2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中复习卷03
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内容正文：
苏科版 八年级数学 期中复习卷03
时间：120分钟 满分：130分
考试范围：（八上）三角形 （八下）因式分解、分式
班级：______________ 姓名：________________ 得分：___________________
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．代数式，，，中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．全等三角形的周长和面积不相等
3．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．6a3b＝3a2•2ab
C．a2+3a＝a（a+3） D．（x﹣4）（x+2）＝x2﹣2x﹣8
5．如图，已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADC，不能添加的条件是（ ）
A．CA平分∠DCB B．AC平分∠DAB C．∠B＝∠D＝90° D．BC＝CD
第5题 第6题 第7题 第8题
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数为（ ）
A．25° B．20° C．18° D．15°
7．如图，△ABC≌△DEC，∠B＝∠DEF＝90°，点B，E，C，F在一条直线上．已知AB＝10，DO＝4，BF＝21，BE＝6，则△OEC的面积为（ ）
A．24 B．27 C．32 D．48
8．如图，△ABC为等边三角形，△ADE为等腰三角形，其中∠AED＝120°，AE＝DE，且B，C，D在同一直线上．连接BE和CE．则以下结论中正确的个数为（ ）
①∠BAE+∠CDE＝180°；②BE为∠ABC的平分线；③AE＝CE；④∠ECD＝60°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．若分式有意义，则x的取值范围为 ________ ．
10．若分式的值为0，则x的值是 _____ ．
11．若x2+2（m﹣2）x+16是关于x的完全平方式，则m＝_________ ．
12．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4，若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 _______ ．
第12题 第15题 第16题
13．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是__________ ．
14．若关于x的分式方程的解为非正数，则a的取值范围是______________ ．
15．如图，直线m⊥n，垂足为点O，点A在直线n上，且OA＝3，点P是直线m上的一个动点，连接AP，将线段AP绕着点A按逆时针方向旋转120°得到线段AQ，点Q是点P的对应点，连接OQ，则OQ的最小值为__________________ ．
16．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：
①∠ABF＝45°； ②△AFG≌△BFE； ③AG+CE＝AC； ④BC＝BG+2GF．
正确的是 ________ ．（写出所有正确结论的序号）
三．解答题（共11小题，共82分）
17．（本题6分）因式分解：（1）x2﹣xy； （2）ax2﹣2ax+a．
18．（本题6分）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
19．（本题6分）解方程：．
20．（本题6分）如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BD的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F．
（2）连接DE，请判断线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
21．（本题7分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：△AEG为等腰三角形；
（2）若∠B＝30°，请判断△AEG的形状，并说明理由．
22．（本题7分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED 的高．
（1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝16，BD＝8，△ABC的面积为64，求EM的长．
23．（本题7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
24．（本题7分）如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求证：AE平分∠CAF；
（2）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积．
25．（本题10分）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，某施工队计划对一条长度为1200米的河道进行清淤施工，在完成了其中一段长度为240米的河道清淤后，由于清淤设备的升级，现每天完成清淤施工的河道长度是原计划的倍，因此，实际整个施工过程比原计划提前4天完成全部任务．该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为多少米？
26．（本题10分）阅读材料1：对于某些二次三项式ax2+bx+c，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．
例如：x2﹣4x﹣5＝（x2﹣4x+4）﹣9＝（x﹣2）2﹣32＝（x+1）（x﹣5）．
阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再进行组间的因式分解，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”．
例如：ax+bx+ay+by＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）．
根据上述两个材料，按要求完成下列问题：
（1）用“配方法”分解因式：x2﹣x﹣12；
（2）用“分组分解法”分解因式：a2﹣b2+2b﹣1．
27．（本题10分）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为“十字分式方程”，则x1＝_______ ，x2＝_______ ；
（2）若“十字分式方程”的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求代数式m3n+mn3的值；
（3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1、x2，其中k＞0，x1＞x2，求的值．
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苏科版 八年级数学 期中复习卷03
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．代数式，，，中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此逐一进行判断即可．
【解答】解：与的分母中均含有字母，是分式；
其余两个代数式的分母为常数、不含字母，不是分式。故这几个代数式中，分式共有2个，
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．全等三角形的周长和面积不相等
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定定理进行解答即可．
【解答】解：全等三角形是能够完全重合的两个三角形，其形状、大小完全相同，周长与面积分别相等。A．形状相同但边长不对应相等的两个三角形不能完全重合，故不全等，本选项错误；
B．面积相等的两个三角形形状和大小不一定相同，故不一定全等，本选项错误；
C．能够完全重合的两个三角形是全等三角形，本选项正确；
D．全等三角形的周长和面积分别相等，本选项错误；
故选：C．
3．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A．的分子、分母没有公因式，是最简分式，不符合题意；
B．的分子、分母没有公因式，是最简分式，不符合题意；
C．的分子、分母没有公因式，是最简分式，不符合题意；
D．，分子、分母有公因式2x+y，可以约分，不是最简分式，符合题意；
故选：D．
4．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．6a3b＝3a2•2ab
C．a2+3a＝a（a+3） D．（x﹣4）（x+2）＝x2﹣2x﹣8
【答案】C
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【解答】解：A．等式右边的不是整式，不符合因式分解“化成几个整式的积”的要求，不符合题意；
B．6a³b本身是单项式，不是由多项式化成的整式积，不符合题意；
C．等式左边是多项式，右边化为两个整式的积a（a+3），符合因式分解的定义，符合题意；
D．等式左边是两个整式的积，右边是多项式，这是整式乘法而非因式分解，不符合题意；
故选：C．
5．如图，已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADC，不能添加的条件是（ ）
A．CA平分∠DCB B．AC平分∠DAB
C．∠B＝∠D＝90° D．BC＝CD
【答案】A
【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC＝AC，具备了两组对应边对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】解：已知AB＝AD，AC为公共边，即已有两组对应边相等，再逐一添加条件判定：
A．添加CA平分∠DCB，即∠DCA＝∠BCA，此时为“两边及其中一边的对角”（SSA），不能判定△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
B．添加AC平分∠DAB，即∠DAC＝∠BAC，可由SAS判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
C．添加∠B＝∠D＝90°，可由HL判定Rt△ABC≌Rt△ADC，不符合题意；
D．添加BC＝DC，可由SSS判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数为（ ）
A．25° B．20° C．18° D．15°
【答案】C
【分析】由尺规作图可得CF⊥AB，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：由尺规作图可知，直线CF为线段AD的垂直平分线，
∴CF⊥AB于点F，即∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°。
又∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝54°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝54°﹣36°＝18°，
故选：C．
7．如图，△ABC≌△DEC，∠B＝∠DEF＝90°，点B，E，C，F在一条直线上．已知AB＝10，DO＝4，BF＝21，BE＝6，则△OEC的面积为（ ）
A．24 B．27 C．32 D．48
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质求出OE，EC，由三角形的面积公式即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∠B＝∠DEF＝90°，
∴AB＝DE＝10，BC＝EF。
∵点B，E，C，F在同一直线上，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，即BE＝CF＝6。
又∵DO＝4，BF＝21，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，EC＝BF﹣BE﹣CF＝21﹣6﹣6＝9。
∵∠DEF＝90°，即∠OEC＝90°，
∴S△OEC·OE·EC×6×9＝27，
故选：B．
8．如图，△ABC为等边三角形，△ADE为等腰三角形，其中∠AED＝120°，AE＝DE，且B，C，D在同一直线上．连接BE和CE．则以下结论中正确的个数为（ ）
①∠BAE+∠CDE＝180°；②BE为∠ABC的平分线；③AE＝CE；④∠ECD＝60°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据等边三角形和等腰三角形性质得∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝CB，AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝30°，再根据三角形外角性质得∠ACB＝∠CAD+∠CDA＝60°，进而得∠BAE+∠CDE＝180°，由此可对结论①进行判断；
②过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，EH⊥CD于点H，证明∠EAF＝∠CDE，进而依据“AAS”判定△EAF和△EDH全等得EF＝EH，再根据角平分线的性质即可对结论②进行判断；
③证明ABE和△CBE全等得AE＝CE，由此可对结论③进行判断；
④根据AE＝CE，AE＝DE得CE＝DE，则△ECD是等腰三角形，根据已知条件无法判定△ECD是等边三角形，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝CB。
∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB＝∠CAD+∠CDA＝60°。
∵△ADE为等腰三角形，∠AED＝120°，
∴AE＝DE。
∴∠EAD＝∠EDA＝（180°﹣120°）÷2＝30°。
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAD+∠EAD＝60°+∠CAD+30°＝90°+∠CAD，
而∠CDE＝∠CDA+∠EDA＝∠CDA+30°，
∴∠BAE+∠CDE＝90°+∠CAD+∠CDA+30°＝90°+60°+30°＝180°，
故结论①正确；
②过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，作EH⊥CD于点H，如图所示：
∴∠F＝∠EHD＝90°。
∵∠BAE+∠EAF＝180°，∠BAE+∠CDE＝180°，
∴∠EAF＝∠CDE。
在△EAF和△EDH中，
，
∴△EAF≌△EDH（AAS），
∴EF＝EH。
又∵EF⊥BA，EH⊥CD，
∴点E到∠ABC两边的距离相等，
即BE为∠ABC的平分线，
故结论②正确；
③∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE。
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
故结论③正确；
④∵AE＝CE，AE＝DE，
∴CE＝DE，
∴△ECD为等腰三角形。
只有当CD＝CE＝DE时，∠ECD＝60°，
而由已知条件无法判定CD＝CE＝DE，
即无法判定△ECD为等边三角形，
故结论④不正确。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
故选：C．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．若分式有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≠1
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：要使分式有意义，须满足分母不为零，
即x﹣1≠0，解得x≠1。故答案为：x≠1．
10．若分式的值为0，则x的值是 ．
【答案】2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，再利用分式有意义的条件，其分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：若分式的值为0，须同时满足分子为0且分母不为0，
即x²﹣4＝0且x+2≠0。
由x²﹣4＝0得x＝±2；由x+2≠0得x≠﹣2，
∴x＝2。故答案为：2．
11．若x2+2（m﹣2）x+16是关于x的完全平方式，则m＝ ．
【答案】﹣2或6．
【分析】直接利用完全平方式得出2（m﹣2）＝±8，进而求出答案．
【解答】解：∵x²+2（m﹣2）x+16是关于x的完全平方式，
而16＝4²，∴一次项系数2（m﹣2）＝±2×4＝±8，
解得m﹣2＝±4，即m＝﹣2或6。
故答案为：﹣2或6．
12．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4，若△ABC的周长是17，则△ABC的面积为 ．
【答案】34．
【分析】首先过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，由角平分线的性质得OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，然后由三角形的面积公式分别求出S△OAB＝2AB，S△OBC＝2BC，S△OAC＝2AC，由此可得S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝2（AB+BC+AC），最后再根据△ABC的周长是17得AB+BC+AC＝17，据此即可求出△ABC的面积．
【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，如图：
∵点O为△ABC两条角平分线的交点，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB。
又∵OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OD＝4，
∴由角平分线的性质得OE＝OD＝4，OF＝OD＝4。
∴S△OAB·AB·OF＝2AB，S△OBC·BC·OD＝2BC，S△OAC·AC·OE＝2AC，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝2（AB+BC+AC）。
∵△ABC的周长是17，
∴AB+BC+AC＝17，
∴S△ABC＝2×17＝34．
13．已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是 ．
【答案】等腰三角形．
【分析】由三角形三边关系定理得到11＜x＜15，由x为奇数，得到x＝13，即可判定这个三角形的形状．
【解答】解：由三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
得13﹣2＜x＜13+2，即11＜x＜15。
∵x为奇数，
∴x＝13。
∴三角形三边长为2，13，13，是等腰三角形。
故答案为：等腰三角形．
14．若关于x的分式方程的解为非正数，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥0.5且a≠1．
【分析】将原方程去分母后解得x的值，再根据题意列得关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：原方程两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母，
得a（x+1）+（x²﹣1）＝x²+ax﹣x﹣a，整理得x＝1﹣2a。
∵原方程的解为非正数，
∴1﹣2a≤0，且1﹣2a≠±1（须保证原分母不为零），
由1﹣2a≤0得a≥0.5；由1﹣2a≠±1得a≠0且a≠1。
综上，a≥0.5且a≠1。故答案为：a≥0.5且a≠1．
15．如图，直线m⊥n，垂足为点O，点A在直线n上，且OA＝3，点P是直线m上的一个动点，连接AP，将线段AP绕着点A按逆时针方向旋转120°得到线段AQ，点Q是点P的对应点，连接OQ，则OQ的最小值为 ．
【答案】．
【分析】由题可识别瓜豆模型，从而先找出点Q的轨迹，将OA绕点A逆时针旋转120°得到线段AM，连接MQ，易证△AOP≌△AMQ（SAS），可得点Q在直线KL上运动，当OQ⊥KL时有最小值，据此求解即可．
【解答】解：∵直线m⊥n，垂足为点O，
∴∠AOP＝90°。
如图，将OA绕点A按逆时针方向旋转120°得到线段AM，连接MQ，
作直线MQ，交直线n于点K，交直线m于点L。
由旋转的性质，AP＝AQ，AO＝AM＝3，∠PAQ＝∠OAM＝120°，
∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠OAM﹣∠OAQ，即∠OAP＝∠MAQ。
在△AOP和△AMQ中，由SAS可证△AOP≌△AMQ，
∴∠AMQ＝∠AOP＝90°，即AM⊥MQ。
∵∠OAM＝120°，∴∠MAK＝180°﹣120°＝60°。
在Rt△AMK中，∠AMK＝90°，∠MAK＝60°，
∴∠AKM＝30°。
∴点Q在直线KL上运动。由“垂线段最短”，当OQ⊥KL时，OQ取得最小值。
在Rt△AMK中，AM＝3，∠AKM＝30°，∴AK＝2AM＝6，
∴OK＝OA+AK＝3+6＝9。
在Rt△OQK中，OK＝9，∠OKQ＝30°，
∴OQOK，即OQ的最小值为；
故答案为：．
16．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：
①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；
③AG+CE＝AC；④BC＝BG+2GF．
正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②③．
【分析】由BF⊥AE于点F，得∠AFB＝90°，而AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAF＝45°，可判断①正确；由AD⊥BC于点D，得∠ADE＝90°，则∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，即可根据“ASA”证明△AFG≌△BFE，可判断②正确；因为AG＝BE，所以AG+CE＝BE+CE＝BC，由∠GAF＝∠CAE，得∠EBF＝∠CAE，推导出∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，则BC＝AC，所以AG+CE＝AC，可判断③正确；延长BF交AC于点L，可证明△AFG≌△AFL，则GF＝LF，所以BL＝BG+2GF，由∠BLC＝∠AFL+∠LAF＞90°，得BC≠BL，所以BC≠BG+2GF，可判断④错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：①∵BF⊥AE于点F，
∴∠AFB＝90°。
又∵AF＝BF，
∴△ABF为等腰直角三角形，∠ABF＝∠BAF＝45°，
故①正确；
②∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC于点D，即∠ADE＝90°，
∴∠AFG＝∠BFE＝90°，
∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB。
在△AFG和△BFE中，
，
∴△AFG≌△BFE（ASA），
故②正确；
由②得AG＝BE，
∴AG+CE＝BE+CE＝BC。
③∵AE平分∠CAD，
∴∠GAF＝∠CAE，
∴∠EBF＝∠CAE，
∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，
∴BC＝AC，
∴AG+CE＝AC，
故③正确；
④延长BF交AC于点L，则∠AFG＝∠AFL＝90°，∠GAF＝∠LAF。
在△AFG和△AFL中，
，
∴△AFG≌△AFL（ASA），
∴GF＝LF，
∴BL＝BG+LG＝BG+2GF。
∵∠BLC＝∠AFL+∠LAF＝90°+∠LAF＞90°，
∴∠BLC＞∠C，
∴BC≠BL，
∴BC≠BG+2GF，
故④错误。
故答案为：①②③．
三．解答题（共11小题，共82分）
17．（本题6分）因式分解：
（1）x2﹣xy；
（2）ax2﹣2ax+a．
【答案】（1）x（x﹣y）；（2）a（x﹣1）2．
【分析】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x·x﹣x·y＝x（x﹣y）；
（2）原式＝a（x²﹣2x+1）＝a（x﹣1）²．
18．（本题6分）先化简代数式，再从2，﹣2，1，﹣1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【解答】解：原式
·
∵要使原式有意义，须满足a+2≠0，a﹣2≠0，a﹣1≠0，
∴a不能取2，﹣2，1，只能取﹣1。
当a＝﹣1时，原式．
19．（本题6分）解方程：．
【答案】无解．
【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边同乘最简公分母（x+1）（x﹣1），去分母得（x+1）²﹣4＝（x+1）（x﹣1），
展开整理得x²+2x+1﹣4＝x²﹣1，解得x＝1。
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，故x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解。
20．（本题6分）如图，已知△ABC．
（1）利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）
①作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
②作线段BD的垂直平分线分别交AB、BC于点E、F．
（2）连接DE，请判断线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用角平分线的作法以及结合线段垂直平分线的画法得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）DE＝BF。
理由如下：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC。
∵EF垂直平分BD，设垂足为O，
∴OB＝OD，BE＝DE。
由BE＝DE得∠ABD＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠EDB。
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴DE＝BF．
21．（本题7分）如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G．
（1）求证：△AEG为等腰三角形；
（2）若∠B＝30°，请判断△AEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析。
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ECB，再根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，从而可得∠B+∠BAD＝90°，∠ECB+∠CGD＝90°，进而可得∠BAD＝∠CGD，然后根据对顶角相等可得∠CGD＝∠AGE，从而可得∠BAD＝∠AGE，再根据等角对等边可得EA＝EG，即可解答；
（2）先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BAD＝60°，再利用（1）的结论即可解答．
【解答】解：（1）证明：∵BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB。
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠ECB+∠CGD＝90°，
∴∠BAD＝∠CGD。
又∵∠CGD＝∠AGE（对顶角相等），
∴∠BAD＝∠AGE，
∴EA＝EG（等角对等边），
即△AEG为等腰三角形。
（2）解：△AEG是等边三角形。
理由：∵∠B＝30°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°。
又∵EA＝EG，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴△AEG是等边三角形。
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22．（本题7分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED 的高．
（1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝16，BD＝8，△ABC的面积为64，求EM的长．
【答案】（1）30°；（2）．
【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ABE＝15°，再根据角平分线的定义即可解答；
（2）由三角形中线的性质可得△ABD的面积为32，再根据角平分线的性质可得NE＝ME，再根据S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝32列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°。
∵BE为△ABD的角平分线，
∴∠ABD＝2∠ABE＝30°。
（2）∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝½S△ABC＝32。
∵BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB于N，EM⊥BD于M，
∴由角平分线性质NE＝ME，且S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝32，得
将AB＝16，BD＝8，NE＝ME代入上式，
，解得．
23．（本题7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见解析；（2）20°．
【分析】（1）由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由SAS可证明△ADE≌△ADF；
（2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝70°，则可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD。
由作图知AE＝AF（同圆半径相等）。
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）。
（2）解：∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD∠BAC＝40°。
由作图知AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形，∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE（180°﹣40°）＝70°。
又∵AB＝AC，AD为角平分线，
由等腰三角形“三线合一”得AD⊥BC，即∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．
24．（本题7分）如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求证：AE平分∠CAF；
（2）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△ABE的面积为15．
【分析】（1）作EL⊥AC于点L，EM⊥BA交BA的延长线于点M，由∠ABC的平分线交AD于点E，EH⊥BD于点H，得EM＝EH，∠CHE＝90°，而∠CEH＝50°，求得∠DCE＝40°，由∠ACB＝100°，求得∠ACD＝80°，则∠ACE＝∠DCE＝40°，则EL＝EH，所以EM＝EL，即可证明AE平分∠CAF．
（2）由S△ACDAC•ELCD•EH＝24，且EL＝EH＝EM，得AC•EMCD•EM＝24，因为AC+CD＝16，所以16EM＝24，求得EM＝3，而AB＝10，则S△ABEAB•EM＝15．
【解答】解：（1）证明：过点E作EL⊥AC于点L，作EM⊥BA交BA的延长线于点M。
∵BE平分∠ABC，EH⊥BD，EM⊥BM，
∴EM＝EH，∠CHE＝90°。
∵∠CEH＝50°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°。
∵∠ACB＝100°，且B，C，D在同一直线上，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝80°﹣40°＝40°＝∠DCE，
即CE平分∠ACD。
∵EL⊥AC，EH⊥CD，
∴EL＝EH，∴EM＝EL，
∴点E到∠CAF两边的距离相等，
即AE平分∠CAF。
（2）解：S△ACD＝S△ACE+S△DCE·AC·EL·CD·EH＝24，且EL＝EH＝EM，
∴·AC·EM·CD·EM＝24，
即·EM·（AC+CD）＝24。
∵AC+CD＝16，
∴×16·EM＝24，
∴EM＝3。
又∵AB＝10，
∴S△ABE·AB·EM×10×3＝15，
即△ABE的面积为15．
25．（本题10分）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，某施工队计划对一条长度为1200米的河道进行清淤施工，在完成了其中一段长度为240米的河道清淤后，由于清淤设备的升级，现每天完成清淤施工的河道长度是原计划的倍，因此，实际整个施工过程比原计划提前4天完成全部任务．该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为多少米？
【答案】60米．
【分析】设该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为x米，由题意：在完成了其中一段长度为240米的河道清淤后，由于清淤设备的升级，现每天完成清淤施工的河道长度是原计划的倍，因此，实际整个施工过程比原计划提前4天完成全部任务．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为x米，则设备升级后每天完成（4/3）x米。
原计划总天数为1200/x，实际施工天数为240/x+（1200﹣240）/（4/3 x），由“实际比原计划提前4天”得
解得x＝60。
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意。
答：该施工队原计划每天完成清淤施工的河道长度为60米。
26．（本题10分）阅读材料1：对于某些二次三项式ax2+bx+c，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．
例如：x2﹣4x﹣5＝（x2﹣4x+4）﹣9＝（x﹣2）2﹣32＝（x+1）（x﹣5）．
阅读材料2：对于某些四项的多项式，我们可以先按“1项加3项”或“2项加2项”的方式进行分组，然后分别在组内进行因式分解，再进行组间的因式分解，从而完成整个多项式的因式分解，这种分解因式的方法叫“分组分解法”．
例如：ax+bx+ay+by＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）．
根据上述两个材料，按要求完成下列问题：
（1）用“配方法”分解因式：x2﹣x﹣12；
（2）用“分组分解法”分解因式：a2﹣b2+2b﹣1．
【答案】（1）（x﹣3）（x﹣4）；（2）（a+b﹣1）（a﹣b+1）．
【分析】（1）将x2﹣x﹣12三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将原式分组为a2﹣（b﹣1）2，然后利用平方差分解因式．
【解答】解：（1）用配方法分解x²﹣x﹣12：
＝（x）²
＝（x）²﹣（）²
＝[（x）][（x）]
＝（x+3）（x﹣4）；
（2）用分组分解法分解a²﹣b²+2b﹣1：
＝a²﹣（b²﹣2b+1）
＝a²﹣（b﹣1）²
＝（a+b﹣1）（a﹣b+1）．
27．（本题10分）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝1，x2＝3．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为“十字分式方程”，则x1＝ ﹣3 ，x2＝ ﹣2 ；
（2）若“十字分式方程”的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求代数式m3n+mn3的值；
（3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为x1、x2，其中k＞0，x1＞x2，求的值．
【答案】（1）﹣3；﹣2；（2）﹣70．（3）．
【分析】（1）依据题意，可化为x（﹣3）+（﹣2），结合为“十字分式方程”，从而可以判断得解；
（2）依据题意，由“十字分式方程”的两个解分别为x1＝m，x2＝n，则mn＝﹣5，m+n＝﹣2，结合m3n+mn3＝mn（m2+n2）＝mn[（m+n）2﹣2mn]，从而代入计算可以得解；
（3）依据题意，“十字分式方程”可化为x﹣13k+k+1，又“十字分式方程”的两个解分别为x1、x2，其中k＞0，x1＞x2，可得x1﹣1＝k+1，x2﹣1＝﹣3k，从而x1＝k+2，x2＝﹣3k+1，进而代入计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，可化为x（﹣3）+（﹣2），
又∵符合“十字分式方程”的形式，
∴x₁＝﹣3，x₂＝﹣2。
故答案为：﹣3；﹣2。
（2）由题意，的两个解为x₁＝m，x₂＝n，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2。
∴m³n+mn³＝mn（m²+n²）
＝mn[（m+n）²﹣2mn]
＝（﹣5）×[（﹣2）²﹣2×（﹣5）]
＝（﹣5）×14＝﹣70。
（3）由题意，可化为x﹣1（﹣3k）+（k+1），
∵的两个解为x₁，x₂，且k＞0，x₁＞x₂，
∴x₁﹣1＝k+1，x₂﹣1＝﹣3k，
即x₁＝k+2，x₂＝1﹣3k。
∴．
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