期中培优：二次函数中的线段周长问题、二次函数中的面积问题专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中培优：二次函数中的线段周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 期中培优：二次函数中的线段周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 考点目录 二次函数中的线段周长问题 二次函数中的面积问题 考点一 二次函数中的线段周长问题 例1．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一动点，当的值最小时，求此时的坐标； (3)若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点的坐标． 例2．（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知抛物线经过点，且经过直线与轴的交点及与轴的交点． (1)求抛物线的解析式． (2)求抛物线的顶点坐标． (3)若点在第四象限内的抛物线上，且，垂足为，则点的坐标为________． (4)在对称轴上找一点，使的值最小，则最小值是________． 例3．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 变式1．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)________（用含b的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 变式2．（25-26九年级下·河北保定·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．直线交轴于点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，轴，交于点．当的周长取得最大值时，求点的坐标和的周长的最大值； 考点二 二次函数中的面积问题 例1．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值． 例2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 例3．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）已知抛物线与轴交于，，与轴交于，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线只有一个公共点，试求的面积． 变式2．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 变式3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：二次函数中的线段周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 期中培优：二次函数中的线段周长问题、二次函数中的面积问题专项训练 考点目录 二次函数中的线段周长问题 二次函数中的面积问题 考点一 二次函数中的线段周长问题 例1．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一动点，当的值最小时，求此时的坐标； (3)若点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，当点是的三等分点时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由于二次函数的对称轴垂直平分，从而得到，所以最小即为最小，点落在直线上，利用待定系数法求出直线的解析式，再代入对称轴即可求出点的坐标； （3）设，则，然后分情况讨论点是的三等分点，即或，分别计算求出，再代入点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点， ， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：连接， 点是抛物线对称轴上的一个动点， ， ， 当三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为， 设直线的解析式为， 将，分别代入，得 ， 解得 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 点坐标为． （3）解：由（2）知，直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得，（不符合题意，舍去）或，（不符合题意，舍去）． 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 例2．（26-27九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知抛物线经过点，且经过直线与轴的交点及与轴的交点． (1)求抛物线的解析式． (2)求抛物线的顶点坐标． (3)若点在第四象限内的抛物线上，且，垂足为，则点的坐标为________． (4)在对称轴上找一点，使的值最小，则最小值是________． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出B、C坐标，再把A、B、C坐标代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）把（1）所求解析式化为顶点式即可解答； （3）如图：过点D作轴于E，先求出，得到，再说明是等腰直角三角形，易得，求出直线解析式为，联立求解即可； （4）先说明抛物线对称轴直线为，如图：作点O关于对称轴直线的对称点，则，连接，易得当三点共线时，的值最小，最小值为，再利用两点间距离公式求得当三点共线时，的值最小，最小值为即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， 把，代入中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． （3）解：如图，过点D作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为D， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不合题意舍去）， ∴． （4）解∶∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴直线为， 如图：作点O关于对称轴直线的对称点，则，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴在对称轴上找一点，使的值最小，则最小值是5． 例3．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为4 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答； （3）求出平移后的线段的端点坐标，再结合函数图象解答即可； 【详解】（1）解：将、代入，得方程组：， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， 代入、得：， 解得：， 即直线的解析式为：， 设， ∵轴， ∴， ∵在上方， ∴ ∵， ∴当时，． （3）解：∵直线的解析式为：， ∴方向为横、纵坐标均每单位增加， 设线段与平移后的线段为（的对应点分别为）， ∵沿射线向上平移，原平移后横坐标为， ∴、， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 画图如下： 结合图象可得，若线段与抛物线无交点，则或． 变式1．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)________（用含b的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点、的坐标，即可获得答案； ②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式， 得，即； （2）解：①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，有点，如图， ， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ； ②将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ， 若，即点在轴右侧，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得， ； 若， 令， 解得，， 故当时，抛物线与直线的交点在轴右侧或轴上，如图， 此时点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大恒成立； 若，抛物线与直线的交点在轴左侧和轴上，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得，不成立， 综上，或． 变式2．（25-26九年级下·河北保定·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点．直线交轴于点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，轴，交于点．当的周长取得最大值时，求点的坐标和的周长的最大值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题是二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，相似三角形、三角形周长等，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键． （1）利用待定系数法将 ，代入，即可求得答案； （2）先运用待定系数法求出的函数表达式，设 ，其中,根据点 E在直线上， 轴，可得出，再根据 即得到 的周长，再运用二次函数最值方法即可求出答案； 【详解】（1）解：由题意得 ∴ ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的解析式为，则 ∴． ∴直线的解析式为． 令，则，∴， 则在，中． ∵轴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当值最大时，最大． 设点，其中，∴ 则． ∴当时，的值最大，． ∴的最大值， 此时点． 考点二 二次函数中的面积问题 例1．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，抛物线的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由顶点式得到顶点坐标，结合求出点坐标，代入解析式求； （2）将坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出坐标，过作垂直于轴，，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴，即 ∵，且在轴负半轴， ∴ 把代入 得：， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点作轴于点，如图 将代入抛物线解析式，得 ， 即， 则． 例2．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知抛物线经过点和，且对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的另一个交点为点C，过线段上一点E，作轴，交抛物线于点F，求线段长度的最大值； (3)在抛物线上有一点P，满足的面积是24，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)线段长度的最大值为4； (3)点的坐标为和． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，再设，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）求得直线的解析式，过点P作竖直线(垂直x轴)，交直线于点Q，利用割补法列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由（1）知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴ ， ∵， ∴当时，线段的长度有最大值，最大值为4； （3）解：同（2）得直线的解析式为， 过点P作竖直线（垂直x轴），交直线于点Q， 设，则， 线段就是铅垂高，， 水平宽为， 由题意得， 解方程，得，； 解方程，整理得， ∵， ∴方程无实数解； ∴点的坐标为和． 例3．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)存在，点坐标为． (3)存在，点的横坐标为或或或． 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． （2）解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． （3）解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． 变式1．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）已知抛物线与轴交于，，与轴交于，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线只有一个公共点，试求的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立抛物线和直线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到判别式等于0，求出点坐标，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】（1）解：把，，代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令， 整理，得， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴，解得， ∴方程化为，直线的解析式为． 解得， ∴当时，， ∴， 令，解得， ∴， ∴， ∴的面积． 变式2．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，利用分割法表示出的面积，利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：把、代入，得： ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 连接，设， 则 ， ∴当时，的面积最大为1. 变式3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $