精品解析：山东省青岛市城阳区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度第一学期阶段质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题，第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共14小题，90分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数3.14，0，，，1.1010016…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列条件中，不能确定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 一个正方体的体积为35，估计这个正方体的棱长在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 下列各点在一次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （ ） A B. C. D. 1414 7. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 8. 计算所得结果是（ ） A. 3 B. C. D. 9. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是_________． 12. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的周长为 _____________． 13. 如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等． 七张桌面分开可组合成不同的图形． 如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为_______． 14. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是_____________． 15. 如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是_____________． 16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 三、解答题（本大题共6小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地面积是多少？ 19. 如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． （1）车站的坐标为 ； （2）现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； （3）在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山→孔雀园→车站，则这一总路线的长度为 单位长度． 20. 如图，五一假期，数学兴趣小组的同学来到城阳区澜湾艺术公园露营、放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 探究风筝离地面的垂直高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 活动过程 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米） 问题解决 （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 21. 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将这些点依次用线段连接起来． ，，． （1）观察得到的图形，它位于第 象限； （2）将上面各点的横坐标不变，纵坐标分别乘，按同样的方法将所得各点连接起来（画出符合题意的图形）． 所得图形与原图形的位置关系是 ； （3）在该平面内找一点P，使它到点A，O，C，B四个顶点距离之和最小，则点P的坐标为 ． 22. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 23. 【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： 以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究二： 以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： （1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； （2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究三： 长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【问题解决】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【实际应用】以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成 个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成 个互不重叠的小三角形． 24. 如图，一次函数的图象过点，，与x轴相交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求点O到直线的距离； （3）若直线l与直线平行，与y轴交于点P，且的面积等于的面积（点P与点O不重合），求直线l所对应的函数表达式． （4）在x轴取点Q，使得为等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第一学期阶段质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题，第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、解答题，共14小题，90分． 2.所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数3.14，0，，，1.1010016…（相邻两个1之间0个数逐次加1）中，其中无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握：无限不循环小数为无理数，整数和分数统称为有理数．据此判断即可．也考查了算术平方根． 【详解】解：， ∴无理数有，1.1010016…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），共2个 故选：B． 2. 下列条件中，不能确定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理；根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析判断即可． 【详解】解：A. 若，则有，则，故是直角三角形，该选项不符合题意； B. 若，设，则，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意； C. 若，设，，，则有，解得，则，，，故不是直角三角形，该选项符合题意； D. 若，则有， 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法和乘法运算，根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 一个正方体的体积为35，估计这个正方体的棱长在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算无理数的范围． 根据正方体的体积，求出正方体的棱长，估算的范围． 【详解】解：∵正方体的体积为35， ∴正方体的棱长为， ∵， ∴， 故选：B． 5. 下列各点在一次函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别将各个选项的横坐标代入求解． 【详解】把代入得，不在图像上，A选项错误； 把代入得，不在图像上，B选项错误； 把代入得，不在图像上，C选项错误； 把代入得，在图像上，D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系． 6. 观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （ ） A. B. C. D. 1414 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据得到y随x的增大而增大，比较判断选择即可． 【详解】解：∵点，都在直线上，且，， ∴y随x的增大而增大，， 故选：A． 8. 计算所得结果是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：； 故选C． 9. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 10. 如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键，先利用勾股定理求出的长度，再根据在数轴的正负半轴求解即可． 【详解】在中，，， ∴， ∵以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点， ∴这个点表示的实数是， 故选：B． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是_________． 【答案】0.1 【解析】 【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果． 【详解】解：根据算术平方根的定义可得：0.01的算术平方根为0.1； 故答案为：0.1． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键． 12. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的周长为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，由题意，数形结合，利用勾股定理得到截面长方形的长，进而由长方形周长公式得出答案，掌握勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，， 图①中截面的周长为， 故答案为：． 13. 如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等． 七张桌面分开可组合成不同的图形． 如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 14. 如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标的求法、点的对称等知识，先求出直线与轴的交点的坐标，再由点的对称性质求解即可得到答案，熟连掌握一次函数图象与性质、点的对称性质是解决问题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交于点， 当时，，解得，即， 点关于轴的对称点是， 故答案为：． 15. 如图，由20个边长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长度是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面展开—最短路径问题，涉及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据几何体画展开图，构建直角，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：将组合体展开，如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）4 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除混合运算，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算，再进行化简； （2）先转化为乘法，然后利用乘法分配律进行计算； （3）利用除法的性质进行计算； （4）利用乘法公式进行计算． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 18. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 19. 如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． （1）车站的坐标为 ； （2）现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； （3）在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山→孔雀园→车站，则这一总路线的长度为 单位长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，两点间距离公式，线段垂直平分线的判定，解题关键是根据已知条件，画出平面直角坐标系． （1）根据猴山的坐标确定坐标原点，然后根据坐标原点画出平面直角坐标系，观察就能得出答案； （2）可知小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点，即可求解； （3）根据两点间距离公式求出各路线长，再相加即可． 【小问1详解】 解：由题意得，建立平面直角坐标系，如图： ∴车站的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵小凉亭到猴山、大门、车站的距离都相等， ∴小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点， ∴小凉亭的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解：由坐标系得大门坐标为，虎山坐标为，而孔雀园坐标，车站的坐标，小凉亭的坐标 ∴大门到小游亭的距离为：，小游亭到虎山的距离为：，虎山到孔雀园的距离为：，孔雀园到车站的距离为：， ∴总路线的长度为：， 故答案为：． 20. 如图，五一假期，数学兴趣小组的同学来到城阳区澜湾艺术公园露营、放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 探究风筝离地面垂直高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 活动过程 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米） 问题解决 （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.5米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， 则米， ∴风筝离地面的垂直高度为9.5米． （2）如图，当风筝沿方向再上升12米时， ∴米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， ∴他应该再放出8米线． 21. 在平面直角坐标系中描出下列各点，并将这些点依次用线段连接起来． ，，． （1）观察得到的图形，它位于第 象限； （2）将上面各点的横坐标不变，纵坐标分别乘，按同样的方法将所得各点连接起来（画出符合题意的图形）． 所得图形与原图形的位置关系是 ； （3）在该平面内找一点P，使它到点A，O，C，B四个顶点的距离之和最小，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）作图见解析，一 （2）作图见解析，关于x轴对称 （3） 【解析】 【分析】（1）描出各点，再顺次连接即可，可确定在第一象限； （2）此时点的对应点为，，，顺次连接各点即可得到符合题意的图形，由横坐标不变，纵坐标变为相反数，则所得图形与原图形的位置关系是关于x轴对称， （3）先确定点P为与交点时，最小，求出直线的表达式，联立即可求解点P坐标． 【小问1详解】 解：描出点，顺次连接后如图： 由图可知，位于第一象限， 故答案为：一； 【小问2详解】 解：由题意得，此时点的对应点为，， 顺次连接后，如图： ∵对应点横坐标不变，纵坐标变为相反数，则所得图形与原图形的位置关系是：关于x轴对称， 故答案为：关于x轴对称； 【小问3详解】 解：如图： ∵， ∴， 当且仅当点P为与交点时，等号成立，如图： 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， 同理可求直线， ∴联立得， 解得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称变换，三角形的三边关系，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 22. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】（1）y与x之间的关系式为； （2）该车的剩余电量占“满电量”的． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 23. 【问题提出】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 【问题探究】为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： 以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究二： 以长方形的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： （1）点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； （2）点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 探究三： 长方形的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【问题解决】以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成 个互不重叠的小三角形． 【实际应用】以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成 个互不重叠的小三角形． 【拓展延伸】 以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成 个互不重叠的小三角形． 【答案】探究一：4；探究二：6；探究三：8；[问题解决]：；[实际应用]：4050；[拓展延伸]： 【解析】 【分析】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键． 探究一：根据图形可回答； 探究二：根据图形可回答； 探究三：根据图形可回答； 问题解决：由探究活动可得规律为，进而解决问题； 实际应用：把2024代入所得规律，求值即可； 拓展延伸：由四边形的规律可得m边形的规律． 【详解】解：探究一：以长方形的4个顶点和它内部的1个点（如图①），共5个点为顶点， 此时可把长方形分割成4个互不重叠的小三角形． 故答案为：4； 探究二：在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点，那么点的位置会有两种情况： 一种情况是，点在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点在上（如图②）； 另一种情况是，点在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点在△的内部（如图③）． 不管哪种情况，都可把长方形分割成6个互不重叠的小三角形． 故答案：6； 探究三：长方形的4个顶点和它内部的3个点、、，共7个点为顶点，可把长方形分割成8个互不重叠的小三角形．如图所示． 故答案为：8； [问题解决] 以长方形的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 所以，以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：． 故答案为：； [实际应用] 当时，， 以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成4050个互不重叠的小三角形． 故答案为：4050； [拓展延伸] 当内部1个点时，可以与m边形的m个顶点连接形成m个三角形，当内部有n个点时，相当于在m个三角形的基础上多出个三角形， ∴可把原m边形分割成个三角形． 故答案为：． 24. 如图，一次函数的图象过点，，与x轴相交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）求点O到直线的距离； （3）若直线l与直线平行，与y轴交于点P，且的面积等于的面积（点P与点O不重合），求直线l所对应的函数表达式． （4）在x轴取点Q，使得为等腰三角形，请你直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再根据勾股定理求得，再利用等面积法即可求解； （3）根据题意设直线l解析式为，然后求出，再利用铅锤法得，计算即可； （4）先求出，，，再根据等腰三角形的性质进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解： ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：令，则 ，即， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 设点O到直线的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点O到直线的距离为． 【小问3详解】 解：根据题意，设直线l解析式为，如图， ∴， 由题可得，， ∵面积等于的面积， ∴， 解得或0， ∵点P与点O不重合， ∴， ∴直线l所对应的函数表达式为． 【小问4详解】 解：设， 由点B、C、Q的坐标得，，，， 当时，则，则（舍）或3，即， 当时，则，则或，即或， 当时，则，则（舍），即， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用，涉及一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，铅锤法求三角形面积，勾股定理，熟练掌握一次函数的图形与性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$