精品解析：上海市建平实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段练习数学试卷

2026学年第一学期 阶段练习 初三年级 数学科目 （完卷时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 6. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题（本大题共11题，每题4分，共44分） 7. 将二次函数用配方法化成顶点式为_______________________． 8. 如果二次函数的图像经过点，，那么________（填，或）． 9. 已知，那么____________． 10. 已知点P是线段的黄金分割点，，已知，则____________． 11. 若实数x、y、z满足，则k的值为________． 12. 如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 13. 如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 14. 某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 15. 如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，，则__________． 17. 如图：在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，这三个点都在格点上（横、纵坐标都是整数），这样的三角形叫作格点三角形．在图中所在的网格区域内，在外部找出点D，使它和点A、B、C中的两点连线构成的格点三角形与相似．那么点D的坐标是____________． 三、解答题（本大题共7题，第18题10分、第19题10分、第20题10分、第21题10分、第22题12分、第23题15分、第24题15分，共82分．） 18. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的值． 19. 二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x ．．． 0 ．．． y ．．． 0 4 ．．． （1）该二次函数与y轴交点是_____________，对称轴是_____________． （2）求出该二次函数的表达式； （3）若将以上二次函数图像绕原点旋转后得到新的抛物线，请直接写出新抛物线的解析式____________________． 20. 如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，， （1）求的长； （2）将图中与的交点记作，，当为等腰三角形时，求的长． 21. 铅球运动员推铅球，已知铅球飞行的轨迹是一条抛物线，铅球出手点的高度为米（图中记为点），飞出水平距离米时，铅球到达最高点（图中记为点），最高点距离地面米，求这位铅球运动员的成绩（铅球落地的位置与出手时人的站位之间距离）（提示：可以在图中建立合适的平面直角坐标系） 22. 如图，在中，，点分别是边的延长线上的点，满足， 求证： （1） （2） 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． （1）求该抛物线的解析式； （2）当取得最大值时，求线段的长； （3）若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 24. 在平面直角坐标系内有，直线与轴交于点，连接线段，点是第一象限内直线上的任意一点， （1）过点作垂直于轴垂足为，求证：． （2）连接，若，求点的坐标． （3）现有经过、两点的抛物线，若上一题所求得的点的坐标在该抛物线开口的内部，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期 阶段练习 初三年级 数学科目 （完卷时间：90分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 已知（为常数）是二次函数，那么的值是（ ） A. 3 B. C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， 将顶点向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得新顶点为， ∴平移后抛物线解析式为． 3. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分和两类讨论，结合函数图象与轴有交点的条件求解 【详解】解：当时，函数为，是一次函数，与轴有交点，符合题意； 当时，函数为二次函数，图象与轴有交点，则， ， 解得， 综上，的取值范围是 4. 如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 5. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【详解】解： 选项A中，，两角分别相等；选项B中，三边成比例，均符合相似判定条件， 均可判定； 选项C中，且为成比例两边的夹角， 可判定. 选项D中，但不是成比例两边的夹角， 不能判定 6. 如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，共44分） 7. 将二次函数用配方法化成顶点式为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取二次项的负系数，再对括号内的二次式凑完全平方，注意添括号时的符号变化． 【详解】解： ． 8. 如果二次函数的图像经过点，，那么________（填，或）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴把代入解析式，得， 把代入解析式，得， ∵， ∴． 9. 已知，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】先拆分目标分式，再将已知比值整体代入求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 10. 已知点P是线段的黄金分割点，，已知，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合的条件确定黄金分割点对应的较长线段为，利用黄金分割的比例关系求出的长度，再通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 11. 若实数x、y、z满足，则k的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可得，从而得出，进而得出，即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】观察函数图象，确定二次函数与一次函数交点的横坐标，根据，即抛物线在直线的上方，找出对应的 的取值范围． 【详解】解：由图象可知，二次函数和一次函数的交点横坐标分别为和， 当时，即二次函数图象在一次函数图象的上方， 观察图象可知，当或时，抛物线在直线的上方， 的取值范围是或． 13. 如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 设，则可得出，的面积之比，由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，再将的值代入，即可得出答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴解方程并检验得：，（舍）， ∴． 14. 某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【解析】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 15. 如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可以证明△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，则可得到结论，则可求出结果． 【详解】解：∵∠C=90°，CD⊥AB， ∴∠ACB=∠ADC=90°， ∵∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴AC2=AD•AB 同理△BCD∽△BAC， ∴ ∴BC2=BD•AB， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 17. 如图：在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，这三个点都在格点上（横、纵坐标都是整数），这样的三角形叫作格点三角形．在图中所在的网格区域内，在外部找出点D，使它和点A、B、C中的两点连线构成的格点三角形与相似．那么点D的坐标是____________． 【答案】 或 或 【解析】 【分析】首先根据勾股定理计算的三边长度，确定三边比例关系；然后分情况讨论，分别以为公共边，利用相似三角形的性质（对应边成比例）在网格中寻找满足条件的格点；最后验证点是否在网格区域内且在外部． 【详解】解： 由题意得， ，，， ∴的三边长分别为，且， 此时分三种情况讨论： ①当与相似，且为公共边时， 是的最短边， 在中应对应最长边（若对应最短边则全等，无满足条件的格点；若对应中边，边长非格点距离）， 相似比， 的另两边长应为和， ， 若且在格点上， 则可为或， 当时，，满足条件， 此时在外部； ②当与相似，且为公共边时， （i）若， 为最长边，对应， 需或； 当时，， 取，此时，满足条件， 此时在外部； （ii）若，且对应， 相似比， 的另两边长应为和， ， 取，则， 此时，满足条件， 此时在外部； ③当与相似，且为公共边时， 是中长边， 若全等，为，不在网格区域内， 若相似，计算可得其他边长非格点距离，无解， 综上所述，点的坐标为或或． 三、解答题（本大题共7题，第18题10分、第19题10分、第20题10分、第21题10分、第22题12分、第23题15分、第24题15分，共82分．） 18. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）设比例系数为，用含的式子表示a、b、c，代入求解，进而得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列等式，结合线段长度求的值． 【小问1详解】 解：设， ， ∵， ， 即，解得， ． 【小问2详解】 解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∵x是线段长度，， ∴． 19. 二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题． x ．．． 0 ．．． y ．．． 0 4 ．．． （1）该二次函数与y轴交点是_____________，对称轴是_____________． （2）求出该二次函数的表达式； （3）若将以上二次函数图像绕原点旋转后得到新的抛物线，请直接写出新抛物线的解析式____________________． 【答案】（1），直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数与轴交点的横坐标为，查表可得交点；二次函数中函数值相等的两点关于对称轴对称，利用中点公式求对称轴． （2）已知抛物线上三点坐标，代入一般式，解方程组求出系数． （3）绕原点旋转，点的对称点在原抛物线上，代换化简得到新解析式． 【小问1详解】 解：当时，， 二次函数与轴交点是． 当和时，函数值相等， 这两点关于对称轴对称， 对称轴为直线． 【小问2详解】 解：设二次函数解析式为， 抛物线经过点，，， 解得 二次函数的表达式为． 【小问3详解】 解：图像绕原点旋转， 新抛物线上任意一点，它关于原点的对称点在原抛物线上． 原抛物线解析式为， ∴新的抛物线的解析式为， ， 整理得． 20. 如图，已知，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，， （1）求的长； （2）将图中与的交点记作，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据平行线分线段成比例定理得出，即可求出的长； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，可得，分和两种情况，利用平行线分线段成比例定理及等边对等角，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，， 同理可得，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述：的长为或． 21. 铅球运动员推铅球，已知铅球飞行的轨迹是一条抛物线，铅球出手点的高度为米（图中记为点），飞出水平距离米时，铅球到达最高点（图中记为点），最高点距离地面米，求这位铅球运动员的成绩（铅球落地的位置与出手时人的站位之间距离）（提示：可以在图中建立合适的平面直角坐标系） 【答案】这位铅球运动员的成绩为米 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，由题意得抛物线的顶点坐标为，点，从而求得抛物线解析式为，令，则，然后解方程并检验即可． 【详解】解：如图，以铅球出手时人的站位为原点，水平地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得抛物线的顶点坐标为，点， 设抛物线解析式为，与轴交于点， 把点代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，即这位铅球运动员的成绩为米． 22. 如图，在中，，点分别是边的延长线上的点，满足， 求证： （1） （2） 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， 是的外角， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据等边对等角，再利用相似三角形的判定定理证明即可； （2）先证明两三角形相似，再利用相似三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 详解见答案． 23. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为，P是第一象限内抛物线上的动点，过点P向x轴作垂线，交直线于点M，交x轴于点N，连接、． （1）求该抛物线的解析式； （2）当取得最大值时，求线段的长； （3）若直线把的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，利用待定系数法求解； （2）首先求出，，得到直线的解析式为，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质得到当时，取得最大值为，然后求解即可； （3）首先表示出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点B，其顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，取得最大值为， ∴此时点P的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得，，， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴当时， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为； 当， 解得（舍去），， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 24. 在平面直角坐标系内有，直线与轴交于点，连接线段，点是第一象限内直线上的任意一点， （1）过点作垂直于轴垂足为，求证：． （2）连接，若，求点的坐标． （3）现有经过、两点的抛物线，若上一题所求得的点的坐标在该抛物线开口的内部，求的取值范围． 【答案】（1）证明：如图，过点作垂直于轴垂足为， ∵点是第一象限内直线上的任意一点， ∴设（）， ∴，， 当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设，可得，，根据直线解析式得出，，根据点坐标得出，进而得出，由即可证明； （2）连接，利用勾股定理求出，根据相似三角形的性质可得，求出，利用勾股定理求出，进而得出，即可求出，即可得出点的坐标； （3）把、两点坐标分别代入抛物线解析式得出，可得当时，，由，可得当时，点的坐标在该抛物线开口的内部，当时，可得，解不等式求出；综上即可得出答案． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵抛物线经过、两点，，， ∴，， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 当时，抛物线开口向上， ∵，，，，， ∴时，点的坐标在该抛物线开口的内部，符合题意， 当时，抛物线开口向下， ∵点的坐标在该抛物线开口的内部， ∴， 解得， 综上所述：的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $