北京市朝阳区北京中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

初三年级数学学科试卷 满分100分 考试时间120分钟 学校： 班级： 姓名： 准考证号： 1. 本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟。 考 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号。 生 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 0 4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列图形中，绕着某个定点旋转180°能够和自身重合的图形是（) CASC A B. D 2.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标为（) A.(2,1) B.（2,-1) C.(-2,-1) D.(-2,1) 3.一元二次方程2x2-3=7x化为一般式ax2+bx+c=0后，若a=2则b的值为() A.-3 B.3 C.-7 D.7 4.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是() A.y=x+1 B.y=x2C.y=(x-4)2 D.y=1 X 5.用配方法解一元二次方程x2+4x-1=0时，将方程化为(x+m)2=n的形式，则的n值 为() A.1 B.2 C.3 D.5 6.将抛物线y=x2-3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线 的解析式是() A.y=(x-2)2B.y=(x+2)2C.y=(x+3)2-5 D.y=(x-3)2-1 7.如图，在正方形网格中，点P,2和△ABC,△DAE的顶点均在格 D 点上，将△ABC绕旋转中心旋转得到△DEA,则旋转中心是（ A.点A B.点B C.点P D.点O B 第1页（共8页） 8、如图，在平面直角坐标系x0中，点A是函数y=3x>0)图象上的动点，点B在x轴 上，OA=AB,以OA,OB为边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图象于点D,连接 AD,OD.给出下面四个结论： ①四边形AOBC不可能是菱形： y ②△AOD的面积始终等于3： ③点D可能是BC的中点： ④△AOD可能是直角三角形， 上述结论中，所有正确结论的序号是() B A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9.一元二次方程x2-4=0的解为 10.已知二次函数有最大值，写出一个满足条件的二次函数的解析式 1.在平面直角坐标系x0中，点(-1，)，(1，)(3，为)在反比例函数y=上 的图象上，比较y1,2,为的大小关系是 ·（用“<”把它们连接起来) 12.已知关于x一元二次方程x2+bx一3=0的一个根为1，则另一个根是 13.随着人工智能技术发展，某科技公司研发的智能服务机器人产能不断提升.2025年该公 司智能服务机器人年产量为500万台：2026年、2027年连续两年扩产，预计到2027年年产 量达到720万台.设2025年至2027年智能服务机器人年产量的年平均增长率为x,则根据 B 题意可以列方程为 14.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内， 将△ABC绕点A逆时针旋转a得到△AB'C',且C'C∥AB, A 则a的度数为 第14题图 yA 15.如图，抛物线y=-x2+4与x轴正半轴交于点A,点B为y轴 3 上一点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC,若点C恰 2 好落在抛物线上，则点C的坐标为。 1 A 3-19 -1 13 第15题图-2 第2页（共8页） 16.已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1，n),与y轴 的交点在点0,2,0,3)之间（包含端点D有下列结论：①2a+b=0:②-6a≤号 ③关于x的方程ax2+bx+c-n-1=0有两个不相等的实数根：④对于任意实数m, a(m2-1)+b(m-1)s0总成立.其中正确的结论有 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第2426题， 每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.解方程：x2+2x-1=0. 18.已知a是方程2x2-7x-1=0的一个根，求代数式4a2-14a+5的值. 19,己知二次函数y=x2+2x-3,并回答以下问题： (1)在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象： (2)当一4<x<0时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围： y 5 3 ---1---r-- 2 5 -4:-3-2-10 123:45 第3页（共8页） 20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是边AC上一点，连接BD,将△DCB绕 点C旋转得到△ECA,点E,C,B在同一条直线上，延长BD交AE于点F. (I)求∠BFE的度数： (2)若∠BDC=67.5°，求证：AB=EB. D B 21.在平面直角坐标系x0中，直线y=:+1(k≠0)与双曲线y=6(x>0)的交点是 A(a,3). (1)求a和k的值： (2)当x>3时，对于x的每个值，函数y=mx(m≠0)既大于函数y=(x>0)的值，又小于 函数y=c+1的值，直接写出m的取值范围. 4y 3引 43之立d士23 22.已知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若m<0,且该方程的两个实数根的差为3，求m的值 第4页（共8页） 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°， 得到线段CD,连接AD,BD. (1)依题意补全图形： (2)若BC=1,求线段BD的长. 24,小北同学计划为北中小舞台活动设计一幅长10寸、完9寸的创意画（图中阴影部分为 其示意图)，并制作一个摆台画框根据有关要求，画框的上、下边框宽度相等，左、右边框 宽度相等，上、下边框宽度是左、右边框宽度的2倍，若边框所占面积为创意画面积的；， 则摆台画框的左、右边框宽度应是多少？ 10 一9寸 第5页（共8页） 25.消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分、在某天的波练中，水 枪斜向上45喷水，水枪喷口置于原点O处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点 的竖直高度y单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+bx(a<0),如 图所示.设第一次出水的水柱的运动轨迹是y=ax2+bx:当水平距离x=20m时，水柱 达到最大高度y=10m. y 0 (1)求抛物线y的函数解析式. (2)将出水初速度由第一次的y(m/s)减小为第二次的y,(m/s),水柱的运动轨迹变为 2=a2x2+b2x. ①请判断引4a2(填写“>”“=”或“<”)；结合图象和初速度的大小关系，推测抛 物线的二次项系数的绝对值」α|与其所对应的出水初速度的平方v2之间满足 (填 写“正比例”或“反比例”)关系. ②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为v,当斜向上45° 喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：x= V2 2 vt:竖直方向做匀 变速运动，竖直高度与时间的关系：y=2, t- 2 28（其中g为重力加速度，g≈10m/s2 请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确.并据此计算y的值. 第6页（共8页) 26.在平面直角坐标系xO中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(0,0)顶点 坐标为(1，n). (I)求c的值，并用含a的式子表示b. (2)过点M(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点N.过点N作平行于x轴的直线，交一条过 原点的直线1于点H.已知直线1与抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为4.若点M从 点O运动到点B(2a,0)的过程中，线段H的长随OM的长增大而增大，求a的取值范 围 27.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a(0°<a<90°)，将线段CA绕点C逆时针旋 转90°一α得到线段CD,CD交AB于点E,作射线AD与CB的延长线交于点F. (1)求∠AFC的大小： (2)点G是线段CF中点（点G在点B左侧），点H在线段CG上，连接EH,当线段GH和 BF满足什么数量关系时，线段DF=V2EH,并证明. D 28.在平面直角坐标系xOy中，已知点M不与原点重合.对于点P给出如下定义：点P绕 着点M旋转180°得到对应点为P,点P'关于直线OM的对称点为2，称点g是点P关于 点M的“二次变换点”. 卫 5y 4 3 3 2 1 M 3-210 13 43之直 -1 -3 -21 (1)如图，已知点M(t,0),P(t+2,1),点2是点P关于点M的“二次变换点” ①当t=2时，在图中画出点Q的位置，并直接写出点Q的坐标： ②PQ的长度是否与t有关？若有关，说明理由，若无关，求P2的长 (2)已知点A(-3,4),△ABC是边长为2的等边三角形（点A,B,C按逆时针方向排列)， 点N是点B关于点C的“二次变换点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当BN最大时， 直接写出此时OB的长 初三年级数学学科参考答案 一、选择题（共16分，每题2分）. 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D B D 二、填空题（共16分，每题2分） 9.x1=-2,x2=2.10.y=-x2(答案不唯一） 11.1<3<y212.-3 13.500(1十x)2=720.14.40°15.（2,0)或13) 16.①②④ 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题， 每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解方程：x2+2x-1=0. a=1,b=2,c=-1--.- -1分 △=2-4c=22-4×1×(-1)=4+4=8- -3分 由求根公式：x=-b±B2-4c_2士V⑧ -4分 2a 2 ÷x=-1+V2,x=-1-√2 -5分 18.已知a是方程2x2-7x-1=0的一个根，求代数式4a2-14a+5的值. 解：a是方程2x2-7x-1=0的一个根， 2a2-7a-1=0, -2分 2ad2-7a=1, 4a-14a+5 =2(2a2-7at5---- -4分 =2+5=7. 5分 19 (1)图略.关键点正确，图形比较准确即可给满分 -3分 (2)-4y<5- --5分 第1页（共8页） 20.(1)解：，将△DCB绕点C旋转得到△ECA, ∴.△DCB≌△ECA ∴.∠DBC=∠EAC -1分 ,∠CDB=∠FDA, .∠ACB=∠AFB: ∠ACB=90°， ∴.∠AFB=90 .∠BFE=90°.- -3分 (2)证明：，△ECA≌△DCB, .∠ACE=∠ACB=90°，∠AEC=∠BDC .∠BDC=67.5°， .∠AEC=67.5°， -4分 .∠EAC=22.5° ,△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC, .∠BAC=45°， .∠BAE=∠AEB=67.5°， :AB=EB -- -5分 21.1双曲线y=(>0)过点4a3》 …1分 直线y=x+1过点A(2,3) =1… …2分 (2)2<m<1. …5分 3 22.(1)证明：，△=(2-m)2-4×1×(1-m)=m2≥0， -2分 .原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根， 即该方程总有两个实数根： -3分 (2)设方程的较大的实数根为x1,较小的实数根为x2,依题意得： x1-x2=3,x1+x2=-2,x1x2=1-l, -4分 .(x1-x2)2=32, x12-2x1x2+x22=9, x12+x22=9+2x1x2=9+2(1-1m)=11-2m, 第2页（共8页） ,(x1+x2)2=(m-2)2, .x12+2x1x2+x32=12-4+4, .11-2+2（1-m)=1m2-4叶4， 整理得：2=9， 解得：m=3或m=-3, -5分 ,m<0, .m=-3. -6分 23.解：(1)如图，即为补全的图形： -1分 D C (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ,∠BAC=30°，BC=1, ∴AB=2BC=2, ∴AC=√3， -3分 由旋转可知：∠DAC=60°，AD=AC=√3， .∠DAB=∠DAC+∠∠AC=90°， ∴BD=√AB2+AD2=√22+(W3)2=√7. -5分 24.解：设左右边宽度为x寸，则上下边宽度为2x寸-- -1分 (10+409+2)-10x9×(1+)- 3分 115 解得=2=-2 (舍) --5分 2 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸 第3页（共8页） 25.答案： (1)由题意，抛物线顶点为(20,10)，设y=a(x-20)2+10(a<0).--1分 又过点00,0)，代入得a=- 1 40 所以这条抛物线的解析式为y=一 (x-20)2+10.---2分 40 （或一般式答案：y=-x+x.) 40 (2)①<- --3分 反比例- -4分 -vt- 2 8r,得 =521x =x-Ex 2 v28 v 3 因为g≈10m/s2,所以y=x- 0x 1 10 因此二次项系数a= (y>0) 10 即]a片，①中的推测是正确的， -5分 1 10 因为4= 所以v= =√400=20m/s -6分 40 a 26.解：(1)c=0,b=-2a, -----2分 (2)令x=4,则a×42-2×4a=16a-8a=8a, 直线L过原点， :设其解析式为y=kx, 由题意得1与抛物线的交点为(4,8a),…3分 4k=8a 解得k=2a, ..1:y=2ax, 第4页（共8页） ~过点M(t,O)作x轴的垂线，交抛物线于点N,且M(t,O), :N(t,at2-2at), ~过点N作平行于x轴的直线，交直线I于点H, :H的纵坐标与N相同， 代入1得，2ax=at2-2at 解得x=22 NH=k-22到-引-2+4,4分 ~点M从点O运动到点B(2a,0)的过程中，线段NH的长随OM的长增大而增大， 当a<0时，2a≤t≤0，即0M=-t, 此时OM随t增大而减小， NH=3t2-2t=t-2)2-2, “该函数开口向上，对称轴为t=2, 此时t在对称轴左侧，H随t增大而减小， :NH随OM增大而增大，满足条件： 当a>0时，0≤t≤2a,即0M=t, 此时OM随t增大而增大， xNH=-2t2+2t=-c-2)2+2, “该函数开口向下，对称轴为t=2, 要使H随t增大而增大，需2a≤2 解得a≤1， .0<a≤1： 综上所述，a≤1且a≠0.------6分 第5页（共8页） 27.解：(1)：AB=AC,∠BAC=C. ∠ABC=LACB=90-a ------1分 由旋转可得，∠ACD=90°-&，AC=CD. :.-DCB=zACB-2ACD=90-ja-(90-@)=ja 2CAD=∠GDA=180-4cD-180r-90°-9=45+2a 2 2 ∴LAFC=LCDA-∠DCB=45°+iQ-2a=45 C B A (2)补全图形， D 猜想：BF=2GH, --4分 证明：作点D关于CF的对称点M,连接CM,DM,FM, ·CF垂直平分DM, G CD =CM.FD=FM B ÷∠DFM=2∠AFC=90°，∠DCM=2LDCB=a, ·∠BAC=∠DCM. D AC=DC ·AB=AC=CD=CM △ABC兰△CDM(SAS), ·BC=DM」 5分 第6页（共8页） 在Rt△DFM中，∠DFM=90°.DF=MF 根据勾股定理，DM=√DF?+MF严=V2DF, ·BC=VZDF GH=BF 点G为CF的中点， 设GH=a,CG=FG=b,则BF=2a, :.CH=CG-GH=b-a,BH=FG-BF +GH=b-a, ·CH=BH ---6分 ∠BAC=a.∠ACE=90°-a, ·∠BEC=∠BAC+∠ACE=90, EH=BC BC =2DF, ·DF=V2EH 28.解：(1) 4 3 M 32立34 D 点Q位置如图 1分 Q(0,1): …………2分 ②，点M(t,0),P(t+2,1), p'(t-2,-1),Q(t-2,1), .PQ∥x轴， 第7页（共8页） .PQ=t+2-（t-2)=4: .PQ的长度与t有无关，PQ的长为4： 4分 (2)当BN最大时，0B的长为√22+1或W22-1.7分 第8页（共8页）