精品解析：广东湛江第一中学2026-2027学年高三上学期10月练习检测数学试卷

2027届10月练习检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】等价于，解得， 所以集合， 又， 所以． 2. “”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】①必要性：若为第二象限角，则，， 可得，必要性成立， ②充分性；取，，， 满足，但是第一象限角，不是第二象限角，充分性不成立， 综上，是为第二象限角的必要不充分条件. 3. 在中，点D在边AB上，BD＝2DA.记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以 ， 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由诱导公式，， 可得分子为， ，再结合诱导公式，，且， 可得分母为， 因此化简得， 所以 ． 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，排除AB，再结合导数分析函数的单调性，得到答案. 【详解】∵为奇函数，为奇函数，为偶函数，∴为奇函数，其图象关于原点中心对称.排除AB. 设，则； 再设，则 当时，恒成立. 所以在上单调递增，又，， 所以存在，使.当时，，即：时，. 所以在上递减，又 所以：当时，. 又恒成立，所以：当时，.所以C正确. 故选：C. 【点睛】由解析式判断函数图象的问题，一般采用排除法，可以从以下角度考虑： （1）考虑函数的定义域，排除定义域不对的图象； （2）考虑函数的奇偶性，结合函数图象的对称性进行选择； （3）结合特殊点的函数值（尤其是符号）进行选择. 6. 已知正实数x，y，z，满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图像比较大小即可. 【详解】令， 则，，，由图可知. 故选：A． 7. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 故选：D. 8. 若函数（其中），存在唯一整数，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为，令，，判断函数的奇偶性，利用导数判断单调性，作出函数与的大致图象，结合图象可得答案. 【详解】，即，令，， 由，， 所以函数是偶函数， 当时，，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 且，，，，， 如图，作出函数与的大致图象，又，， 且直线，当时，， 结合图象可得，得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为，，则（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. 曲线与相切 D. 曲线关于对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用辅助角公式和正弦型函数最小正周期可求得解析式；根据正弦型函数值域可知A错误；根据正余弦函数奇偶性可知B正确；根据导数几何意义可求得C正确；根据正弦型函数对称性可知D错误. 【详解】的最小正周期， ，； 对于A，，，即的值域为，A错误； 对于B，， ，是偶函数，B正确； 对于C，，，又， 在点处的切线为，C正确； 对于D，， 不关于对称，D错误. 10. 设等差数列的前项和为，若，且当或6时，取得最大值，则（ ） A. 的公差为2 B. C. 数列的前10项和为50 D. 当时，与数列共有671项互为相反数 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据求得，再结合即可求出公差；B利用等差数列的前项和公式求出即可判断；C根据的正负性可得即可判断；D利用为偶数以及可得，再结合为偶数即可求得. 【详解】由当或6时，取得最大值知，，即， 因为，所以公差，所以A错误； 又，， 所以，即，故B正确； 记的前10项和为， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以 ，故C正确； 记， 因为，所以， 因数列为递减数列，则当时，， 由可知为偶数，若与互为相反数，则，且为偶数， 由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数， 即，即， 所以，且为偶数，故这样的有671个，故D正确. 故选：BCD 11. 已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，与所成角余弦值为 B. 当面时，点的轨迹长度为 C. 的取值范围为 D. 与所成角的范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由异面直线间夹角公式可得A错误；由棱锥的体积公式求出点到平面的距离，再由正方体的性质得到点所处的平面，然后由面面交线得到轨迹可得B正确；结合图形，由向量的加法和数量积可得C正确；由图形当与球相切时，与所成的角最大，计算可得D错误. 【详解】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，对于A，如下图所示： 易知，则， 可得， 即当为中点时，与所成角余弦值为，可得A错误； 对于B，易知是边长为的正三角形，故其面积为， 由三棱锥的体积为，可得点到平面的距离为， 即点在与平面平行且距离为的平面内，连接，如下图所示： 由正方体性质可得平面平面，且两平面间的距离等于，所以点平面，又面，平面平面，即可得点的轨迹即是线段，因此点的轨迹长度为，即可得B正确； 对于C，依题意可知即为正方体的中心，如下图所示： ， 又因为为球的直径，所以， 即可得， 又易知当点为正方体与球的切点时，最小；当点为正方体的顶点时，最大； 即，因此可得的取值范围为，即C正确； 对于 D，易知的中点即为球心，如下图所示： 当与球相切时，与所成的角最大，此时， 显然，结合两直线所成角的范围可知与所成角的范围为错误，即D错误． 故选：BC 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________． 【答案】40 【解析】 【详解】的展开式通项为， 且. 对于，令，解得， 故这部分的系数为. 对于，令，解得， 故这部分的系数为. ∴ 展开式中的系数为. 13. 已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，， 则， 因为是锐角， 所以，且不共线， 则，解得且， 则实数a的取值范围为. 14. 设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令函数，，因为不等式在上恒成立，所以是函数的切线，分别利用切点坐标表示，再求出，构造函数求最小值即得的最小值. 【详解】令函数，， ， 则，故在上单调递增； 因为在上恒成立，即在上恒成立； 故在上图象恒在上方或者只有一个切点； 考虑临界情况，当直线与曲线相切时，可以求解的最值. 设切点为 ，则 ， 由，可得，解得， 故， 令 ，所以； 令则，， 当时， ，则在上单调递减； 当时， ，在上单调递增； 所以，所以的最小值是； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数，再结合三角函数性质求解周期和单调递增区间； （2）先由求出角，再利用三角形面积的拆分关系建立方程求解的长度. 【小问1详解】 函数， 最小正周期， 由 ，解得 ， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 由得，即， 因为为的内角，故，则，因此， 解得， 因为是的角平分线，所以， 由面积关系，则有 ， 得 ，解得. 16. 某市为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对该市80名不同年龄段（19岁及以上）的车主进行了问卷调查，其中有40名车主偏好新能源汽车，这40名偏好新能源汽车车主各年龄段所占百分比见下图： 在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在岁年龄段的概率为． （1）请将下列被调查车主的列联表直接补充完整． 偏好新能源汽车 偏好燃油车 合计 19～35岁 35岁以上 合计 依据的独立性检验，能否认为该市车主偏好新能源汽车与年龄有关联？ （2）将上述调查中的频率视为概率，从该市偏好新能源汽车的车主中选取4人，求这4人中在岁年龄段的人数的分布列及方差． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 偏好新能源汽车 偏好燃油车 合计 19～35岁 24 15 39 35岁以上 16 25 41 合计 40 40 80 偏好新能源汽车与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 （2） 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）结合题设即可求得列联表，再计算的值，与临界值比较即可判断； （2）由题意可得，进而结合二项分布的概率公式求解分布列，再根据二项分布的方差公式求解方差. 【小问1详解】 由题意，偏好传统燃油车且在岁年龄段的人数为， 故偏好传统燃油车且在35岁以上年龄段的人数为， 新能源汽车40名车主中在岁年龄段的人数为，新能源汽车35岁以上年龄段的人数为， 列联表如下所示： 偏好新能源汽车 偏好燃油车 合计 19～35岁 24 15 39 35岁以上 16 25 41 合计 40 40 80 提出零假设：偏好新能源汽车与年龄无关， 而， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即偏好新能源汽车与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 由题意，， 则，， ，， ， 则的分布列如下 0 1 2 3 4 则. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，为侧棱上的点，且满足． （1）若，求证：三棱锥的外接球的球心在平面内； （2）记平面与平面的夹角为，若，求的值． 【答案】（1） 因为底面，平面， 所以， 因为底面为正方形，所以， 所以两两互相垂直 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则可得点，，，， 由，得，所以， 记的中点为，则为的外心，且点的坐标为， ， 当时，点的坐标为，则，所以， 所以，即为三棱锥的外接球的球心． 故三棱锥的外接球的球心在平面内． （2）或 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设边长为写出各点坐标，求出中点，验证到四点距离相等，证明为外接球球心且在底面平面内； （2）利用向量表示点坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用二面角余弦公式列方程，化简求解得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量，则， 因为，， 所以， 取，则，，所以 设为平面PBC的一个法向量，则， 因为，， 所以， 取，则，，所以， 所以， 由题意得，即， 解得或． 