甲组变量的相关性强， 则r的一个值可以为 13.已知椭圆C:252=1及点A(2,0),B(2,3),点P是C上与A,B不共线的动点，则△PAB周长 的最大值为 14.在正方体ABCD-ABC1D1中，AB=5,点P是该正方体棱上一点，且满足AP+PC,=3+3W6,记符 合条件的点P的个数为k,则k= ;在所有符合条件的点P中任选不共面的4点，则由这 4个点所确定球的表面积的取值集合为 ·（第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知抛物线C:y=2px(p>0)经过点P(2,-4) (1)求C的方程； (2)若C的焦点为F,0为坐标原点，直线PF与C交于另一点Q,直线PO与C的准线交于点R, 证明：直线QRLy轴， 16.（15分)具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新知生产力发展的重要驱动 力.已知2018~2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如 下表（数据经过加工处理） 年份 2018年 2019年2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 机器人市场规模 0.89 1.23 1.70 2.36 2.90 3.30 3.83 4.50 自动驾驶市场规模 2.03 2.07 2.35 3.08 3.65 4.18 4.80 5.23 (1)求2018~2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的60%分位数； (2)从2018~2025年中任取3个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上 的年份个数为X,求X的分布列与期望 广东·高三数学第3页（共4页）》 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，三棱锥P-ABD是底面边长为 2√3的正三棱锥. (1)证明：PD⊥DC; (2)若平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为石，求PM 、D 18(17分)已知数列a.的前n项和为5,4，=2,41-”+4 n (1)证明：数列{ 6 、是等比数列； n(n+1) (2)若6,3求数列6.的最大值： (3)设cn=(n+5)Sn,求数列{cn}的前n项和Tn. 19.(17分)已知函数f(x)的定义域为R,导函数为f'(x),定义集合Am={xlf'(x)≥∫'(m). (1)若f八x)为偶函数，证明：C.AmC{xl-x∈Am}; (2)若)=(-2)-3(x-2)e[2-1,2X+1)k=乙，且9=4.，求m的取值范（结果用k表示； (3)若f(x)=a*logelog,e+2-ax”2(a>0,且a≠1，n为正奇数)，且对任意m1,m2,当m1<m2时， 有Am,CAm,求a的取值范围（结果用n表示）. 广东·高三数学第4页（共4页）》高三年级9月供题训练 数学参考答案 1.【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，可知“3n∈1,2,3}，n2能被4整除”的否定是“Vn∈1,2,3}， n2不能被4整除”.故选C. 2.【答案】C 【解析】sin mg=n哥4引（血m引分-同=号故选c 6 3.【答案】B 【解析】设：=(6eR,且6≠0)，则（2-)(：+i)=(2-b(6+1)i=公+6+(26+2)i,所以公+6=4解得6=7则 1 2故选B 4.【答案】B 【解析】因为f八x)=x-x,所以f'(x)=1-4x3,所以f八-1)=-2，∫'(-1)=5，所以f(x)的图象在x=-1处的切线方 程为y+2=5(x+1),即5x-y+3=0.故选B. 5.【答案】D 【解折1a=lh子<h1=0,0<0.320”<0.32=1,c=log0.23>bg0.32=1,所以a<cc.故选D. 6.【答案】B 9(a1+ag） 【解析】由S, 2 =9a,<0,得a<0.又a5+a6=a3+as>0,所以a6>0.因此公差d=a6-a5>0,数列单调递增， 前n项和S,在n=5时取得最小值.故选B. 7.【答案】A 【解析]因为a+3ab≤a+。=2,所以a+3a-3 1a+3ab恒 2 a+b≤2，当且仅当a=36时取等号，由已知得上≥号 √xa+b 4 、成立所以元≥2,0<≤9故选4 8.【答案】D a+b=8. 【解析】因为(a+b):(a+c):(b+c)=4:5:6,设a+b=8t,则a+c=10t,解得a=3,b=5t,c=7t,所以cosC= b+e=121 号周为派质以0-东应正回西丽团后，2 2×3t·5t AB 492 3 5…32 -252 21 4912 3294故选D 广东·高三数学第1页（共6页） 9.【答案】ACD(每选对1个得2分) 【解析】双曲线C中a=巨，b=6,c=2万.F,F=2=45,故A正确：F,F在x轴上，故B错误：离心率e==2. 故C正确；y=√3x是C的渐近线，与C没有公共点，故D正确.故选ACD. 10.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解析】B={1,-2,3或B={1,-2,3,-4},有2个，故A错误；该集合中的元素有0,2,3,5,7，共5个，故B正 3 确：因为-x-3= x+x-3 e(0,3],所以A∩B=1},故C正确；当Anxm<x<m+1}=☑时，m的取值范 围是(-o,-5]U[-4,-3]U[-2,0]U[1,2]U[3,+o),所以“A∩{xlm<x<m+1}=☑)”是“m∈[-4，-3]U [1,2]”的必要不充分条件，故D正确.故选BCD 11.【答案】BC(每选对1个得3分) 【解析】P(A)= 品4)-号 -答--是 -6P(BIA)号PBA)-号PKeA,) 7,P(B) P)Pra)4)rA)代名Pr-高号号号-号故A错误：B)P团e1. C2C3+C27 71919 故B正确：P(A,+A,)= CE0P（A,M,)P(B)=10X3550P(A+4,)B)=P(A,)P(B1A)+P(4)· 4 P(B1A2)= ,P(A+4,)B)≠P(A,+A)P(B),故C正确 29 P(BIA)7 4 P(BA) P(B4)143,P（B1A,)= P(A) 1934 1 P(B)-P(BA:)355X71P(B1A)2 4 1-P(A) 3 =1,3>1,故D错误故选BC 1 1- 2'P(B1A1)1- 5 2 12.【答案】-0.5（答案不唯一，(-0.6，-0.2]范围内的任意一个值都正确） 【解析】由相关系数的范围是[-1,1]，可得r<0,所以0<-r<+1.2≤1，所以-0.6<≤-02，所以r的一个值为0.5. 13.【答案】18 【解析】在椭圆C中，a2=25,b2=21,则c=√a-b=2.设左、右焦点分别为F,(-2,0),F2(2,0),故A就是右焦 点.由椭圆定义得|PF,+|PA=2a=10,即|PA|=10-|PF,l.又AB=3,则△PAB的周长L=|PA+PB|+ |AB=10-PF:+|PB+3=13+(|PB-|PF,I)≤13+|BF,=18,当P为BF,的延长线与C的交点时取等号， 故△PAB周长的最大值为18. 14.【答案】6151π}（第一空2分，第二空3分） 【解析】当点P在棱AB上时，设AP=x,则AP+PC,=AP+√PB+BC=x+√(5-x)2+(52)2=3+36,解得x=3, 同理可得在棱AD,AM,都存在符合条件的点P,由对称性，在棱C,C,C,B,C,D,上也都存在符合条件的点P.当 点P在BB,上时，将平面ABB,A,沿BB翻折至与平面BCC,B,共面，AP+PC,≥AC,=√AM+(A,B,+B,C,)下= √125>√63+60>√/63+186=3+36，所以棱BB1上不存在符合条件的点P,同理棱BA,AD1,BC,DC,DD1上 广东·高三数学第2页（共6页） 都不存在符合条件的点P,所以k=6.如图，记这6个点分别为P,P2,P3,P4,P5,P6,连接AC,取AC,的中点 O,则O到点P,P2,P,P4,P,P。的距离相等，符合条件的球只有一个球O,球O的半径R=OP1= 停引-写所以球0的表商积为4如=51 P 15.(1)解：因为C经过点P(2,-4),所以(-4)2=2印·2，(2分) 解得p=4,故C的方程为y2=8x.(5分) (2)证明：由已知及(1)知P(2,-4),F(2,0), 直线PF⊥x轴，所以Q(2,4),(8分) 设R(-2,o),由P,0,R共线得4 2-2 所以y。=4,(11分) 所以直线QR的斜率为0，即直线QR⊥y轴.(13分) 16.解：(1)这两组数据都是按照从小到大排列的， 所以20182025年中国机器人市场规模的中位数为236+2.90-=263.(3分) 2 因为60%×8=4.8， 所以自动驾驶市场规模的60%分位数是第5个数3.65.(6分) (2)2018~2025年中自动驾驶市场规模比机器人市场规模多800亿元以上的年份有2018年、2019年、2023年、 2024年共4个年份，(7分) 所以X的可能取值分别为0,1,2,3，(8分) C41 CC 3 P(X=0)=CP(x=I)= C7 CC 3 C2 1 PX=2)=C7P(X=3)-C412分 所以X的分布列为 0 2 (13分) 14 4 3 3 13 E(X)=0x74+1×7+2x7+3×42(15分) 广东·高三数学第3页（共6页） 17.(1)证明：如图1，取AB的中点E,连接DE,PE, 由三棱锥P-ABD是正三棱锥，可得DA=DB,PA=PB, 所以DE⊥AB,PE⊥AB,(2分) 因为DE∩PE=E,DE,PEC平面PDE,所以AB⊥平面PDE,(3分) 因为PDC平面PDE,所以PD1AB,(5分) 因为在平行四边形ABCD中AB∥DC, 所以PD⊥DC.(7分) (2)解：解法一：在线段DE上取点O,使得DO=2OE,连接OP,则OP为三棱锥P-ABD的高，以0为原点，直线 OE为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴建立如图1所示的空间直角坐标系.(8分) 因为△ABD是边长为25的正三角形，所以OE=1,OD=2,设OP=h, 则B(1,5,0),C(-2,23,0),D(-2,0,0),P(0,0,h),(9分)》 所以P=(1,5,-h),P元=(-2,23，-h),P元=(-2,0，-h),(10分) 设平面PBC的法向量m=(x1,y,), m·P2=0,「x,+3y1ha=0, 则 即 m.p元=0，-2x,+23y1-z,=0, 取=1，得m5,11分) 设平面PDC的法向量n=(x2,2,2), n·P元=0，「-2x2-h2=0, 则 即 .P元=0,1-2x+23y,-h,=0, 取=1，得n10,)(2分) 设平面PBC与平面PDC的夹角为0， 8 m·n 1 则c0s0= mn (13分)》 .16.46 4 1+ 解得h2=5或14，(14分) 所以PA=|P71=√4+h=3或32.(15分) 图1 广东·高三数学第4页（共6页） 解法二：由(1)得PD1DC, 由已知可得△PBC≌△PDC, 如图2，作DF⊥PC于F,连接BF,则BF⊥PC,(9分) 所以∠BFD或其补角为平面PBC与平面PDC的夹角，(10分) 设PA=a,在△PCD中，PD=a,CD=25, 所以PC=√PD2+CD=√a2+12,(11分)》 所以BF=DF-PD CD-25a,(12分) PC √a2+12 因为BD=23, 24a2 -12 所以cOs∠BFD= BF2+DF2-BD2 a2+12 2BF·DF 24a2 2=哈4分 2a2 a2+12 解得a=3或32.(15分) D B 图2 18(1)证明：因为4-+4， n 2n+4。 所以Sni=S.+d1= -Sn,(2分) Sm 所以(n+1)(n+2) n(n+1),(4分) =2· -号1.6分 又 所以数列$ n(n+1) 是首项为1、公比为2的等比数列.(6分) S. (2)解：由(1)得 (n+1) =1×2"-=2-1,5n=n(n+1)·2-1, 2-1 所以bn=n(n+1)· 3,(7分) 则或=a+0a2多aa1)-6a1学分 所以当n≤3时，bn+1-bn>0,bi>bn,当n=4时，b=b4,当n≥5时，bn1-bn<0,b1<b, 广东·高三数学第5页（共6页） 所以b1<b2<b3<b4=b5>b6>b>…,(11分) 所以数列么的最大值为6，=6,9（12分) (3)解：因为Sn=n(n+1)2-, 所以cn=n(n+1)(n+5)2l=n(n+1)[2(n+2)-(n-1)]2- =n(n+1)(n+2)2"-(n-1)n(n+1)2m-,(14分) 所以Tn=1×2×3×2-0+2×3×4×22-1×2×3×2+…+n(n+1)(n+2)2”-(n-1)n(n+1)2-1 =n(n+1)(n+2)2”.(17分) 19.(1)证明：因为定义域为R的f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x), 两边求导得-∫'(-x)=∫'(x),所以f'(-x)=∫'(x),(2分) 所以CAm={xf'(x)<f'(-m)={xl-∫'(x)>f'(-m) =xlf'(-x)>f'(m)xlf'(x)f'(m)=xl-xA.(4) (2)解：由f八x)=(x-2k)3-3(x-2k),xe[2k-1,2h+1),k∈Z, 得f'(x)=3(x-2k)2-3,xe[2k-1,2k+1),keZ,(5分) f'(x)是偶函数，且是周期为2的周期函数，且x∈[-1,1)时，f'(x)=3x2-3,(7分)》 因为智（号引， 所以由函数了()的单调性及对称性可得m的取值范围是24子，2水+号引4=Z(9分) (3)解：对任意m1,m2,当m1<m2时，有Am,二Am, 即m1<m2时∫'(m2)≥f'(m), 所以∫'(x)在任一区间上都不单调递减，(11分)》 设g(x)=f'(x),则g'(x)≥0. 因为f(x)=a'log,elog.e2-ax2,所以f'(x)=(n+2)(alog.e1-axl), 所以g'(x)=(n+1)(n+2)(a-ax)≥0，(12分) 当x≤0时，恒有g'(x)>0,(13分) 当x>0时，由g(x)≥0得a≥ax",即xna≥lna+nlnx, 即xna-lnx-lna≥0，(14分) 设h(x)=xlna-nnx-lna,则当0<a<1时，h(2)=lna-nln2<0,不满足题意，(15分) 当a>1时，k'(x)=na-n 当e0,时，A(e)0,A(x)单调速减，当后品。树时，A(✉)0,6()单调透增， n 所以a()≥4司) ≥0，又h(1)=0,(16分) 所以。1a=e 所以a的取值范围是e“(n为正奇数).(17分) 广东·高三数学第6页（共6页）