精品解析：广东深圳福田区福田中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

福田中学2026－2027学年度福二模 高三年级数学试卷 命题人：王江峰 审题人：张耕睿 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号等填写在答题卡信息填写处； 3．回答选择题时，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．请将所有答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 2. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】样本容量为6，，所以下四分位数为第二个，即下四分位数为8. 3. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以在方向上的投影向量为. 4. 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 5. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线定理和三角形的中线求出和的关系，再结合基本不等式求最值. 【详解】因为为线段的中点，，所以， 又因为，，所以，即 ， 由三点共线可知，即， 又因为，，所以 当且仅当时取到最小值3. 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦，再利用二倍角公式及诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式求出、利用余弦定理求出，根据列方程即可求出答案. 【详解】如图所示，双曲线的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，∴， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，，即，因此，双曲线的离心率为. 8. 斐波那契数列在螺旋星系，叶脉生长等自然模型中经常出现，斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的递推公式对奇数项裂项，采用裂项相消法求和即可得到的值. 【详解】由已知斐波那契数列满足，，变形可得. 即，，，，，， 设所求和为， 得  代入，得，故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】设，，， A.法一：∵，∴， 即，而 ，显然 条件推不出结论， 法二：举反例，取， 满足，但是， ，A错误. B.∵，∴， 即，∴，B正确. C.∵， ∴，即 ，其几何意义 是圆上任意两个点， 又，其几何 意义是两个点之间的距离小于等于2， ∵圆上任意两点(直径），∴C正确. D.举反例，当时，， 满足，但是，D错误. 10. （多选）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递减； B. 的图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象； C. 的图象在区间内只有个对称中心； D. 当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是． 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据对称轴和对称中心的距离求出周期，确定，再结合对称轴或对称中心求出，得到，对A由得，再根据正弦函数的单调性判断可得；对B直接由图象平移可得判断可得；对C先计算函数的对称中心，再判断在区间内的对称中心有个可得；对D先由可得，再将不等式转化为，再由包含关系可得结果. 【详解】已知距离轴最近的对称轴为，最近的对称中心为， 因为正弦函数相邻对称轴与对称中心的水平距离为，所以， 解得，则. 将对称中心代入，得， 即，结合，得，故. 选项A：由，得， 由正弦函数在上单调递减，故在该区间单调递减，A正确； 选项B：由的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得，B错误； 选项C：因为函数对称中心满足，即. 在内，当时，；当时，；当时，， 即函数在内共个对称中心，C错误； 选项D：当时，，，故. 因为不等式等价于， 所以，，解得，因此实数的取值范围是，D正确. 11. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助函数中心对称性质计算可得、，再计算即可得；对B：结合函数中心对称性质，验证是否成立即可得；对C：求导后，结合极值点定义，利用韦达定理计算即可得；对D：结合等差数列性质，设出三个零点后代入计算即可得. 【详解】对A：当时，， 由函数的对称中心为，则， 即有， 整理得，即有，解得， 即，故，故A错误； 对B：当时，， 则， 故函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：当时，，， 则，，， 由，且，则，故，， 即有，，且，，故，， 即有，即，故C正确； 对D：当时，， 设三个相异零点分别为、、， 则， 即， 则，由得， 则由可得，故， 又，故实数的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中,的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】该展开式的通项为,则的系数为. 13. 已知数列是等比数列，若，，则_______． 【答案】 324 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为，， 所以， 又，， 因此. 14. 设集合，记样本空间,从中随机抽取一个角,定义随机变量,则的数学期望为_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题得的取值为,,,,,,,则的取值为,1,0, ,, 那么随机变量的分布列如下: 1 0 故的数学期望为. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足 （1）求； （2）若的面积为，内角的角平分线交边于，求的最大值； 【答案】（1） （2）最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角和的正弦公式进行化简，再利用辅助角公式得到，最后根据三角形中角的范围即可求解角；（2）借助角平分线分割三角形面积，得到关于的表达式，再借助均值不等式即可求出的最大值； 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，则， 又，因此，所以，即， 由，得，故，所以. 【小问2详解】 由得，， 又，所以， 则（当且仅当时取等）， 即的最大值为2. 16. 