16.3.1平方差公式(1) 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.1平方差公式 一、单选题 1,下列各式中，能用平方差公式计算的是() A.(x+y)(x-y) B.(2x-y)(x+y) C.(x-y)(x-2y) D.(x-y)(-x+y) 2.计算a2-（a-1)(a+1)的结果是（) A.-1 B.1 C.-a D.a 3.计算(1-a(a+1)的结果正确的是（) A.1-a2 B.a2-1 C.a2-2a-1 D.a2-2a+1 4.若()(-2x+y)可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（) A.-2x+y B.2x-y C.-2x-y D.2y+x 5.通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是() b b b 6 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 6.给出下列式子： ①(3a+4)3a-4)=9a2-4; ②(2a2-b)(2a2+b)=4a2-b2; ③(3x-y)3x+y)=9x2-y2; (xy-3z)(xy+3z)=x2y2-9z2. 其中正确的个数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 试卷第1页（共3页） 7.如果(a+3-b)(a-3-b)=40,那么a-b的值为(） A.49 B.7 C.-7 D.7或-7 8.如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（) -a-b→ A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.（a+b)(a-b)=a2-b2 C.（a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a+b)=(a-b)(a+2b) 二、填空题 9.计算： (1)(a-10(a+)=一； (2)(ab+3)(ab-3)=_; (3)(3a-b)(-3a-b)= 4(Gx-少2x+ 10.用简便方法计第：(0103×97=一29×100号一· 11.一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a-3b),则长方形的面积为 12.化简：(a-x2)）(-a-x2） 、 13.计算： (1)（-4m2-7）(7-4m2）=_ 2(e+》 14.若a=20252,b=2024×2026,则a-b= 15.如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通 过割、拼，形成新的图形.给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 试卷第1页（共3页） a 图① 图② 图③ 三、解答题 16.运用平方差公式计算： (1)(x+3y)(x-3y); (2)(2m-n)(-2m-m). 17.先化简，再求值：x(3-x)+2(x+1)(x-1),其中x=-2. 18.计算：2026×2028-20272； 19.计算：（-x+2y)(-x-2y)-x(x-y) 20.(运算能力)小明遇到下面一个问题：计算(2+)(22+1)(24+1).经过观察，小明发现如果将原式进行 恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： (2+1)(22+1)(24+1 =(2-1(2+1)(22+10(24+1) =(22-122+10(2+1) =(2-2+) =(28-1. 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： ①计算：2+3+032+3*+3+)： (2)计算： 2-+0+0++) 21.自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论， 请你按要求试一试. (1)完成下列表格： 试卷第1页（共3页） (a-b2 a2+b2-2ab a=1,b=-2 a=-1,b=1 【用数学眼光去观察】 (2)观察第(1)题结果，尝试给a、b取其它的值，你发现了什么结论？请用含有字母a、b的等式表示出 来； 【用数学语言去表达】 (3)请把(2)中的等式用一句话（即文字语言）概括出来； 【用数学思维去思考】 (4)利用你发现的结论，求20252+2026-4050×2026的值. 试卷第1页（共3页） 《16.3.1平方差公式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C C B D A 1.A 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2.根据平方差公式的结构特征进行判断即可. 【详解】解：A、(x+y)(x-y)=x2-y2,符合平方差公式，正确，符合题意； B、(2x-y)(x+y),不符合平方差公式，错误，不符合题意； C、（x-y)(x-2y),不符合平方差公式，错误，不符合题意； D、(x-y(-x+y)=-(x-y(x-y),不符合平方差公式，错误，不符合题意. 故选：A. 2.B 【分析】本题考查了整式的化简. 利用平方差公式简化表达式，然后合并同类项即可. 【详解】解：a2-(a-1)(a+1)=a2-(a2-1=a2-a2+1=1. 故选：B 3.A 【分析】本题考查了平方差公式的运用，先将式子变为-(a-1(a+1),再利用平方差公式计算即可 I详解】解：(1-a)(a+1)=-(a-1)(a+1)=-(a2-1)=1-a2, 故选：A 4.C 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的结构特征，即两个因 式中一项完全相同，另一项互为相反数. 答案第1页（共2页） 逐一分析选项，看哪个选项与-2x+y相乘时符合平方差公式的结构形式. 【详解】平方差公式为(a+b)(a-b)=a2-b2. A、(-2x+y)(-2x+y)=(-2x+y),这是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以A选项错误； B、(2x-y(-2x+y)=(2x-y)2x-y)=-(2x-y)2,是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以B 选项错误； C、(-2x-y)(-2x+y)=(-2x)2-y2=4x2-y2,符合平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2(这里a=-2x,b=y) 的结构，所以C选项正确； D、(2y+x)(-2x+y),两项中没有一项完全相同，另一项互为相反数的情况，不符合平方差公式结构，所以 D选项错误. 故选：C 5.C 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题关键.根据条件分别表示出两个阴影图形的面积， 然后求和验证即可. 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为：a2-b2, 右边图形中阴影部分的面积为：2a+2b(a-)=(a+ba-), :左右两个图形中阴影部分的面积相等， (a+b)(a-b)=a2-b2 故选：C. 6.B 【分析】本题考查了整式的乘法运算一平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键.