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 【答案】（1） （2）在上单调递减. （3）证明：由函数，可得， 则，其中， 当时，，，此时，单调递减， 所以函数在区间上无极值点； 设，可得， 所以在上单调递增， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在唯一的使得， 当时，；当时，， 综上可得，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有且只有一个极小值点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集； （2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； （3）根据题意，得到，先求得在上无极值点，设，求得和在上单调递增，得到在上单调递增，得到存在唯一的使得，得出的单调性，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，又由不等式，可得， 整理得，即， 可得，所以， 因为，即，可得， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 略 19. 已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于． （1）若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直； （3）若与交于，且，证明： 【答案】（1）； （2）由（1）可知，，则． 设，．由于在抛物线上，所以． 由，求导数得，，所以在点切线的斜率为：， 其方程为． 联立方程，消得，①， 此时即, 由于直线与椭圆：交于，两个不同的点， 所以为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以直线与垂直． （3）当时，直线，即，介于轴与抛物线准线之间． 延长交抛物线的准线于点， 再联立方程，消得，①， 此时即. 显然为方程①的两根，则， ， 所以点坐标为． 因此，直线的方程为， 再联立方程，得的横坐标，所以与轴垂直． 则点的坐标为；点的坐标为， 则直线的斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以． 由抛物线的定义，为等腰三角形，且得直线平分． 而，．所以， 由角平分线性质可知， 因为,故， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与椭圆的基本性质即可求解； （2）利用导数法来写出抛物线在某点处的切线，然后借助方程组思想和韦达定理来求出中点的坐标，再通过直线与直线相交求解出的横坐标，即可得出证明； （3）利用（2）的解法同理可求出的横坐标，再利用抛物线的定义可求出点的坐标为，然后通过斜率可判断，再借助几何意义可得，从而问题即可得到证明. 【小问1详解】 由题意可知抛物线E的焦点为，故，则， 因为椭圆C的离心率为，， 所以联立方程组可解得：，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届10月练习检测 数学试卷 考试用时：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，点D在边AB上，BD＝2DA.记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数x，y，z，满足，则（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 若函数（其中），存在唯一整数，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的最小正周期为，，则（ ） A. 的值域为 B. 是偶函数 C. 曲线与相切 D. 曲线关于对称 10. 设等差数列的前项和为，若，且当或6时，取得最大值，则（ ） A. 的公差为2 B. C. 数列的前10项和为50 D. 当时，与数列共有671项互为相反数 11. 已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，与所成角余弦值为 B. 当面时，点的轨迹长度为 C. 的取值范围为 D. 与所成角的范围为 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________． 13. 已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 14. 设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，，，，若的平分线交于，求的长. 16. 某市为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对该市80名不同年龄段（19岁及以上）的车主进行了问卷调查，其中有40名车主偏好新能源汽车，这40名偏好新能源汽车车主各年龄段所占百分比见下图： 在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在岁年龄段的概率为． （1）请将下列被调查车主的列联表直接补充完整． 偏好新能源汽车 偏好燃油车 合计 19～35岁 35岁以上 合计 依据的独立性检验，能否认为该市车主偏好新能源汽车与年龄有关联？ （2）将上述调查中的频率视为概率，从该市偏好新能源汽车的车主中选取4人，求这4人中在岁年龄段的人数的分布列及方差． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，为侧棱上的点，且满足． （1）若，求证：三棱锥的外接球的球心在平面内； （2）记平面与平面的夹角为，若，求的值． 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）讨论的单调性； （3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 19. 已知抛物线：的焦点为，是上的动点，过点作的切线，直线与椭圆：交于，两个不同的点，记的中点为．设直线（为原点）与直线交于． （1）若椭圆经过抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）在（1）的条件下，证明：直线与直线垂直； （3）若与交于，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $