2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中复习卷02

苏科版 八年级数学 期中复习卷02 时间：120分钟 满分：130分 考试范围：（八上）三角形 （八下）因式分解、分式 班级：________________ 姓名：________________ 得分：_________________ 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D．x+y 2．下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上 第3题 第4题 第8题 4．如图，点E在线段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠B的度数是（　　） A．70° B．72° C．74° D．76° 5．下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 B． C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 6．在如图所示图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 7．一个三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜5 C．3＜x＜5 D．2＜x＜8 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD＝45°；②AC＝BE；③MC+EM＝NE；④S△ACD＝2S△DNE．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．若分式有意义，则x的取值范围为 ________ ． 10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 ____________ ． 11．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝_____ cm． 第11题 第12题 第13题 12．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长 ________ ． 13．如图，方格纸中∠1+∠2的度数为 ________ ． 14．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝_____ ． 第14题 第16题 15．若多项式x2﹣mx+36能用完全平方公式进行因式分解，则m的值是________ ． 16．如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且以AB为腰，这样的点C一共有 _____ 个． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）分解因式：（1）ab2﹣2ab+a； （2）m2（a﹣2）+（2﹣a）． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 19．（本题6分）解方程：（1）； （2）． 20．（本题6分）如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 21．（本题7分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 22．（本题7分）如图，四边形AOBC中，AC＝BC，∠A+∠OBC＝180°，CD⊥OA于D． （1）求证：OC平分∠AOB； （2）若OD＝3DA＝6，求OB的长． 23．（本题7分）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，∵（x+3）2≥0，∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求m2+4m+3的最小值； （2）比较3a2+10与2a2+6a的大小． 24．（本题7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： （1）在图1中，作∠CAB的平分线，与边BC交于点D；此时若△ABC的面积是24，AB+AC＝16，求CD的长； （2）在图2中，把△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点E，F． ①请作出折痕EF； ②连接EA，若AC＝4，BC＝6，求△ACE的周长． 25．（本题10分）某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． （1）据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ （2）甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 26．（本题10分）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 _______ （只填写序号）． ①顶角是30°的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是30°的直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE． ①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”； ②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数． 27．（本题10分）如图1，等边三角形△ABC的边长为18，点M是AC边上一动点，由点A向点C方向运动（点M不与点A，C重合），点N是CB延长线上一点，由点B向CB延长线方向运动（点N不与点B重合），点M与点N同时以相同的速度出发，连接MN交AB于点D． （1）当∠CNM＝30°时，AM＝_____ ； （2）求证：在运动过程中，点D是线段MN的中点； （3）如图2，过点M作ME⊥AB于点E，在运动过程中线段ED的长度是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由； （4）如图3，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得线段MF，连接FA，当FA取最小值时，则BN为_____ ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版 八年级数学 期中复习卷02 时间：120分钟 满分：130分 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列各式中是分式的是（　　） A． B． C． D．x+y 【答案】C 【解析】判断一个式子是否为分式，关键看分母中是否含有字母：形如（A、B是整式且B中含字母）才是分式，据此逐项检验各选项的分母． 【详解】解：A、分母中不含字母，是整式，本选项不符合题意； B、分母中不含字母，是整式，本选项不符合题意； C、分母中含有字母，符合分式的定义，本选项符合题意； D、分母中不含字母，是整式，本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】最简分式要求分子与分母没有公因式，先把各选项的分子、分母分别因式分解，再检查能否约分． 【详解】解：A、的分子与分母含有公因式，能约分，不是最简分式，本选项不符合题意； B、的分子与分母含有公因式，能约分，不是最简分式，本选项不符合题意； C、的分子与分母没有公因式，是最简分式，本选项符合题意； D、的分子与分母含有公因式，能约分，不是最简分式，本选项不符合题意． 故选：C． 3．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上 【答案】A 【解析】两块完全一样的三角板的直角边分别与AB、AC重合且顶点重合于M，则M到AB、AC的距离相等，由角平分线的判定即可确定AM的依据． 【详解】解：如图： ∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，且ME＝MF， ∴点M在∠BAC的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）， 故选：A． 4．如图，点E在线段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠B的度数是（　　） A．70° B．72° C．74° D．76° 【答案】D 【解析】由△ABC≌△DEC得CB＝CE、∠ACB＝∠DCE，两边同时减去∠ACE得∠BCE＝∠ACD＝28°，再在等腰△BCE中用内角和定理求∠B． 【详解】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CB＝CE，∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD＝28°， ∵CB＝CE， ∴∠B＝∠CEB（180°－∠BCE）（180°－28°）＝76°． 故选：D． 5．下列各式变形中，是因式分解的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 B． C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 【答案】D 【解析】因式分解是把多项式化为几个整式的积的形式，逐项检查变形结果是否为整式乘积，注意整式乘法与因式分解方向相反． 【详解】解：A、x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1，右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不合题意； B、，右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不合题意； C、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式乘法，不是因式分解，故不合题意； D、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），把多项式化成了两个整式的积，是因式分解，故符合题意． 故选：D． 6．在如图所示图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】三角形BC边上的高必须过BC所对的顶点A，且与BC（或其延长线）垂直，据此逐个图形检验垂线的顶点与垂足． 【详解】解：A、图中BD是边AC上的高，不是边BC上的高，不符合题意； B、图中CD是边AB上的高，不是边BC上的高，不符合题意； C、图中AD过顶点A且AD⊥BC，是边BC上的高，符合题意； D、图中BD不满足过顶点A且垂直于BC，不是边BC上的高，不符合题意； 故选：C． 7．一个三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜5 C．3＜x＜5 D．2＜x＜8 【答案】D 【解析】用三角形三边关系"两边之差＜第三边＜两边之和"直接列出关于x的不等式． 【详解】解：由三角形三边关系定理得5﹣3＜x＜5+3， 即2＜x＜8， 即x的取值范围是2＜x＜8． 故选：D． 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论中，①∠AMD＝45°；②AC＝BE；③MC+EM＝NE；④S△ACD＝2S△DNE．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】由CD⊥AB、∠ABC＝45°得BD＝CD，用ASA证△BDN≌△CDM得DN＝DM，于是△DMN是等腰直角三角形，可判定①；过点D作DF⊥BM于F，证△DEF≌△CEM（AAS）得ME＝EF、CM＝DF＝FN，可判定③；再证△BED≌△CAD（ASA）得AC＝BE，可判定②；由BN＝FN知BN＜NE，得S△BED＜2S△DNE，可判定④错误． 【详解】解：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BCD＝45°，BD＝CD， ∵BM⊥AC， ∴∠AMB＝∠ADC＝90°， ∴∠A+∠DBN＝90°，∠A+∠DCM＝90°， ∴∠DBN＝∠DCM， ∵DN⊥DM， ∴∠CDM+∠CDN＝90°， ∵∠CDN+∠BDN＝90°， ∴∠CDM＝∠BDN， ∴△BDN≌△CDM（ASA）， ∴DN＝DM， ∵∠MDN＝90°， ∴△DMN是等腰直角三角形， ∴∠DMN＝45°， ∴∠AMD＝∠AMB﹣∠DMN＝90°﹣45°＝45°，故①正确； 如图，过点D作DF⊥BM于点F， 由①的证明可得，DN＝DM，则∠DFE＝90°＝∠CME， ∵DN⊥DM， ∴DF＝FN， ∵点E是CD中点， ∴DE＝CE， ∴△DEF≌△CEM（AAS）， ∴ME＝EF，CM＝DF， ∴FN＝CM， ∵NE﹣EF＝FN， ∴MC+EM＝NE，故③正确； ∵CD⊥AB， ∴∠BDE＝∠CDA＝90°， 由①可知，∠DBN＝∠DCM，BD＝CD，△BDN≌△CDM， ∴△BED≌△CAD（ASA）， ∴AC＝BE，故②正确； ∵△BDN≌△CDM， ∴BN＝CM， ∵CM＝FN， ∴BN＝FN， ∴BN＜NE， ∴S△BDN＜S△DEN， ∴S△BED＜2S△DNE， ∵△BED≌△CAD， ∴S△BED＝S△CAD， ∴S△ACD＜2S△DNE，故④错误； 故选：B． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．若分式有意义，则x的取值范围为 　 ． 【答案】x≠1 【解析】分式有意义的条件是分母不等于零，令x－1≠0即可． 【详解】解：依题意得x﹣1≠0，即x≠1时分式有意义． 故答案为：x≠1． （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 　 　 ． 【答案】80°或20° 【解析】题中未指明80°是顶角还是底角，需分两种情况讨论，再由三角形内角和定理计算顶角． 【详解】解：当80°是等腰三角形的顶角时，顶角就是80°； 当80°是等腰三角形的底角时，顶角是180°－80°×2＝20°． 故答案为：80°或20°． 11．如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　 　 cm． 【答案】3 【解析】由刻度尺读出斜边AB的长，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求CD． 【详解】解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点， ∴CDAB＝3cm， 故答案为：3． 12．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长 　 ． 【答案】3cm． 【解析】由DE∥BC得∠DFB＝∠CBF、∠EFC＝∠FCG，结合BF、CF分别平分∠ABC与外角∠ACG，推出∠DBF＝∠DFB、∠FCE＝∠EFC，于是BD＝FD＝8cm、EF＝CE＝5cm，故DE＝FD－EF． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG， ∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG ∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG， ∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC， 又∵BD＝8cm，CE＝5cm， ∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm， ∴DE＝FD－EF＝BD－CE＝8－5＝3（cm）， 即DE的长3cm． 故答案为：3cm． 13．如图，方格纸中∠1+∠2的度数为 　 　 ． 【答案】45°． 【解析】由方格纸读出∠DBE＝45°、AB＝CD＝2、∠ABC＝∠CDE＝90°、DE＝BC＝1，先证△ABC≌△CDE（SAS）得∠1＝∠DCE，再用△BCE的外角∠DBE＝∠2＋∠DCE＝45°等量代换即可． 【详解】解：如图： 依题意，：∠DBE＝45°，AB＝CD＝2，∠ABC＝∠CDE＝90°，DE＝BC＝1， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1＝∠DCE， ∵∠DBE是△CBE的一个外角， ∴∠DBE＝∠2+∠DCE＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， 故答案为：45°． 14．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝　 　 ． 【答案】2． 【解析】延长CD交AB于E，由AD⊥CD且AD平分∠CAB得△ACE是等腰三角形、CD＝DE；再由∠DCB＝∠B得CE＝BE＝AB－AC＝4，故CD＝½CE＝2． 【详解】解：如图，延长CD交AB于E， ∵CD⊥AD， ∴∠ADE＝∠ADC＝90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴∠AED＝∠ACD， ∴AE＝AC＝6， ∴DE＝CD， ∵AB＝10， ∴BE＝10﹣6＝4， ∵∠B＝∠BCD， ∴BE＝CE＝4， ∴CDCE＝2． 故答案为：2． 15．若多项式x2﹣mx+36能用完全平方公式进行因式分解，则m的值是　 　 ． 【答案】±12． 【解析】能用完全平方公式分解，说明x2﹣mx+36＝（x±6）2，比较一次项系数即可求m，注意两种情形都要取． 【详解】解：若多项式x2﹣mx+36能用完全平方公式进行因式分解， 则x2﹣mx+36＝（x±6）2＝x2±12x+36， ∴﹣m＝±12，即m＝±12， 故答案为：±12． 16．如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且以AB为腰，这样的点C一共有 　 　 个． 【答案】5． 【解析】以AB为腰，需分A为顶点和B为顶点两种情况，分别以A、B为圆心、AB长为半径在格点中找交点，再排除与A、B共线的点． 【详解】解：以AB为腰的等腰三角形ABC如图所示： 符合条件的点C一共有5个， 故答案为：5． 三．解答题（共11小题，共82分） 17．（本题6分）分解因式： （1）ab2﹣2ab+a； （2）m2（a﹣2）+（2﹣a）． 【答案】（1）a（b﹣1）2；（2）（a﹣2）（m﹣1）（m+1）． 【解析】（1）先提取公因式a，再用完全平方公式继续分解；（2）把（2﹣a）变形为﹣（a﹣2）后提取公因式（a﹣2），再用平方差公式分解到不能再分． 【详解】（1）解：ab2﹣2ab+a ＝a（b2﹣2b+1） ＝a（b﹣1）2； （2）m2（a﹣2）+（2﹣a） ＝m2（a﹣2）﹣（a﹣2） ＝（a﹣2）（m2﹣1） ＝（a﹣2）（m﹣1）（m+1）． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1． 【答案】，﹣1． 【解析】先算括号内的减法（通分），再把除法化为乘法，分子分母因式分解后约分得到最简结果，最后把x＝－1代入求值． 【详解】解：原式 ， 把x＝﹣1代入得原式． 19．（本题6分）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝﹣1；（2）原分式方程无解． 【解析】两小题都先去分母（两边同乘最简公分母）化为整式方程，解出x的值，再代入最简公分母检验：公分母不为零的是原方程的解，公分母为零的是增根，必须舍去． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘x（x﹣2），得x﹣2＝3x， 移项、合并同类项，得2x＝﹣2， 解得x＝﹣1， 把x＝﹣1代入x（x﹣2）＝（﹣1）×（﹣3）≠0， ∴x＝﹣1是分式方程的解； （2）， 方程两边同时乘（x﹣3），得2＝x﹣3+2， 解得x＝3， 把x＝3代入x﹣3＝0， ∴x＝3是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 20．（本题6分）如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 【答案】（1）∠AEB＝36°；（2）证明见详解． 【解析】（1）由对顶角∠AOD＝∠BOE与∠A＝∠B，用三角形内角和定理得∠AEB＝∠2； 【详解】（1）解：∵∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B， ∴∠AEB＝∠2＝36°； （2）证明：∵∠ADE是△ABD的外角，∴∠ADE＝∠1+∠C， 即∠2+∠BDE＝∠1+∠C， 而∠2＝∠1， ∴∠C＝∠BDE， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 21．（本题7分）已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）BD＝4． 【解析】（1）连接BE、DE，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE＝DE＝½AC，再由F是BD的中点，用等腰三角形三线合一即可证EF⊥BD； 【详解】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 22．（本题7分）如图，四边形AOBC中，AC＝BC，∠A+∠OBC＝180°，CD⊥OA于D． （1）求证：OC平分∠AOB； （2）若OD＝3DA＝6，求OB的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）OB＝4． 【解析】（1）作CE⊥OB于E，由∠A＋∠OBC＝180°与∠OBC＋∠CBE＝180°得∠A＝∠CBE，再用AAS证△ACD≌△BCE得CD＝CE，由到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得证； 【详解】（1）证明：作CE⊥OB于E， ∵∠A+∠OBC＝180°，∠OBC+∠CBE＝180° ∴∠A＝∠CBE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（AAS）， ∴CD＝CE， ∴OC平分∠AOB． （2）解：∵OD＝3DA＝6， ∴AD＝BE＝2， 在Rt△ODC和Rt△OEC中 ∵ ∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）， ∴OE＝OD＝6， ∴OB＝OE－BE＝6－2＝4． 23．（本题7分）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值． x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）求m2+4m+3的最小值； （2）比较3a2+10与2a2+6a的大小． 【答案】（1）m2+4m+3最小值﹣1； （2）3a2+10＞2a2+6a． 【解析】（1）把m2+4m+3配方成（m+2）2－1，由平方的非负性得最小值；（2）用作差法，将3a2+10－（2a2+6a）配方成（a－3）2+1，由它恒大于0比较两式大小． 【详解】（1）解：m2+4m+3＝m2+4m+4－1＝（m+2）2－1． ∵（m+2）2≥0，∴当m＝﹣2时，m2+4m+3有最小值，最小值为﹣1； （2）解：3a2+10－（2a2+6a） ＝3a2+10﹣2a2﹣6a ＝a2﹣6a+9+1 ＝（a﹣3）2+1 ∵（a﹣3）2+1＞0， ∴3a2+10＞2a2+6a． 24．（本题7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： （1）在图1中，作∠CAB的平分线，与边BC交于点D；此时若△ABC的面积是24，AB+AC＝16，求CD的长； （2）在图2中，把△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交BC，AB于点E，F． ①请作出折痕EF； ②连接EA，若AC＝4，BC＝6，求△ACE的周长． 【答案】（1）；3； （2）①如图，折痕EF即为所求； ；②10． 【解析】（1）按角平分线的基本作图作出∠CAB的平分线AD，过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质得CD＝DE，再用S△ABC＝S△ACD＋S△ABD列方程求CD； 【详解】（1）解：作∠CAB的平分线，与边BC交于点D，如图，AD即为所求． 过点D作DE⊥AB交AB于点E， ∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°， ∴CD＝DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又 ， 解得CD＝3， （2）①把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕分别交BC、AB于点E、F，折痕EF即为所求； ②连接EA， 由作图知EA＝EB， ∴△ACE的周长为AC+CE+EA＝AC+CE+EB＝AC+CB＝4+6＝10， ∴△ACE的周长为10． 25．（本题10分）某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． （1）据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ （2）甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 【答案】（1）去年有3万人报名参赛，今年有3.5万人报名参赛； （2）甲的平均速度是14公里/小时，乙的平均速度是12公里/小时． 【解析】（1）设去年有x万人报名参赛，则今年有万人报名参赛，根据"今年与去年共有6.5万人参赛"列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：设去年有x万人报名参赛，根据题意可得： ， 解得x＝3， ∴（万人）， 答：去年有3万人报名参赛，今年有3.5万人报名参赛； （2）设乙的平均速度是m公里/小时，则甲的平均速度是（m+2）公里/小时，根据题意可得： ， 整理得：6（m+2）＝7m， 解得m＝12， 经检验，m＝12是原分式方程的解，且符合题意， ∴m+2＝14（公里/小时）， 答：甲的平均速度是14公里/小时，乙的平均速度是12公里/小时． 26．（本题10分）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”． （1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 　 　 （只填写序号）． ①顶角是30°的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是30°的直角三角形． （2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，延长DA到点E，连接BE． ①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”； ②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数． 【答案】（1）②③；（2）①见解析过程；②45°或15°或20°或40°． 【解析】（1）按"倍角三角形"的定义分别算出三种三角形的各角度数，看是否存在两倍关系即可； 【详解】（1）解：若顶角是30°的等腰三角形， ∴两个底角分别为75°，75°， ∴顶角是30°的等腰三角形不是"倍角三角形"； 若等腰直角三角形， ∴三个角分别为45°，45°，90°， ∵90°＝2×45°， ∴等腰直角三角形是“倍角三角形”， 若三角形中有一个角是30°的直角三角形， ∴另两个角分别为60°，90°， ∵60°＝2×30°， ∴有一个角是30°的直角三角形是"倍角三角形"， （2）①证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD， ∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD， ∴∠BAE＝2∠ADB， ∵BE＝BC， ∴BD＝BE， ∴∠E＝∠ADB， ∴∠BAE＝2∠E， ∴△ABE是“倍角三角形”； ②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°， 如图， 若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB＝60°， ∴∠BPE＝120°， ∵△BPE是“倍角三角形”， ∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP， ∴∠BEP＝20°或40°； 若△BPE是等腰三角形，则△ABP是"倍角三角形"， ∴∠ABP∠BAP＝30°或∠APB∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP， ∴∠APB＝90°或30°或40°或80°， ∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°， ∵△BPE是等腰三角形， ∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°， 综上所述，∠BEP的度数为45°或15°或20°或40°． 27．（本题10分）如图1，等边三角形△ABC的边长为18，点M是AC边上一动点，由点A向点C方向运动（点M不与点A，C重合），点N是CB延长线上一点，由点B向CB延长线方向运动（点N不与点B重合），点M与点N同时以相同的速度出发，连接MN交AB于点D． （1）当∠CNM＝30°时，AM＝　 　 ； （2）求证：在运动过程中，点D是线段MN的中点； （3）如图2，过点M作ME⊥AB于点E，在运动过程中线段ED的长度是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由； （4）如图3，将线段MN绕点M顺时针旋转60°得线段MF，连接FA，当FA取最小值时，则BN为　 　 ． 【答案】（1）AM＝6；（2）点D是线段MN的中点，证明见详解；（3）线段ED的长为定值9；（4）BN＝9． 【解析】（1）设AM＝BN＝x，由∠BND＝30°、∠C＝60°得∠NMC＝90°，在Rt△CMN中由NC＝2MC列方程求x； 【详解】（1）解：∵点M由点A向点C方向运动，点N由点B向CB延长线方向运动，两点同时以相同的速度出发， ∴AM＝BN， 设AM＝BN＝x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵∠CNM＝30°，∠C＝60°， ∴∠NMC＝180°－∠CNM－∠C＝90°， 在Rt△CMN中，∠CNM＝30°，∴NC＝2MC， ∴x+18＝2（18﹣x）， 解得x＝6， ∴AM＝6， （2）证明：如图1，过点M作MP∥BC，交AB于点P， ∴∠MPA＝∠ABC＝60°，∠NBD＝∠MPD， ∴△AMP是等边三角形， ∴PA＝PM＝AM， ∵AM＝BN， ∴PM＝BN， 在△NBD和△MPD中， ， ∴△NBD≌△MPD（AAS）， ∴DN＝DM， 即在运动过程中，点D是线段MN的中点； （3）解：线段ED的长为定值．理由如下： 由（2）知，△AMP是等边三角形， ∵ME⊥AB， ∴AP＝2PE， 由（2）的结论可知：BP＝2BD＝2PD， ∴AB＝AP+BP＝2PE+2PD＝2（PE+PD）＝2ED， 又∵AB＝18， ∴ED＝9， 故线段ED的长为定值9． （4）解：∵将线段MN绕点M顺时针旋转60°得到线段MF， ∴∠FMN＝60°，FM＝MN， ∴∠AMF＝180°﹣∠FMN﹣∠CMN＝120°﹣∠CMN， ∵∠BNM＝180°﹣∠C﹣∠CMN＝120°﹣∠CMN， ∴∠AMF＝∠BNM， 在△AMF和△BNM中， ， ∴△AMF≌△BNM（SAS）， ∴FA＝MB， 当MB⊥AC时MB的值最小，此时FA的值最小， ∵MB⊥AC， ∴∠BMC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠MBC＝30°， ∴MCBC＝9，则AM＝AC－MC＝9， ∴BN＝AM＝9. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $