北京市朝阳区北京中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

初三年级数学学科试卷 满分100分 考试时间120分钟 学校： 班级： 姓名： 准考证号： 1. 本试卷共8页，满分100分，考试时间120分钟。 考 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号。 生 须 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 0 4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列图形中，绕着某个定点旋转180°能够和自身重合的图形是（) CASC A B. D 2.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标为（) A.(2,1) B.（2,-1) C.(-2,-1) D.(-2,1) 3.一元二次方程2x2-3=7x化为一般式ax2+bx+c=0后，若a=2则b的值为() A.-3 B.3 C.-7 D.7 4.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是() A.y=x+1 B.y=x2C.y=(x-4)2 D.y=1 X 5.用配方法解一元二次方程x2+4x-1=0时，将方程化为(x+m)2=n的形式，则的n值 为() A.1 B.2 C.3 D.5 6.将抛物线y=x2-3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线 的解析式是() A.y=(x-2)2B.y=(x+2)2C.y=(x+3)2-5 D.y=(x-3)2-1 7.如图，在正方形网格中，点P,2和△ABC,△DAE的顶点均在格 D 点上，将△ABC绕旋转中心旋转得到△DEA,则旋转中心是（ A.点A B.点B C.点P D.点O B 第1页（共8页） 8、如图，在平面直角坐标系x0中，点A是函数y=3x>0)图象上的动点，点B在x轴 上，OA=AB,以OA,OB为边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图象于点D,连接 AD,OD.给出下面四个结论： ①四边形AOBC不可能是菱形： y ②△AOD的面积始终等于3： ③点D可能是BC的中点： ④△AOD可能是直角三角形， 上述结论中，所有正确结论的序号是() B A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9.一元二次方程x2-4=0的解为 10.已知二次函数有最大值，写出一个满足条件的二次函数的解析式 1.在平面直角坐标系x0中，点(-1，)，(1，)(3，为)在反比例函数y=上 的图象上，比较y1,2,为的大小关系是 ·（用“<”把它们连接起来) 12.已知关于x一元二次方程x2+bx一3=0的一个根为1，则另一个根是 13.随着人工智能技术发展，某科技公司研发的智能服务机器人产能不断提升.2025年该公 司智能服务机器人年产量为500万台：2026年、2027年连续两年扩产，预计到2027年年产 量达到720万台.设2025年至2027年智能服务机器人年产量的年平均增长率为x,则根据 B 题意可以列方程为 14.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内， 将△ABC绕点A逆时针旋转a得到△AB'C',且C'C∥AB, A 则a的度数为 第14题图 yA 15.如图，抛物线y=-x2+4与x轴正半轴交于点A,点B为y轴 3 上一点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC,若点C恰 2 好落在抛物线上，则点C的坐标为。 1 A 3-19 -1 13 第15题图-2 第2页（共8页） 16.已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1，n),与y轴 的交点在点0,2,0,3)之间（包含端点D有下列结论：①2a+b=0:②-6a≤号 ③关于x的方程ax2+bx+c-n-1=0有两个不相等的实数根：④对于任意实数m, a(m2-1)+b(m-1)s0总成立.其中正确的结论有 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第2426题， 每题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.解方程：x2+2x-1=0. 18.已知a是方程2x2-7x-1=0的一个根，求代数式4a2-14a+5的值. 19,己知二次函数y=x2+2x-3,并回答以下问题： (1)在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象： (2)当一4<x<0时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围： y 5 3 ---1---r-- 2 5 -4:-3-2-10 123:45 第3页（共8页） 20.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是边AC上一点，连接BD,将△DCB绕 点C旋转得到△ECA,点E,C,B在同一条直线上，延长BD交AE于点F. (I)求∠BFE的度数： (2)若∠BDC=67.5°，求证：AB=EB. D B 21.在平面直角坐标系x0中，直线y=:+1(k≠0)与双曲线y=6(x>0)的交点是 A(a,3). (1)求a和k的值： (2)当x>3时，对于x的每个值，函数y=mx(m≠0)既大于函数y=(x>0)的值，又小于 函数y=c+1的值，直接写出m的取值范围. 4y 3引 43之立d士23 22.已知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0. (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若m<0,且该方程的两个实数根的差为3，求m的值 第4页（共8页） 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°， 得到线段CD,连接AD,BD. (1)依题意补全图形： (2)若BC=1,求线段BD的长. 24,小北同学计划为北中小舞台活动设计一幅长10寸、完9寸的创意画（图中阴影部分为 其示意图)，并制作一个摆台画框根据有关要求，画框的上、下边框宽度相等，左、右边框 宽度相等，上、下边框宽度是左、右边框宽度的2倍，若边框所占面积为创意画面积的；， 则摆台画框的左、右边框宽度应是多少？ 10 一9寸 第5页（共8页） 25.消防队员在灭火时，水柱的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分、在某天的波练中，水 枪斜向上45喷水，水枪喷口置于原点O处，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱上的点 的竖直高度y单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=ax2+bx(a<0),如 图所示.设第一次出水的水柱的运动轨迹是y=ax2+bx:当水平距离x=20m时，水柱 达到最大高度y=10m. y 0 (1)求抛物线y的函数解析式. (2)将出水初速度由第一次的y(m/s)减小为第二次的y,(m/s),水柱的运动轨迹变为 2=a2x2+b2x. ①请判断引4a2(填写“>”“=”或“<”)；结合图象和初速度的大小关系，推测抛 物线的二次项系数的绝对值」α|与其所对应的出水初速度的平方v2之间满足 (填 写“正比例”或“反比例”)关系. ②为了探究以上的推测是否正确，小北同学查阅了资料：设出水初速度为v,当斜向上45° 喷水时，水柱在水平方向做匀速运动，水平距离与时间的关系：x= V2 2 vt:竖直方向做匀 变速运动，竖直高度与时间的关系：y=2, t- 2 28（其中g为重力加速度，g≈10m/s2 请你根据以上资料，通过计算说明①中的推测是否正确.并据此计算y的值. 第6页（共8页) 26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(0,0).顶点 坐标为（1，n). (I)求c的值，并用含a的式子表示b. (2)过点M(,O)作x轴的垂线，交抛物线于点N.过点N作平行于x轴的直线，交一条过 原点的直线1于点H.已知直线1与抛物线（除原点外）的另一个交点的横坐标为4.若点M从 点O运动到点B(2a,0)的过程中，线段H的长随OM的长增大而增大，求a的取值范 围 27.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a(0°<a<90°)，将线段CA绕点C逆时针旋 90°一a得到线段CD,CD交AB于点E,作射线AD与CB的延长线交于点F. (I)求∠AFC的大小： (②)点G是线段CF中点（点G在点B左侧），点H在线段CG上，连接EH,当线段GH和 BF满足什么数量关系时，线段DF=√2EH,并证明 E D 28.在平面直角坐标系xOy中，已知点M不与原点重合.对于点P给出如下定义：点P绕 着点M旋转180°得到对应点为P,点P'关于直线OM的对称点为2，称点g是点P关于 点M的“二次变换点”. 卫 5y 4 3 3 2 1 M 3-210 13 43之直 -1 -3 -21 (1)如图，已知点M(t,0),P(t+2,1),点2是点P关于点M的“二次变换点” ①当t=2时，在图中画出点Q的位置，并直接写出点Q的坐标： ②PQ的长度是否与t有关？若有关，说明理由，若无关，求P2的长 (2)已知点A(-3,4),△ABC是边长为2的等边三角形（点A,B,C按逆时针方向排列)， 点N是点B关于点C的“二次变换点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当BN最大时， 直接写出此时OB的长