第二十五章 一元二次方程 期中复习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年第一学期九年级数学期中复习 第二十五章 一元二次方程检测卷 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是关于的一元二次方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】第一次降价后每件的售价为元，第次降价后每件的售价为元，即元，则列出的方程是故选C． 3.若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意可知：，， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 故选：． 先利用根与系数的关系得到，，再根据，求出，，即可求解． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 6.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示设矩形的一边长为米，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 【答案】C  7.设，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  8.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据题意得“和谐”方程的一个根为，“美好”方程的一个根为， 所以一元二次方程的根为和， 所以，解得，，所以故选B． 9.已知实数满足，则代数式的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  10.如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是(    ) A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为    ． 【答案】解：原方程可化为， 由题意，得，，解得，，． 故答案为． 12.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为    ． 【答案】  13.若，是关于的方程的两实数根，且，则的值为     ． 【答案】  14.若实数，分别满足，，且，则     ． 【答案】  15.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙墙长和长的围栏围成一个面积为的矩形场地，则矩形场地的边的长为            【答案】  16.某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值为          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分用适当的方法解下列方程： ． 【答案】 (1)解:配方,得-2x+=3+,=. 由此可得x-1=.=3,=-. (2)方程化为3-7x+2=. a=3,b=-7,c=2, =-4ac=-432=25>. 方程有两个不相等的实数根x===, 即=2,=. 18.本小题分 某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． 求第二季度的销售量 求第三、四季度的销售量的平均增长率． 【答案】 (1)解：(1-20%)=80%=50(万辆). 答:第二季度的销售量为50万辆; (2)设第三、四季度销售的平均增长率为x. 依题意,得50(1+x)+50=132, 解得==20%,=-(不合题意,舍去). 答:第三、四季度销售量的平均增长率为20%. 19.本小题分 已知是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 【答案】 (1)证明：由题意可知 Δ＝b2-4ac＝(a+3)2-4×1×(a+1)＝a2+6a+9-4a-4＝a2+2a+5＝(a+1)2+4＞0，  故方程总有两个不相等的实数根．  (2)解：由题意可知x1+x2＝-(a+3)，x1·x2＝a+1． ∵(x1-2)(x2-2)＝2， ∴x1·x2-2x1-2x2+4＝2， ∴x1·x2-2(x1+x2)+4＝2， ∴a+1-2[-(a+3)]+4＝2， 解得a＝-3． ∴实数a的值为-3．  20.本小题分 安微滁菊以“金蕊玉瓣”的独特品质广受青睐，名列“四大药菊”之首一苗木种植基地计划用一段长的篱笆围成一个矩形花圃，用于种植滁菊，如图，花圃的两边借助足够长的直角墙角，设花圃的长为． 若这个矩形花圃的面积为，求该花圃的长和宽 该苗木种植基地内有一棵石榴树，且这棵石榴树到两面墙，的距离分别为，，要想将这棵石榴树围在花圃内，则该花圃的面积是否可以为 【答案】 (1)花圃的长AB为xm, BC=(50-x)m. 根据题意,得x(50-x)=600, 解得x=20或x=. 又AB>BC,x=30, BC=50-x=50-30=20(m). 该花圃的长为30m,宽为20m (2)根据题意,得x(50-x)=625, 解得==. 这棵石榴树到两面墙AD,DC的距离分别为23m,12m,且23m<25m,12m<25m, 该花圃的面积可以为625. 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若是方程的一个根，则的值为          ； 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ； 当时，用配方法解方程； 若方程的两根，满足，求的值． 【答案】(1)  (2)且  (3)当时，方程为， ∴. ∴. 解得，.  (4)∵，， ∴. ∴（符合题意）.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学期中复习 第二十五章 一元二次方程检测卷 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若是关于的一元二次方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示设矩形的一边长为米，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 7.设，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.已知实数满足，则代数式的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 10.如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是(    ) A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为     ． 12.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为     ． 13.若，是关于的方程的两实数根，且，则的值为     ． 14.若实数，分别满足，，且，则      ． 15.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙墙长和长的围栏围成一个面积为的矩形场地，则矩形场地的边的长为      16.某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第个图中共有个棋子，则的值为    ． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分用适当的方法解下列方程： ． 18.本小题分某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． 求第二季度的销售量 求第三、四季度的销售量的平均增长率． 19.本小题分已知是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 20.本小题分 安微滁菊以“金蕊玉瓣”的独特品质广受青睐，名列“四大药菊”之首一苗木种植基地计划用一段长的篱笆围成一个矩形花圃，用于种植滁菊，如图，花圃的两边借助足够长的直角墙角，设花圃的长为． 若这个矩形花圃的面积为，求该花圃的长和宽 该苗木种植基地内有一棵石榴树，且这棵石榴树到两面墙，的距离分别为，，要想将这棵石榴树围在花圃内，则该花圃的面积是否可以为 21.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若是方程的一个根，则的值为          ； 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ； 当时，用配方法解方程； 若方程的两根，满足，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期九年级数学期中复习 第二十五章一元二次方程检测卷 (满分：100分，限时：90分钟) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若(m-3)xm-1-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为( A.3 B.-3 C.1 D.-1 【答案】B 2.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均 每次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是( A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96 C.150(1-x)2=96 D.150(1-2x=96 【答案】C 【解析】第一次降价后每件的售价为150(1-x元，第2次降价后每件的售价为150(1-x)(1 x)元，即150(1一x)2元，则列出的方程是150(1-×2=96.故选C. 3.若关于x的方程x2一x一m=0有实数根，则m的取值范围是( Am<号 B.m≤ C.m2- D.m>- 【答案】C 4.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=+b 的图象可能是( 【答案】B 第1页，共6页 5.已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的两个实数根是x1,2,且x1=2x2,则m的 值是( ) A.0 B.2 C.-1 D.1 【答案】A 【解析】解：由题意可知：x1+2=-3,1·2=m+2, X1=2x2, ÷.2x2+X2=-3, 解得：2=-1， 4X1=2X2=-2, (-2)×(-1)=m+2, 解得：m=0, 故选：A 先利用根与系数的关系得到X1+X2=-3,X1·=m+2,再根据x1=2x2,求出x1=-2,x2= -1,即可求解. 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关 键. 6.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围 墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示设矩形的一边长为x米，根据 题意可列方程( A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 【答案】c 7.设a,b是方程x2+x-2025=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( A.2024 B.-2024 C.2026 D.-2026 【答案】A 8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为 “和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方 第2页，共6页 程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+x+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方 程，则mn的值为( A.2 B.0 C.-2 D.3 【答案】B 【解析】根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1， 所以一元二次方程2x2+mx+n=0的根为1和-1， 所以2+m+n=0,2-m+n=0,解得m=0,n=-2,所以mn=0.故选B. 9.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值为( A.7 B.-1 C.7或-1 D.-2或1 【答案】A 10.如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE=AB=3,AD=4,则方程x2+6x-16=0 的正数解是( A. 线段AE的长 B.线段BE的长C.线段CE的长D.线段AC的长 【答案】C 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,则+的值 为 【答案】解：原方程可化为ax2-(2a-b)x+a-b+c=0, 由题意，得a=2k,2a-b=3k,a-b+c=-k.解得a=2k,b=k,c=-2k. “出=一号故答案为- 2 12.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根，则该菱形 ABCD的周长为 【答案】24 13.若a, B是关于×的方程x-2x+m=0的两实数根，且时+信=-系 则m的值 为 【答案】-3 第3页，共6页 14.若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+5 【答案】月 15.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙长9）和18m长的围栏围成一个面积为 40m2的矩形场地，则矩形场地的边AB的长为 m. B 【答案】5 16.某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律将一些棋子按如图所示的规律摆放，若 第n个图中共有115个棋子，则n的值为 ●0 0000 ●00 第1个图第2个图第3个图第4个图… 【答案】10 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)用适当的方法解下列方程： (1)x2-2x=3; (2)x(3x-7)=-2. 【答案】 (1)解：配方，得x2-2x+12=3+12,(x-1)2=4. 由此可得x-1=士2.1=3,2=-1. (2)方程化为3x2-7x+2=0. a=3,b=-7,c=2, .△=b2-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0. 方程有两个不相等的实数根xbDe1±V云745 2a 2×36 即x12,X号 18.(本小题10分) 某品牌汽车第一季度的销售量为62.5万辆，第二季度的销售量下降了20%，经销商从第三季度 起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了132万辆. (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率. 第4页，共6页 【答案】 (1)解：62.5×(1-20%)=62.5×80%=50（万辆）. 答：第二季度的销售量为50万辆： (2)设第三、四季度销售的平均增长率为x. 依题意，得50(1+x)+50(1+x)2=132, 解得x1=0.2=20%,x2=-3.2(不合题意，舍去). 答：第三、四季度销售量的平均增长率为20%. 19.(本小题10分) 已知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的两个实数根分别为x1,2,且(x1-2)(x2-2)=2,求实数a的值. 【答案】 (1)证明：由题意可知 △=b-4ac=(a+3)2-4×1×(a+1)=a'+6a+9-4a-4=a'+2a+5=(a+1)2+4>0, 故方程总有两个不相等的实数根， (2)解：由题意可知x1+x=-(a+3),x1·x2=a+1. ,(x-2)(x2-2)=2, .x1·X22x1-2x+4=2, .X1·X-2(X1+x)+4=2, ∴.a+1-2[-(a+3)]+4=2, 解得a=-3. ∴.实数a的值为-3. 20.(本小题10分) 安微滁菊以“金蕊玉瓣”的独特品质广受青睐，名列“四大药菊”之首.一苗木种植基地计划用一 段50m长的篱笆围成一个矩形花圃，用于种植滁菊，如图，花圃的两边借助足够长的直角墙 角，设花圃的长AB为m(AB≥BC. B (1)若这个矩形花圃的面积为6002，求该花圃的长和宽； 第5页，共6页 (2)该苗木种植基地内有一棵石榴树，且这棵石榴树到两面墙AD,DC的距离分别为23， 12m,要想将这棵石榴树围在花圃内，则该花圃的面积是否可以为625m2? 【答案】 (1)花圃的长AB为xm, BC=(50-x)m. 根据题意，得x(50-x)=600, 解得x=20或x=30. 又AB>BC,x=30, BC=50-x=50-30=20(m). …该花圃的长为30m,宽为20m (2)根据题意，得x(50-x)=625, 解得x1=225, :这棵石榴树到两面墙AD,DC的距离分别为23m,12m,且23m<25m,12m<25m, 该花圃的面积可以为625m2. 21.(本小题12分) 已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0. (1)若x=一1是方程的一个根，则k的值为 (2)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 (3)当k=1时，用配方法解方程： (4)若方程的两根x1,2满足(1+1)(2+1)=2，求k的值. 【答案】(1片 2)k>-且k≠0 (3)当k=1时，方程为x2-6x-5=0, .x2-6x+9=5+9. .(x-3)2=14. 解得x1=3+√14，x2=3-√14 (④“%+为=栏%=曾 (x+106x+)=xx2+x++1=2++1=2 k=1(符合题意). 第6页，共6页2026-2027学年第一学期九年级数学期中复习 第二十五章一元二次方程检测卷 (满分：100分，限时：90分钟) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.若(m一3)xm-1-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为( A.3 B.-3 C.1 D.-1 2.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均 每次降价的百分率为x,根据题意，所列方程正确的是( ) A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96 C.150(1-x)2=96 D.150(1-2x)=96 3.若关于x的方程x2-x-m=0有实数根，则m的取值范围是( Am<月 B.m≤ c.m2- D.m>- 4.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=x+b 的图象可能是( 5.己知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的两个实数根是x1,x2,且x1=2x2,则m的 值是( A.0 B.2 C.-1 D.1 6.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围 墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示设矩形的一边长为x米，根据 题意可列方程( ) A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 7.设a,b是方程x2+x-2025=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( A.2024 B.-2024 C.2026 D.-2026 第1页，共4页 8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为 “和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方 程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+ⅸ+n=0既是“和谐”方程又是“美好”方 程，则mn的值为() A.2 B.0 C.-2 D.3 9.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0,则代数式x2-x+1的值为( ) A.7 B.-1 C.7或-1 D.-2或1 10.如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，AE=AB=3,AD=4,则方程x2+6x-16=0 的正数解是( A A.线段AE的长 B.线段BE的长C.线段CE的长D.线段AC的长 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,则的值 为 12.若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根，则该菱形 ABCD的周长为 13.若a,6是关于x的方程x2-2x+m=0的两实数根，且片+日=-子 则m的值 为 14.若实数ab分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+日= 15.如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙长9）和18m长的围栏围成一个面积为 40m的矩形场地，则矩形场地的边AB的长为 _m. 墙 B 第2页，共4页 16.某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律将一些棋子按如图所示的规律摆放，若 第n个图中共有115个棋子，则n的值为 0● 000 0900 第1个图第2个图第3个图第4个图… 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)用适当的方法解下列方程： (1)x2-2x=3; (2)x(3x-7)=-2. 18.(本小题10分)某品牌汽车第一季度的销售量为62.5万辆，第二季度的销售量下降了20%， 经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了 132万辆. (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率. 19.(本小题10分)已知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的两个实数根分别为x1,2,且(x1-2)(x2-2)=2,求实数a的值. 第3页，共4页 20.(本小题10分) 安微滁菊以“金蕊玉瓣”的独特品质广受青睐，名列“四大药菊”之首.一苗木种植基地计划用一 段50m长的篱笆围成一个矩形花圃，用于种植除菊，如图，花圃的两边借助足够长的直角墙 角，设花圃的长AB为m(AB≥BC). (1)若这个矩形花圃的面积为600，求该花圃的长和宽； (2)该苗木种植基地内有一棵石榴树，且这棵石榴树到两面墙AD,DC的距离分别为23， 12m,要想将这棵石榴树围在花圃内，则该花圃的面积是否可以为625m2? C B 21.(本小题12分) 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+4)x+k-6=0. (1)若x=-1是方程的一个根，则k的值为 (2)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 (3)当k=1时，用配方法解方程： (4)若方程的两根x1,2满足(X1+1)(&2+1)=2,求k的值. 第4页，共4页