运用平方差公式运算即 可判断。 【详解】①(3a+4)3a-4)=9a2-16,此题计算错误，故不符合题意； ②(2a2-b)(2a2+b)=4a-b2此题计算错误，故不符合题意； ③(3x-y)(3x+y)=9x2-y2,此题计算正确，故符合题意； 答案第1页（共2页） ④(xy-3z)(xy+3z)=x2y2-9z此题计算正确，故符合题意； .只有③④正确， 故选：B. 7.D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2.首先根据平方差公式化简得 出(a-b)2=49，然后乘方的意义求解即可. 【详解】解：(a+3-b)(a-3-b)=40,即[(a-b)+3][(a-b)-3]=40, (a-b)2-32=40 (a-b)2=49 .a-b=±7 故选：D. 8.A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用.解题的关键在于根据题意正确的表示面积.根据 图形面积得出答案即可. 【详解】解：由题意知，a2-b2=(a-b)(a+b), 故选：A. 9. a2-1 a2b2-9 -9a2+b2 -y 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可. 【详解】(1)（a-1)(a+1)=a2-1; (2）(ab+3)(ab-3)=a2b2-9; (3)(3a-b)(-3a-b)=-9a2+b2; 4分-y3*-. 故答案为：d2-1,62-9,-9a2+h,x-y. 4 答案第1页（共2页） 10. 9991 9999 【分析】本题考查平方差公式的运算，掌握平方差公式的特征是解题的关键. 【详解】解：(1)103×97=(100+3)×(100-3)=1002-32=9991， (2) 93x103-(o0+号引X1o0-引-1ow-{=99g 故答案为：9991,99993 9 11.4a2-9b2 【分析】本题考查平方差公式的应用，先根据面积公式列式，再根据(a+b)(a-b)=a2-b2直接求解即可得 到答案； 【详解】解：由题意可得， 长方形的面积为：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2, 故答案为：4a2-9b2. 12.x4-a2 【分析】本题考查了整式的化简 先提取负号，再根据平方差公式计算即可. 【详解】(a-x2)(-a-x2)=-(a-x2)(a+x2）=-(a2-x)=x-ad2, 故答案为：x4-a2. 13, 16m-49 【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差： (a十b)(a-b)=a2-b2.解决问题的关键是熟练掌握平方差公式. (1)先提出第一个括号里的负号，再利用平方差公式. (2）先利用平方差公式计算后面两个括号，再利用平方差公式进行计算 【详解】解：(1)原式=-(4m2+7）(7-4m2)=-(7+4m2)(7-4m2)=-(49-16m)=16m-49. ②原武-(r++x引(e+e-6 答案第1页（共2页） 故答案为：16m-49:x-↓ 16 14.1 【详解】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键. 把原式变形为20252-（2025-1)(2025+1)，再利用平方差公式计算即可得到答案. 【点睛】解：a-b =20252-2024×2026 =20252-(2025-1)(2025+1) =20252-(20252-12） =20252-20252+1 =1, 故答案为：1. 15.①②③ 【详解】平方差公式与几何图形 略 16.(1)x2-9y2 (2)n2-4m2 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键。 (1)根据平方差公式可进行求解； (2）根据平方差公式可进行求解. 【详解】(1）解：原式=x2-（3y)2=x2-9y2; (2)解：原式=-(2m-n(2m+n）=-(2m)2-n2=2-4m2. 17.x2+3x-2,-4 【详解】解：x(3-x)+2(x+1)(x-1) =3x-x2+2x2-2 =x2+3x-2, 答案第1页（共2页） 当x=-2时，原式=(-2)2+3×(-2)-2=4-6-2=-4. 18.-1 【详解】解：原式=(2027-1)×(2027+1)-2027=2027-1-2027=-1. 19.y-4y2 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则是解题的关键.先根据平 方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可. 【详解】解：(-x+2y(-x-2y)-x(x-) =x2-4y2-x2+xy =xy-4y2. 20.()3 20 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键. (1)将原式的相乘部分乘以二×(3-)，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的； 2)将原式的相乘部分乘以2×， 即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的. I详解1(1)解：号+(3+1032+1(3+3+) -+3-8+g+0g+0+ -g-0e+g+g+ -6+e+ 分6-g +-) 1,3161 =2+22 316 2 2解：2-(1++++ 答案第1页（共2页） =2-2x+0*+0+) 2-20+ 2-2x0+0+ 2-2x0+别 2-2) =2-2+2×26 1 =25 21.(1)9,9,4,4;(2)(a-b)2=a2+b2-2ab;(3)a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它 们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数的平方和与a、b两数积的2倍的差；(4)1 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. (1)将a、b的值，代入代数式计算即可得解； (2）根据(1)中的计算结果得出规律即可； (3)根据(2)中的式子进行描述即可； (4)根据(2）中得出的式子计算即可得解. 【详解】解：（①）当a=1,b=-2时，(a-b}=[1-(-2)了=9，a2+b2-2ab=1P+(-2)}-2x1x(-2)=9; 当a=-1,b=1时，(a-b2=（-1-1}=4,a2+b2-2ab=(-1)2+1P-2×1×(-)=4; 完成下列表格： (a-b2 a2+b2-2ab a=1,b=-2 9 a=-1,b=1 (2)由(1)可得：(a-b}2=a2+b2-2ab; (3)a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数 的平方和与a、b两数积的2倍的差； 答案第1页（共2页） (4)20252+20262-4050×2026 =20252+20262-2×2025×2026 =(2025-2026)2 =1. 答案第1页（共2页） 16.3.1平方差公式 一、单选题 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 3．计算的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 5．通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（  ）    A． B． C． D． 6．给出下列式子：①；②；③； ④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 8．如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 10．用简便方法计算：（1）____；（2）____． 11．一个长方形的长为，宽为，则长方形的面积为______． 12．化简： _________． 13．计算： （1）________． （2）________． 14．若，，则___________． 15．如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图__________． 三、解答题 16．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．计算：； 19．计算： 20．（运算能力）小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： (1)计算：； (2)计算：． 21．自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． （1）完成下列表格： ， ， 【用数学眼光去观察】 （2）观察第（1）题结果，尝试给a、b取其它的值，你发现了什么结论？请用含有字母a、b的等式表示出来； 【用数学语言去表达】 （3）请把（2）中的等式用一句话（即文字语言）概括出来； 【用数学思维去思考】 （4）利用你发现的结论，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 《16.3.1平方差公式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C C B D A 1．A 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，符合平方差公式，正确，符合题意； B、，不符合平方差公式，错误，不符合题意； C、，不符合平方差公式，错误，不符合题意； D、，不符合平方差公式，错误，不符合题意． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了整式的化简． 利用平方差公式简化表达式，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了平方差公式的运用，先将式子变为，再利用平方差公式计算即可 【详解】解：， 故选：A 4．C 【分析】本题考查平方差公式，解题的关键是理解平方差公式的结构特征，即两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数． 逐一分析选项，看哪个选项与相乘时符合平方差公式的结构形式． 【详解】平方差公式为． A、，这是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以A选项错误； B、，是完全平方的形式，不符合平方差公式结构，所以B选项错误； C、，符合平方差公式（这里）的结构，所以C选项正确； D、，两项中没有一项完全相同，另一项互为相反数的情况，不符合平方差公式结构，所以D选项错误． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式是解题关键．根据条件分别表示出两个阴影图形的面积，然后求和验证即可． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为：， 右边图形中阴影部分的面积为：， ∵左右两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了整式的乘法运算—平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．运用平方差公式运算即可判断． 【详解】①，此题计算错误，故不符合题意； ②此题计算错误，故不符合题意； ③，此题计算正确，故符合题意； ④此题计算正确，故符合题意； 只有正确， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式是．首先根据平方差公式化简得出，然后乘方的意义求解即可． 【详解】解：，即， ∴． 故选：D． 8．A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，． 10． 9991 9999 【分析】本题考查平方差公式的运算，掌握平方差公式的特征是解题的关键． 【详解】解：（1）， （2）， 故答案为：，． 11． 【分析】本题考查平方差公式的应用，先根据面积公式列式，再根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 长方形的面积为：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了整式的化简． 先提取负号，再根据平方差公式计算即可． 【详解】， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．解决问题的关键是熟练掌握平方差公式. （1）先提出第一个括号里的负号，再利用平方差公式. （2）先利用平方差公式计算后面两个括号，再利用平方差公式进行计算. 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为： 14．1 【详解】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是关键． 把原式变形为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【点睛】解： ， 故答案为：1． 15．①②③ 【详解】平方差公式与几何图形 略 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．， 【详解】解： ， 当时，原式． 18． 【详解】解：原式． 19． 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的； （2）将原式的相乘部分乘以，即可不断利用平方差公式进行计算，从而达到简化计算过程的目的． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（1）9，9，4，4；（2）；（3） a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数的平方和与a、b两数积的2倍的差；（4）1 【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将、的值，代入代数式计算即可得解； （2）根据（1）中的计算结果得出规律即可； （3）根据（2）中的式子进行描述即可； （4）根据（2）中得出的式子计算即可得解． 【详解】解：（1）当，时，，； 当，时，，； 完成下列表格： ， 9 9 ， 4 4 （2）由（1）可得：； （3） a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数的平方和与a、b两数积的2倍的差； （4） ． 学科网（北京）股份有限公司 $