已知公比大于的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式； （2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则 【小问1详解】 由于数列是公比大于1的等比数列， 设首项为，公比为， 依题意有， 解得：或（舍）. 所以. 【小问2详解】 （i）由题意，，即， 当时，， 当时，； （ii）当时，，共有个， 则 . 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）设的中点为，连接、，因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立. （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. （3）设，利用空间向量法可求出的值，再利用空间向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为，连接，因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、，则，，， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 设平面的一个法向量为，所以 ， 令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，直线交椭圆于，两点． （ⅰ）当为的重心时，求直线的方程； （ⅱ）设为椭圆上的动点，若为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）的面积为定值，定值为 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式、关系及椭圆的标准方程列式求解即可； （2）（ⅰ）设，由为的重心，可得，继而可得的中点坐标，利用点差法可得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解； （ⅱ）设，直线的方程为，代入椭圆方程，由为的重心，可得，结合韦达定理可得，代入椭圆得、根据弦长公式、点到直线的距离公式求出三角形的面积即可. 【小问1详解】 点在椭圆上，所以， 离心率，可得， 所以，可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设， 由为的重心，可得，即， 所以的中点为， ，由点差法可得， 即， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （ⅱ）设， 由为的重心，可得，即， 当直线斜率不存在时，设，代入椭圆可得， 则，，代入椭圆得， 不妨取，，， ； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， 所以，则， 所以，代入椭圆得， ， 点到直线的距离为， 则 . 所以的面积为定值，定值为. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）先求导数求出斜率，再将点坐标代入求出直线方程. （2）对函数求导，求出导函数的零点，通过分析两个零点的大小关系，讨论的取值和函数的单调区间. （3）对函数求导，先分析的不同取值范围下的单调性，再根据零点存在定理建立不等式组，最后解不等式即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，， 所以， 所以所求切线方程为，即． 【小问2详解】 函数定义域为，， 令，所以 或， 当，即时，若，， 若，， 所以在单调递减，在单调递增， 若当，即时，恒成立， 所以在单调递增， 当，即，若，， 若，， 所以在单调递减，在单调递增， 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 当时，， 令，得，不符合题意， 当时，， 若，，所以函数在单调递增， 若函数在区间上有且只有一个零点， 则 ，成立. 若时，，， 由（2）可知， 若，则函数在单调递增，又，，不符合题意， 若，则函数在上单调递增，又，，不符合题意， 若，则， 当，即时，， 所以在单调递增，且，无零点； 当，即时， 此时在上单调递减、在上单调递增， 而最小值 ，无零点； 当，即时，， 所以在上单调递减，且，无零点， 综上所述，， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福田中学2026－2027学年度福二模 高三年级数学试卷 命题人：王江峰 审题人：张耕睿 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号等填写在答题卡信息填写处； 3．回答选择题时，请用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．请将所有答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 5. 在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，（），（），则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 斐波那契数列在螺旋星系，叶脉生长等自然模型中经常出现，斐波那契数列满足，，设，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. （多选）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则（ ） A. 在区间上单调递减； B. 的图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象； C. 的图象在区间内只有个对称中心； D. 当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是． 11. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中,的系数为__________.（用数字作答） 13. 已知数列是等比数列，若，，则_______． 14. 设集合，记样本空间,从中随机抽取一个角,定义随机变量,则的数学期望为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足 （1）求； （2）若的面积为，内角的角平分线交边于，求的最大值； 16. 已知公比大于的等比数列满足. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数． （i）写出； （ii）求数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，直线交椭圆于，两点． （ⅰ）当为的重心时，求直线的方程； （ⅱ）设为椭圆上的动点，若为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性； （3）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $